Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin/Recherches sur la méthode De maximis et minimis

Joseph-Louis Lagrange

Recherches sur la méthode De maximis et minimis

Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin, Gauthier-Villars, 1867, Œuvres de Lagrange. Tome I (p. 3-20).

RECHERCHES
SUR LA
MÉTHODE DE MAXIMIS ET MINIMIS.

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(Miscellanea Taurinensia, t. I, 1759.)

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1. Les Géomètres savent depuis longtemps que lorsque la première différentielle d’une variable quelconque disparaît sans que la seconde disparaisse en même temps, elle devient toujours un maximum ou un minimum ; et en particulier elle est un maximum, si sa différentielle seconde est négative, et un minimum, si cette différentielle est positive. Si la différentielle seconde disparaît en même temps que la première, alors la quantité n’est ni un maximum, ni un minimum, à moins que la troisième différentielle ne disparaisse de même, dans lequel cas la proposée deviendra un maximum, si la différentielle quatrième est négative, et un minimum, si elle est positive, et ainsi de suite. En général, pour qu’une quantité soit un maximum ou un minimum, il faut que les ordres successifs des différentielles, qui s’évanouissent ensemble, soient en nombre impair, et alors elle est sûrement un maximum ou un minimum, selon que la différentielle qui suit la dernière évanouissante se trouve négative ou positive. Voyez Maclaurin, Traité des Fluxions, p. 238 et 857.

2. Tout ceci supposé et bien entendu, que $\mathrm {Z}$ représente une fonction algébrique des variables $t,u,x,y,\ldots ,$ et qu’on se propose de la rendre un maximum ou un minimum. Soit, selon les règles ordinaires.

$d\mathrm {Z} =pdt+qdu+rdx+sdy+\ldots ,$

et l’on aura d’abord cette équation

$pdt+qdu+rdx+sdy+\ldots =0.$

Mais comme la relation entre $t,\ u,\ x,\ldots ,$ est encore indéterminée, de même que celle de leurs différentielles $dt,\ du,\ dx,\ldots ,$ et que d’ailleurs l’équation donnée doit être vraie quel que soit leur rapport, il est évident que pour les chasser tout à fait de l’équation, il faut égaler séparément à zéro chaque membre $pdt,\ qdu,\ rdx,\ldots ,$ d’où l’on tire autant d’équations particulières qu’il y a de variables, savoir :

$p=0,\quad q=0,\quad r=0,\ldots .$

Par le moyen de toutes ces équations on trouvera les valeurs de chaque inconnue $t$, $u$, $x,\ldots ,$ qui, substituées dans la fonction proposée $Z$, la rendront un maximum ou un minimum.

3. Passons maintenant à l’examen de la seconde différentielle. En supposant, ce qui est permis, les premières différentielles $dt,\ du,\ dx\ldots ,$ constantes, on aura

$d^{2}\mathrm {Z} =dpdt+dqdu+drdx+dsdy+\ldots$

Soit

${\begin{aligned}dp&=\mathrm {A} dt+\mathrm {B} du+\mathrm {D} dx+\mathrm {G} dy+\ldots \\dq&=\mathrm {B} dt+\mathrm {C} du+\mathrm {E} \,dx+\mathrm {H} dy+\ldots \\dr&=\mathrm {D} dt+\mathrm {E} du+\mathrm {F} \,dx+\,\mathrm {I} \ dy+\ldots \\ds&=\mathrm {G} dt+\mathrm {H} du+\,\mathrm {I} \ dx+\,\mathrm {L} dy+\ldots \end{aligned}}$

ce qui donnera

${\begin{aligned}d^{2}\mathrm {Z} =&\mathrm {A} dt^{2}+2\mathrm {B} dtdu+\mathrm {C} du^{2}+2\mathrm {D} dtdx+2\mathrm {E} dudx\\&+\mathrm {F} dx^{2}+2\mathrm {G} dtdy+2\mathrm {H} dudy+2\mathrm {I} dxdy+\mathrm {L} dy^{2}+\ldots \end{aligned}}$

Pour commencer par le cas le plus simple, supposons qu’il n’y ait qu’une seule variable $t$, de sorte que $d^{2}\mathrm {Z=A} dt^{2}\,;$ on voit d’abord que, puisque $dt^{2}$ est toujours positif, la différentielle $d^{2}\mathrm {Z}$ doit avoir le même signe que la quantité $\mathrm {A} \,;$ donc, si $\mathrm {A}$ est positif, $\mathrm {Z}$ sera un minimum, et si $\mathrm {A}$ est négatif il sera un maximum ; si $\mathrm {A} =0$ on suivra les règles données (1).

4. Les variables contenues dans $\mathrm {Z}$ soient deux, savoir $t$ et $u\ ;$ alors

$d^{2}\mathrm {Z} =\mathrm {A} dt^{2}+2\mathrm {B} dtdu+\mathrm {C} du^{2}.$

Il paraît au premier aspect bien difficile de connaître si cette expression $d^{2}\mathrm {Z}$ doit être positive ou négative, sans qu’on ait le rapport de $dt$ à $du$, qui n’est pas donné ; car, puisqu’en changeant ce rapport la fonction $d^{2}\mathrm {Z}$ doit aussi varier, il semble indubitable qu’elle pourra aussi passer du positif au négatif, et du négatif au positif, pendant que les quantités $\mathrm {A,B,C}$ restent les mêmes. Qu’on donne cependant à la proposée

$\mathrm {A} dt^{2}+2\mathrm {B} dtdu+\mathrm {C} du^{2}$

cette forme

$\mathrm {A} \left(dt+{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}\right)^{2}+\left(\mathrm {C-{\frac {B^{2}}{A}}} \right)du^{2}\,;$

et on verra que, comme les carrés $\left(dt+{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}\right)^{2}$ et $du^{2}$ ont toujours le même signe $+,$ toute la quantité sera nécessairement positive si les deux coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C-{\frac {B^{2}}{A}}}$ sont positifs, et au contraire elle deviendra négative, lorsque ceux-ci seront tous deux négatifs, quel que soit le rapport de $dt$ à $du.$ On aura donc pour le cas du minimum

$\mathrm {A} >0,\quad \mathrm {C-{\frac {B^{2}}{A}}} >0,$

savoir

$\mathrm {C>{\frac {B^{2}}{A}}} \quad {\text{ou}}\quad \mathrm {CA>B} ^{2}$

ce qui donne de même

$\mathrm {C} >0\,;$

à moins donc que les quantités $\mathrm {A,B,C}$ n’aient ces conditions

$\mathrm {A>0,\quad C>0\quad {\text{et}}\quad AC>B^{2}} ,$

la proposée $\mathrm {Z}$ ne pourra pas être un minimum. En second lieu on trouvera pour le maximum

$\mathrm {A<0,\qquad C-{\frac {B^{2}}{A}}} <0,$

savoir

$\mathrm {C<{\frac {B^{2}}{A}}\qquad CA>B^{2}} ,$

puisque $\mathrm {A}$ est négatif, ce qui donne encore

$\mathrm {C} <0\,;$

donc les conditions pour le maximum seront en partie les mêmes, et en partie précisément contraires à celles du minimum.

5. Si $\mathrm {A}$ ou $\mathrm {C} ,$ ou toutes deux sont égales à zéro sans que $\mathrm {B}$ le soit aussi, la condition de $\mathrm {AC>B^{2}}$ ne pourra pas subsister, ainsi la quantité proposée ne deviendra jamais un vrai maximum ou minimum ; la même chose arrivera toutes les fois que $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$ seront de signe contraire, car puisque $\mathrm {B} ^{2}$ est toujours positif la condition de $\mathrm {AC>B^{2}}$ devient impossible. Si $\mathrm {B}$ s’évanouissait encore en même temps que $\mathrm {A}$ ou $\mathrm {C} ,$ $d^{2}\mathrm {Z}$ se trouverait réduite au cas d’une seule variable, et par conséquent pourrait être de nouveau un maximum ou un minimum, ou ni l’un ni l’autre, selon ce qu’on a dit pour le premier cas. \mathrm Enfin, si la quantité $d^{2}\mathrm {Z}$ était toute égale à zéro, savoir

$\mathrm {A} =0,\quad \mathrm {B} =0,\quad \mathrm {C} =0,$

il faudrait recourir à la différentielle troisième ; que si celle-ci se trouve n’être pas égale à zéro, la quantité $Z$ ne peut être ni un maximum ni un minimum ; et au contraire, si elle évanouit en même temps que la seconde, on cherchera tout de suite la quatrième ; et si elle n’est pas évanouissante, il sera facile, par la méthode dont nous nous sommes servi ci-devant, de connaître si elle est positive ou négative, ce qui déterminera de nouveau le maximum ou le minimum.

6. Lorsque les variables sont trois, savoir $t,\,u,\,x,$ la différentielle $d^{2}\mathrm {Z}$ prend cette forme

$d^{2}\mathrm {Z} =\mathrm {A} dt^{2}+2\mathrm {B} dtdu+\mathrm {C} du^{2}+2\mathrm {D} dtdx+2\mathrm {E} dudx+\mathrm {F} dx^{2}$

qu’on réduira d’abord à

$\mathrm {A} \left(dt+{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}+{\frac {\mathrm {D} dx}{\mathrm {A} }}\right)^{2}+\mathrm {\left(C-{\frac {B^{2}}{A}}\right)+2\left(E-{\frac {BD}{A}}\right)} dudx+\left(\mathrm {F-{\frac {D^{2}}{A}}} \right)dx^{2}.$

Soit posé

$\mathrm {C-{\frac {B^{2}}{A}}} =a,\quad \mathrm {E-{\frac {BD}{A}}} =b,\quad \mathrm {F-{\frac {D^{2}}{A}}} =c,$

Et on aura

$d^{2}\mathrm {Z} =\mathrm {A} \left(dt+{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}+{\frac {\mathrm {D} dx}{\mathrm {A} }}\right)^{2}+adu^{2}+2bdudx+cdx^{2}\,;$

qu’on opère à présent sur ces trois derniers membres, comme on a fait ci-dessus (4), et toute la différentielle proposée $d^{2}\mathrm {Z}$ deviendra

$\mathrm {A} \left(dt+{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}+{\frac {\mathrm {D} dx}{\mathrm {A} }}\right)^{2}+a\left(du+{\frac {bdx}{a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{a}}\right)dx^{2}\,;$

or, les carrés $\left(dt+{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}+{\frac {\mathrm {D} dx}{\mathrm {A} }}\right)^{2},$ $\left(du+{\frac {bdx}{a}}\right)^{2}$ et $dx^{2}$ étant toujours positifs, toute la différentielle sera de même positive si les coefficients $\mathrm {A} ,$ $a$ et $c-{\frac {b^{2}}{a}}$ ont chacun le signe $+\ ;$ on a donc pour le minimum les conditions suivantes

$\mathrm {A} >0,\quad a>0,\quad ca>b^{2},$

ou, en remettant au lieu de $a,b,c$ leurs valeurs,

$\mathrm {A>0,\quad C-{\frac {B^{2}}{A}}>0,\quad \left(C-{\frac {B^{2}}{A}}\right)\left(F-{\frac {D^{2}}{A}}\right)>\left(E-{\frac {BD}{A}}\right)^{2}} ,$

savoir

$\mathrm {A>0,\quad CA>B^{2}\quad {\text{et}}\quad \left(CA-B^{2}\right)\left(FA-D^{2}\right)>\left(EA-BD\right)^{2}} ,$

d’où il résulte encore

$\mathrm {C} >0,\quad \mathrm {F} >0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {F} \mathrm {A} >\mathrm {D} ^{2}.$

On trouvera par les mêmes principes pour le maximum

$\mathrm {A} <0,\quad \mathrm {CA} >\mathrm {B} ^{2}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {(CA-B^{2})(FA-D^{2})>(EA-BD)^{2}} ,$

et par conséquent

$\mathrm {C} <0,\quad \mathrm {F} <0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {FA>D^{2}} .$

7. Si les quantités $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$ évanouissent seules, ou toutes deux, ou une simplement, la seconde condition devient impossible ; si c’est $\mathrm {F}$ qui évanouit, alors la troisième devient impossible ; car $\mathrm {(CA-B^{2})(-D^{2})} ,$ qui est nécessairement négatif à cause de $\mathrm {CA>B^{2}} ,$ doit toujours se trouver moindre de $\mathrm {(EA-BD)^{2}} ,$ d’où il suit que $\mathrm {Z}$ ne saurait être un maximum ou un minimum, si $\mathrm {A,C,F}$ prises séparément ou ensemble, comme on voudra, sont égales à zéro. Si par l’évanouissement des termes la différentielle $d^{2}\mathrm {Z}$ se réduisait à deux variables, ou à une seulement, elle tomberait dans le second cas ou dans le premier, et on devrait suivre les règles données (3 et suiv.). Enfin, si toute la $d^{2}\mathrm {Z}$ se trouvait égale à zéro, et que la différentielle troisième ne fût pas de même égale à zéro, on serait sûr que la proposée $\mathrm {Z}$ ne pourrait jamais devenir ni un maximum, ni un minimum ; et quand cette différentielle troisième évanouirait avec la seconde, par des transformations semblables à celles que nous avons pratiquées, on pourrait dans la quatrième différentielle distinguer le cas du minimum et du maximum et ceux qui sont inutiles.

8. On peut étendre la même théorie aux fonctions de quatre ou plus variables. Quiconque aura bien saisi l’esprit des réductions que j’ai employées jusqu’ici, pourra sans peine découvrir celles qui conviendront à chaque cas particulier. Au reste, pour ne pas se méprendre dans ces recherches, il faut remarquer que les transformées pourraient bien venir différentes de celles que nous avons données ; mais en examinant la chose de plus près, on trouvera infailliblement que, quelles qu’elles soient, elles pourront toujours se réduire à celles-ci, ou au moins y être comprises.

9. Comme je crois cette théorie entièrement nouvelle, il ne sera peut-être pas inutile d’ajouter les réflexions suivantes. Quel que soit le nombre des variables qui entrent dans la fonction proposée $\mathrm {Z}$, si on les regarde chacune en particulier, et qu’on cherche le maximum ou minimum qui lui convient pendant que toutes les autres demeurent les mêmes, on trouvera à part les premières différentielles $pdt,qdu,rdx,\ldots ,$ dont chacune étant égalée à zéro nous donnerait les mêmes équations que ci-dessus (2)

$p=0,\quad q=0,\quad r=0,\ldots .$

De la même manière passant aux différentielles secondes, on trouverait celles-ci séparément $\mathrm {A} dt^{2},\mathrm {C} du^{2},\mathrm {F} dx^{2},\mathrm {L} dy^{2}$ et par conséquent si $\mathrm {A,G,F,L} ,\ldots$ sont toutes positives ou négatives, on pourrait croire que cela suffit pour que les valeurs de $t,u,x,\ldots ,$ tirées des équations $p=0$, $q=0,\ldots ,$ rendent nécessairement la proposée $\mathrm {Z}$ un minimum ou un maximum. Il est vrai, en effet, que par rapport à chacune de ces variables considérées à part, la quantité donnée $\mathrm {Z}$ devra toujours être la plus grande ou la plus petite ; mais est-il certain que ce qui vaut pour chacune prise séparément doive aussi valoir pour toutes ensemble ? Examinons la chose plus intimement.

10. Que la proposée $\mathrm {Z}$ contienne les seules variables $t$ et $u$, et on pourra la regarder comme l’ordonnée à une surface, dont $t$ et $u$ sont les deux autres ; donc la question dans ce cas se réduit à trouver la plus grande ou la plus petite ordonnée d’une surface dont l’équation est donnée, savoir

$d\mathrm {Z} =pdl+qdu.$

Si l’on fait $u$ constant, elle se réduit d’abord à

$d\mathrm {Z} =pdt,$

et dans ce cas elle exprime toutes les sections de la même superficie parallèles à l’axe des $t,$ à mesure que la quantité $u$ reçoit des valeurs différentes. Soit donc posé $p=0,$ et on aura (2) une valeur de $t$ qui donnera la plus grande ou la plus petite ordonnée $\mathrm {Z}$ dans chacune de ces sections parallèles ; mais, puisque $u$ est constant, si l’on différence de nouveau $d\mathrm {Z} ,$ on a

$d^{2}\mathrm {Z=A} dt^{2},$

et par conséquent on jugera du maximum ou minimum par la seule valeur de $\mathrm {A} ,$ après y avoir cependant substitué à la place de t la valeur que fournit l’équation $p=0.$ Savoir si $\mathrm {A}$ se trouve positive ou négative, quelle que soit la valeur de $u,$ ou bien si, en changeant $u,$ elle peut aussi changer de signe, on conclura dans le premier cas que toutes lesdites sections ont un maximum ou un minimum, et dans le second qu’elles ont entre certaines limites un maximum, entre d’autres un minimum. Si $\mathrm {A}$ est égal à zéro, quelle que soit la valeur de la constante $u,$ alors aucune desdites sections n’aura ni un maximum ni un minimum. Mais, si $\mathrm {A}$ devient seulement égal à zéro, lorsque $u$ a de certaines valeurs données, dans ces cas seulement les sections correspondantes seront destituées du maximum ou du minimum. Le lieu de toutes ces ordonnées qui sont un maximum ou un minimum, ou ni l’un ni l’autre, sera contenu dans l’équation $p=0,$ en ayant égard à la seule variabilité de $u\,;$ elles formeront donc dans la même superficie une section qui sera à simple ou à double courbure, et qui sera déterminée par les deux équations conjointes

$d\mathrm {Z} =pdt+qdp\quad {\text{et}}\quad p=0,$

ou

$d\mathrm {Z} =qdu\quad {\text{et}}\quad p=0$.

On voit par là que, pour trouver le maximum ou le minimum de la surface entière, il faudra chercher la plus grande ou la plus petite ordonnée qui convient à cette même section ; on aura donc de nouveau

$q=0,$

ce qui donnera la valeur de l’autre variable $u.$

11. Passons maintenant à la différentielle de $q\,;$ elle a été d’abord supposée (3) égale à $\mathrm {B} dt+\mathrm {C} du\,;$ mais puisque dans ce cas $t$ est déterminé par $u$ dans l’équation $p=0,$ ou bien dans sa différentielle $\mathrm {A} dt+\mathrm {B} du=0,$ $dt$ est égal à $-{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }},$ ce qui rend

$dq=\mathrm {\left(-{\frac {B^{2}}{A}}+C\right)} du\,;$

il résulte donc que si $\mathrm {-{\frac {B^{2}}{A}}+C}$ est positif, savoir si $\mathrm {C>{\frac {B^{2}}{A}}} ,$ l’ordonnée sera la moindre ; si $\mathrm {C<{\frac {B^{2}}{A}}} ,$ elle sera la plus grande, et si $\mathrm {C={\frac {B^{2}}{A}}} ,$ elle ne sera ni l’une ni l’autre, à moins que les conditions requises dans les différentielles des genres plus élevés ne soient remplies. Or, en réfléchissant sur ces maximum et minimum, il sera aisé de comprendre que l’ordonnée $\mathrm {Z}$ ne pourra pas être un maximum entre toutes les autres, à moins qu’elle ne soit la plus grande de toutes celles qui sont contenues dans la section déterminée par $d\mathrm {Z} =qdu,$ et de plus que toutes les ordonnées qui composent cette même section ne soient encore elles-mêmes des maximum dans les sections parallèles correspondantes (10). On prouvera de même que la quantité $\mathrm {Z}$ ne saurait être absolument un minimum sans qu’elle soit de même un minimum dans la section qui contient tous les minimum. Car dans tous les autres cas l’ordonnée serait ou la plus grande ou la plus petite d’entre celles qui ne sont ni les plus grandes ni les plus petites, ou bien entre les plus grandes ou les plus petites, elle ne serait ni la plus grande ni la plus petite, ou enfin elle serait la plus grande d’entre les plus petites, ou au contraire, ce qui ne donne pas un vrai maximum ou minimum comme on cherche. De tout ceci je conclus donc qu’après avoir tiré des équations $p=0,$ $q=0,$ les valeurs de $t$ et $u,$ et les avoir substituées dans $\mathrm {A}$ et dans $\mathrm {C-{\frac {B^{2}}{A}}} ,$ il faut, pour que $\mathrm {Z}$ soit un vrai maximum, que $\mathrm {A}$ soit négatif et

$\mathrm {C<{\frac {B^{2}}{A}}} ,\quad {\text{savoir}}\quad \mathrm {CA>B^{2}} \,;$

et au contraire, si $\mathrm {Z}$ doit être un vrai minimum, on doit trouver $\mathrm {A}$ positif et

$\mathrm {C>{\frac {B^{2}}{A}}} \quad {\text{ou}}\quad \mathrm {CA>B^{2}} ,$

conformément à la théorie générale expliquée (4 et suiv.).

12. Si, au lieu de considérer d’abord $u$ constant et $t$ variable, on avait fait $u$ variable et $t$ constant, on serait parvenu aux déterminations suivantes

$\mathrm {C<0\quad {\text{et}}\quad AC>B^{2}}$

pour le maximum, et

$\mathrm {C>0\quad {\text{et}}\quad AC>B^{2}}$

pour le minimum, ce qui revient au même. Au reste, cette méthode que nous venons d’employer pour découvrir les conditions des maximum et minimum dans les fonctions à deux seules changeantes, est également applicable à toutes les autres fonctions plus composées, elle a même l’avantage d’être plus analytique et plus directe que la première, c’est pourquoi je tâcherai ici de la développer dans toute sa généralité.

13. Soient les variables contenues dans $\mathrm {Z}$ en tel nombre qu’on voudra ; je ne considère d’abord qu’une variable seule, et je tire par la différentiation l’équation pour le maximum ou minimum qui lui convient ; puis en passant à la différentielle seconde, je trouve les conditions qui déterminent la proposée à être un maximum ou un minimum, ou ni l’un ni l’autre. Après cette première opération, je substitue dans $\mathrm {Z}$ ou dans ses différentielles simplement la valeur de la première variable trouvée, et je procède sur une autre variable de la même manière ; ensuite, mettant de nouveau dans la fonction proposée $\mathrm {Z}$ la valeur qu’on aura trouvée pour cette seconde variable, on passera à l’examen d’une troisième variable, et ainsi de suite, etc. Soit $t$ la première variable qu’on veut considérer dans $\mathrm {Z}$, et on aura

$d\mathrm {Z} =pdt\quad {\text{et}}\quad d^{2}\mathrm {Z=A} dt^{2}$

d’où $p=0,$ et $\mathrm {A} >0$ pour le minimum, $\mathrm {A} <0$ pour le maximum (1). Que $t$ et $u$ soient à présent toutes deux variables, il en résultera

$d\mathrm {Z} =pdt+qdu,$

qui, à cause de $p=0,$ se réduit à

$d\mathrm {Z} =qdu,$

d’où l’on tire

$d^{2}\mathrm {Z} =(\mathrm {B} dt+\mathrm {C} du)du\,;$

mais puisque $p=0,$ $dp$ le sera aussi, et par conséquent

$\mathrm {A} dt+\mathrm {B} du=0,$

ce qui donne

$dt=-{\frac {\mathrm {B} du}{\mathrm {A} }}\,;$

cette valeur substituée dans $d^{2}\mathrm {Z}$ la changera en

$d^{2}\mathrm {Z=\left(-{\frac {B^{2}}{A}}+C\right)} du^{2},$

j’aurai donc $q=0$ et

$\mathrm {-{\frac {B^{2}}{A}}+C} >0$

pour le minimum, et

$\mathrm {-{\frac {B^{2}}{A}}+C} <0$

pour le maximum, savoir, puisque $\mathrm {A}$ est positif dans le premier cas et négatif dans le second, en multipliant par $\mathrm {A} ,$ il résultera toujours la même condition de $\mathrm {AC>B^{2}} .$ Si, outre les deux précédentes, il y a encore une troisième variable $x$ à considérer, je cherche la valeur de $d\mathrm {Z}$ eu égard à ces trois variables $t,u,x,$ et je trouve

$d\mathrm {Z} =pdt+qdu+rdx,$

ce qui, à cause, de $p=0,$ $q=0,$ se change en

$d\mathrm {Z} =rdx\,;$

donc la différentielle seconde sera

$d^{2}\mathrm {Z} =(\mathrm {D} dt+\mathrm {E} du+\mathrm {F} dx)dx.$

À présent, par le moyen des équations

$p=0,\quad q=0,$

ou bien de leurs différentielles

$\mathrm {A} dt+\mathrm {B} du+\mathrm {D} dx=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {B} dt+\mathrm {C} du+\mathrm {E} dx=0,$

je cherche des valeurs de $dt$ et $du$ en $dx,$ et je trouve

$dt=\mathrm {\frac {BE-CD}{AC-B^{2}}} dx,\quad du=\mathrm {\frac {BD-AE}{AC-B^{2}}} dx\,;$

je les substitue dans l’expression de $d^{2}\mathrm {Z} ,$ ce qui me donne

$d^{2}\mathrm {Z=\left({\frac {BE-CD}{AC-B^{2}}}D+{\frac {BD-AE}{AC-B^{2}}}E+F\right)} dx^{2}.$

Il résulte donc en premier lieu pour le maximum ou minimum

$r=0\,;$

ensuite

$\mathrm {{\frac {BE-CD}{AC-B^{2}}}D+{\frac {BD-AE}{AC-B^{2}}}E+F>0}$

pour le minimum, et $<0$ pour le maximum ; ou bien, en ôtant le dénominateur $\mathrm {AC-B^{2}}$ qui est toujours positif, on a

$\mathrm {2BDE-CD^{2}-AE^{2}-FB^{2}+ACF>0}$

pour le minimum, et $<0$ pour le maximum. Soit multipliée cette expression par $\mathrm {A}$, qui est positif dans le premier cas et négatif dans le second, et on aura

$\mathrm {2ABDE-ACD^{2}-A^{2}E^{2}-AB^{2}F+A^{2}CF>0} ,$

soit pour le maximum, soit pour le minimum, savoir

$\mathrm {(CA-B^{2})(FA-D^{2})>(EA-BD)^{2}} .$

On suivra le même procédé pour un plus grand nombre de variables.

14. Cette méthode, étant générale pour quelque nombre de variables que ce soit, ne sera pas bornée aux seules fonctions algébriques, mais pourra encore s’étendre avec succès aux maximum et minimum qui sont d’un genre plus élevé et qui appartiennent à des formules intégrales indéfinies. Je me réserve de traiter ce sujet, que je crois d’ailleurs entièrement nouveau, dans un ouvrage particulier que je prépare sur cette matière, et dans lequel, après avoir exposé la méthode générale et analytique pour résoudre tous les problèmes touchant ces sortes de maximum ou minimum, j’en déduirai, par le principe de la moindre quantité d’action, toute la mécanique des corps soit solides, soit fluides.

15. Je finirai ce Mémoire par quelques exemples des plus simples qui éclaircissent la théorie qu’on vient d’établir. Soient tant de corps qu’on voudra parfaitement élastiques et rangés en ligne droite sans se toucher ; supposons que le premier vienne choquer le second avec une vitesse donnée $c$, le second avec la vitesse acquise du premier choque le troisième, et ainsi de suite ; les masses du premier et du dernier étant données, on demande celles des corps intermédiaires, afin que le dernier reçoive la plus grande vitesse possible. Soit $a$ la masse du premier, et $b$ celle du dernier ; soient ensuite $t,u,x,y,\ldots$ les masses intermédiaires inconnues ; par les lois du choc on trouvera la vitesse communiquée par le premier corps $a$ au second $t$ égale à ${\frac {2ac}{a+t}}$ celle que donne celui-ci au troisième $u$ égale à ${\frac {2.2act}{(a+t)(t+u)}}$ et ainsi de suite ; donc la vitesse que recevra le dernier $b$ sera exprimée par

${\frac {2\ldots 2catuxy\ldots b}{(a+t)(t+u)(u+x)(x+y)\ldots }},$

expression qui doit devenir un maximum. Pour en trouver plus aisément la différentielle, qu’on la suppose égale à $\mathrm {Z}$, et prenant les logarithmes d’une part et de l’autre, on trouvera

$l2\ldots 2ca+lt+lu+lx+ly+\ldots$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	$=l\mathrm {Z} .$
$\qquad -l(a+t)-l(t+u)-l(u+x)-l(x+y)-\ldots$

ce qui donne par la différentiation

${\frac {dt}{t}}+{\frac {du}{u}}+{\frac {dx}{x}}+{\frac {dy}{y}}+\ldots$

$+\ldots -{\frac {dt}{a+t}}-{\frac {dt+du}{t+u}}-{\frac {du+dx}{u+x}}-{\frac {dx+dy}{x+y}}-\ldots ={\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} }}\ ;$

d’où, en mettant ensemble et réduisant au même dénominateur les termes affectés des mêmes différentielles, l’on tire

$d\mathrm {Z} ={\frac {\mathrm {Z} (au-t^{2})dt}{t(a+t)(t+u)}}+{\frac {\mathrm {Z} (tx-u^{2})du}{u(t+u)(u+x)}}+{\frac {\mathrm {Z} (uy-x^{2})dx}{x(u+x)(x+y)}}+\ldots$

On aura donc en premier lieu pour le maximum ou minimum les équations suivantes

$au=t^{2},\quad tx=u^{2},\quad uy=x^{2},\ldots ,$

qui donnent les analogies

$a:t=t:u,\quad t:u=u:x,\quad u:x=x:y,\ldots .,$

savoir

${\overset {.\ .}{\overline {..}}}\ a:t:u:x:y\ldots b\ ;$

d’où l’on voit que toutes les masses doivent constituer une progression

géométrique, dont les deux extrêmes sont les données $a$ et $b$. Pour juger à présent du maximum ou minimum, soit fait d’abord, pour abréger,

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {Z} }{t(a+t)(t+u)}}&=\alpha ,\\{\frac {\mathrm {Z} }{u(t+u)(u+x)}}&=\beta ,\\{\frac {\mathrm {Z} }{x(u+x)(x+y)}}&=\gamma ,\end{aligned}}$

....................,

on aura

${\begin{aligned}p&=\alpha (au-t^{2}),\\q&=\beta (tx\ -u^{2}),\\r&=\gamma (uy\,-x^{2}),\end{aligned}}$

............;

donc

${\begin{aligned}dp&=(au-t^{2})d\alpha \,+\alpha (adu-2tdt)\\dq&=(t\,x-u^{2})d\beta +\beta (xdt\ +tdx\,-2udu)\\dr&=(uy-x^{2})d\gamma -\gamma (ydx\ +udy-2xdx)\end{aligned}}$

.........................................

Or, comme les termes $a,t,u,x,y,\ldots$ doivent être en progression continue, si l’on nomme $1:m$ la raison constante d’un antécédent quelconque à son conséquent, on trouve

$t=ma,\quad u=m^{2}a,\quad x=m^{3}a,\quad y=m^{4}a,\ldots ,$

de plus

$\beta ={\frac {\alpha }{m^{3}}},\quad \gamma ={\frac {\alpha }{m^{6}}},\ldots ,$

lesquelles valeurs substituées dans les expressions précédentes les réduiront à

${\begin{aligned}dp&=\alpha a\ \ (\ du\ -2mdt),\\dq&=\alpha a\left(\ \ dt\ -{\frac {2du}{m}}+{\frac {dx}{m^{2}}}\right),\\dr&=\alpha a\left({\frac {du}{m^{2}}}-{\frac {2dx}{m^{3}}}+{\frac {dy}{m^{4}}}\right),\end{aligned}}$

et ainsi des autres. On aura donc

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {A} =&-2m\alpha a,\quad &\mathrm {B} =&\alpha a,\quad &\mathrm {C} =&-{\frac {2\alpha a}{m}},\quad &\mathrm {D} =&0,\quad &\mathrm {E} =&{\frac {\alpha a}{m^{2}}},\\\mathrm {F} =&-{\frac {2\alpha a}{m^{3}}},&\mathrm {G} =&0,&\mathrm {H} =&0,&\mathrm {I} =&{\frac {\alpha a}{m^{4}}},&\ldots .\end{alignedat}}$

On voit par là en premier lieu que $\mathrm {A}$ est négatif, et que par conséquent la proposée doit être un maximum si les autres conditions se trouvent remplies. Or

$\mathrm {AC} =4\alpha ^{2}a^{2}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {B} ^{2}=\alpha ^{2}a^{2},$

donc

1^o$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {AC>B^{2}} \,;$

$\mathrm {AC-B^{2}} =3\alpha ^{2}a^{2},\quad \mathrm {FA-D^{2}} ={\frac {4\alpha ^{2}a^{2}}{m^{2}}},\quad \mathrm {EA-BD} =-{\frac {2\alpha ^{2}a^{2}}{m}},$

donc

$\mathrm {\left(AC-B^{2}\right)\left(FA-D^{2}\right)} ={\frac {12\alpha ^{4}a^{4}}{m^{2}}},\quad {\text{et}}\quad \mathrm {(EA-BD)^{2}} ={\frac {4\alpha ^{4}a^{4}}{m^{2}}},$

et par conséquent

2^o$\qquad \qquad \qquad \mathrm {\left(AC-B^{2}\right)\left(FA-D^{2}\right)>(EA-BD)^{2}} .$

S’il n’y a que deux masses intermédiaires $t$ et $u$, il suffit d’avoir égard à la première de ces conditions ; s’il y en a trois, il faut encore considérer la seconde ; s’il y en avait plusieurs autres, il faudrait avoir recours à autant de conditions qu’il y a de variables. Au reste, dans ce problème, on les trouvera toutes remplies si on veut bien prendre la peine de pousser plus loin le calcul ; de sorte qu’on peut franchement assurer que, lorsque les masses intermédiaires, quel que soit leur nombre, sont telles qu’elles forment une progression géométrique entre les deux extrêmes données, la vitesse que reçoit la dernière par leur moyen est toujours la plus grande possible. Ce problème a été traité par M. Huyghens, le premier, et depuis par beaucoup d’autres Géomètres ; mais sans avoir aucunement égard aux nouvelles déterminations, que nous avons cependant trouvées nécessaires pour s’assurer de l’existence du maximum ou minimum.

16. Soit l’équation générale pour les surfaces de second ordre

$z^{2}=ax^{2}+2bxy+cy^{2}-ex-fy\ ;$

qu’on se propose de trouver le point où l’ordonnée $z$ est la plus grande ou la plus petite ; on aura, en différentiant,

$2zdz=2axdx+2bydx+2bxdy+2cydy-edx-fdy,$

ce qui fournit d’abord les deux équations suivantes

${\begin{aligned}ax+by&={\frac {e}{2}},\\cy+bx&={\frac {f}{2}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}x&={\frac {ec-fb}{2(ac-b^{2})}},\\y&={\frac {eb-fa}{2(ac-b^{2})}},\end{aligned}}$

Différentions de nouveau la différentielle trouvée, et on aura, puisque $dz=0$,

$2zd^{2}z=2adx^{2}+4bdxdy+2cdy^{2}$

où les quantités $x$, $y$ ne se trouvent plus. Or, afin que l’ordonnée $z$ soit un vrai maximum ou minimum, il faut que $a$ et $c$ soient toutes deux négatives dans le premier cas, et toutes deux positives dans le second ; de plus, il faut encore que $ca>b^{2}$, car sans cela les valeurs trouvées pour les ordonnées $x$ et $y$ ne donneraient jamais ni un maximum, ni un minimum ; en effet, toutes les fois que $ca$ n’est pas plus grand que $b^{2}$, le célèbre M. Euler a démontré par une autre voie, dans l’Appendice à l’Introduction à l’Analyse des infiniment petits, que la surface proposée s’étend à l’infini et qu’elle a une asymptote conique. Il paraît donc clairement que la méthode pour déterminer les maximum et minimum. quand il y a plusieurs variables, en ne les regardant qu’une à la fois, peut souvent être très-fautive. Car, par exemple, dans le cas précédent, en traitant d’abord $x$ comme variable, on trouve la différentielle première $2\left(ax+by-{\frac {e}{2}}\right)dx,$ et la seconde $2adx^{2}\,;$ de même, en faisant varier $y$, on a pour la différentielle première $2\left(cy+bx-{\frac {f}{2}}\right)dy,$ et pour la seconde $2cdy^{2}.$ Or les deux différentielles premières posées égales à zéro donnent les mêmes équations qu’on a trouvées, et les deux secondes font voir que si $a$ et $c$ sont toutes deux positives ou toutes deux négatives, l’ordonnée $z$ est un maximum ou un minimum, si on a simplement égard à la variabilité des $x$ et $y$ considérées séparément ; mais on n’est pas en droit de conclure pour cela que $z$ soit un maximum ou un minimum, par rapport à toutes deux ensemble, comme on vient de le voir.