Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin/Sur l’intégration d’une équation différentielle à différences finies

Joseph-Louis Lagrange

Sur l’intégration d’une équation différentielle à différences finies, qui contient la théorie des suites récurrentes

Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin, Gauthier-Villars, 1867, Œuvres de Lagrange. Tome I (p. 23-36).

SUR L’INTÉGRATION
D’UNE
ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
À DIFFÉRENCES FINIES,
QUI CONTIENT LA THÉORIE DES SUITES RÉCURRENTES.

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(Miscellanea Taurinensia, t. I, 1759.)

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1. Soit proposée l’équation différentielle

$dy+y\mathrm {X} dx=\mathrm {Z} dx,$

où $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Z}$ expriment des fonctions quelconques de la variable $x\,;$ l’on sait que pour intégrer cette équation il suffit de faire

$y=uz,$

ce qui donne

$udz+zdu+uz\mathrm {X} dx=\mathrm {Z} dx,$

où l’on peut faire évanouir deux termes par une valeur convenable de $u$ ou de $z.$ Supposons donc

$zdu+uz\mathrm {X} dx=0,$

et divisant par $z,$ on aura

$du+u\mathrm {X} dx=0,$

et par conséquent

${\frac {du}{u}}=-\mathrm {X} dx\quad {\text{et}}\quad lu=-\int \mathrm {X} dx,$

savoir

$u=e^{-\int \mathrm {X} dx},$

où $e$ est le nombre dont le logarithme hyperbolique est $1.$ Par cette supposition la proposée deviendra

$udz=\mathrm {Z} dx,$

ce qui donne

$dz={\frac {\mathrm {Z} dx}{u}},\quad z=\int {\frac {\mathrm {Z} dx}{u}}=\int e^{\int \mathrm {X} dx}\mathrm {Z} dx,$

et enfin

$y=uz={\frac {\int e^{\int \mathrm {X} dx}\mathrm {Z} dx}{e^{\int \mathrm {X} dx}}}.$

2. En observant le procédé de cette méthode, on verra aisément qu’elle doit pouvoir s’appliquer encore avec succès aux équations différentielles qui ont la même forme que la précédente, quoique les différences soient supposées finies. Soit donc l’équation

$dy+\mathrm {M} y=\mathrm {N} ,$

dont la différentielle $dy$ soit finie, et les autres quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ soient des fonctions d’une autre variable quelconque $x.$ Supposons en premier lieu

$y=uz,$

et l’on aura dans ce cas

$dy=udz+zdu+dudz,$

et l’équation se changera en

$udz+zdu+dudz+\mathrm {M} uz=\mathrm {N} .$

Qu’on pose comme ci-dessus les deux termes

$zdu+\mathrm {M} uz=0,$

et on aura

$du+\mathrm {M} u=0,$

savoir

${\frac {du}{u}}=-\mathrm {M} \,;$

pour résoudre cette équation dans notre cas où la différentielle $du$ n’est pas infiniment petite, qu’on suppose $u=e^{t},$ et l’on aura

$u+du=e^{t+dt}\quad {\text{et}}\quad du=e^{t}\left(e^{dt}-1\right)\,;$

d’où

${\frac {du}{u}}=e^{dt}-1=-\mathrm {M} \quad {\text{et}}\quad e^{dt}=1-\mathrm {M} \,;$

et prenant les logarithmes,

$dt=l(1-\mathrm {M} ),$

et ensuite intégrant,

$t=\int l(1-\mathrm {M} )\,;$

mais on sait que la somme des logarithmes de plusieurs nombres est égale au logarithme du produit de tous ces nombres ; donc, si l’on exprime généralement par $\varpi (1-\mathrm {M} )$ le produit continuel de toutes les quantités contenues dans la formule $1-\mathrm {M} ,$ on aura

$t=l\varpi (1-\mathrm {M} ),$

et par conséquent

$u=e^{t}=\varpi (1-\mathrm {M} ).$

Par l’évanouissement de ces deux termes l’équation devient

$udz+dudz=\mathrm {N} ,$

d’où l’on tire

$dz={\frac {\mathrm {N} }{u+du}},$

et, en intégrant,

$z=\int {\frac {\mathrm {N} }{u+du}}.$

Mais ayant déjà trouvé $u=\varpi (1-\mathrm {M} ),$ si l’on exprime par $\mathrm {M} _{1}$ le terme consécutif à $\mathrm {M} ,$ on aura

$u+du=\varpi (1-\mathrm {M} _{1}),$

et par conséquent

$z=\int \mathrm {\frac {N}{\varpi (1-M_{1})}} ,$

et, puisque $y=zu,$

$y=\varpi \mathrm {(1-M)\int {\frac {N}{\varpi (1-M_{1})}}} ,$

ou bien, en ajoutant à cette intégration une constante quelconque $\mathrm {A} ,$

$y=\varpi \mathrm {(1-M)\left(A+\int {\frac {N}{\varpi (1-M_{1})}}\right)} .$

3. Soit à présent proposée l’équation

$y_{1}=\mathrm {R} y+\mathrm {T} ,$

où $y_{1}$ est le terme qui suit $y$ dans la suite des $y\,;$ puisque $y_{1}=y+dy,$ elle se réduira à

$dy+(1-\mathrm {R} )y=\mathrm {T} .$

Qu’on fasse donc

$\mathrm {1-R=M,\quad T=N} ,$

et l’on trouvera pour la valeur de $y$ l’expression suivante

$y=\varpi \mathrm {R\left(A+\int {\frac {T}{\varpi R_{1}}}\right)} .$

Si $\mathrm {R}$ est une quantité constante, il est clair que $\varpi \mathrm {R}$ et $\varpi \mathrm {R} _{1}$ deviennent des puissances de $\mathrm {R} ,$ dont l’exposant est égal au nombre qui dénote la place des termes $y$ et $y_{1}$ dans la suite des $y\,;$ soit donc $m$ ce nombre, de sorte que $y_{m}$ soit le même que $y,$ et on aura

$y_{m}=\mathrm {R} ^{m}\left(\mathrm {A} +\int {\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {R} ^{m+1}}}\right).$

Si $\mathrm {T}$ est constant, $\int {\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {R} ^{m+1}}}$ est égal à $\mathrm {T} \int {\frac {1}{\mathrm {R} ^{m+1}}},$ où les termes exprimés par

${\frac {1}{\mathrm {R} ^{m+1}}}$ forment une progression géométrique, dont il sera aisé d’avoir la somme ; soit cette somme, qui commence par ${\frac {1}{\mathrm {R} }},$ égale à $\mathrm {S} ,$ savoir que

$\mathrm {{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {1}{R^{3}}}} +\ldots +{\frac {1}{\mathrm {R} ^{m}}}=\mathrm {S} ,$

et on aura, en multipliant par $\mathrm {R} ,$

$1+{\frac {1}{\mathrm {R} }}+{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{\mathrm {R} ^{m-1}}}=\mathrm {SR} =\mathrm {S} +1-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{m}}}\,;$

de cette égalité l’on tirera

$\mathrm {S} ={\frac {\mathrm {R} ^{m}-1}{\mathrm {R} ^{m}(\mathrm {R} -1)}},$

par conséquent

$y_{m}=\mathrm {R} ^{m}\left[\mathrm {A} +\mathrm {T} {\frac {\mathrm {R} ^{m}-1}{\mathrm {R} ^{m}(\mathrm {R} -1)}}\right],$

ou bien

$y_{m}=\mathrm {AR} ^{m}+\mathrm {T} {\frac {\mathrm {R} ^{m}-1}{\mathrm {R} -1}}.$

4. Pour se convaincre que cette valeur de $y$ satisfait entièrement aux conditions de l’équation donnée

$y_{1}=\mathrm {R} y+\mathrm {T} \quad {\text{ou bien}}\quad y_{m+1}=\mathrm {R} y_{m}+\mathrm {T} .$

on n’a qu’à multiplier la formule trouvée pour $y_{m}$ par $\mathrm {R} ,$ et lui ajouter la quantité $\mathrm {T} ,$ et l’on trouvera le résultat

$\mathrm {AR} ^{m+1}+\mathrm {T} {\frac {\mathrm {R} ^{m+1}-\mathrm {R} }{\mathrm {R} -1}}+\mathrm {T}$

qui se réduit à

$\mathrm {AR} ^{m+1}+\mathrm {T} {\frac {\mathrm {R} ^{m+1}-1}{\mathrm {R} -1}},$

qui est la valeur que la formule générale nous donne pour le terme $y_{m+1}.$

5. Après avoir trouvé la méthode d’intégrer toute équation différentielle à différences finies, comprise sous la forme générale

$dy+\mathrm {M} y=\mathrm {N} ,$

on pourra de même procéder à l’intégration des autres qui dépendent de celle-ci. Or, M. d’Alembert, dans les Mémoires de l’Académie Royale de Berlin, a fait voir que toutes les équations différentielles, telles que

$y+\mathrm {A} {\frac {dy}{dx}}+\mathrm {B} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\mathrm {C} {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+\ldots =\mathrm {X} ,$

où $\mathrm {A,B,C,} \ldots$ sont des constantes quelconques, et où $\mathrm {X}$ est une fonction quelconque de $x,$ se réduisent à une équation de cette forme :

$z+\mathrm {H} {\frac {dz}{dx}}=\mathrm {V} ,$

où $\mathrm {H}$ est une constante et $\mathrm {V}$ une fonction de $x,$ laquelle équation est la même que nous avons appris à intégrer dans le cas même des différences finies. Si donc le procédé de M. d’Alembert peut avoir lieu aussi quand les différences sont finies, on pourra intégrer encore dans cette circonstance toute équation différentielle de cette forme :

$y+\mathrm {A} dy+\mathrm {B} d^{2}y+\mathrm {C} d^{3}y+\ldots =\mathrm {X} ,$

et par conséquent l’équation

$y_{1}+\mathrm {P} y_{2}+\mathrm {Q} y_{3}+\ldots =\mathrm {X} ,$

qu’on peut regarder comme la formule générale des suites récurrentes. La méthode de M. d’Alembert se trouve détaillée dans le second tome du Calcul intégral de M. Bougainville ; mais, pour épargner de la peine aux lecteurs, je tâcherai de la développer ici en peu de mots. Qu’on suppose

${\frac {dy}{dx}}=p,\quad {\frac {dp}{dx}}=q,\quad {\frac {dq}{dx}}=r,\ldots ,$

et l’équation proposée se changera en

$y+\mathrm {A} p+\mathrm {B} q+\mathrm {C} {\frac {dq}{dx}}=\mathrm {X} .$

Qu’on multiplie à présent chacune des équations qu’on a supposées par des coefficients indéterminés $a,b,c,\ldots ,$ et qu’on les ajoute toutes à celle-ci, on aura

$y+(\mathrm {A} +a)p+(\mathrm {B} +b)q-a{\frac {dy}{dx}}-b{\frac {dp}{dx}}+\mathrm {C} {\frac {dq}{dx}}=\mathrm {X} .$

Soit fait en sorte que la première partie du premier membre de cette équation devienne un multiple exact de l’intégrale de la seconde, savoir que

$dy+(\mathrm {A} +a)dp+(\mathrm {B} +b)dq=dy+{\frac {b}{a}}dp-{\frac {\mathrm {C} }{a}}dq,$

et en comparant terme à terme il en résultera

$\mathrm {A} +a={\frac {b}{a}},\quad \mathrm {B} +b=-{\frac {\mathrm {C} }{a}}\,;$

de ces deux équations l’on tire

$b=-{\frac {\mathrm {C} }{a}}-\mathrm {B} =\mathrm {A} a+a^{2}\quad {\text{et}}\quad a^{3}+\mathrm {A} a^{2}+\mathrm {B} a+\mathrm {C} =0,$

dont les racines donneront trois valeurs de $a$ qui satisferont également aux conditions requises. Supposons maintenant

$y+(\mathrm {A} +a)p+(\mathrm {B} +b)q=z,$

l’équation trouvée deviendra

$z-a{\frac {dz}{dx}}=\mathrm {X} ,$

laquelle, comparée avec celle du n^o 1, donnera en intégrant

$z=-e^{\frac {x}{a}}\int {\frac {\mathrm {X} dx}{ae^{\frac {x}{a}}}}.$

Or, comme la quantité $a$ peut avoir trois valeurs différentes, nommons-les $a_{1},a_{2},a_{3},$ et exprimons par $\mathrm {Z} ,$ la valeur de $z$ qui contient $a_{1},$ par $\mathrm {Z} _{2}$ celui qui contient $a_{2},$ et par $\mathrm {Z} _{3}$ celui qui contient $a_{3}\,;$ on aura donc les trois équations suivantes :

${\begin{alignedat}{2}y+&(\mathrm {A} +a_{1})p&+(\mathrm {B} +b_{1})q=&\mathrm {Z} _{1},\\y+&(\mathrm {A} +a_{2})p&+(\mathrm {B} +b_{2})q=&\mathrm {Z} _{2},\\y+&(\mathrm {A} +a_{3})p&+(\mathrm {B} +b_{3})q=&\mathrm {Z} _{3}.\end{alignedat}}$

De ces trois équations on tirera la valeur de $y,$ laquelle, à cause des quantités constantes $\mathrm {A,B} ,a_{1},a_{2},\ldots ,$ se réduira à cette forme

$y=\mathrm {FZ_{1}+GZ_{2}+HZ_{3}} ,$

où $\mathrm {F,G,H}$ sont des constantes dont la valeur dépend des autres $\mathrm {A,B} ,a_{1},a_{2},\ldots .$

6. Si l’on examine le procédé de cette méthode, il paraîtra clairement que si l’équation eût contenu beaucoup plus de termes, par exemple qu’elle eût été

$y+\mathrm {A} {\frac {dy}{dx}}+\mathrm {B} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\mathrm {C} {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+\mathrm {D} {\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}+\mathrm {E} {\frac {d^{5}y}{dx^{5}}}=\mathrm {X} ,$

on aurait trouvé de même

$y=\mathrm {FZ_{1}+GZ_{2}+HZ_{3}+IZ_{4}+KZ_{5}} ,$

où les quantités $\mathrm {Z_{1},Z_{2}} ,\ldots$ sont des fonctions de $\mathrm {X}$ et $x,$ telles que

$\mathrm {Z} =-e^{\frac {x}{a}}\int {\frac {\mathrm {X} dx}{ae^{\frac {x}{a}}}},$

en posant pour $a$ les racines $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ de cette équation

$a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\mathrm {B} a^{3}+\mathrm {C} a^{2}+\mathrm {D} a+\mathrm {E} =0\,;$

de plus on s’apercevra que les opérations que requiert cette méthode peuvent également se faire, soit que les différences soient finies, ou qu’elles soient infiniment petites.

7. Ayant donc l’équation à différences finies

$y+\mathrm {A} dy+\mathrm {B} d^{2}y+\mathrm {C} d^{3}y+\mathrm {D} d^{4}y+\mathrm {E} d^{5}y=\mathrm {X} ,$

et posant

$dy=p,\quad dp=q,\quad dq=r,\quad dr=s,$

on parviendra de la même manière à une équation telle que

$z-adz=\mathrm {X} ,$

où

$z=y+(\mathrm {A} +a)p+(\mathrm {B} +b)q+(\mathrm {C} +c)r+(\mathrm {D} +d)s,$

et la quantité $a$ dépendra de cette équation

$a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\mathrm {B} a^{3}+\mathrm {C} a^{2}+\mathrm {D} a+\mathrm {E} =0,$

dont les racines ont déjà été supposées $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}.$ Que l’on compare à présent l’équation

$z-adz=\mathrm {X}$

avec celle du n^o 2, savoir

$dy+\mathrm {M} y=\mathrm {N} ,$

et on aura

$\mathrm {M} =-{\frac {1}{a}},\quad \mathrm {N} =-{\frac {\mathrm {X} }{a}}\,;$

par conséquent

$1-\mathrm {M} ={\frac {1+a}{a}},$

ce qui donne enfin

$z=\varpi \left({\frac {1+a}{a}}\right)\left[{\text{const}}+\int {\frac {-{\cfrac {\mathrm {X} }{a}}}{\varpi \left({\cfrac {1+a}{a}}\right)}}\right],$

ou bien, puisque $a$ est constant,

$z_{m}=\left({\frac {1+a}{a}}\right)^{m}\left[{\text{const}}-\int {\frac {\mathrm {X} a^{m}}{(1+a)^{m+1}}}\right],$

$m$ exprimant comme ci-dessus le quantième du terme $z$ dans la série des $z.$ Si l’on fait de plus $\mathrm {X}$ constant, on aura, en prenant la somme de la progression géométrique exprimée par $\int {\frac {a^{m}}{(1+a)^{m+1}}},$

$z_{m}=\left({\frac {1+a}{a}}\right)^{m}\left[{\text{const}}-\mathrm {X} {\frac {(1+a)^{m}-a^{m}}{(1+a)^{m}}}\right].$

Or, comme $a$ peut avoir les valeurs $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},$ il est clair qu’en substituant chacune d’elles dans la formule trouvée, il en résultera autant de valeurs de $z_{m}$ qui satisferont toutes également. Soient donc toutes ces valeurs exprimées par $\mathrm {Z_{1},Z_{2},Z_{3},Z_{4},Z_{5}} ,$ et puisque

$z=y+(\mathrm {A} +a)p+(\mathrm {B} +b)q+(\mathrm {C} +c)r+(\mathrm {D} +d)s,$

on tirera, par le moyen des cinq équations

$z=\mathrm {Z} _{1},\quad z=\mathrm {Z} _{2},\quad z=\mathrm {Z} _{3},\quad z=\mathrm {Z} _{4},\quad z=\mathrm {Z} _{5},$

l’expression suivante de $y,$ savoir

$y=\mathrm {FZ_{1}+GZ_{2}+HZ_{3}+IZ_{4}+KZ_{5}} .$

8. Soit enfin proposée l’équation

$y_{1}+\mathrm {A} y_{2}+\mathrm {B} y_{3}+\mathrm {C} y_{4}+\ldots =\mathrm {X} ,$

où $y_{1},y_{2},y_{3},\ldots$ expriment des termes consécutifs de la suite des $y\,;$ il est d’abord évident que, puisque

$y_{2}=y_{1}+dy_{1},\quad y_{3}=y_{1}+2dy_{1}+d^{2}y_{1},$

et ainsi des autres, cette équation peut être ramenée à la forme de celle

que nous venons d’examiner ; mais, puisque le calcul devient de cette façon trop long, il sera utile de la résoudre directement par les mêmes principes que nous avons employés jusqu’ici. De plus, afin de pouvoir plus aisément appliquer cette équation aux séries récurrentes, il sera mieux de considérer les termes $y_{1},y_{2},y_{3},\ldots$ dans un ordre renversé, savoir que

$y_{2}+dy_{2}=y_{1},\quad y_{3}+dy_{3}=y_{2},$

et ainsi des autres, de sorte que les indices $1,2,3,\ldots$ dénotent la distance de chaque terme au dernier $y_{1}.$ Supposons

$y_{2}=p_{1},\quad {\text{et l’on aura}}\quad y_{3}=p_{2}\,;$

soit donc de nouveau

$p_{2}=q_{1}\quad {\text{et}}\quad p_{3}=q_{2}\,;$

soit encore

$q_{2}=r_{1}\quad {\text{et}}\quad q_{3}=r_{2}=s_{1},$

et l’on aura

$y_{2}=p_{1},\quad y_{3}=q_{1},\quad y_{4}=r_{1},\quad y_{5}=s_{1},\quad y_{6}=s_{2}\,;$

substituant ces valeurs dans la proposée, elle deviendra

$y_{1}+\mathrm {A} p_{1}+\mathrm {B} q_{1}+\mathrm {C} r_{1}+\mathrm {D} s_{1}+\mathrm {E} s_{2}=\mathrm {X} .$

Qu’on réduise à présent les suppositions précédentes en équations, savoir

$p_{1}-y_{2}=0,\quad q_{1}-p_{2}=0,\quad r_{1}-q_{2}=0,\quad s_{1}-r_{2}=0,$

et après les avoir multipliées par les coefficients indéterminés $a,b,c,\ldots ,$ qu’on les ajoute toutes à celle qu’on vient de trouver. Il en résultera la suivante

$\left.{\begin{aligned}y_{1}+&(\mathrm {A} +a)p_{1}+(\mathrm {B} +b)q_{1}+(\mathrm {C} +c)r_{1}+(\mathrm {D} +d)s_{1}\\&-ay_{2}-bp_{2}-cq_{2}-dr_{2}+\mathrm {E} s_{2}\end{aligned}}\right\}=\mathrm {X} .$

Qu’on fasse maintenant que chaque coefficient de la première partie soit multiple de la même manière de son correspondant dans la seconde,

l’on parviendra aux mêmes équations qu’on a trouvées (6), et la quantité $a$ sera déterminée par l’équation

$a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\mathrm {B} a^{3}+\mathrm {C} a_{2}+\mathrm {D} a+\mathrm {E} =0,$

dont on a supposé les racines $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots .$ Donc, si l’on fait

$y_{1}+(\mathrm {A} +a)p_{1}+(\mathrm {B} +b)q_{1}+(\mathrm {C} +c)r_{1}+(\mathrm {D} +d)s_{1}=z_{1},$

l’équation se réduira à

$z_{1}-az_{2}=\mathrm {X} ,$

qui, par une intégration semblable à celle du n^o 3, donnera

$z_{m}=a^{m}\left({\text{const.}}+\int {\frac {\mathrm {X} }{a^{m+1}}}\right),$

où $m$ exprimera le quantième du terme $z_{m}$ dans la suite des $z.$ Or, comme pour $a$ l’on peut substituer chacune des cinq racines $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ de l’équation $a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\ldots =0,$ on aura de même cinq valeurs différentes de $z_{m}$ que nous exprimerons comme ci-dessus par $\mathrm {Z_{1},Z_{2},Z_{3}} ,\ldots \,:$ donc, à cause que

$z_{m}=y_{m}+(\mathrm {A} +a)p_{m}+(\mathrm {B} +b)q_{m}+(\mathrm {C} +c)r_{m}+(\mathrm {D} +d)s_{m},$

on parviendra, en chassant les lettres $p_{m},q_{m},\ldots ,$ à la formule

$y_{m}=\mathrm {FZ_{1}+GZ_{2}+HZ_{3}+IZ_{4}+KZ_{5}} ,$

où $\mathrm {F,G,H} ,\ldots$ sont des constantes qu’on doit déterminer par la comparaison d’autant de termes donnés dans la suite des $y.$

9. Si $\mathrm {X}$ est constant, par ce qu’on a démontré (4), la somme exprimée par $\int {\frac {\mathrm {X} }{a^{m+1}}}$ deviendra égale à $\mathrm {X} {\frac {a^{m}-1}{a^{m}(a-1)}},$ et nommant $\mathrm {L}$ la constante ajoutée à cette intégration, on aura finalement

$\mathrm {Z} =\mathrm {L} a^{m}+\mathrm {X} {\frac {a^{m}-1}{a^{m}(a-1)}},$

d’où l’on tirera par conséquent les valeurs $\mathrm {Z_{1},Z_{2},Z_{3}} ,\ldots ,$ en substituant à la place de $a$ ses valeurs $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots .$

10. De tout ceci l’on peut déduire le théorème général suivant ; si l’on a l’équation

$y_{m}+\mathrm {A} y_{m-1}+\mathrm {B} y_{m-2}+\mathrm {C} y_{m-3}+\mathrm {D} y_{m-4}+\mathrm {E} y_{m-5}+\ldots =\mathrm {X} ,$

où les indices des $y$ dénotent leurs places, que l’on cherche toutes les racines $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\ldots$ de l’équation

$a^{5}+\mathrm {A} a^{4}+\mathrm {B} a^{3}+\mathrm {C} a^{2}+\mathrm {D} a+\mathrm {E} =0,$

et l’on aura généralement

${\begin{aligned}y_{m}=\,&\mathrm {F} a_{1}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{1}^{m+1}}}\right)+\mathrm {G} a_{2}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{2}^{m+1}}}\right)+\mathrm {H} a_{3}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{3}^{m+1}}}\right)\\&+\mathrm {I} a_{4}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{4}^{m+1}}}\right)+\mathrm {K} a_{5}^{m}\left(\mathrm {L} +\int {\frac {\mathrm {X} }{a_{5}^{m+1}}}\right)+\ldots ,\end{aligned}}$

et, dans le cas où $\mathrm {X}$ est constant,

${\begin{aligned}y_{m}&=\mathrm {L} \left(\mathrm {F} a_{1}^{m}+\mathrm {G} a_{2}^{m}+\mathrm {H} a_{3}^{m}+\mathrm {I} a_{4}^{m}+\mathrm {K} a_{5}^{m}+\ldots \right)\\&+\mathrm {X} \left(\mathrm {F} {\frac {a_{1}^{m}-1}{a_{1}-1}}+\mathrm {G} {\frac {a_{2}^{m}-1}{a_{2}-1}}+\mathrm {H} {\frac {a_{3}^{m}-1}{a_{3}-1}}+\mathrm {I} {\frac {a_{4}^{m}-1}{a_{4}-1}}+\mathrm {K} {\frac {a_{5}^{m}-1}{a_{5}-1}}+\ldots \right).\end{aligned}}$

Si $\mathrm {X} =0,$ on pourra supprimer la constante $\mathrm {L} ,$ et l’on aura plus simplement

$y_{m}=\mathrm {F} a_{1}^{m}+\mathrm {G} a_{2}^{m}+\mathrm {H} a_{3}^{m}+\mathrm {I} a_{4}^{m}+\mathrm {K} a_{5}^{m}+\ldots ,$

formule connue pour l’expression du terme général de la suite des $y,$ telle que

$y_{m}+\mathrm {A} y_{m-1}+\mathrm {B} y_{m-2}+\mathrm {C} y_{m-3}+\mathrm {D} y_{m-4}+\mathrm {E} y_{m-5}+\ldots =0,$

ce qui n’est autre chose qu’une suite récurrente, dont l’échelle de relation est $\mathrm {-A-B-C-D-E} -\ldots .$

11. Voilà donc la théorie des suites récurrentes réduite au calcul différentiel, et établie de cette façon sur des principes directs et naturels, au lieu que jusqu’ici elle n’a été traitée que par des voies tout à fait indirectes. De plus, les recherches qu’on a faites sur cette matière ont toujours été bornées au cas de $\mathrm {X} =0,$ et personne, que je sache, n’a jamais entrepris d’examiner généralement les autres cas, où $\mathrm {X}$ est constant ou même variable, ce qui peut néanmoins être de la dernière importance pour la résolution de plusieurs problèmes qui conduisent à de telles équations, dont la doctrine des hasards est principalement remplie, comme je me propose de le faire voir une autre fois en appliquant à cette espèce de calcul la théorie que je viens d’expliquer.