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THÉORÈMES SUR LES LIMITES

26. Théorème IV. — Si l’on a deux suites

$u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{n},\;\ldots ,$

$v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n},\;\ldots ,$

ayant respectivement pour limites $\lambda$ et $\mu$, ${u_{n}-v_{n}}$ a pour limite ${\lambda -\mu }$.

Dans le cas où ${\lambda =\mu }$, ce théorème se réduit à la partie 1^o du Théorème II.

Considérons le cas où ${\lambda \neq \mu }$.

Supposons par exemple ${\lambda <\mu }$. Soit $\varepsilon$ un nombre rationnel positif. On peut déterminer quatre nombres rationnels $a,b,c,d$ tels que

(1)

$a<\lambda <b<c<\mu <d$

avec

(2)

$b-a<\varepsilon$,$d-c<\varepsilon$.

Quand $n$ dépasse un certain entier $p$, on a

(3)

$a<u_{n}<b<c<v_{n}<d$.

On déduit respectivement de (1) et (3)

${\begin{alignedat}{3}c-b&\leqslant \mu &{}-{}&\lambda &{}\leqslant d-a{\text{,}}\\c-b&\leqslant v_{n}&{}-{}&u_{n}&{}\leqslant d-a{\text{,}}\end{alignedat}}$

d’où

$|(v_{n}-u_{n})-(\mu -\lambda )|\leqslant d-a-(c-b)$.

Comme, d’après (2) ($a,b,c,d,\varepsilon$ étant rationnels)

$d-a-(c-b)=d-c+b-a<2\varepsilon$,

et que $\varepsilon$ est un nombre positif rationnel quelconque, on a

$\lim {|(v_{n}-u_{n})-(\mu -\lambda )|}=0$,

c’est-à-dire, d’après le Théorème III,

$\lim {(v_{n}-u_{n})}=\mu -\lambda$.

Comme les nombres opposés à ${v_{n}-u_{n}}$ et ${\mu -\lambda }$ sont ${u_{n}-v_{n}}$ et ${\lambda -\mu }$ (§ 20), on a aussi (§ 16)

$\lim {(u_{n}-v_{n})}=\lambda -\mu$.

et

$\lim {|u_{n}-v_{n}|}=|\lambda -\mu |$.