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THÉORÈMES SUR LES LIMITES
VI
THÉORÈMES SUR LES LIMITES
22. Soit une suite de nombres
(1)
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D’après les § 14 et 15, trois cas sont possibles :
1o Il y a une limite finie
. Alors
. Soit
. Nous pouvons, d’après le § 19, prendre
et
rationnels tels que
et
![{\displaystyle \beta -\alpha <\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc027d4e3157e2d401ba0c0afc3ed1b38711e0b)
.
Il y a un entier
tel que, pour
, on a
![{\displaystyle \alpha <u_{n}<\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38fc4e9eb810a543f4c1121cac033dd70f2eedcb)
.
Si
et
sont deux entiers supérieurs à
, on a donc (§ 21)
![{\displaystyle |u_{\mu }-u_{\nu }|\leqslant \beta -\alpha <\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b810c98ba651b164bf445cdd88d9b732f300a0eb)
.
2o Il y a une limite infinie ;
et
sont égaux, soit à
, soit à
; soit, par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {M} =m=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db20d04586fa3caf70fe1bb2767e904e18c7983a)
.
Quel que soit l’entier
, et quel que soit le nombre
, il y a
tel que
.
Donnons-nous arbitrairement un nombre rationnel positif
, prenons un terme quelconque de la suite (1), soit
. Prenons un nombre rationnel
;
est un certain nombre rationnel ; nous pouvons trouver
tel que
. Des conditions
![{\displaystyle u_{\mu }<\mathrm {B} <\mathrm {B+A} <u_{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea795467fbc0a550b202a38b4898f142bcd6a994)
,
on déduit (§ 21)
![{\displaystyle |u_{\mu }-u_{\nu }|\geqslant \mathrm {(B+A)-A} =\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b67ad3d123bc4bfd41d2e21bccec13e2d5b560)
.
On remarquera que
est arbitraire et que
et
peuvent être choisis supérieurs à tout entier
.