Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin/Solution de différents Problèmes de Calcul intégral

Joseph-Louis Lagrange

Solution de différents Problèmes de Calcul intégral

Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin, Gauthier-Villars, 1867, Œuvres de Lagrange. Tome I (p. 471-668).

SOLUTION
DE
DIFFÉRENTS PROBLÈMES
DE
CALCUL INTÉGRAL.

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(Miscellanea Taurinensia, t. III, 1762-1765.)

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Sur l’intégration de l’équation

(A)

$\mathrm {L} y+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {P} {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+\cdots =\mathrm {T} ,$

dans laquelle $\mathrm {L,M,N,\ldots ,T}$ sont des fonctions de $t.$

1. Je multiplie cette équation par $zdt,$ $z$ étant une variable indéterminée ; j’en prends l’intégrale, j’ai

$\int \mathrm {L} zydt+\int \mathrm {M} z{\frac {dy}{dt}}dt+\int \mathrm {N} z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}dt+\int \mathrm {P} z{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}dt+\ldots =\int \mathrm {T} zdt\;;$

je change les expressions

$\int \mathrm {M} z{\frac {dy}{dt}}dt,\quad \int \mathrm {N} z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}dt,\quad \int \mathrm {P} z{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}dt\ldots ,$

en leurs égales

$\mathrm {M} zy-\int {\frac {d\mathrm {M} z}{dt}}ydt\;,$

${\begin{aligned}&\mathrm {N} z{\frac {dy}{dt}}-{\frac {d\mathrm {N} z}{dt}}y+\int {\frac {d^{2}\mathrm {N} z}{dt^{2}}}ydt,\\&\mathrm {P} z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {d\mathrm {P} z}{dt}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} z}{dt^{2}}}y-\int {\frac {d^{3}\mathrm {P} z}{dt^{3}}}ydt,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

j’ai, en ordonnant les termes par rapport à $y,$

${\begin{aligned}y&\left(\mathrm {M} z-{\frac {d\mathrm {N} z}{dt}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} z}{dt^{2}}}-\ldots \right)\\&+{\frac {dy}{dt}}\left(\mathrm {N} z-{\frac {d\mathrm {P} z}{dt}}+\ldots \right)+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}(\mathrm {P} z-\ldots )+\ldots \\&+\int \left(\mathrm {L} z-{\frac {d\mathrm {M} z}{dt}}+{\frac {d^{2}\mathrm {N} z}{dt^{2}}}-{\frac {d^{3}\mathrm {P} z}{dt^{3}}}+\ldots \right)ydt=\int \mathrm {T} zdt.\end{aligned}}$

Soit maintenant

(B)

$\mathrm {L} z-{\frac {d\mathrm {M} z}{dt}}+{\frac {d^{2}\mathrm {N} z}{dt^{2}}}-{\frac {d^{3}\mathrm {P} z}{dt^{3}}}+\ldots =0,$

et l’équation précédente se réduira à celle-ci

(C)

$\left\{{\begin{aligned}y&\left(\mathrm {M} z-{\frac {d\mathrm {N} z}{dt}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} z}{dt^{2}}}-\ldots \right)\\&+{\frac {dy}{dt}}\left(\mathrm {N} z-{\frac {d\mathrm {P} z}{dt}}+\ldots \right)+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}(\mathrm {P} z-\ldots )+\ldots =\int \mathrm {T} zdt,\end{aligned}}\right.$

laquelle est d’un ordre moins élevé d’une unité que l’équation proposée (A).

2. Donc : 1^o si l’on peut trouver une valeur de $z,$ laquelle satisfasse à l’équation (B), on aura tout de suite l’intégrale de l’équation proposée (A), en mettant cette valeur dans l’équation (C) ; 2^o si l’on avait deux valeurs différentes de $z,$ lesquelles satisfissent également à l’équation (B), on aurait, par la substitution successive de ces valeurs dans l’équation (C), deux intégrales de l’équation (A), à l’aide desquelles on éliminerait la plus haute différentielle de $y,$ et l’équation résultante serait l’intégrale seconde de la proposée (j’entends par intégrale première, ou intégrale simplement, une équation qui est d’un ordre moins élevé d’une unité que la proposée ; par intégrale seconde, une équation qui est d’un ordre moins élevé de deux unités, et ainsi de suite) ; 3^o de même, si l’on avait trois valeurs différentes de $z,$ on trouverait trois équations intégrales ; d’où, éliminant les deux plus hautes différentielles de $y,$ on aurait une équation qui serait l’intégrale troisième de la proposée, et ainsi de suite. D’où il est aisé de conclure, qu’en connaissant un nombre de valeurs de $z$ égal à celui de l’exposant de l’ordre de l’équation (A), on pourra trouver l’intégrale finie et algébrique de cette même équation.

3. Qu’on multiplie l’équation (B) par $ydt,$ et qu’on en prenne l’intégrale, en faisant disparaître de dessous le signe $\int$ toutes les différences de $z,$ par des intégrations par parties, comme nous l’avons pratiqué sur l’équation (A), on aura, en changeant les signes,

${\begin{aligned}y&\left(\mathrm {M} z-{\frac {d\mathrm {N} z}{dt}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} z}{dt^{2}}}-\ldots \right)\\&+{\frac {dy}{dt}}\left(\mathrm {N} z-{\frac {d\mathrm {P} z}{dt}}+\ldots \right)+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}(\mathrm {P} z-\ldots )+\ldots \\&-\int \left(\mathrm {L} y+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {P} {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+\ldots \right)zdt=\mathrm {const} .\end{aligned}}$

Donc, si l’on fait

(D)

$\mathrm {L} y+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {P} {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+\ldots =0,$

et qu’on ordonne l’équation restante par rapport à $z,$ on aura

(E)

$\left\{{\begin{aligned}z\left[\left(\mathrm {M} -{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}-\ldots \right)y+\left(N-{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\ldots \right){\frac {dy}{dt}}\right.\quad &\\\left.+(\mathrm {P} -\ldots ){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots \right]&\\-{\frac {dz}{dt}}\left[\left(\mathrm {N} -2{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\ldots \right)y+(\mathrm {P} -\ldots ){\frac {dy}{dt}}+\ldots \right]&\\+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\left[(\mathrm {P} -\ldots )y+\ldots \right]-\ldots &=\mathrm {const} .\end{aligned}}\right.$

4. Donc, si l’on peut trouver une valeur de $y$ qui satisfasse à l’équation (D), on aura l’intégrale première de l’équation (B) ; si l’on a deux valeurs différentes de $y,$ qui satisfassent à la même équation (D), on aura l’intégrale seconde de l’équation (B), et ainsi de suite ; de sorte que, si l’on connaissait un nombre de valeurs de $y$ égal à celui de l’exposant de l’équation (B), on pourrait trouver (2) l’intégrale finie et algébrique de cette même équation.

5. Cette dernière intégrale contiendra, comme on voit, autant de constantes arbitraires qu’il y a d’unités dans l’exposant de l’ordre de l’équation différentielle (B) ; car les équations (E), d’où elle résulte, contiennent chacune une constante arbitraire. Donc, si l’on fait successivement toutes ces constantes, moins une, égales à zéro, on aura autant d’intégrales particulières, et par conséquent autant de valeurs différentes de ; qu’il y a d’unités dans l’exposant de l’ordre de l’équation (B) ; or il est facile de voir que cette équation est du même ordre que l’équation (A) (1) ; donc on trouvera aussi l’intégrale finie et algébrique de cette dernière équation (2).

6. Donc l’équation (A), savoir

$\mathrm {L} y+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {P} {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+\ldots =\mathrm {T} ,$

sera intégrable algébriquement toutes les fois qu’on aura $m$ valeurs de $y$ en $t$ dans le cas de $\mathrm {T} =0,$ $m$ étant l’exposant de l’ordre de cette équation.

7. Si l’on ne connaissait que $m-1$ valeurs de $y,$ dans le cas de $\mathrm {T} =0,$ on pourrait néanmoins trouver l’intégrale algébrique de l’équation (A), car on aurait dans ce cas $m-1$ équations (E) ; d’où, éliminant les plus hautes différences de $z,$ on parviendrait à une équation de cette forme $\mathrm {V} z+\mathrm {X} {\frac {dz}{dt}}=\mathrm {Y} \,;$ $\mathrm {V,X}$ et $\mathrm {Y}$ étant des fonctions de $t,$ laquelle donnerait

$z=e^{-\int \mathrm {\frac {V}{X}} dt}\left(\mathrm {const} .+\int {\frac {\mathrm {Y} e^{\int \mathrm {\frac {V}{X}} dt}}{\mathrm {X} }}dt\right)\,;$

donc, etc.

8. Donc l’équation (A) sera aussi intégrable algébriquement, toutes les fois qu’on aura $m-1$ valeurs de $y$ dans le cas de $\mathrm {T} =0.$

9. Si les valeurs connues de $y$ n’étaient qu’au nombre de $m-2,$ alors il faudrait, pour avoir les $m$ valeurs de $z,$ intégrer une équation de cette forme

$\mathrm {V} z+\mathrm {X} {\frac {dz}{dt}}+\mathrm {Y} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=\mathrm {Z} ,$

laquelle n’est intégrable que dans quelques cas particuliers, et ainsi de suite.

10. Au reste, si l’on ne connaissait pas d’avance les valeurs particulières de $y$ dans le cas de $\mathrm {T} =0,$ il vaudrait mieux chercher directement les valeurs de $z$ par la résolution de l’équation (B), laquelle n’est guère plus compliquée que l’équation (D).

11. Soit l’équation

$\mathrm {L} y+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=\mathrm {T} ,$

pour laquelle on connaît deux valeurs particulières de $y$ dans le cas de $\mathrm {T} =0.$

On aura d’abord l’équation en $z$ (3)

$z\left[\left(\mathrm {M} -{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\right)y+\mathrm {N} {\frac {dy}{dt}}\right]-{\frac {dz}{dt}}\mathrm {N} y=\mathrm {const} .\,;$

donc, supposant que $y_{1}$ et $y_{2}$ soient les deux valeurs de $y$ qui satisfont à l’équation

$\mathrm {L} y+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=0,$

on aura

${\begin{aligned}z\left[\left(\mathrm {M} -{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\right)y_{1}+\mathrm {N} {\frac {dy_{1}}{dt}}\right]-{\frac {dz}{dt}}\mathrm {N} y_{1}=&\mathrm {A} ,\\z\left[\left(\mathrm {M} -{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\right)y_{2}+\mathrm {N} {\frac {dy_{2}}{dt}}\right]-{\frac {dz}{dt}}\mathrm {N} y_{2}=&\mathrm {B} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant deux constantes arbitraires.

On tire de ces deux équations

$z={\frac {\mathrm {A} y_{1}-\mathrm {B} y_{2}}{\mathrm {N} \left(y_{2}{\cfrac {dy_{1}}{dt}}-y_{1}{\cfrac {dy_{2}}{dt}}\right)}}.$

Soit d’abord $\mathrm {A} =0,$ on aura

$z=-\mathrm {\frac {B}{N}} {\frac {y_{1}}{y_{2}{\cfrac {dy_{1}}{dt}}-y_{1}{\cfrac {dy_{2}}{dt}}}}=z_{1}\,;$

soit ensuite $\mathrm {B} =0,$ on aura

$z=\mathrm {\frac {A}{N}} {\frac {y_{2}}{y_{2}{\cfrac {dy_{1}}{dt}}-y_{1}{\cfrac {dy_{2}}{dt}}}}=z_{2}.$

Ayant deux valeurs de $z,$ savoir $z_{1}$ et $z_{2},$ on les substituera successivement dans l’équation (C), et l’on aura

${\begin{aligned}y\left(\mathrm {M} z_{1}-{\frac {d\mathrm {N} z_{1}}{dt}}\right)+{\frac {dy}{dt}}\mathrm {N} z_{1}=&\int \mathrm {T} z_{1}dt,\\y\left(\mathrm {M} z_{2}-{\frac {d\mathrm {N} z_{2}}{dt}}\right)+{\frac {dy}{dt}}\mathrm {N} z_{2}=&\int \mathrm {T} z_{2}dt,\\\end{aligned}}$

d’où l’on tire

(F)

$y={\frac {z_{2}\int \mathrm {T} z_{1}dt-z_{1}\int \mathrm {T} z_{2}dt}{\mathrm {N} \left(z_{1}{\cfrac {dz_{2}}{dt}}-z_{2}{\cfrac {dz_{1}}{dt}}\right)}}.$

C’est la valeur générale et complète de $y$ qui satisfait à l’équation proposée.

Si l’on ne connaissait que la valeur $y_{1},$ on aurait simplement l’équation

$z\left[\left(\mathrm {M} -{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\right)y_{1}+\mathrm {N} {\frac {dy_{1}}{dt}}\right]-{\frac {dz}{dt}}\mathrm {N} y_{1}=\mathrm {A} .$

laquelle étant intégrée donnerait

$z=e^{\int \left(\mathrm {\frac {M}{N}} -{\frac {d\mathrm {N} }{\mathrm {N} dt}}+{\frac {dy_{1}}{y_{1}dt}}\right)dt}\left[\mathrm {const} .-\mathrm {A} \int {\frac {e^{-\int \left(\mathrm {\frac {M}{N}} -{\frac {d\mathrm {N} }{\mathrm {N} dt}}+{\frac {dy_{1}}{y_{1}dt}}\right)dt}}{\mathrm {N} y_{1}}}dt\right]$

ou bien

$z={\frac {y_{1}}{\mathrm {N} }}e^{\int \mathrm {\frac {M}{N}} dt}\left[\mathrm {C-A} \int {\frac {e^{-\int \mathrm {\frac {M}{N}} dt}}{y_{1}^{2}}}dt\right].$

Donc, en faisant $\mathrm {A} =0,$ on aurait

$z={\frac {\mathrm {C} y_{1}}{\mathrm {N} }}e^{\int \mathrm {\frac {M}{N}} dt}=z_{1}.$

et, en faisant $\mathrm {C} =0,$

$z=-{\frac {\mathrm {A} y_{1}}{\mathrm {N} }}e^{\int \mathrm {\frac {M}{N}} dt}\int {\frac {e^{-\int \mathrm {\frac {M}{N}} dt}}{y_{1}^{2}}}dt=z_{2}.$

Supposons que les quantités $\mathrm {L,M,N}$ soient constantes, on aura, comme on sait, pour les deux valeurs de $y$ qui satisfont à l’équation $\mathrm {L} y+\mathrm {M} {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=0,$ $e^{k_{1}t}$ et $e^{k_{2}t}\,;\ k_{1}$ et $k_{2}$ étant les racines de l’équation $\mathrm {L} +\mathrm {M} k+\mathrm {N} k^{2}=0\,;$ donc

$y_{1}=e^{k_{1}t},\qquad y_{2}=e^{k_{2}t}\,;$

et par conséquent

$z_{1}=-\mathrm {\frac {B}{N}} {\frac {e^{-k_{2}t}}{k_{1}-k_{2}}},\qquad z_{2}=\mathrm {\frac {A}{N}} {\frac {e^{-k_{1}t}}{k_{1}-k_{2}}}\,;$

donc

$y={\frac {e^{k_{2}t}\int \mathrm {T} e^{-k_{2}t}dt-e^{k_{1}t}\int \mathrm {T} e^{-k_{1}t}dt}{\mathrm {N} (k_{2}-k_{1})}}.$

Si l’on voulait employer les valeurs de $z_{1}$ et de $z_{2}$ trouvées à la fin du numéro précédent, on aurait

$z_{1}=-{\frac {\mathrm {C} y_{1}}{\mathrm {N} }}e^{\mathrm {\frac {M}{N}} dt}\quad {\text{et}}\quad z_{2}=-{\frac {\mathrm {A} y_{1}}{\mathrm {N} }}e^{\mathrm {\frac {M}{N}} dt}\int {\frac {e^{-\mathrm {\frac {M}{N}} dt}}{y_{1}^{2}}}dt,$

ou bien, en mettant pour $y_{1}$ sa valeur $e^{k_{1}t},$

$z_{1}={\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {N} }}e^{\left(k_{1}+\mathrm {\frac {M}{N}} \right)t}\quad {\text{et}}\quad z_{2}={\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {M+2N} k_{1}}}e^{-k_{1}t}.$

Or, $k_{1}$ et $k_{2}$ étant les racines de l’équation $\mathrm {L+M} k+\mathrm {N} k^{2}=0,$ on aura

$k_{1}+k_{2}=-\mathrm {\frac {M}{N}} \,;$

donc

$k_{1}+\mathrm {\frac {M}{N}} =-k_{2}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M+2N} k_{1}=\mathrm {N} \left(k_{1}-k_{2}\right)\,;$

donc, en faisant $\mathrm {C} =-{\frac {\mathrm {B} }{k_{1}-k_{2}}},$ les valeurs de $z_{1}$ et de $z_{2}$ seront les mêmes que ci-dessus.

Ces valeurs pourraient encore se trouver d’une manière plus simple par la remarque du n^o 10. Car l’équation (B) sera, dans le cas présent,

$\mathrm {L} z-\mathrm {M} {\frac {dz}{dt}}+\mathrm {N} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=0\,;$

d’où l’on tire

$z=\mathrm {F} e^{h_{1}t}=z_{1}\quad {\text{et}}\quad z=\mathrm {G} e^{h_{2}t}=z_{2},$

$\mathrm {F,G}$ étant deux constantes arbitraires, et $h_{1},h_{2}$ les racines de l’équation $\mathrm {L} -\mathrm {M} h+\mathrm {N} h^{2}=0\,;$ de sorte qu’on aura

$h_{1}=-k_{1}\quad {\text{et}}\quad h_{2}=-k_{2}.$

Recherche des cas d’intégration de l’équation

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+ayt^{m}=\mathrm {T} .$

12. On aura ici $\mathrm {L} =at^{2m},\ \mathrm {M=0,\ N} =1\,;$ donc l’équation (B) deviendra

(G)

$azt^{2m}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=0.$

Supposons $dt$ variable, nous aurons, au lieu du terme ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},$ ces deux-ci ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {dzd^{2}t}{dt^{3}}}\,;$ donc, faisant cette substitution et divisant toute l’équation par $t^{2m},$ on aura la transformée

${\frac {d^{2}z}{t^{2m}dt^{2}}}-{\frac {dzd^{2}t}{t^{2m}dt^{3}}}+az=0.$

Soit maintenant $t^{m}dt=du,$ c’est-à-dire $u={\frac {t^{m+1}}{m+1}},$ on aura, en prenant $du$ pour constante,

${\frac {d^{2}t}{dt}}+m{\frac {dt}{t}}=0,$

c’est-à-dire, à cause de $dt=t^{-m}du,$

${\frac {d^{2}t}{dt}}=-mt^{-m-1}du=-{\frac {m}{m+1}}{\frac {du}{u}}\,;$

donc, substituant ces valeurs dans l’équation précédente, et faisant, pour abréger, ${\frac {m}{m+1}}=n,$ on aura

${\frac {d^{2}z}{du^{2}}}+{\frac {n}{u}}{\frac {dz}{du}}+az=0.$

Si $n$ était égal à zéro, on aurait ${\frac {d^{2}z}{du^{2}}}+az=0\,;$ par conséquent $z=e^{ku},$ $k$ étant une des racines de l’équation $k^{2}+a=0.$

Supposons donc $z=xe^{ku},$ on aura, après les substitutions et les réductions,

${\frac {d^{2}x}{du^{2}}}+\left(2k+{\frac {n}{u}}\right){\frac {dx}{du}}+{\frac {nkx}{u}}=0.$

Qu’on fasse

$x=\mathrm {A} u^{r}+\mathrm {B} u^{r+1}+\mathrm {C} u^{r+2}+\ldots ,$

on trouvera, en égalant à zéro les termes homogènes, les équations suivantes :

${\begin{aligned}&r(r-1)\mathrm {A} +nr\mathrm {A} =0,\\&(r+1)r\mathrm {B} +2kr\mathrm {A} +n(r+1)\mathrm {B} +nk\mathrm {A} =0,\\&(r+2)(r+1)\mathrm {C} +2k(r+1)\mathrm {B} +n(r+2)\mathrm {C} +nk\mathrm {B} =0.\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

D’où l’on tire premièrement, ou $r=0,$ ou $r-1+n=0,$ savoir $r=1-n,$ ensuite

${\begin{aligned}\mathrm {B} =&-{\frac {2r+n}{(r+1)(r+n)}}k\mathrm {A} ,\\\mathrm {C} =&-{\frac {2(r+1)+n}{(r+2)(r+1+n)}}k\mathrm {B} ,\\\mathrm {D} =&-{\frac {3(r+2)+n}{(r+3)(r+2+n)}}k\mathrm {C} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

En combinant les deux cas de $r=0$ et de $r=1-n,$ et faisant $1-n=\nu$ et $\mathrm {A} =1,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&1,\\\mathrm {B} =&-k,\\\mathrm {C} =&{\frac {3+\nu }{2(2+\nu )}}k^{2},\\\mathrm {D} =&-{\frac {(3\mp \nu )(5\mp \nu )}{2.3(2\mp \nu )(3\mp \nu )}}k^{3},\\\mathrm {E} =&-{\frac {(3\mp \nu )(5\mp \nu )(7\mp \nu )}{2.3.4(2\mp \nu )(3\mp \nu )(4\mp \nu )}}k^{4},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

le signe supérieur étant pour le premier cas, et le signe inférieur pour le second cas ; d’où l’on voit que la série se terminera toutes les fois que $\nu$ sera égal à un nombre quelconque impair positif ou négatif, à l’exception de $\pm 1.$

Ayant ainsi la valeur de $x,$ on aura celle de $z$ par la supposition de $z=xe^{ku},$ et comme l’équation $k^{2}+a=0$ donne deux valeurs de $k,$ savoir $k=\pm {\sqrt {-a}},$ on aura aussi deux valeurs de $z,$ qu’on nommera, comme ci-dessus, $z_{1}$ et $z_{2},$ et qui, étant substituées dans la formule (F) du numéro précédent, donneront la valeur de $y$.

Si $a$ est une quantité positive, les deux valeurs de $k$ seront imaginaires. Dans ce cas la valeur de $x$ sera de cette forme $\mathrm {P\pm Q} {\sqrt {-1}},$ et par conséquent on aura

$z=\left(\mathrm {P\pm Q} {\sqrt {-1}}\right)e^{\pm u{\sqrt {a}}{\sqrt {-1}}},$

ou, en mettant au lieu de $e^{\pm u{\sqrt {a}}{\sqrt {-1}}}$ sa valeur $\cos \left(u{\sqrt {a}}\right)\pm \sin \left(u{\sqrt {a}}\right){\sqrt {-1}},$ savoir :

$z=\left[\mathrm {P} \cos \left(u{\sqrt {a}}\right)-\mathrm {Q} \sin \left(u{\sqrt {a}}\right)\right]\pm \left[\mathrm {P} \sin \left(u{\sqrt {a}}\right)+\mathrm {Q} \cos \left(u{\sqrt {a}}\right)\right]{\sqrt {-1}}.$

Soit donc, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {P} \cos \left(u{\sqrt {a}}\right)-\mathrm {Q} \sin \left(u{\sqrt {a}}\right)=&\mathrm {R} ,\\\mathrm {P} \sin \left(u{\sqrt {a}}\right)+\mathrm {Q} \cos \left(u{\sqrt {a}}\right)=&\mathrm {S} ,\end{aligned}}$

on aura

$\mathrm {R+S} {\sqrt {-1}}=z_{1},\quad {\text{et}}\quad \mathrm {R-S} {\sqrt {-1}}=z_{2},$

et la valeur de $y$ deviendra

$y={\frac {\mathrm {R} \int \mathrm {TS} dt-\mathrm {S} \int \mathrm {TR} dt}{\left(\mathrm {S} {\cfrac {d\mathrm {R} }{dt}}-\mathrm {R} {\cfrac {d\mathrm {S} }{dt}}\right)}}.$

13. Si $m-1,$ on aura $n=\infty ,$ et la valeur de $x$e sera exprimée par une suite infinie ; mais, en reprenant l’équation (G), on aura

${\frac {az}{t^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=0,$

laquelle, en faisant $z=t^{r},$ se change en

$a+r(r-1)=0,$

d’où l’on tire

$r={\frac {1}{2}}A\mp {\sqrt {{\frac {1}{4}}-a}}.$

Ainsi l’on aura les deux valeurs de $z.$

14. Soient $\mathrm {T} =0$ et $y=e^{\int qdt},$ l’équation proposée se changera en celle-ci :

${\frac {dq}{dt}}+q+at^{2m}=0,$

laquelle est connue sous le nom d’équation de Riccati ; on trouvera donc par la méthode précédente l’intégrale de cette même équation.

Intégration de l’équation

(H)

$\mathrm {A} y+\mathrm {B} (h+kt){\frac {dy}{dt}}+\mathrm {C} (h+kt)^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {D} (h+kt)^{3}{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+\ldots =\mathrm {T} .$

$\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant des coefficients constants.

15. En comparant cette équation avec la formule générale (A), on aura

$\mathrm {L=A} ,\quad \mathrm {M=B} (h+kt),\quad \mathrm {N=C} (h+kt)^{2},\quad \mathrm {P=D} (h+kt)^{3},\ldots .$

Donc les équations (B) et (C) deviendront

(I)

$\mathrm {A} z-\mathrm {B} {\frac {d.(h+kt)z}{dt}}+\mathrm {C} {\frac {d^{2}.(h+kt)^{2}z}{dt^{2}}}-\mathrm {D} {\frac {d^{3}.(h+kt)^{3}z}{dt^{3}}}+\ldots =0,$

(K)

$\left\{{\begin{aligned}y&\left[\mathrm {B} (h+kt)z-\mathrm {C} {\frac {d.(h+kt)^{2}z}{dt}}+\mathrm {D} {\frac {d^{2}.(h+kt)^{3}z}{dt^{2}}}-\ldots \right]\\&+{\frac {dy}{dt}}\left[\mathrm {C} (h+kt)^{2}z+\mathrm {D} {\frac {d.(h+kt)^{3}z}{dt}}-\ldots \right]\\&+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\left[\mathrm {D} (h+kt)^{3}z-\ldots \right]+\ldots \ldots \ldots \ldots =\mathrm {T} zdt.\end{aligned}}\right.$

Soit maintenant

$z=(h+kt)^{r},$

et l’équation (I) étant divisée par $(h+kt)^{r}$ se réduira à celle-ci :

(L)

$\mathrm {A-B} k(r+1)+\mathrm {C} k^{2}(r+1)(r+2)-\mathrm {D} k^{3}(r+1)(r+2)(r+3)+\ldots =0,$

laquelle étant ordonnée par rapport à $r$ montera à un degré dont l’exposant sera le même que celui de l’ordre de l’équation proposée (H).

Faisant la même substitution dans l’équation (K), on aura, après avoir divisé par $(h+kt)^{r+1},$

${\begin{aligned}y&\left[\mathrm {B-C} k(r+2)+Dk^{2}(r+2)(r+3)-\ldots \right]\\&+{\frac {dy}{dt}}\left[\mathrm {C-D} k(r+3)+\ldots \right](h+kt)+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}(\mathrm {D} -\ldots )(h+kt)^{2}+\ldots \\&+(h+kt)^{-r-1}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r}dt,\end{aligned}}$

équation qui devra avoir lieu en mettant pour $r$ chacune des racines de l’équation (L).

Soit, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {B-C} k(r+2)+\mathrm {D} k^{2}(r+2)(r+3)-\ldots =\alpha ,\\&\mathrm {C-D} k(r+3)+\ldots =\beta ,\\&\mathrm {D} -\ldots =\gamma ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&(h+kt)^{-r-1}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r}dt=\theta ,\end{aligned}}$

l’équation dont il s’agit se réduira à celle-ci :

(M)

$\alpha y+\beta (h+kt){\frac {dy}{dt}}+\gamma (h+kt)^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots =\theta .$

Supposons que $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots$ soient les racines de l’équation (L), et que $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots \beta _{1},\beta _{2},\beta _{3},\ldots$ soient ce que deviennent les quantités $\alpha ,\beta ,\ldots ,$ lorsque $r$ devient successivement $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots \,;$ au lieu de l’équation. (M), on aura celles-ci :

${\begin{array}{lr}(\mathrm {M} _{1})\qquad &\alpha _{1}y+\beta _{1}(h+kt){\cfrac {dy}{dt}}+\gamma _{1}(h+kt)^{2}{\cfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots =\theta _{1},\\(\mathrm {M} _{2})\qquad &\alpha _{2}y+\beta _{2}(h+kt){\cfrac {dy}{dt}}+\gamma _{2}(h+kt)^{2}{\cfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots =\theta _{2},\\(\mathrm {M} _{3})\qquad &\alpha _{3}y+\beta _{3}(h+kt){\cfrac {dy}{dt}}+\gamma _{3}(h+kt)^{2}{\cfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots =\theta _{3},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{array}}$

dont le nombre sera le même que celui des quantités inconnues $y,{\frac {dy}{dt}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ldots ,$ comme il est facile de s’en assurer. Ainsi, en éliminant les quantités ${\frac {dy}{dt}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ldots ,$ on aura la valeur de $y$.

Pour cet effet, je multiplie l’équation $(\mathrm {M} _{1})$ par $\mathrm {M} ',$ l’équation $(\mathrm {M} _{2})$ par $\mathrm {M} '',$ et ainsi de suite ; après quoi je les ajoute ensemble : j’ai

${\begin{aligned}&\left(\mathrm {\alpha _{1}M'+\alpha _{2}M''+\alpha _{3}M'''} +\ldots \right)y\\+&\left(\mathrm {\beta _{1}M'+\beta _{2}M''+\beta _{3}M'''} +\ldots \right)(h+kt){\frac {dy}{dt}}\\+&\left(\mathrm {\gamma _{1}M'+\gamma _{2}M''+\gamma _{3}M'''} +\ldots \right)(h+kt)^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots \\=&\mathrm {M'\theta _{1}+M''\theta _{2}+M'''\theta _{3}} +\ldots \end{aligned}}$

Je suppose

(N)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {\beta _{1}M'+\beta _{2}M''+\beta _{3}M'''} +\ldots =&0,\\\mathrm {\gamma _{1}M'+\gamma _{2}M''+\gamma _{3}M'''} +\ldots =&0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

j’aurai

(P)

$y=\mathrm {\frac {M'\theta _{1}+M''\theta _{2}+M'''\theta _{3}+\ldots }{M'\alpha _{1}+M''\alpha _{2}+M'''\alpha _{3}+\ldots }} ,$

et toute la difficulté se réduira à déterminer les quantités $\mathrm {M',M'',M'''} ,\ldots$ par le moyen des équations (N).

Or, si l’on substitue dans ces équations les valeurs de $\beta _{1},\gamma _{1},\ldots ,\beta _{2},\gamma _{2},\ldots ,$ et qu’on ordonne les termes par rapport aux puissances de $r,$ on verra qu’elles se réduisent à celles-ci :

${\begin{aligned}&\mathrm {M'+M''+M'''} +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\mathrm {M} ^{(m)}=0,\\&\mathrm {M} 'r_{1}+\mathrm {M} ''r_{2}+\mathrm {M} '''r_{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}=0,\\&\mathrm {M} 'r_{1}^{2}+\mathrm {M} ''r_{2}^{2}+\mathrm {M} '''r_{3}^{2}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}^{2}=0,\\&\mathrm {M} 'r_{1}^{3}+\mathrm {M} ''r_{2}^{3}+\mathrm {M} '''r_{3}^{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}^{3}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {M} 'r_{1}^{m-2}+\mathrm {M} ''r_{2}^{m-2}+\mathrm {M} '''r_{3}^{m-2}+\ldots \ldots +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}^{m-2}=0,\end{aligned}}$

$m$ étant l’exposant de l’ordre de l’équation proposée (H), et, la quantité $\mathrm {M'\alpha _{1}+M''\alpha _{2}+M'''\alpha _{3}} +\ldots$ deviendra

$\pm \mathrm {V} k^{m-1}\left(\mathrm {M} 'r_{1}^{m-1}+\mathrm {M} ''r_{2}^{m-1}+\mathrm {M} '''r_{3}^{m-1}+\ldots +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}^{m-1}\right),$

dans laquelle $\mathrm {V}$ est le coefficient du terme $(h+kt)^{m}{\frac {d^{m}y}{dt^{m}}}$ de la même équation, le signe supérieur étant pour le cas de $m$ impair, et le signe inférieur pour celui de $m$ pair.

Telles sont les équations par lesquelles il faudra déterminer les inconnues $\mathrm {M',M'',M''',\ldots ,M^{(m)}} .$

Pour rendre cette recherche plus générale, nous supposerons que l’on ait les équations suivantes :

${\begin{aligned}&\mathrm {M'+M''+M'''} +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +\mathrm {M} ^{(m)}=\mathrm {R} ,\\&\mathrm {M} 'r_{1}+\mathrm {M} ''r_{2}+\mathrm {M} '''r_{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}=\mathrm {R} ',\\&\mathrm {M} 'r_{1}^{2}+\mathrm {M} ''r_{2}^{2}+\mathrm {M} '''r_{3}^{2}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}^{2}=\mathrm {R} '',\\&\mathrm {M} 'r_{1}^{3}+\mathrm {M} ''r_{2}^{3}+\mathrm {M} '''r_{3}^{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}^{3}=\mathrm {R} ''',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {M} 'r_{1}^{m-1}+\mathrm {M} ''r_{2}^{m-1}+\mathrm {M} '''r_{3}^{m-1}+\ldots \ldots +\mathrm {M} ^{(m)}r_{m}^{m-1}=\mathrm {R} ^{(m-1)}.\end{aligned}}$

(Je prends ici une équation de plus afin que l’on ait autant d’équations que d’inconnues.)

On multipliera la première de ces équations par $\mathrm {N} ,$ la seconde par $\mathrm {N} ',$ la troisième par $\mathrm {N} '',$ et ainsi des autres ; on les ajoutera ensemble, et l’on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {M} '\ \ \left(\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r_{1}+\mathrm {N} ''r_{1}^{2}+\mathrm {N} '''r_{1}^{3}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r_{1}^{m-1}\right)\\+&\mathrm {M} ''\ \left(\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r_{2}+\mathrm {N} ''r_{2}^{2}+\mathrm {N} '''r_{2}^{3}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r_{2}^{m-1}\right)\\+&\mathrm {M} '''\left(\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r_{3}+\mathrm {N} ''r_{3}^{2}+\mathrm {N} '''r_{3}^{3}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r_{3}^{m-1}\right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\mathrm {M} ^{(m)}\left(\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r_{m}+\mathrm {N} ''r_{m}^{2}+\mathrm {N} '''r_{m}^{3}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r_{m}^{m-1}\right)\\=&\mathrm {NR+N'R'+N''R''+N'''R'''} +\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}\mathrm {R} ^{(m-1)}.\end{aligned}}$

Maintenant, pour avoir la valeur d’une $\mathrm {M}$ quelconque, comme $\mathrm {M} ^{(\mu )},$ il n’y aura qu’à supposer égales à zéro les quantités qui multiplient toutes les autres $\mathrm {M} ,$ et l’on aura

(Q)

$\mathrm {M} ^{(\mu )}={\frac {\mathrm {NR+N'R'+N''R''+N'''R'''} +\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}\mathrm {R} ^{(m-1)}}{\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r_{\mu }+\mathrm {N} ''r_{\mu }^{2}+\mathrm {N} '''r_{\mu }^{3}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r_{\mu }^{m-1}}},$

et les quantités $\mathrm {N,N',N''} ,\ldots \mathrm {N} ^{(m-1)}$ seront déterminées par ces équations

${\begin{aligned}&\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r_{1}+\mathrm {N} ''r_{1}^{2}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r_{1}^{m-1}=0,\\&\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r_{2}+\mathrm {N} ''r_{2}^{2}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r_{2}^{m-1}=0,\\\end{aligned}}$

et ainsi de suite jusqu’à

$\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r_{m}+\mathrm {N} ''r_{m}^{2}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r_{m}^{m-1}=0.$

à l’exception de

$\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r_{\mu }+\mathrm {N} ''r_{\mu }^{2}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r_{\mu }^{m-1}=0,$

c’est-à-dire qu’on aura l’équation

$\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r+\mathrm {N} ''r^{2}+\mathrm {N} '''r^{3}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r^{m-1}=0,$

laquelle devra avoir lieu en mettant au lieu de $r,$ successivement $r_{1},r_{2},r_{3},$$\ldots ,r_{m},$ à l’exception de $r_{\mu }.$

Or, comme $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots ,r_{m}$ sont les racines de l’équation (L), si l’on représente cette équation par

$a+br+cr2+dr^{3}+\ldots +tu^{(m-1)}+ur^{m}=0,$

on aura, par la théorie des équations,

$1+\mathrm {\frac {N'}{N}} r+\mathrm {\frac {N''}{N}} r^{2}+\mathrm {\frac {N'''}{N}} r^{3}+\ldots +{\frac {\mathrm {N} ^{(m-1)}}{\mathrm {N} }}r^{(m-1)}$

$={\frac {1+{\cfrac {b}{a}}r+{\cfrac {c}{a}}r^{2}+{\cfrac {d}{a}}r^{3}+\ldots +{\cfrac {u}{a}}r}{1-{\cfrac {r}{r_{\mu }}}}}\,;$

donc, multipliant par $1-{\frac {r}{r_{\mu }}}$ et comparant les termes, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {\frac {N'}{N}} \ \ -{\frac {1}{r_{\mu }}}={\frac {b}{a}},\\&\mathrm {\frac {N''}{N}} \ -{\frac {1}{r_{\mu }}}\mathrm {\frac {N'}{N}} \ ={\frac {c}{a}},\\&\mathrm {\frac {N'''}{N}} -{\frac {1}{r_{\mu }}}\mathrm {\frac {N''}{N}} ={\frac {d}{a}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}&\mathrm {N} '\ \ ={\frac {\mathrm {N} }{ar_{\mu }}}\left(a+br_{\mu }\right),\\&\mathrm {N} ''\ ={\frac {\mathrm {N} }{ar_{\mu }^{2}}}\left(a+br_{\mu }+cr_{\mu }^{2}\right),\\&\mathrm {N} '''={\frac {\mathrm {N} }{ar_{\mu }^{3}}}\left(a+br_{\mu }+cr_{\mu }^{2}+dr_{\mu }^{3}\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {N} ^{(m-1)}={\frac {\mathrm {N} }{ar_{\mu }^{(m-1)}}}\left(a+br_{\mu }+cr_{\mu }^{2}+dr_{\mu }^{3}+\ldots +tr_{\mu }^{m-1}\right).\end{aligned}}$

Faisant ces substitutions dans la formule (Q), on verra que la quantité $\mathrm {N}$ disparaîtra d’elle-même ; de sorte que l’on aura la valeur de chacun des coefficients $\mathrm {M} .$

Soit maintenant $\mathrm {R=0,\ R'=0,\ R''=0,\ldots ,R} ^{(m-2)}=0,$ on aura

$\mathrm {M} ^{(\mu )}={\frac {\mathrm {N} ^{(m-1)}\mathrm {R} ^{(m-1)}}{\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r_{\mu }+\mathrm {N} ''r_{\mu }^{2}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r_{\mu }^{m-1}}},$

Or

$\mathrm {N} ^{(m-1)}={\frac {\mathrm {N} }{ar_{\mu }^{(m-1)}}}\left(a+br_{\mu }+cr_{\mu }^{2}+\ldots +tr_{\mu }^{m-1}\right)\,;$

et comme

$a+br+cr^{2}+\ldots +tr^{m-1}+ur^{m}=0,$

on a, en mettant $r_{\mu }$ au lieu de $r,$

$a+br_{\mu }+cr_{\mu }^{2}+\ldots +tr_{\mu }^{m-1}=-ur_{\mu }^{m}\,;$

donc

$\mathrm {N} ^{(m-1)}={\frac {\mathrm {N} }{ar_{\mu }^{(m-1)}}}\left(-ur_{\mu }^{m}\right)=-{\frac {\mathrm {N} u}{a}}r_{\mu }.$

De plus, on a

${\frac {\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r+\mathrm {N} ''r^{2}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r^{m-1}}{\mathrm {N} }}={\frac {a+br+c^{2}+\ldots +ur^{m}}{a\left(1-{\cfrac {r}{r_{\mu }}}\right)}}\,;$

donc, si l’on fait pareillement $r=r_{\mu },$ on aura, en prenant la différence du numérateur et du dénominateur, à cause que l’un et l’autre s’évanouissent dans ce cas,

${\frac {\mathrm {N} +\mathrm {N} 'r_{\mu }+\mathrm {N} ''r_{\mu }^{2}+\ldots +\mathrm {N} ^{(m-1)}r_{\mu }^{m-1}}{\mathrm {N} }}$

$=-{\frac {b+2cr_{\mu }+3dr_{\mu }^{2}+\ldots +mur_{\mu }^{m-1}}{\cfrac {a}{r_{\mu }}}},$

donc

$\mathrm {M} ^{(\mu )}={\frac {u\mathrm {R} ^{(m-1)}}{b+2cr_{\mu }+3dr_{\mu }^{2}+\ldots }}.$

Soit

$\mathrm {A} -\mathrm {B} k(r+1)+\mathrm {C} k^{2}(r+1)(r+2)-\ldots \mp \mathrm {V} k^{m}(r+1)(r+2)\ldots (r+m)=\mathrm {P} ,$

de sorte que l’équation (L) soit représentée par $\mathrm {P} =0,$ on aura

$a+br+cr^{2}+\ldots +ur^{m}=\mathrm {P} \,;$

donc

$u=\mp \mathrm {V} k^{m}$

(le signe supérieur étant pour le cas de $m$ impair, et l’inférieur pour

celui de $m$ pair), et

$b+2cr+3dr^{2}+\ldots ={\frac {d\mathrm {P} }{dr}}.$

Donc, si l’on fait ${\frac {d\mathrm {P} }{dr}}=\mathrm {Q} ,$ et qu’on dénote par $\mathrm {Q_{1},Q_{2},Q_{3}} ,\ldots ,$ les valeurs de $\mathrm {Q}$ lorsque $r$ devient $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots ,$ on aura

$\mathrm {M} '={\frac {+\mathrm {V} k^{m}\mathrm {R} ^{(m-1)}}{\mathrm {Q} _{1}}},\qquad \mathrm {M} ''={\frac {+\mathrm {V} k^{m}\mathrm {R} ^{(m-1)}}{\mathrm {Q} _{2}}},\ldots .$

Substituant donc ces valeurs dans la formule (P), et faisant attention que

${\begin{aligned}&\mathrm {M'\alpha _{1}+M''\alpha _{2}+M'''\alpha _{3}} +\ldots \\&\qquad \qquad =\pm \mathrm {V} k^{(m-1)}\left(\mathrm {M} 'r_{1}^{(m-1)}+\mathrm {M} ''r_{2}^{(m-1)}+\mathrm {M} '''r_{3}^{(m-1)}+\ldots \right)\\&\qquad \qquad =\pm \mathrm {V} k^{(m-1)}\mathrm {R} ^{(m-1)},\end{aligned}}$

on aura enfin

(R)

$y=-k\mathrm {\left({\frac {\theta _{1}}{Q_{1}}}+{\frac {\theta _{2}}{Q_{2}}}+{\frac {\theta _{3}}{Q_{3}}}+\ldots \right)} .$

D’où l’on voit que chaque racine de l’équation $\mathrm {P} =0$ donne, dans la valeur de $y,$ un terme correspondant tel que $-k{\frac {\theta }{\mathrm {Q} }}.$

16. Toute la difficulté se réduit donc à résoudre l’équation $\mathrm {P} =0\,;$ or il peut arriver deux cas qu’il est bon d’examiner : le premier est celui où cette équation aurait des racines égales, le second celui où elle aurait des racines imaginaires.

1^o Supposons que l’on trouve deux racines égales, par exemple $r_{2}=r_{1}\,;$ on fera $r_{2}=r_{1}+\omega ,$ $\omega$ étant une quantité évanouissante ; et, comme $\mathrm {P}$ peut être représenté en général par $\left(r-r_{1}\right)\left(r-r_{2}\right)\Pi ,$ on aura

$\mathrm {Q} ={\frac {d\mathrm {P} }{dr}}=\left(r-r_{2}\right)\Pi +\left(r-r_{1}\right)\Pi +\left(r-r_{1}\right)\left(r-r_{2}\right){\frac {d\Pi }{dr}}\,;$

donc, faisant successivement $r=r_{1}$ et $r=r_{2},$ et substituant $r_{1}+\omega$ au lieu de $r_{2},$ on aura

$\mathrm {Q} _{1}=-\omega \Pi _{1},\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q} _{2}=-\omega \Pi _{1},$

$\Pi _{1},$ étant la valeur de $\Pi$ lorsque $r=r_{1}.$ Pour trouver cette valeur, on

remarquera que, puisque $r_{2}=rs_{1},$ on a $\left(r-r_{1}\right)^{2}\Pi =\mathrm {P} \,;$ d’où l’on tire, en différentiant deux fois,

$2\Pi +4(r-r_{1}){\frac {d\Pi }{dr}}+(r-r_{1})^{2}{\frac {d^{2}\Pi }{dr^{2}}}={\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dr^{2}}}=\mathrm {R} \,;$

et, par conséquent, en faisant $r=r_{1},$

$2\Pi _{1}=\mathrm {R} _{1}\quad {\text{et}}\quad \Pi _{1}={\frac {\mathrm {R} _{1}}{2}}\,;$

donc

$\mathrm {Q} _{1}=-{\frac {\omega }{2}}\mathrm {R} _{1}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q} _{2}=-{\frac {\omega }{2}}\mathrm {R} _{2}.$

Maintenant on a

$\theta _{1}=(h+kt)^{-r_{1}-1}$

$\times \int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{1}}dt\quad {\text{et}}\quad \theta _{2}=(h+kt)^{-r_{2}-1}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{2}}dt\,;$

or

$(h+kt)^{-r_{2}-1}=(h+kt)^{-r_{1}-1-\omega }=(h+kt)^{-r_{1}-1}\left[1-\omega \log(h+kt)\ldots \right],$

et de même

$(h+kt)^{r_{2}}=(h+kt)^{r_{1}}\left[1+\omega \log(h+kt)\right]\,;$

donc, négligeant les $\omega ^{2},$ on aura

$\theta _{2}=\theta _{1}+\omega (h+kt)^{-r_{1}-1}$

$\times \left[\int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{1}}\log(h+kt)dt-\log(h+kt)\int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{1}}dt\right],$

ou bien

$\theta _{2}=\theta _{1}-\omega (h+kt)^{-r_{1}-1}\int {\frac {kdt}{h+kt}}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{1}}dt\,;$

donc, faisant ces substitutions dans les termes $-k{\frac {\theta _{1}}{\mathrm {Q} _{1}}}-k{\frac {\theta _{2}}{\mathrm {Q} _{2}}}$ de la valeur de $y,$ lesquels répondent aux racines égales $r_{1},r_{2},$ et effaçant ce qui se détruit, on aura

$-k{\frac {\theta _{1}}{\mathrm {Q} _{1}}}-k{\frac {\theta _{2}}{\mathrm {Q} _{2}}}=k{\frac {2(h+kt)^{-r_{1}-1}}{\mathrm {R} _{1}}}\int {\frac {kdt}{h+kt}}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{1}}dt.$

On résoudrait de même le cas de trois racines égales, en faisant $r_{2}=r_{1}+\omega ,\ r_{3}=r_{1}+\eta ,$ $\omega$ et $\eta$ étant deux quantités infiniment petites, et ayant égard

aux quantités du second ordre. De cette manière on trouvera que les trois termes $-k{\frac {\theta _{1}}{\mathrm {Q} _{1}}}-k{\frac {\theta _{2}}{\mathrm {Q} _{2}}}-k{\frac {\theta _{3}}{\mathrm {Q} _{3}}}$ deviendront

$-k{\frac {6(h+kt)^{-r_{1}-1}}{\mathrm {S} _{1}}}\int {\frac {kdt}{h+kt}}\int {\frac {kdt}{h+kt}}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{1}}dt,$

$\mathrm {S}$ étant égal à ${\frac {d^{3}\mathrm {P} }{dr^{3}}},$ et $\mathrm {S} _{1}$ exprimant la valeur de $\mathrm {S}$ lorsque $r=r_{1},$ et ainsi de suite.

2^o Supposons maintenant que les deux racines $r_{1}$ et $r_{2}$ soient imaginaires, en sorte que $r_{1}=\mathrm {F+G} {\sqrt {-1}}$ et $r_{2}=\mathrm {F-G} {\sqrt {-1}}\,;$ il est facile de voir que les quantités $\mathrm {Q} _{1}$ et $\mathrm {Q} _{2}$ seront de cette forme : $\mathrm {Q_{1}=M+N} {\sqrt {-1}},$$\mathrm {Q_{2}=M-N} {\sqrt {-1}}\,;$ de plus, les quantités $(h+kt)^{-r_{1}-1}$ et $(h+kt)^{r_{1}}$ viendront

$(h+kt)^{-\mathrm {F} -1}(h+kt)^{-\mathrm {G} {\sqrt {-1}}},\quad {\text{et}}\quad (h+kt)^{\mathrm {F} }(h+kt)^{\mathrm {G} {\sqrt {-1}}}.$

Or soit

$(h+kt)^{\mathrm {G} {\sqrt {-1}}}=\lambda \left(\cos \varphi +\sin \varphi {\sqrt {-1}}\right),$

on aura par les logarithmes

$\mathrm {G} {\sqrt {-1}}\log(h+kt)=\log \lambda +\varphi {\sqrt {-1}},$

donc $\log \lambda =0,$ savoir

$\lambda =1,\quad {\text{et}}\quad \varphi =\mathrm {G} \log(h+kt),$

donc

$(h+kt)^{\mathrm {G} {\sqrt {-1}}}=\cos \left[\mathrm {G} \log(h+kt)\right]+\sin \left[\mathrm {G} \log(h+kt)\right]{\sqrt {-1}},$

et prenant le radical ${\sqrt {-1}}$ en $-,$

$(h+kt)^{-\mathrm {G} {\sqrt {-1}}}=\cos \left[\mathrm {G} \log(h+kt)\right]-\sin \left[\mathrm {G} \log(h+kt)\right]{\sqrt {-1}}\,;$

par ces substitutions on réduira les quantités $\theta _{1}$ et $\theta _{2}$ à la forme $\mathrm {X\pm Y} {\sqrt {-1}},$ de sorte que les deux termes $-k{\frac {\theta _{1}}{\mathrm {Q} _{1}}}-k{\frac {\theta _{2}}{\mathrm {Q} _{2}}}$ de l’expression de $y$ se changeront en

$-k\mathrm {\frac {X+Y{\sqrt {-1}}}{M+N{\sqrt {-1}}}} -k\mathrm {\frac {X-Y{\sqrt {-1}}}{M-N{\sqrt {-1}}}} =-2k\mathrm {\frac {MX+NY}{M^{2}+N^{2}}} .$

Application à l’équation

$\mathrm {A} y+\mathrm {B} {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {C} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {D} {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+\ldots =\mathrm {T} .$

17. On aura dans ce cas $h=1$ et $k=0\,;$ mais comme la supposition de $k=0$ donnerait $\mathrm {P=A} =0,$ on supposera simplement $k$ infiniment petite, et ensuite $r$ infiniment grande, en sorte que $kr$ soit égal à une quantité finie $\rho \,:$ de cette manière on aura

$\mathrm {P=A-B} \rho +\mathrm {C} \rho ^{2}-\mathrm {D} \rho ^{3}+\ldots =0,$

équation d’où l’on tirera autant de valeurs de $\rho$ qu’il y a d’unités dans l’exposant de l’ordre de l’équation différentielle, de sorte que, si l’on appelle $\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots ,$ les racines de cette équation, on aura

$r_{1}={\frac {\rho _{1}}{k}},\qquad r_{2}={\frac {\rho _{2}}{k}},\ldots .$

Or on a $\mathrm {Q} ={\frac {d\mathrm {P} }{dr}}\,;$ donc, si l’on fait ${\frac {d\mathrm {P} }{d\rho }}=\scriptstyle \mathrm {Q} ,$ on aura $\mathrm {Q} =k\scriptstyle \mathrm {Q} ,$ et par conséquent

$\mathrm {Q} _{1}=k\scriptstyle \mathrm {Q} _{1},\qquad \displaystyle \mathrm {Q} _{2}=k\scriptstyle \mathrm {Q} _{2},$

donc

$y=-\left({\frac {\theta _{1}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{1}}}+{\frac {\theta _{2}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{2}}}+{\frac {\theta _{3}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{3}}}+\ldots \right).$

Or

$\theta =(h+kt)^{-r-1}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r}dt\,;$

donc, si l’on fait $h=1,$ et qu’on mette ${\frac {\rho }{k}}$ au lieu de $r,$ on aura, à cause de $r=\infty ,$

$\theta =(1+kt)^{-{\frac {\rho }{k}}}\int \mathrm {T} (1+kt)^{\frac {\rho }{k}}dt\,;$

mais on sait que

$(1+kt)^{\pm {\frac {\rho }{k}}}dt=e^{\pm \rho t}$

(dans le cas de $k$ infiniment petite), $e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est $1\,;$ donc

$\theta =e^{-\rho t}\int \mathrm {T} e^{\rho t}dt.$

et par conséquent

$\theta _{1}=e^{-\rho _{1}t}\int \mathrm {T} e^{\rho _{1}t}dt,\qquad \theta _{2}=e^{-\rho _{2}t}\int \mathrm {T} e^{\rho _{2}t}dt,\ldots .$

Si l’équation $\mathrm {P} =0$ a deux racines égales, on transformera d’abord les termes

$-{\frac {\theta _{1}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{1}}}+{\frac {\theta _{2}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{2}}}=-k\left({\frac {\theta _{1}}{\mathrm {Q} _{1}}}+{\frac {\theta _{2}}{\mathrm {Q} _{2}}}\right)$

en

$k{\frac {2(h+kt)^{-r_{1}-1}}{\mathrm {R} _{1}}}\int {\frac {kdt}{h+kt}}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r_{1}}dt.$

(numéro précédent), expression qui se réduit dans le cas présent à celle-ci :

${\frac {2k^{2}}{\mathrm {R} _{1}}}e^{-\rho _{1}t}\int dt\int \mathrm {T} e^{\rho _{1}t}dt\,;$

mais

$\mathrm {R} ={\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dr^{2}}}={\frac {k^{2}d^{2}\mathrm {P} }{d\rho ^{2}}}\,;$

donc, si l’on fait ${\frac {d^{2}\mathrm {P} }{d\rho ^{2}}}=\scriptstyle \mathrm {R} ,$ on aura

${\frac {2}{\scriptstyle \mathrm {R} _{1}}}e^{-\rho _{1}t}\int dt\int \mathrm {T} e^{\rho _{1}t}dt$

au lieu des termes $-{\frac {\theta _{1}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{1}}}-{\frac {\theta _{2}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{2}}}.$ On opérerait de même si l’on avait trois, quatre, etc., racines égales.

Si $\rho _{1}$ et $\rho _{2}$ sont imaginaires, de sorte que

$\rho _{1}=\scriptstyle \mathrm {F+G} \displaystyle {\sqrt {-1}},\quad {\text{et}}\quad \rho _{2}=\scriptstyle \mathrm {F-G} \displaystyle {\sqrt {-1}},$

on aura

$e^{\pm \rho _{1}t}=e^{\pm rt}\left(\cos \scriptstyle \mathrm {G} \displaystyle t\pm \sin \scriptstyle \mathrm {G} \displaystyle t{\sqrt {-1}}\right),$

et

$e^{\pm \rho _{2}t}=e^{\pm st}\left(\cos \scriptstyle \mathrm {G} \displaystyle t\pm \sin \scriptstyle \mathrm {G} \displaystyle t{\sqrt {-1}}\right),$

de plus on trouvera

$\scriptstyle \mathrm {Q_{1}=M+N} {\sqrt {-1}}\quad {\text{et}}\quad \scriptstyle \mathrm {Q_{2}=M-N} {\sqrt {-1}},$

donc les termes $-{\frac {\theta _{1}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{1}}}-{\frac {\theta _{2}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{2}}}$ se réduiront à

$-{\frac {2e^{-r-t}}{\scriptstyle \mathrm {M+N^{2}} }}\left[\left({\scriptstyle \mathrm {M} }\cos {\scriptstyle \mathrm {G} }t-{\scriptstyle \mathrm {N} }\sin {\scriptstyle \mathrm {G} }t\right)\int \mathrm {T} e^{rt}\cos {\scriptstyle \mathrm {G} }tdt\right.$

$\left.+\left({\scriptstyle \mathrm {M} }\sin {\scriptstyle \mathrm {G} }t+{\scriptstyle \mathrm {N} }\cos {\scriptstyle \mathrm {G} }t\right)\int \mathrm {T} e^{rt}\sin {\scriptstyle \mathrm {G} }tdt\right].$

Résolution de l’équation

$\alpha \varphi \left[t+a(h+kt)\right]+\beta \varphi \left[t+b(h+kt)\right]+\gamma \varphi \left[t+c(h+kt)\right]+\ldots =\mathrm {T} .$

dans laquelle $\varphi$ dénote une fonction inconnue.

18. On sait que $\varphi \left[t+a(h+kt)\right]$ peut se réduire en série de cette manière :

$\varphi (t)+a(h+kt){\frac {d\varphi (t)}{dt}}+{\frac {1}{2}}a^{2}(h+kt)^{2}{\frac {d\varphi ^{2}(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{2.3}}a^{3}(h+kt)^{3}{\frac {d\varphi ^{3}(t)}{dt^{3}}}+\ldots \,;$

donc, si l’on développe de même $\varphi \left[t+b(h+kt)\right],\ \varphi \left[t+c(h+kt)\right],\ldots ,$ et qu’on fasse

$\varphi (t)=y,$

l’équation proposée deviendra

(S)

$\left\{{\begin{aligned}(\alpha &+\beta +\gamma +\ldots )y\\&+\ {\frac {1}{2}}\ \,\left(\alpha a^{2}+\beta b^{2}+\gamma c^{2}+\ldots \right)(h+kt)^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\\&+{\frac {1}{2.3}}\left(\alpha a^{3}+\beta b^{3}+\gamma c^{3}+\ldots \right)(h+kt)^{3}{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =\mathrm {T} .\end{aligned}}\right.$

Comparant cette équation avec l’équation (H) du n^o 15, on a

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\alpha +\beta +\gamma +\ldots ,\\\mathrm {B} =&\alpha a+\beta b+\gamma c+\ldots ,\\\mathrm {C} =&\ {\frac {1}{2}}\ \,\left(\alpha a^{2}+\beta b^{2}+\gamma c^{2}+\ldots \right),\\\mathrm {D} =&{\frac {1}{2.3}}\left(\alpha a^{3}+\beta b^{3}+\gamma c^{3}+\ldots \right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

donc on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\alpha \left[1-ka(r+1)+{\frac {k^{2}a^{2}}{2}}(r+1)(r+2)-{\frac {k^{3}a^{3}}{2.3}}(r+1)(r+2)(r+3)+\ldots \right]\\+&\beta \left[1-kb(r+1)\ +{\frac {k^{2}b^{2}}{2}}(r+1)(r+2)\ -{\frac {k^{3}b^{3}}{2.3}}(r+1)(r+2)(r+3)+\ldots \right]\\+&\gamma \left[1-kc(r+1)\ +{\frac {k^{2}c^{2}}{2}}(r+1)(r+2)\ -{\frac {k^{3}c^{3}}{2.3}}(r+1)(r+2)(r+3)+\ldots \right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\=&0.\end{aligned}}$

équation d’où l’on tirera les valeurs $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots ,$ dont le nombre sera infini ; de sorte que la valeur de $y$ sera exprimée par une suite infinie, telle que

$-k\mathrm {\left({\frac {\theta _{1}}{Q_{1}}}+{\frac {\theta _{2}}{Q_{2}}}+{\frac {\theta _{3}}{Q_{3}}}+\ldots \right)}$

$\theta$ étant égal à $(h+kt)^{-r-1}\int \mathrm {T} (h+kt)^{r}dt.$

Maintenant il est clair que la valeur de $\mathrm {P}$ se réduit à

$\alpha (1+ka)^{-r-1}+\beta (1+kb)^{-r-1}+\gamma (1+kc)^{-r-1}+\ldots ,$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {Q} =&-\alpha (1+ka)^{-r-1}\log(1+ka)-\beta (1+kb)^{-r-1}\log(1+kb)\\&-\gamma (1+kc)^{-r-1}\log(1+kc)-\ldots ,\end{aligned}}$

et l’équation à résoudre sera

$\alpha (1+ka)^{-r-1}+\beta (1+kb)^{-r-1}+\gamma (1+kc)^{-r-1}+\ldots =0,$

$r$ étant l’inconnue ; or cette résolution réussira dans les deux cas suivants :

1^o Lorsque l’équation n’a que deux termes, c’est-à-dire lorsqu’on a

$\alpha (1+ka)^{-r-1}+\beta (1+kb)^{-r-1}=0\,;$

car, divisant par $\beta (1+kb)^{-r-1},$ on a

${\frac {\alpha }{\beta }}\left({\frac {1+ka}{1+kb}}\right)^{-r-1}+1=0,$

d’où l’on tire, par les logarithmes,

$r+1={\frac {\log \left(-{\cfrac {\alpha }{\beta }}\right)}{\log {\cfrac {1+ka}{1+kb}}}}.$

Qu’on suppose, ce qui est toujours possible,

$-{\frac {\alpha }{\beta }}=\lambda \left(\cos \omega +\sin \omega {\sqrt {-1}}\right),$

$\lambda$ étant une quantité réelle et positive, on trouvera pour $\omega$ une infinité d’angles différents, et l’on aura

$\log \left(-{\frac {\alpha }{\beta }}\right)=\log \lambda +\omega {\sqrt {-1}},$

ce qui donnera une infinité de valeurs de $r.$

Soit ${\frac {\alpha }{\beta }}$ une quantité réelle positive, on fera

$\lambda ={\frac {\alpha }{\beta }},\qquad \cos \omega =-1\quad {\text{et}}\quad \sin \omega =0,$

ce qui donne

$\omega =(2\nu +1)\pi ,$

$\nu$ étant un nombre quelconque entier positif ou négatif, et $\pi$ dénotant

l’angle de $180$ degrés ; donc

$r+1={\frac {\log {\cfrac {\alpha }{\beta }}+(2\nu +1)\pi {\sqrt {-1}}}{\log {\cfrac {1+ka}{1+kb}}}},$

et l’on aura les différentes valeurs de $r,$ en faisant successivement $\nu$ égal à $1,-1,2,-2,\ldots$

Si ${\frac {\alpha }{\beta }}$ est une quantité réelle négative, $-{\frac {\alpha }{\beta }}$ sera réelle positive ; c’est pourquoi on supposera

$\lambda ={\frac {-\alpha }{\beta }},\qquad \cos \varphi =1,\qquad \sin \omega =0\,;$

d’où

$\omega =2\nu \pi ,$

et par conséquent

$r+1={\frac {\log \left(-{\cfrac {\alpha }{\beta }}\right)+2\nu \pi {\sqrt {-1}}}{\log {\cfrac {1+ka}{1+kb}}}}.$

Enfin, si ${\frac {\alpha }{\beta }}$ est une quantité imaginaire de la forme $p+q{\sqrt {-1}},$ on aura

$\lambda \cos \omega =-p\quad {\text{et}}\quad \lambda \sin \omega =-q,$

d’où l’on tire

$\lambda ={\sqrt {p^{2}+q^{2}}},\qquad \sin \omega =-{\frac {q}{\lambda }}\quad {\text{et}}\quad \cos \omega =-{\frac {p}{\lambda }}.$

Donc, si l’on suppose que $\omega '$ soit le plus petit angle dont le sinus est égal à $-{\frac {q}{\lambda }},$ et le cosinus à $-{\frac {p}{\lambda }},$ on aura

$\omega =\omega '+2\nu \pi ,$

$\nu$ dénotant comme ci-devant un nombre quelconque entier positif ou négatif, d’où

$r+1={\frac {\log \lambda +(\omega '+2\nu \pi ){\sqrt {-1}}}{\log {\cfrac {1+ka}{1+kb}}}}.$

2^o Lorsque $1+kb=(1+ka)^{2},\ 1+kc=(1+ka)^{3},\ldots \,;$ car, en faisant

$(1+ka)^{-r-1}=p,$

l’équation proposée deviendra

$\alpha p+\beta p^{2}+\gamma p^{3}+\ldots =0\,;$

d’où l’on tirera $p$ par les méthodes connues ; après quoi on trouvera $r$ par la méthode précédente.

19. Si $k=0$ et $h=1,$ en sorte que l’équation à résoudre soit

$\alpha \varphi (t+a)+\beta \varphi (t+b)+\gamma \varphi (t+c)+\ldots =\mathrm {T} ,$

alors, suivant ce qui a été dit dans le n^o 13, on trouvera

$\mathrm {P} =\alpha e^{-\rho a}+\beta e^{-\rho b}+\gamma e^{-\rho c}+\ldots$

et

${\scriptstyle \mathrm {Q} }=-\alpha ae^{-\rho a}-\beta be^{-\rho b}-\gamma ce^{-\rho c}-\ldots ,$

et la valeur de $y,$ c’est-à-dire de $\varphi (t),$ sera exprimée par la suite infinie

$-{\frac {\theta _{1}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{1}}}-{\frac {\theta _{2}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{2}}}-{\frac {\theta _{3}}{\scriptstyle \mathrm {Q} _{3}}}-\ldots ,$

dans laquelle on aura, en général,

$\theta =e^{-\rho t}\int \mathrm {T} e^{\rho t}dt.$

À l’égard des valeurs de $\rho ,$ on les tirera de l’équation $\mathrm {P} =0,$ laquelle est résoluble dans les mêmes cas que ci-dessus, savoir lorsque le coefficient $\gamma$ et tous les suivants sont nuls, et lorsque $b=2a,\ c=3a,\ldots .$ Dans le premier cas on aura

$\alpha e^{-\rho a}+\beta e^{-\rho b}=0,$

d’où l’on tire, en divisant par $\beta e^{-\rho b}$ et prenant les logarithmes

$\rho ={\frac {\log \left(-{\cfrac {\alpha }{\beta }}\right)}{b-a}}={\frac {\log \lambda +\omega {\sqrt {-1}}}{b-a}}.$

Dans le second on aura, en faisant $e^{-\rho a}=p,$

$\alpha +\beta p^{2}+\gamma p^{3}+\ldots =0,$

d’où l’on tirera $p,$ et par conséquent $\rho .$

Solutions de quelques problèmes concernant le mouvement des fluides.

20. Si un fluide homogène et non élastique se meut dans un vase de figure quelconque, et qu’on suppose son mouvement arrivé à un état permanent, nommant $p$ et $q$ les vitesses d’une particule quelconque du fluide parallèlement à deux axes fixes perpendiculaires entre eux, et $t,x$ les coordonnées rectangles qui déterminent la position de cette particule par rapport aux mêmes axes, on aura les équations suivantes :

${\frac {dp}{dt}}+{\frac {dq}{dx}}=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {dp}{dx}}-{\frac {dq}{dt}}=0.$

(Voyez l’Article XLII du Mémoire qui a pour titre : Application de la méthode précédente à la solution, etc., page 440.)

De ces deux équations on tire celle-ci :

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}=-{\frac {d^{2}p}{dx^{2}}},$

dont l’intégrale est

$p=\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)+\psi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right),$

$\varphi$ et $\psi$ dénotant des fonctions quelconques.

Ensuite l’équation ${\frac {dq}{dt}}={\frac {dp}{dx}}$ donnera

${\frac {q}{\sqrt {-1}}}=\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)-\psi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right).$

Or, dans chaque courbe que les particules du fluide décrivent, on a ${\frac {dt}{dx}}={\frac {p}{q}}\,;$ donc l’équation générale de ces courbes sera

$pdx-qdt=0,$

ou bien, en substituant les valeurs de $p$ et $q$ et intégrant ensuite,

$\Phi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)-\Psi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)=\mathrm {M} ,$

$\mathrm {M}$ étant une constante arbitraire, et $\Phi ,\Psi$ dénotant des fonctions telles que ${\frac {d\Phi (t)}{dt}}=\varphi (t)$ et ${\frac {d\Psi (t)}{dt}}=\psi (t),$ et cette équation devra exprimer aussi la courbure des parois du vase.

Supposons que l’axe des $t$ divise le vase en deux parties égales et semblables, il faudra que l’équation dont il s’agit ne contienne aucune puissance paire de ce ; or

${\begin{aligned}\Phi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)=&\Phi (t)+\varphi (t)x{\sqrt {-1}}-\varphi '(t){\frac {x^{2}}{2}}-\varphi ''(t){\frac {x^{3}}{2.3}}{\sqrt {-1}})\ldots ,\\\Psi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)=&\Psi (t)-\psi (t)x{\sqrt {-1}}-\psi '(t){\frac {x^{2}}{2}}-\psi ''(t){\frac {x^{3}}{2.3}}{\sqrt {-1}})\ldots \end{aligned}}$

(on suppose ici que $\varphi '(t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}},\ \varphi ''(t)={\frac {d\varphi '(t)}{dt}},$ et ainsi des autres) ; donc l’équation sera

$\Phi (t)-\Psi (t)+\left[\varphi (t)+\psi (t)\right]x{\sqrt {-1}}-\left[\varphi '(t)-\psi '(t)\right]{\frac {x^{2}}{2}}$

$-\left[\varphi ''(t)+\psi ''(t)\right]{\frac {x^{3}}{2.3}}{\sqrt {-1}}\ldots =\mathrm {M} .$

Maintenant il est clair que les puissances impaires de $x$ ne peuvent disparaître que dans ces deux cas : 1^o lorsque

$\Phi (t)-\Psi (t)=\mathrm {M} ,$

Ce qui donne, en difterentiant deux fois,

$\varphi '(t)-\psi '(t)=0\ldots \,;$

2^o lorsque

$\varphi (t)+\psi (t)=0.$

. ce qui donne aussi

$\varphi ''(t)+\psi ''(t)=0,\ldots .$

Dans le premier cas on aura

$\Psi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)=\Phi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)-\mathrm {M} ,$

et l’équation deviendra

$\Phi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)-\Phi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)=0\,;$

de plus on aura

$p=\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)=0\,;$

et

${\frac {q}{\sqrt {-1}}}=\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right),$

où il faut remarquer qu’en faisant $x$ négative, la valeur de $p$ demeure la même, et que celle de $q$ change de signe ; d’où il s’ensuit que dans ce cas-là les particules du fluide auront autour du diamètre du vase des mouvements semblables, et dans le même sens.

Dans le second cas on aura

$\psi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)=-\varphi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right),$

et intégrant,

$\Psi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)=\mathrm {N} -\Phi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right),$

d’où

$\Phi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)+\Phi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)=\mathrm {M+N} ,$

et ensuite

${\begin{aligned}p=&\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right),\\{\frac {q}{\sqrt {-1}}}=&\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right).\end{aligned}}$

Ici, en faisant $x$ négative, $p$ devient négative, et $q$ demeure positive, ce qui fait voir que dans ce cas les particules du fluide décrivent de côté et d’autre du diamètre du vase des courbes égales et semblables, comme dans le cas précédent, mais avec des directions contraires.

Tout se réduit donc à trouver la fonction $\Phi$ par cette condition que

$\Phi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)\pm \Phi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)=\mathrm {H} ,$

$x$ étant donnée en $t$ par la figure des parois du vase, et $\mathrm {H}$ étant une quantité constante.

Soit $x=h+kt,$ ce qui est le cas où les parois sont des lignes droites, et l’équation dont il s’agit sera réductible à la formule générale du n^o 18.

On fera donc

$\alpha =1,\ \ \beta =\pm 1,\ \ \gamma =0,\ \ a={\sqrt {-1}},\ \ b=-{\sqrt {-1}},\ \ \mathrm {T=H} ,\ \ y=\Phi (t),$

et l’on aura :

1^o $-{\frac {\alpha }{\beta }}=\mp 1,$ et par conséquent

$\lambda =1,\qquad \cos \omega =\mp 1,\qquad \sin \omega =0\,;$

donc $\omega =\mu \pi ,$ $\pi$ dénotant la demi-circonférence, et $\mu$ étant un nombre quelconque impair dans le premier cas, savoir dans le cas où l’on prend le signe supérieur, et un nombre quelconque pair dans l’autre cas ; par conséquent on aura

$r+1={\frac {\mu \pi {\sqrt {-1}}}{\log {\cfrac {1+k{\sqrt {-1}}}{1-k{\sqrt {-1}}}}}}\,;$

or on sait que

$\log {\frac {1+\operatorname {tang} u{\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} u{\sqrt {-1}}}}=2u{\sqrt {-1}}\,;$

donc, prenant $u$ pour l’arc dont la tangente est $k,$ on aura

$r+1={\frac {\mu \pi }{2u}}.$

2^o On aura, par le même numéro,

$\mathrm {Q} =-\left(1+k{\sqrt {-1}}\right)^{-r-1}\log \left(1+k{\sqrt {-1}}\right)\mp \left(1-k{\sqrt {-1}}\right)^{-r-1}\log \left(1-k{\sqrt {-1}}\right)\,;$

or, à cause de $k={\frac {\sin u}{\cos u}},$ on a

${\begin{aligned}\left(1\pm k{\sqrt {-1}}\right)^{-r-1}=&\cos ^{r+1}u\left(\cos u\pm \sin u{\sqrt {-1}}\right)^{-r-1}\\=&\cos ^{r+1}u\left[\cos(r+1)u+\sin(r+1)u{\sqrt {-1}}\right],\end{aligned}}$

et

$\log \left(1\pm k{\sqrt {-1}}\right)=\log {\frac {\left(\cos u\pm \sin u{\sqrt {-1}}\right)}{\cos u}}=\pm u{\sqrt {-1}}-\log \cos u\,;$

donc on aura pour le premier cas, à cause de $(r+1)u={\frac {\mu \pi }{2}},$

$\mathrm {Q} =-2\cos ^{r+1}u\left[u\sin(r+1)u-(\log \cos u)\cos(r+1)u\right]=\mp 2u\cos ^{r+1}u,$

le signe supérieur étant pour le cas où $\mu$ sera de la forme $4\nu +1,$ et le signe inférieur pour le cas où $\mu$ sera de la forme $4\nu +3\,;$ et pour l’autre cas

${\begin{aligned}\mathrm {Q} =&-2\cos ^{r+1}u\left[u\cos(r+1)u+(\log \cos u)\sin(r+1)u\right]{\sqrt {-1}}\\=&\mp 2u\cos ^{r+1}u{\sqrt {-1}},\end{aligned}}$

le signe supérieur étant pour le cas où $\mu$ est de la formes $4\nu ,$ et le signe inférieur pour le cas où $\mu$ est de la forme $4\nu +2.$

3^o On aura, à cause de $\mathrm {T=H,}$

$\int \mathrm {T} (h+kt)^{r}dt={\frac {\mathrm {H} }{(r+1)k}}(h+kt)^{r+1}+\mathrm {const} .,$

donc

$\theta ={\frac {\mathrm {H} }{(r+1)k}}+(h+kt)^{-r-1}\times \mathrm {const} .$

Donc on aura en général dans le premier cas

$-k{\frac {\theta }{\mathrm {Q} }}=\pm {\frac {\mathrm {H} }{2u(r+1)\cos ^{r+1}u}}+(h+kt)^{-r-1}\times \mathrm {const} .,$

et dans le second cas

$-k{\frac {\theta }{\mathrm {Q} }}=\pm {\frac {\mathrm {H} }{2u(r+1)\cos ^{r+1}u{\sqrt {-1}}}}+(h+kt)^{-r-1}\times \mathrm {const} .$

Ainsi, substituant au lieu de $r+1$ sa valeur ${\frac {\mu \pi }{2u}},$ et mettant successivement au lieu de $\mu$ tous les nombres entiers positifs et négatifs, on aura tous les termes qui doivent entrer dans la valeur de $y.$

Il y a cependant un cas à excepter ; c’est celui où $\mu =0,$ et par conséquent $r=-1\,;$ dans ce cas on aura

$\int \mathrm {T} (h+kt)^{r}dt={\frac {\mathrm {H} }{k}}\log(h+kt)+\mathrm {const} .,$

et par conséquent

$-k{\frac {\theta }{\mathrm {Q} }}=s{\frac {\mathrm {H} }{2u{\sqrt {-1}}}}\log(h+kt)+\mathrm {const} .$

Donc, faisant, pour abréger,

$(\cos u)^{\frac {\pi }{2u}}=p,\qquad (h+kt)^{\frac {\pi }{2u}}=z,$

et prenant des constantes arbitraires $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,a,b,c,\ldots$ on aura pour l’équation

${\begin{aligned}&\Phi \left[t+(h+kt){\sqrt {-1}}\right]+\Phi \left[t-(h+kt){\sqrt {-1}}\right]=\mathrm {H} ,\\\\&\Phi (t)=\mathrm {A} z+az^{-1}+\mathrm {B} z^{3}+bz^{-3}+\ldots \end{aligned}}$

$+{\frac {\mathrm {H} }{\pi }}\left(p+{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{3}}p^{3}-{\frac {1}{3p^{3}}}+{\frac {1}{5}}p^{5}+{\frac {1}{5p^{5}}}-\ldots \right),$

et pour l’équation

$\Phi \left[t+(h+kt){\sqrt {-1}}\right]-\Phi \left[t-(h+kt){\sqrt {-1}}\right]=\mathrm {H} ,$

$\Phi (t)={\frac {\mathrm {H} }{2u{\sqrt {-1}}}}\log(h+kt)+\mathrm {A} z^{2}+az^{-2}+\mathrm {B} z^{4}+bz^{-4}+\ldots +\mathrm {const} .$

Or

${\begin{aligned}p-{\frac {1}{3}}p^{3}-{\frac {1}{5}}p^{5}-\ldots =&\operatorname {arc} \operatorname {tang} p,\\{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{3p^{3}}}+{\frac {1}{5p^{5}}}-\ldots =&\operatorname {arc} \cot p\,;\end{aligned}}$

donc la somme de ces deux séries sera égale à ${\frac {\pi }{2}}\,;$ par conséquent on aura

pour la première équation

$\Phi (t)=\mathrm {A} z+az^{-1}+\mathrm {B} z^{3}+bz^{-3}+\ldots +{\frac {\mathrm {H} }{2}}.$

Connaissant ainsi la nature de la fonction $\Phi ,$ on trouvera par la différentiation la fonction $\varphi ,$ et par conséquent les expressions des vitesses $p$ et $q,$ et l’on déterminera ensuite les constantes arbitraires $\mathrm {A} ,a,\mathrm {B} ,b,\ldots ,$ par les valeurs connues et données de $p$ et $q,$ lorsque $t=0.$

21. Si $k=0,$ de manière que le fluide se meuve dans un canal rectiligne et dont la largeur soit partout égale à $2h,$ on supposera $k$ intiniment petite, et l’on aura d’abord $u=k\,;$ faisant ensuite $k=\alpha h,$ $\alpha$ étant une quantité évanouissante, on aura

$(h+kt)^{\frac {\pi }{2u}}=h^{\frac {\pi }{2u}}(1+\alpha t)^{\frac {\pi }{2\alpha h}}=h^{\frac {\pi }{2k}}e^{\frac {\pi t}{2h}}$

et

$\log(h+kt)=\log \left[h(1+\alpha t)\right]=\log h+\alpha t\,;$

par conséquent

${\frac {\mathrm {H} }{2u{\sqrt {-1}}}}\log(h+kt)={\frac {\mathrm {H} \log h}{2k{\sqrt {-1}}^{2}}}+{\frac {\mathrm {H} \log t}{2h{\sqrt {-1}}^{2}}}.$

Donc, si l’on fait $z=e^{\frac {\pi t}{2h}},$ on aura pour $\Phi (t)$ les mêmes expressions que dans le numéro précédent, excepté qu’au lieu de ${\frac {\mathrm {H} }{2u{\sqrt {-1}}}}\log(h+kt),$ il faudra mettre ${\frac {\mathrm {H} \log t}{2h{\sqrt {-1}}}}.$

22. Si l’on ne voulait pas que le vase eût deux parties égales et semblables, alors nommant $x$ les ordonnées qui répondent à l’une des parois, et $x'$ celles qui répondent à l’autre, on aura les deux équations

${\begin{aligned}\Phi \left(t+x\ {\sqrt {-1}}\right)-\Psi \left(t-x\ {\sqrt {-1}}\right)=&\mathrm {M} ,\\\Phi \left(t+x'{\sqrt {-1}}\right)-\Psi \left(t-x'{\sqrt {-1}}\right)=&\mathrm {N} ,\end{aligned}}$

par le moyen desquelles on déterminera les fonctions $\Phi$ et $\Psi .$

Si les deux parois sont des lignes droites, de sorte que

$x=h+ht\quad {\text{et}}\quad x'=h'+k't,$

on en viendra à bout de la manière suivante. On supposera $h'=h+\mathrm {H} ,$$k'=k+\mathrm {K} ,$ et la seconde équation deviendra, en faisant $\mathrm {H+K} t=\mathrm {X} ,$

$\Phi \left(t+x{\sqrt {-1}}+\mathrm {X} {\sqrt {-1}}\right)-\Psi \left(t-x{\sqrt {-1}}-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}\right)=\mathrm {N} .$

Soient maintenant

$\Phi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)=y\quad {\text{et}}\quad \Psi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)=y'\,;$

on aura ces deux équations :

${\begin{aligned}&y-y'=\mathrm {M} ,\\&y\ +{\frac {dy}{dt}}\ \mathrm {X} {\sqrt {-1}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\ {\frac {\left(\mathrm {X} {\sqrt {-1}}\right)^{2}}{2}}+{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}\ {\frac {\left(\mathrm {X} {\sqrt {-1}}\right)^{3}}{2.3}}+\ldots \\-&y'+{\frac {dy'}{dt}}\mathrm {X} {\sqrt {-1}}-{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}{\frac {\left(\mathrm {X} {\sqrt {-1}}\right)^{2}}{2}}+{\frac {d^{3}y'}{dt^{3}}}{\frac {\left(\mathrm {X} {\sqrt {-1}}\right)^{3}}{2.3}}-\ldots =\mathrm {N} .\end{aligned}}$

La première donne

$y'=y-\mathrm {M} ,\qquad {\frac {dy'}{dt}}={\frac {dy}{dt}},\qquad {\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ldots$

donc la seconde deviendra

$2{\frac {dy}{dt}}\mathrm {X} {\sqrt {-1}}+2{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}{\frac {\left(\mathrm {X} {\sqrt {-1}}\right)^{3}}{2.3}}+\ldots +\mathrm {M=N} ,$

ou bien

$2{\sqrt {-1}}(\mathrm {H+K} t){\frac {dy}{dt}}+2{\frac {\left({\sqrt {-1}}\right)^{3}}{2.3}}(\mathrm {H+K} t)^{3}{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}$

$+2{\frac {\left({\sqrt {-1}}\right)^{5}}{2.3.4.5}}(\mathrm {H+K} t)^{5}{\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}-\ldots =\mathrm {N-M} ,$

équation qui est dans le cas de la formule (S) du n^o 18, et l’on aura

$\alpha =1,\quad \beta =-1,\quad \gamma =0\,;\quad a={\sqrt {-1}},\quad b=-{\sqrt {-1}}\,;\quad h=\mathrm {H} ,\quad k=\mathrm {K} \,;$

donc, etc.

On trouvera ainsi la valeur de $y$ en $t,$ après quoi on aura celle de $y'$ par l’équation $y'-y-\mathrm {M} .$

23. Les équations

${\begin{aligned}p=&\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right),\\{\frac {q}{\sqrt {-1}}}=&\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right),\end{aligned}}$

trouvées dans le n^o 20, donnent

$p\pm {\frac {q}{\sqrt {-1}}}=2\varphi \left(t\pm x{\sqrt {-1}}\right)\,;$

ou bien, en faisant $\mathrm {P} ={\frac {p}{2}},\ \mathrm {Q} =-{\frac {q}{2}},$

$\varphi \left(t\pm x{\sqrt {-1}}\right)=\mathrm {P\pm Q} {\sqrt {-1}}\,;$

ainsi, pour trouver les vitesses $p$ et $q,$ il ne s’agit que de réduire l’expression $\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)$ à la forme $\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},$ $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ étant des quantités réelles.

Lorsque la fonction $\varphi$ est donnée algébriquement, on peut trouver les valeurs de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ par les méthodes connues ; mais, si la fonction $\varphi$ est inconnue, alors il faut avoir recours aux séries, lesquelles donnent

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\varphi (t)-{\frac {x^{2}}{2}}\varphi ''(t)+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}\varphi ^{\mathrm {iv} }(t)-\ldots ,\\\mathrm {Q} =&x\varphi '(t)-{\frac {x^{3}}{2.3}}\varphi '''(t)+{\frac {x^{5}}{2.3.4.5}}\varphi ^{\mathrm {v} }(t)-\ldots .\end{aligned}}$

Or je remarque : 1^o que ces deux séries deviennent divergentes lorsque $x$ est fort grande ; 2^o qu’elles demandent qu’on connaisse les différences de la fonction $\varphi (t),$ de sorte qu’elles ne peuvent être d’usage dans la pratique que lorsque la fonction $\varphi$ est connue analytiquement, et nullement lorsque cette fonction n’est donnée que mécaniquement, c’est-à-dire par le moyen d’une courbe ; ainsi je crois qu’il ne sera pas inutile de faire voir comment on peut transformer ces mêmes séries en d’autres qui dépendent uniquement de la fonction $\varphi .$

Pour cet effet, je prends la quantité

${\frac {\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)}{2}},$

laquelle étant réduite en série devient

$\varphi (t)-{\frac {x^{2}}{2}}\varphi ''(t)+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}\varphi ^{\mathrm {iv} }(t)-{\frac {x^{6}}{2.3.4.5.6}}\varphi ^{\mathrm {vi} }(t)+\ldots .$

Je prends de plus la quantité

${\frac {\varphi (t+x)+\varphi (t-x)}{2}},$

laquelle se change de même en celle-ci :

$\varphi (t)+{\frac {x^{2}}{2}}\varphi ''(t)+{\frac {x^{4}}{2.3.4}}\varphi ^{\mathrm {iv} }(t)+{\frac {x^{6}}{2.3.4.5.6}}\varphi ^{\mathrm {vi} }(t)+\ldots .$

J’appelle la première de ces deux quantités $y,$ et la seconde $y\,;$ ensuite je suppose que $\mathrm {Y,Y',Y'',Y'''} ,\ldots$ soient les valeurs de $y,$ lorsque, au lieu de $x,$ on y met $0,x,2x,3x,\ldots ,$ et prenant des coefficients arbitraires $\alpha ,\alpha ',\alpha '',$$\alpha ''',\ldots ,$ j’aurai

${\begin{aligned}y&-\alpha \mathrm {Y-\alpha 'Y'-\alpha ''Y''-\alpha '''Y'''} -\ldots \\&=(1-\alpha -\alpha '-\alpha ''-\alpha '''-\ldots )\varphi (t)\\&-\left(1+\alpha '+2^{2}\alpha ''+3^{2}\alpha '''+\ldots \right){\frac {x^{2}}{2}}\varphi ''(t)\\&+\left(1-\alpha '-2^{4}\alpha ''-3^{4}\alpha '''-\ldots \right){\frac {x^{4}}{2.3.4}}\varphi ^{\mathrm {iv} }(t)\\&-\left(1+\alpha '+2^{6}\alpha ''+3^{6}\alpha '''+\ldots \right){\frac {x^{6}}{2.3.4.5.6}}\varphi ^{\mathrm {vi} }(t)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Soient

(T)

$\left\{{\begin{aligned}&1-\alpha -\alpha '-\alpha ''-\alpha '''-\ldots =0,\\&1+\alpha '+2^{2}\alpha ''+3^{2}\alpha '''+\ldots =0,\\&1-\alpha '-2^{4}\alpha ''-3^{4}\alpha '''-\ldots =0,\\&1+\alpha '+2^{6}\alpha ''+3^{6}\alpha '''+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

on aura

$y=\alpha \mathrm {Y+\alpha 'Y'+\alpha ''Y''+\alpha '''Y'''} +\ldots$

Tout se réduira donc à tirer les valeurs de $\alpha ',\alpha '',\alpha ''',\ldots$ des équations (T). Pour y parvenir, je multiplie la seconde par $\beta ',$ la troisième par $\beta '',$ la quatrième par $\beta ''',\ldots \,;$ $\beta ',\beta '',\beta ''',\ldots$ étant des coefficients indéterminés ; après quoi je les ajoute toutes ensemble, ce qui me donne

${\begin{aligned}&\ 1+\beta '+\beta ''+\beta '''+\ldots -\alpha \\-&(1-\beta '+\beta ''-\beta '''+\ldots )\alpha '\\-&\left(1-2^{2}\beta '+2^{4}\beta ''-2^{6}\beta '''+\ldots \right)\alpha ''\\-&\left(1-3^{2}\beta '+3^{4}\beta ''-3^{6}\beta '''+\ldots \right)\alpha '''\\-&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}$

À présent, pour avoir la valeur d’une $\alpha$ quelconque, comme $\alpha ^{(m)},$ je fais égal à zéro chacun des coefficients des autres $\alpha \,;$ de cette manière j’ai d’abord

$\alpha ^{(m)}={\frac {1+\beta '+\beta ''+\beta '''+\ldots -\alpha }{1-m^{2}\beta '+m^{4}\beta ''-m^{6}\beta '''+\ldots }},$

et ensuite les équations de condition

${\begin{aligned}&1-\beta '+\beta ''-\beta '''+\ldots =0,\\&1-2^{2}\beta '+2^{4}\beta ''-2^{6}\beta '''+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire l’équation

$1-\beta 'u^{2}+\beta ''u^{4}-\beta '''u^{6}+\ldots =0,$

laquelle doit avoir lieu en mettant au lieu de $u$ tous les nombres entiers $1,2,3,\ldots$ à l’infini, excepté $m.$ Donc, si l’on multiplie cette équation par $1-{\frac {u^{2}}{m^{2}}},$ et qu’on suppose $u={\frac {z}{\pi }},$ on aura

$1-{\frac {\beta '+{\cfrac {1}{m^{2}}}}{\pi ^{2}}}z^{2}+{\frac {\beta ''+{\cfrac {\beta '}{m^{2}}}}{\pi ^{4}}}z^{4}+{\frac {\beta '''+{\cfrac {\beta ''}{m^{2}}}}{\pi ^{6}}}z^{6}+\ldots =0,$

équation dont les racines seront $\pi ^{2},4\pi ^{2},9\pi ^{2},16\pi ^{2},\ldots$ à l’infini ; donc, comparant cette équation avec l’équation

${\frac {\sin z}{z}}=1-{\frac {z^{2}}{2.3}}+{\frac {z^{4}}{2.3.4.5}}-{\frac {z^{6}}{2.3.4.5.6.7}}+\ldots =0,$

dont les racines sont aussi, comme on sait, $\pi ^{2},4\pi ^{2},9\pi ^{2},16\pi ^{2},\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}\beta '\ \ +{\frac {1}{m^{2}}}=&{\frac {\pi ^{2}}{2.3}},\\\beta ''\ +{\frac {\beta '}{m^{2}}}=&{\frac {\pi ^{4}}{2.3.4.5}},\\\beta '''+{\frac {\beta ''}{m^{2}}}=&{\frac {\pi ^{6}}{2.3.4.5.6.7}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

par où l’on connaîtra les valeurs des quantités $\beta \,;$ mais, pour notre objet, il suffit de remarquer que

$1-\beta 'u^{2}+\beta ''u^{4}-\beta '''u^{6}+\ldots ={\frac {\sin \pi u}{\pi u\left(1-{\cfrac {u^{2}}{m^{2}}}\right)}}.$

Car, faisant : 1^o $u^{2}=-1,$ savoir $u={\sqrt {-1}},$ on aura

$1+\beta '+\beta ''+\beta '''+\ldots ={\frac {\sin \pi {\sqrt {-1}}}{\pi {\sqrt {-1}}\left(1+{\cfrac {1}{m^{2}}}\right)}}={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi \left(1+{\cfrac {1}{m^{2}}}\right)}}\,;$

2^o si l’on suppose $u=m,$ on trouvera, en différenciant le numérateur et le dénominateur, à cause que l’un et l’autre s’évanouissent lorsque $u=m,$

$1-\beta 'm^{2}+\beta ''m^{4}-\beta '''m^{6}+\ldots =-{\frac {\cos m\pi }{2}}=\pm {\frac {1}{2}},$

le signe supérieur étant pour le cas où $m$ est impair, et le signe inférieur pour le cas où $m$ est pair ; donc on aura

$\alpha ^{(m)}=\pm {\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{\pi \left(1+{\cfrac {1}{m^{2}}}\right)}}\mp 2\alpha ,$

ou bien, en faisant $\alpha =a{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }},$

$\alpha ^{(m)}=\pm {\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{\pi }}{\frac {m^{2}(1-a)-a}{m^{2}+1}}\,;$

donc enfin

$y={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{\pi }}\left[{\frac {a}{2}}\mathrm {Y} +{\frac {1-a-a}{1+1}}\mathrm {Y} '-{\frac {4(1-a)-a}{4+1}}\mathrm {Y} ''\right.$

$\left.+{\frac {9(1-a)-a}{9+1}}\mathrm {Y} '''-\ldots \right]$

Or, puisque la quantité $a$ est arbitraire, on la déterminera de manière que la série devienne la plus convergente qu’il est possible ; c’est pourquoi on fera $1-a=0,$ savoir $a=1\,;$ ce qui donnera

$y={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{\pi }}\left({\frac {\mathrm {Y} }{2}}-{\frac {\mathrm {Y} '}{1+1}}+{\frac {\mathrm {Y} ''}{4+1}}-{\frac {\mathrm {Y} '''}{9+1}}+\ldots \right),$

et par conséquent

${\begin{aligned}&\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)\\=&{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{\pi }}\left[{\frac {1}{2}}\varphi (t)-{\frac {\varphi (t+x)+\varphi (t-x)}{1+1}}+{\frac {\varphi (t+2x)+\varphi (t-2x)}{4+1}}\right.\end{aligned}}$

$\left.-{\frac {\varphi (t+3x)+\varphi (t-3x)}{9+1}}+\ldots \right].$

Qu’on dîfférentie cette équation en faisant varier $x,$ et qu’on l’intègre ensuite en faisant varier $t,$ on aura

${\begin{aligned}&\left[\varphi \left(t+x{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(t-x{\sqrt {-1}}\right)\right]{\sqrt {-1}}\\=&{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{\pi }}\left[{\frac {\varphi (t+x)-\varphi (t-x)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (t+2x)-\varphi (t-2x)}{4+1}}\right.\end{aligned}}$

$\left.+3{\frac {\varphi (t+3x)-\varphi (t-3x)}{9+1}}-\ldots \right].$

Donc, si l’on fait

$\mathrm {P} ={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {1}{2}}\varphi (t)-{\frac {\varphi (t+x)+\varphi (t-x)}{1+1}}+{\frac {\varphi (t+2x)+\varphi (t-2x)}{4+1}}\right.$

$\left.-{\frac {\varphi (t+3x)+\varphi (t-3x)}{9+1}}+\ldots \right],$

$\mathrm {Q} ={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {\varphi (t+x)-\varphi (t-x)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (t+2x)-\varphi (t-2x)}{4+1}}\right.$

$\left.+3{\frac {\varphi (t+3x)-\varphi (t-3x)}{9+1}}-\ldots \right],$

on aura

$\left(\varphi \pm x{\sqrt {-1}}\right)=\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}}\,;$

et les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ seront données, comme on voit, par des suites convergentes dont chaque terme pourra se déterminer mécaniquement sans qu’il soit besoin de connaître la nature de la fonction $\varphi .$

24. Il est clair que l’intégrale de l’équation (n^o 20)

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}=-{\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}$

est aussi

$p=\varphi \left(x+t{\sqrt {-1}}\right)+\psi \left(x-t{\sqrt {-1}}\right),$

ou, ce qui revient au même,

$p={\frac {\varphi \left(x+t{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(x-t{\sqrt {-1}}\right)}{2}}-{\frac {\psi \left(x+t{\sqrt {-1}}\right)-\psi \left(x-t{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}},$

d’où l’on tire ensuite

$q={\frac {\varphi \left(x+t{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(x-t{\sqrt {-1}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}+{\frac {\psi \left(x+t{\sqrt {-1}}\right)+\psi \left(x-t{\sqrt {-1}}\right)}{2}}.$

Imaginons que le vase soit formé de deux parois droites et parallèles, en sorte qu’il ait partout la même largeur $a\,;$ en prenant une de ces parois pour l’axe des $t,$ il faudra que la vitesse $q$ soit nulle lorsque $x=0$ et lorsque $x=a,$ quel que soit $t.$ Or, en faisant $t=0,$ on a $p=\varphi (x)$ et $q=\psi (x)\,;$ ainsi, en décrivant sur la portion de l’axe des $x$ comprise entre les parois du vase deux courbes qui soient les échelles des vitesses $p$ et $q,$ que doivent avoir les particules du fluide dans cette section du vase, les appliquées de ces courbes répondantes à une abscisse quelconque $x$ représenteront les fonctions $\varphi (x)$ et $\psi (x).$

Présentement on trouvera, par le numéro précédent,

${\begin{aligned}p=&{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {1}{2}}\varphi (t)-{\frac {\varphi (x+t)+\varphi (x-t)}{1+1}}+{\frac {\varphi (x+2t)+\varphi (x-2t)}{4+1}}-\ldots \right]\\&-{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {\psi (x+t)-\psi (x-t)}{1+1}}-2{\frac {\psi (x+2t)-\psi (x-2t)}{4+1}}+\ldots \right],\\q=&{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {\varphi (x+t)-\varphi (x-t)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (x+2t)-\varphi (x-2t)}{4+1}}+\ldots \right]\\&+{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {1}{2}}\psi (x)-{\frac {\psi (x+t)+\psi (x-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (x+2t)+\psi (x-2t)}{4+1}}-\ldots \right].\end{aligned}}$

Donc, puisque $q$ doit être égale à zéro, lorsque $x=0$ et $x=a,$ il faudra que l’on ait

${\begin{aligned}&{\frac {\varphi (t)-\varphi (-t)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (2t)-\varphi (-2t)}{4+1}}+\ldots \\&\quad +{\frac {1}{2}}\psi (0)-{\frac {\psi (t)+\psi (-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (2t)+\psi (-2t)}{4+1}}-\ldots =0,\\\\&{\frac {\varphi (a+t)-\varphi (a-t)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (a+2t)-\varphi (a-2t)}{4+1}}+\ldots \\&\quad +{\frac {1}{2}}\psi (a)-{\frac {\psi (a+t)+\psi (a-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (a+2t)+\psi (a-2t)}{4+1}}-\ldots =0,\end{aligned}}$

ou bien, atin que les fonctions $\varphi$ et $\psi$ ne dépendent point l’une de l’autre,

${\begin{aligned}&{\frac {\varphi (t)-\varphi (-t)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (2t)-\varphi (-2t)}{4+1}}+\ldots =0,\\&{\frac {\varphi (a+t)-\varphi (a-t)}{1+1}}-2{\frac {\varphi (a+2t)-\varphi (a-2t)}{4+1}}+\ldots =0,\\&{\frac {1}{2}}\psi (0)-{\frac {\psi (t)+\psi (-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (2t)+\psi (-2t)}{4+1}}-\ldots =0,\\&{\frac {1}{2}}\psi (a)-{\frac {\psi (a+t)+\psi (a-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (a+2t)+\psi (a-2t)}{4+1}}-\ldots =0.\end{aligned}}$

Pour satisfaire à ces quatre conditions, on supposera que les fonctions $\varphi$ et $\psi$ soient telles, que l’on ait en général, quelle que soit la valeur de $u,$

$\varphi (u)=\varphi (-u),\qquad \varphi (a+u)=\varphi (a-u),$

$\psi (u)=-\psi (-u),\qquad \psi (a+u)=-\psi (a-u),$

ce qui servira à déterminer la continuation des deux échelles données pour les abscisses négatives et pour les abscisses plus grandes que $0\,;$ laquelle devra par conséquent être telle, que les ordonnées également distantes de part et d’autre des deux extrémités de l’axe $a$ soient égales et de même signe dans la courbe des vitesses $p,$ et de signes différents dans la courbe des vitesses $q\,;$ d’où il s’ensuit que la première de ces courbes sera composée d’une infinité de branches égales et semblables, toutes du même côté de l’axe, et disposées alternativement en sens contraire, et que l’autre aura de même une infinité de branches égales et semblables, mais situées alternativement au-dessus et au-dessous de l’axe.

Ayant donc décrit ces deux courbes, on aura, par les séries données ci-dessus, les valeurs approchées des vitesses $p$ et $q$ de chaque particule du fluide ; d’où l’on voit que le mouvement d’un fluide qui se meut dans un canal droit est déterminé par le mouvement que ce fluide a dans une section quelconque de ce même canal.

De plus il est clair, par la nature des courbes qui représentent les fonctions $\varphi$ et $\psi ,$ qu’en augmentant ou en diminuant la quantité $t$ de $2a,$ ou de $4a,$ ou de $6a,\ldots ,$ les valeurs de $p$ et de $q$ demeurent les mêmes ; d’où il s’ensuit que si l’on imagine le fluide divisé en portions égales par des droites perpendiculaires aux parois du canal, et placées à la distance $2a$ les unes des autres, chacune de ces portions du fluide aura nécessairement le même mouvement.

Si le fluide était terminé par une ligne droite perpendiculaire aux parois du vase, alors prenant cette même ligne pour l’axe des $x,$ il faurait que $p=0$ lorsque $t=\,;0$ donc $\varphi (x)=0,$ et par conséquent

${\begin{aligned}p=&-{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {\psi (x+t)-\psi (x-t)}{1+1}}-2{\frac {\psi (x+2t)-\psi (x-2t)}{4+1}}+\ldots \right]\\q=&{\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\left[{\frac {1}{2}}\psi (x)-{\frac {\psi (x+t)-\psi (x-t)}{1+1}}+{\frac {\psi (x+2t)+\psi (x-2t)}{4+1}}-\ldots \right].\end{aligned}}$

Or, puisque la valeur de $p$ est nulle lorsque $t=0,$ elle le sera aussi lorsque $t$ est égal à $2a,4a,\ldots \,;$ ainsi le fluide aura dans ce cas le même

mouvement que s’il était renfermé dans un vase de figure rectangulaire dont la longueur fût double, quadruple, etc., de la largeur.

On pourra encore trouver le mouvement du fluide lorsque la longueur du vase sera égale à sa largeur, et en général toutes les fois que les deux dimensions du vase seront commensurables entre elles ; mais il faudra pour lors que les valeurs données de $q$ forment une courbe qui ait un ou plusieurs nœuds, de sorte que la fonction $\psi (x)$ demeure la même en augmentant ou en diminuant se d’une quantité égale à la longueur du vase. Dans tous les autres cas, c’est-à-dire lorsque les dimensions du vase seront incommensurables, on ne pourra déterminer le mouvement du fluide par la théorie précédente ; et comme cette théorie est fondée sur la supposition que le mouvement du fluide soit dans un état constant, en sorte que les particules du fluide décrivent des courbes invariables, ce sera une marque que l’hypothèse dont nous parlons n’aura point lieu ; sur quoi voyez les Articles XLII et XLIII de la Dissertation citée ci-dessus.

Solution d’une question relative à la théorie des cordes vibrantes.

25. La question que je vais examiner ici consiste à savoir si toutes les courbes qui rendent la solution du problème des cordes vibrantes possible, suivant la théorie de M. d’Alembert, sont renfermées ou non dans l’équation

$y=\alpha \sin {\frac {\pi x}{a}}+\beta \sin {\frac {2\pi x}{a}}+\gamma \sin {\frac {3\pi x}{a}}+\ldots \,;$

question que ce grand Géomètre a vivement agitée avec MM. Bernoulli et Euler dans le premier Mémoire de ses Opuscules mathématiques.

Pour pouvoir résoudre cette question d’une manière directe et convaincante, je prends l’équation générale de la courbe que forme la corde vibrante, laquelle est, comme on sait,

$y={\frac {\varphi (x+t)+\varphi (x-t)}{2}},$

et j’examine quelle doit être la forme de la fonction $\varphi$ pour que l’on ait

en général, quel que soit $t,$

$\varphi (t)+\varphi (-t)=0,\quad {\text{et}}\quad \varphi (a+t)+\varphi (a-t)=0,$

conditions nécessaires pour que les deux bouts de la corde soient fixes ; or, puisque $\varphi (t)=-\varphi (-t),$ on aura

$\varphi (a-t)=-\varphi \left[-(a-t)\right]=-\varphi (t-a)\,;$

donc la seconde des deux conditions se réduira à celle-ci :

$\varphi (t+a)-\varphi (t-a)=0.$

Cette équation étant comparée avec la formule du n^o 19, on aura

$\alpha =1,\quad \beta =-1,\quad \gamma =0,\quad b=-a,\quad \mathrm {T} =0\,;$

donc

$\mathrm {P} =e^{-\rho a}-e^{\rho a}\,;$

et faisant $\rho =-r{\sqrt {-1}},$

$\mathrm {P} =2\sin ra{\sqrt {-1}}\,;$

donc l’équation $\mathrm {P} =0$ donnera $ra=\mu \pi ,$ $\mu$ étant un nombre entier positif ou négatif ; par conséquent on aura

$r={\frac {\mu \pi }{a}}\quad {\text{et}}\quad \rho =-{\frac {\mu \pi }{a}}{\sqrt {-1}}\,;$

or, $\mathrm {T}$ étant égal à zéro, on aura

$\int \mathrm {T} e^{\rho t}dt=\mathrm {const} .\,;$

donc

${\frac {\theta }{q}}=e^{{\frac {\mu \pi t}{a}}{\sqrt {-1}}}\times \mathrm {const} .\,;$

donc, donnant successivement à $\mu$ toutes ses valeurs 1,-1,+2,-2,\ldots, et prenant des constantes arbitraires $\mathrm {A,B,C,\ldots ,A',B',C'} ,\ldots ,$ on aura

$\varphi (t)=\mathrm {A} e^{{\frac {\pi t}{a}}{\sqrt {-1}}}+\mathrm {A} 'e^{-{\frac {\pi t}{a}}{\sqrt {-1}}}+\mathrm {B} e^{{\frac {2\pi t}{a}}{\sqrt {-1}}}+\mathrm {B} 'e^{-{\frac {2\pi t}{a}}{\sqrt {-1}}}+\ldots ,$

équation qui revient à cette forme :

$\varphi (t)=\alpha \sin {\frac {\pi t}{a}}+\alpha '\cos {\frac {\pi t}{a}}+\beta \sin {\frac {2\pi t}{a}}+\beta '\cos {\frac {2\pi t}{a}}+\ldots ,$

$\alpha ,\alpha ',\beta ,\beta ',\ldots ,$ étant pareillement des constantes arbitraires.

Or, par la première condition il faut que

$\varphi (t)+\varphi (-t)=0,$

donc

$\alpha '\cos {\frac {\pi t}{a}}+\beta '\cos {\frac {2\pi t}{a}}+\ldots =0,$

donc

$\alpha '=0,\qquad \beta '=0,\ldots ,$

donc

$\varphi (t)=\alpha \sin {\frac {\pi t}{a}}+\beta \sin {\frac {2\pi t}{a}}+\gamma \sin {\frac {3\pi t}{a}}+\ldots \,;$

par conséquent l’équation de la figure initiale de la corde, lorsqu’elle en a une, ne peut être que de la forme

$y=\alpha \sin {\frac {\pi t}{a}}+\beta \sin {\frac {2\pi t}{a}}+\gamma \sin {\frac {3\pi t}{a}}+\ldots \,;$

Sur l’intégration des équations

${\begin{aligned}\mathrm {L} \ \ y+\mathrm {M} \ \ {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} \ \ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots &+l\ \ y'+m\ \ {\frac {dy'}{dt}}+n\ \ {\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\ldots \\&+\lambda \ y''+\mu \ \ {\frac {dy''}{dt}}+\nu \ \ {\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}+\ldots =\mathrm {T} ,\\\mathrm {L} '\ y+\mathrm {M} '\ {\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} '\ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots &+l'\ y'+m'\ {\frac {dy'}{dt}}+n'\ {\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\ldots \\&+\lambda 'y''+\mu '\ {\frac {dy''}{dt}}+\nu '\ {\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}+\ldots =\mathrm {T} ',\\\mathrm {L} ''y+\mathrm {M} ''{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} ''{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\ldots &+l''y'+m''{\frac {dy'}{dt}}+n''{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\ldots \\&+\lambda ''y''+\mu ''{\frac {dy''}{dt}}+\nu ''{\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}+\ldots =\mathrm {T} '',\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

dans lesquelles $\mathrm {L,M,N} ,\ldots ,l,m,n,\ldots ,$ sont des fonctions
quelconques de $t.$

26. En suivant les mêmes principes que dans le n^o 1, on multipliera la première de ces équations par $zdt,$ la seconde par $z'dt,$ la troisième par $z''dt,$ et ainsi de suite, $z,z',z'',\ldots$ étant de nouvelles indéterminées, et, après les avoir ajoutées ensemble, on en prendra l’intégrale en faisant disparaître, par des intégrations par parties, les différences des variables $y,y',y'',\ldots ,$ de dessous le signe $\int \,;$ de cette manière on aura une équation de la forme suivante :

$\mathrm {U} +\int (\mathrm {V} y+\mathrm {V} 'y'+\mathrm {V} ''y''+\ldots )dt=\int (\mathrm {T} z+\mathrm {T} 'z'+\mathrm {T} ''z''+\ldots )dt,$

dans laquelle

${\begin{aligned}\mathrm {U} =y&\left(\mathrm {M} z-{\frac {d.\mathrm {N} z}{dt}}+\ldots +\mathrm {M} 'z'-{\frac {d.\mathrm {N} 'z'}{dt^{2}}}+\ldots +\mathrm {M} ''z''-{\frac {d.\mathrm {N} ''z''}{dt}}+\ldots \right)\\&+{\frac {dy}{dt}}\left(\mathrm {N} z-\ldots +\mathrm {N} 'z'-\ldots +\mathrm {N} ''z''-\ldots \right)+\ldots \\+y'&\left(mz\ -{\frac {d.nz}{dt}}+\ldots +m'z'\ -{\frac {d.n'z'}{dt^{2}}}+\ldots +m''z''-{\frac {d.n''z''}{dt}}+\ldots \right)\\&+{\frac {dy'}{dt}}\left(nz-\ldots +n'z'-\ldots +n''z''-\ldots \right)+\ldots \\+y''&\left(\mu z\ \ -{\frac {d.\nu z}{dt}}+\ldots +\mu 'z'\ \ -{\frac {d.\nu 'z'}{dt^{2}}}+\ldots +\mu ''z''\ \ -{\frac {d.\nu ''z''}{dt}}+\ldots \right)\\&+{\frac {dy''}{dt}}\left(\nu z-\ldots +\nu 'z'-\ldots +\nu ''z''-\ldots \right)+\ldots ,\\\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

${\begin{aligned}\mathrm {V} \ \ =&\mathrm {L} \ \ z\ \,-{\frac {d.\mathrm {M} \ \ z\ \ }{dt}}+{\frac {d^{2}.\mathrm {N} \ \ z\ \ }{dt^{2}}}-\ldots \\+&\mathrm {L} '\ z'\,-{\frac {d.\mathrm {M} '\ z'\,}{dt}}+{\frac {d^{2}.\mathrm {N} '\ z'\,}{dt^{2}}}-\ldots \\+&\mathrm {L} ''z''-{\frac {d.\mathrm {M} ''z''}{dt}}+{\frac {d^{2}.\mathrm {N} ''z''}{dt^{2}}}-\ldots \\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {V} '\ =&l\ \ z\ \,-{\frac {d.m\ \ z\ \ }{dt}}+{\frac {d^{2}.n\ \ z\ \,}{dt^{2}}}-\ldots \\+&l'\ z'\,-{\frac {d.m'\ z'\,}{dt}}+{\frac {d^{2}.n'\ z'}{dt^{2}}}-\ldots \\+&l''z''-{\frac {d.m''z''}{dt}}+{\frac {d^{2}.n''z''}{dt^{2}}}-\ldots \\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {V} ''\ =&\lambda \ \ z\ \,-{\frac {d.\mu \ \ z\ \ }{dt}}+{\frac {d^{2}.\nu \ \ z\ \,}{dt^{2}}}-\ldots \\+&\lambda '\ z'\,-{\frac {d.\mu '\ z'\,}{dt}}+{\frac {d^{2}.\nu '\ z'}{dt^{2}}}-\ldots \\+&\lambda ''z''-{\frac {d.\mu ''z''}{dt}}+{\frac {d^{2}.\nu ''z''}{dt^{2}}}-\ldots \\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

Supposant donc

$\mathrm {V=0,\qquad V'=0,\qquad V''} =0,\ldots ,$

on aura

$\mathrm {U} =\int (\mathrm {T} z+\mathrm {T} z'+\mathrm {T} ''z''+\ldots )dt,$

équation dans laquelle les plus hautes différences des variables $y,y',$$y'',\ldots$ se trouveront moins élevées d’une unité que dans les équations différentielles proposées.

On aura donc autant de pareilles intégrales qu’on trouvera de valeurs particulières de chacune des quantités $z,z',z'',\ldots$ par le moyen des équations $\mathrm {V=0,\ V'=0,\ V''} =0,\ldots .$ Or, soit $m$ la somme des exposants des plus hautes différences de $y,y',y'',\ldots$ dans les équations proposées, il est clair que la quantité $\mathrm {U}$ contiendra autant d’inconnues, comme $y,y',y'',\ldots ,{\frac {dy}{dt}},{\frac {dy'}{dt}},{\frac {dy''}{dt}},\ldots ,$ qu’il y a d’unités dans le nombre $m\,;$ donc, si l’on a aussi $m$ valeurs particulières de $z,$ de $z',$ de $z'',\ldots ,$ on trouvera facilement les valeurs générales et complètes de $y,y',y'',\ldots .$

Soient maintenant $\mathrm {Y,Y',Y''} ,\ldots$ les premiers membres des équations proposées, on aura

(U)

$\int (\mathrm {Y} z+\mathrm {Y} 'z'+\mathrm {Y} ''z''+\ldots )dt=\mathrm {U} +\int (\mathrm {V} y+\mathrm {V} 'y'+\mathrm {V} ''y''+\ldots )dt\,;$

donc, faisant $\mathrm {V=0,\ V'=0,\ V''} =0,\ldots ,$ on aura l’équation

$\mathrm {U} -\int (\mathrm {Y} z+\mathrm {Y} 'z'+\mathrm {Y} ''z''+\ldots )dt=\mathrm {const} .,$

laquelle aura nécessairement toutes les valeurs de $z,z',z'',\ldots$ communes

avec les équations $\mathrm {V=0,\ V'=0,\ V''} =0,\ldots .$ Or l’équation (U) est identique, et par conséquent ne dépend point des valeurs de $y,y',y'',\ldots \,;$ donc on peut supposer ces valeurs telles que

$\mathrm {Y=0,\qquad Y'=0,\qquad Y''} =0,\ldots ,$

et l’on aura par ce moyen l’équation $\mathrm {U=const} .,$ dans laquelle on regardera les quantités $y,y',y'',\ldots ,{\frac {dy}{dt}},{\frac {dy'}{dt}},{\frac {dy''}{dt}},\ldots$ comme données, et les quantités $z,z',z'',\ldots ,{\frac {dz}{dt}},{\frac {dz'}{dt}},{\frac {dz''}{dt}},\ldots$ comme indéterminées ; or il est aisé de voir que ces indéterminées seront aussi au nombre de $m\,;$ si donc on a $m$ valeurs particulières de chacune des quantités $y,y',y'',\ldots$ dans les équations $\mathrm {Y=0,\ Y'=0,\ Y''} =0,\ldots ,$ on aura aussi, par la substitution successive de ces valeurs dans l’équation $\mathrm {U=const} .,$ $m$ équations particulières, d’où l’on tirera les valeurs de $z,z',z'',\ldots ,$ lesquelles contiendront nécessairement $m$ constantes arbitraires ; de sorte qu’en faisant successivement toutes ces constantes, hors une, égales à zéro, on aura $m$ valeurs particulières de $z,$ de $z',$ de $z''.$ Donc, etc.

27. De là résulte ce théorème :

Les équations proposées seront intégrables algébriquement, si l’on peut trouver, dans le cas de $\mathrm {T=0,T'=0,T''} =0,\ldots ,$ autant de valeurs particulières de chacune des quantités $y,y',y'',\ldots$ qu’il y a d’unités dans la somme des exposants des plus hautes différences de ces variables.

Au reste, ce théorème n’est qu’une suite de celui du n^o 6. Car il est clair que les équations proposées peuvent toujours réduire à ne contenir chacune qu’une seule variable, et il est facile de s’assurer par le calcul que les réduites seront nécessairement de l’ordre $m\,;$ donc, etc.

28. Les équations $\mathrm {V=0,\ V'=0,\ V''} =0,\ldots .$ sont intégrables en général lorsque

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {L} \ =&\mathrm {A} \ (h+kt)^{p},\qquad &\mathrm {M} \ =&\mathrm {B} \ (h+kt)^{p+1},\qquad &\mathrm {N} =&\mathrm {C} (h+kt)^{p+2},\ldots ,\\\mathrm {L} '=&\mathrm {A} '(h+kt)^{p},&\mathrm {M} '=&\mathrm {B} '(h+kt)^{p+1},\ldots ,\end{alignedat}}$

et de même

${\begin{alignedat}{3}l\ =&a\ (h+kt)^{q},\qquad &m\ =&b\ (h+kt)^{q+1},\qquad &n=&c(h+kt)^{q+2},\ldots ,\\l'=&a'(h+kt)^{q},&m'=&b'(h+kt)^{q+1},\ldots ,\end{alignedat}}$

et ainsi des autres.

On fera dans ce cas

$z=\mathrm {R} (h+kt)^{r},\qquad z'=\mathrm {R} '(h+kt)^{r},\qquad z''=\mathrm {R} ''(h+kt)^{r},\ldots ,$

$\mathrm {R,R',R''} ,\ldots$ étant ainsi que $r$ des constantes indéterminées ; on substituera ces valeurs dans les équations dont il s’agit, et divisant ensuite la première par $(h+kt)^{p+r},$ la seconde par $(h+kt)^{q+r},\ldots ,$ on aura des équations sans $t,$ qui donneront les valeurs de $r,\mathrm {R,R',R''} ,\ldots .$

29. Si les coefficients $\mathrm {L,M,N,\ldots ,L',M',N'} ,\ldots$ étaient constants, on ferait $k=0,\ h=1$ et $r={\frac {\rho }{k}},$ $\rho$ étant une quantité finie, et l’on aurait

$(h+kt)^{r}=e^{\rho t}\,;$

par conséquent il faudrait supposer

$z=\mathrm {R} e^{\rho t},\qquad z'=\mathrm {R} 'e^{\rho t},\qquad z''=\mathrm {R} ''e^{\rho t},\ldots .$

Méthode générale pour déterminer le mouvement d’un système quelconque de corps qui agissent les uns sur les autres, en supposant que ces corps ne fassent que des oscillations infiniment petites autour de leurs points d’équilibre.

30. Soit $n$ le nombre des corps qui composent le système, et nommons $y',y'',y''',\ldots$ les espaces infiniment petits que ces corps décrivent dans leurs oscillations pendant le temps $t$ ; on aura, en négligeant les quantités infiniment petites du second ordre et des ordres plus élevés, des équations de cette forme

$(a)\qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}&+\mathrm {A} '\ \,y'+\mathrm {B} '\ \,y''+\mathrm {C} '\,y'''+\ldots \ldots +\mathrm {N} '\ \,y^{(n)}=0,\\{\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}&+\mathrm {A} ''\,y'+\mathrm {B} ''\,y''+\mathrm {C} ''\,y'''+\ldots \ldots +\mathrm {N} ''\,y^{(n)}=0,\\{\frac {d^{2}y'''}{dt^{2}}}&+\mathrm {A} '''y'+\mathrm {B} '''y''+\mathrm {C} '''y'''+\ldots \ldots +\mathrm {N} '''y^{(n)}=0,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {d^{2}y^{(n)}}{dt^{2}}}&+\mathrm {A} ^{(n)}y'+\mathrm {B} ^{(n)}y''+\mathrm {C} ^{(n)}y'''+\ldots +\mathrm {N} ^{(n)}y^{(n)}=0,\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {A',B',C',\ldots ,A'',B'',C''} ,\ldots$ étant des constantes données par la nature du problème.

Pour intégrer ces équations suivant la méthode expliquée ci-dessus, on multipliera la première par $\lambda 'e^{\rho t}dt,$ la seconde par $\lambda ''e^{\rho t}dt,$ la troisième par $\lambda '''e^{\rho t}dt,$ et ainsi de suite, $\lambda ',\lambda '',\lambda ''',\ldots$ étant, ainsi que $\rho ,$ des constantes indéterminées ; ensuite on les ajoutera ensemble, et on en prendra l’intégrale en faisant disparaître de dessous le signe $\int$ les différences des variables $y',y'',y''',\ldots \,;$ après quoi on fera les coefficients des quantités $\int y'e^{\rho t}dt,$$\int y''e^{\rho t}dt,\ \int y'''e^{\rho t}dt,\ldots ,$ égaux à zéro ; de cette manière on aura d’abord l’équation intégrale

$(b)\left\{{\begin{aligned}&\left[\lambda '\left({\frac {dy'}{dt}}-\rho y'\right)+\lambda ''\left({\frac {dy''}{dt}}-\rho y''\right)\right.\\&\quad \left.\lambda '''\left({\frac {dy'''}{dt}}-\rho y'''\right)+\ldots +\lambda ^{(n)}\left({\frac {dy^{(n)}}{dt}}-\rho y^{(n)}\right)\right]e^{\rho t}=\mathrm {const} .\end{aligned}}\right.$

et ensuite les équations

$(c)\qquad \left\{{\begin{aligned}\rho ^{2}\lambda '\ \ &+\mathrm {A'\lambda '+A''\lambda ''+A'''\lambda '''+\ldots +A} ^{(n)}\lambda ^{(n)}=0,\\\rho ^{2}\lambda ''\ &+\mathrm {B'\lambda '+B''\lambda ''+B'''\lambda '''\,+\ldots +B} ^{(n)}\lambda ^{(n)}=0,\\\rho ^{2}\lambda '''&+\mathrm {C'\lambda '+C''\lambda ''+C'''\lambda '''\,+\ldots +C} ^{(n)}\lambda ^{(n)}=0,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho ^{2}\lambda ^{(n)}&+\mathrm {N'\lambda '+N''\lambda ''+N'''\lambda '''\,+\ldots +N} ^{(n)}\lambda ^{(n)}=0,\end{aligned}}\right.$

lesquelles serviront à déterminer les quantités $\rho ,\lambda ',\lambda '',\lambda ''',\ldots .$

Soient, lorsque $t=0,$

$y'=\mathrm {Y} ',\quad y''=\mathrm {Y} '',\quad y'''=\mathrm {Y} ''',\ldots ,$

et

${\frac {dy'}{dt}}=\mathrm {V} ',\quad {\frac {dy''}{dt}}=\mathrm {V} '',\quad {\frac {dy'''}{dt}}=\mathrm {V} ''',\ldots ,$

l’équation (b) deviendra, en divisant par $e^{\rho t},$

$\lambda '{\frac {dy'}{dt}}+\lambda ''{\frac {dy''}{dt}}+\lambda '''{\frac {dy'''}{dt}}+\ldots +\lambda ^{(n)}{\frac {dy^{(n)}}{dt}}$

$-\rho \left[\lambda 'y'+\lambda ''y''+\lambda '''y'''+\ldots +\lambda ^{(n)}y^{(n)}\right]$

$\quad =\left[\lambda '\mathrm {V} '+\lambda ''\mathrm {V} ''+\lambda '''\mathrm {V} '''+\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}\right.$

$\left.-\rho \left(\lambda '\mathrm {Y} '+\lambda ''\mathrm {Y} ''+\lambda '''\mathrm {Y} '''+\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}\right)\right]e^{-\rho t}.$

Or, comme la quantité $\rho$ ne se trouve dans les équations (c) que sous la forme quadratique $\rho ^{2},$ il s’ensuit qu’elle peut avoir indifféremment le signe $+$ et le signe $-\,;$ donc on aura aussi

$\lambda '{\frac {dy'}{dt}}+\lambda ''{\frac {dy''}{dt}}+\lambda '''{\frac {dy'''}{dt}}+\ldots +\lambda ^{(n)}{\frac {dy^{(n)}}{dt}}$

$+\rho \left[\lambda 'y'+\lambda ''y''+\lambda '''y'''+\ldots +\lambda ^{(n)}y^{(n)}\right]$

$\quad =\left[\lambda '\mathrm {V} '+\lambda ''\mathrm {V} ''+\lambda '''\mathrm {V} '''+\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}\right.$

$\left.+\rho \left(\lambda '\mathrm {Y} '+\lambda ''\mathrm {Y} ''+\lambda '''\mathrm {Y} '''+\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}\right)\right]e^{\rho t}\,;$

donc, retranchant ces deux équations l’une de l’autre, et divisant ensuite par $2\rho ,$ on aura

$(d)\quad \left\{{\begin{aligned}\lambda 'y'&+\lambda ''y''+\lambda '''y'''+\ldots +\lambda ^{(n)}y^{(n)}\\&=\left[\lambda '\mathrm {Y} '+\lambda ''\mathrm {Y} ''+\lambda '''\mathrm {Y} '''+\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}\right]{\frac {e^{\rho t}+e^{-\rho t}}{2}}\\&+\left[\lambda '\mathrm {V} '+\lambda ''\mathrm {V} ''+\lambda '''\mathrm {V} '''+\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}\right]{\frac {e^{\rho t}-e^{-\rho t}}{2\rho }}.\end{aligned}}\right.$

Qu’on reprenne maintenant les équations (c) et qu’on substitue dans une quelconque de ces équations les valeurs de ${\frac {\lambda ''}{\lambda '}},{\frac {\lambda '''}{\lambda '}},\ldots ,{\frac {\lambda ^{(n)}}{\lambda '}}$ en $\rho ^{2}$ tirées des $n-1$ autres, valeurs qui seront toujours données, comme on voit, par des équations linéaires, on aura une équation qui, étant ordonnée par rapport à $\rho ^{2},$ montera au degré $n,$ et aura par conséquent $n$ racines. Donc $\rho$ aura, indépendamment de l’ambiguïté du signe dont

nous avons déjà tenu compte, $n$ valeurs que nous dénoterons par $\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots ,\rho _{n},$ en sorte que $\rho _{1}^{2},\rho _{2}^{2},\rho _{3}^{2},\ldots$ soient les racines de l’équation dont il s’agit. Donc, si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}\theta &=\left[\lambda '\mathrm {Y'+\lambda ''Y''+\lambda '''Y'''} +\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}\right]{\frac {e^{\rho t}+e^{-\rho t}}{2}}\\&+\left[\lambda '\mathrm {V'+\lambda ''V''+\lambda '''V'''} +\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}\right]{\frac {e^{\rho t}-e^{-\rho t}}{2\rho }},\end{aligned}}$

et qu’on désigne par $\lambda '_{1},\lambda '_{2},\lambda '_{3},\ldots ,\lambda '_{n},\lambda ''_{1},\lambda ''_{2},\lambda ''_{3},\ldots ,\lambda ''_{n},\ldots$ les valeurs de $\lambda ',\lambda '',\ldots$ qui résultent de la substitution de $\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots ,\rho _{n}$ au lieu de $\rho ,$ et que de même $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\ldots ,\theta _{n}$ soient les valeurs correspondantes de $\theta ,$ on aura, au lieu de l’équation (d), les $n$ suivantes :

${\begin{aligned}\lambda '_{1}y'+\lambda ''_{1}y''+\lambda '''_{1}y'''+\ldots +\lambda _{1}^{(n)}y^{(n)}=&\theta _{1},\\\lambda '_{2}y'+\lambda ''_{2}y''+\lambda '''_{2}y'''+\ldots +\lambda _{2}^{(n)}y^{(n)}=&\theta _{2},\\\lambda '_{3}y'+\lambda ''_{3}y''+\lambda '''_{3}y'''+\ldots +\lambda _{3}^{(n)}y^{(n)}=&\theta _{3},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\\lambda '_{n}y'+\lambda ''_{n}y''+\lambda '''_{n}y'''+\ldots +\lambda _{n}^{(n)}y^{(n)}=&\theta _{n},\end{aligned}}$

par lesquelles il faudra déterminer les $n$ inconnues $y',y'',y''',\ldots ,y^{(n)}\,;$ c’est à quoi se réduit maintenant toute la difficulté du problème.

Pour en venir à bout, je multiplie la première de ces équations par $\mu ',$ la seconde par $\mu '',$ la troisième par $\mu ''',$ et ainsi de suite, $\mu ',\mu '',\mu ''',\ldots$ étant des coefficients indéterminés, puis je les ajoute ensemble, ce qui me donne, en ordonnant les termes par rapport à $y',y'',y''',\ldots ,$

${\begin{aligned}&\left[\mu '\lambda '_{1}\ \ +\mu ''\lambda '_{2}\ \ +\mu '''\lambda '_{3}\ \ \,+\ldots +\mu ^{(n)}\lambda '_{n}\ \,\right]y'\\+&\left[\mu '\lambda ''_{1}\ \ +\mu ''\lambda ''_{2}\ \ +\mu '''\lambda ''_{3}\ \ \,+\ldots +\mu ^{(n)}\lambda ''_{n}\,\ \right]y''\\+&\left[\mu '\lambda '''_{1}\ +\mu ''\lambda '''_{2}\ \ +\mu '''\lambda '''_{3}\ \,+\ldots +\mu ^{(n)}\lambda '''_{n}\ \right]y'''\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\+&\left[\mu '\lambda _{1}^{(n)}+\mu ''\lambda _{2}^{(n)}+\mu '''\lambda _{3}^{(n)}+\ldots +\mu ^{(n)}\lambda _{n}^{(n)}\right]y^{(n)}\\&=\mu '\theta _{1}+\mu ''\theta _{2}+\mu '''\theta _{3}+\ldots +\mu ^{(n)}\theta _{n}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tirera aisément la valeur d’une $y$ quelconque, comme $y^{(s)},$ en

égalant à zéro chacun des coefficients des autres $y\,;$ ainsi l’on aura

$(e)\qquad \qquad y^{(s)}={\frac {\mu '\theta _{1}+\mu ''\theta _{2}+\mu '''\theta _{3}+\ldots +\mu ^{(n)}\theta _{n}}{\mu '\lambda _{1}^{(s)}+\mu ''\lambda _{2}^{(s)}+\mu '''\lambda _{3}^{(s)}+\ldots +\mu ^{(n)}\lambda _{n}^{(s)}}},$

et ensuite ces équations de condition :

$(f)\quad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mu '\lambda '_{1}+\mu ''\lambda '_{2}+\mu '''\lambda '_{3}+\ \ldots \ldots +\mu ^{(n)}\lambda '_{n}\ \ \,&=0,\\\mu '\lambda ''_{1}+\mu ''\lambda ''_{2}+\mu '''\lambda ''_{3}+\ \ldots \ldots +\mu ^{(n)}\lambda ''_{n}\ \ \,&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\\mu '\lambda _{1}^{(n)}+\mu ''\lambda _{2}^{(n)}+\mu '''\lambda _{3}^{(n)}+\ldots +\mu ^{(n)}\lambda _{n}^{(n)}&=0,\end{aligned}}\right.$

à l’exception seulement de celle qui répondrait à l’exposant $s.$

Supposons que l’on ait en général

${\begin{aligned}\mu '\lambda '_{1}\ \,+\mu ''\lambda '_{2}\ +\mu '''\lambda '_{3}\ +\ldots \ldots +\mu ^{(n)}\lambda '_{n}\,=&\Delta ',\\\mu '\lambda ''_{1}\ \,+\mu ''\lambda ''_{2}\,+\mu '''\lambda ''_{3}\ +\ldots \ldots +\mu ^{(n)}\lambda ''_{n}\,=&\Delta '',\\\mu '\lambda '''_{1}\ +\mu ''\lambda '''_{2}+\mu '''\lambda '''_{3}+\ldots \ldots +\mu ^{(n)}\lambda '''_{n}=&\Delta ''',\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\\mu '\lambda _{1}^{(n)}+\mu ''\lambda _{2}^{(n)}+\mu '''\lambda _{3}^{(n)}+\ldots +\mu ^{(n)}\lambda _{n}^{(n)}=&\Delta ^{(n)},\end{aligned}}$

et qu’il faille trouver la valeur d’une $\mu$ quelconque comme $\mu ^{(m)}.$ On multipliera ces équations par des coefficients indéterminés $\nu ',\nu '',\nu ''',\ldots ,\nu ^{(n)},$ et, après les avoir ajoutées ensemble, on fera les coefficients des quantités $\mu ',\mu '',\mu ''',\ldots$ chacun égal à zéro, excepté celui de la quantité $\mu ^{(m)}\,;$ de cette manière on aura

$(g)\qquad \qquad \mu ^{(m)}={\frac {\nu '\Delta '+\nu ''\Delta ''+\nu '''\Delta '''+\ldots +\nu ^{(n)}\Delta ^{(n)}}{\nu '\lambda '_{m}+\nu ''\lambda ''_{m}+\nu '''\lambda '''_{m}+\ldots +\nu ^{(n)}\lambda _{m}^{(n)}}},$

et la détermination des quantités $\nu ',\nu '',\nu ''',\ldots$ dépendra de cette condition que

$(h)\quad \qquad \qquad \nu '\lambda '+\nu ''\lambda ''+\nu '''\lambda '''+\ldots +\nu ^{(n)}\lambda ^{(n)}=0,$

lorsque $\rho =\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots ,\rho _{n}$ excepté $\rho _{m}.$

Or, les équations (c) étant multipliées par $\nu ',\nu '',\nu ''',\ldots ,$ et ajoutées ensemble, donnent

$(i)\left\{{\begin{aligned}&\left[\rho ^{2}\nu '\,\ +\mathrm {A'\ \nu '+B'\ \ \nu ''+C'\,\ \nu '''+\ldots +N'\,} \nu ^{(n)}\right]\lambda '\\+&\left[\rho ^{2}\nu ''\ +\mathrm {A''\,\nu '+B''\,\nu ''+C''\,\nu '''+\ldots +N''\,} \nu ^{(n)}\right]\lambda ''\\+&\left[\rho ^{2}\nu '''+\mathrm {A'''\nu '+B'''\nu ''+C'''\nu '''+\ldots +N'''} \nu ^{(n)}\right]\lambda '''\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\left[\rho ^{2}\nu ^{(n)}+\mathrm {A} ^{(n)}\nu '+\mathrm {B} ^{(n)}\nu ''+\mathrm {C} ^{(n)}\nu '''+\ldots +\mathrm {N} ^{(n)}\nu ^{(n)}\right]\lambda ^{(n)}=0.\end{aligned}}\right.$

Donc, si l’on suppose que les quantités $\nu ',\nu '',\nu ''',\ldots ,\nu ^{(n)},$ ou plutôt leurs rapports, soient tels que les coefficients de $\lambda ',\lambda '',\lambda ''',\ldots ,\lambda ^{(n-1)}$ dans cette équation soient nuls chacun en particulier, celui de $\lambda ^{(n)}$ le sera aussi ; de sorte que l’on aura les $n$ équations suivantes :

$(k)\quad \left\{{\begin{aligned}&\rho ^{2}\nu '\,\ +\mathrm {A'\,\ \nu '+B'\,\ \nu ''+C'\ \nu '''+\ldots +N'\,\ } \nu ^{(n)}=0,\\&\rho ^{2}\nu ''\,+\mathrm {A''\ \nu '+B''\,\nu ''+C''\ \nu '''+\ldots +N''\,} \nu ^{(n)}=0,\\&\rho ^{2}\nu '''+\mathrm {A'''\nu '+B'''\nu ''+C'''\nu '''+\ldots +N'''} \nu ^{(n)}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\rho ^{2}\nu ^{(n)}+\mathrm {A} ^{(n)}\nu '+\mathrm {B} ^{(n)}\nu ''+\mathrm {C} ^{(n)}\nu '''+\ldots +\mathrm {N} ^{(n)}\nu ^{(n)}=0.\end{aligned}}\right.$

Et il est bon de remarquer qu’en éliminant de ces équations les quantités $\nu ',\nu '',\nu ''',\ldots ,$ on aura une équation finale en $\rho ^{2}$ qui sera nécessairement la même que celle qui résulte des équations (c) par l’évanouissement des quantités $\lambda ',\lambda '',\lambda ''',\ldots \,;$ ce qui peut se voir aisément à priori.

Faisons maintenant $\rho =\rho _{m},$ nous aurons

${\begin{aligned}&\mathrm {A'\,\ \nu '+B'\,\ \nu ''+C'\,\ \nu '''+\ldots +N'\,} \nu ^{(n)}=-\rho _{m}^{2}\nu ',\\&\mathrm {A''\ \nu '+B''\,\nu ''+C''\ \nu '''+\ldots +N''} \nu ^{(n)}=-\rho _{m}^{2}\nu '',\\&\mathrm {A'''\nu '+B'''\nu ''+C'''\nu '''+\ldots +N'''} \nu ^{(n)}=-\rho _{m}^{2}\nu ''',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\mathrm {A} ^{(n)}\nu '+\mathrm {B} ^{(n)}\nu ''+\mathrm {C} ^{(n)}\nu '''+\ldots +\mathrm {N} ^{(n)}\nu ^{(n)}=-\rho _{m}^{2}\nu ^{(n)}\end{aligned}}$

et l’équation (i) deviendra

$\left(\rho ^{2}-\rho _{m}^{2}\right)\left[\nu '\lambda '+\nu ''\lambda ''+\nu '''\lambda '''+\ldots +\nu ^{(n)}\lambda ^{(n)}\right]=0,$

laquelle devant être vraie pour toutes les valeurs de $\rho$ qui satisfont aux

équations $(e),$ d’où celle-ci est tirée, on aura, en général,

$\nu '\lambda '+\nu ''\lambda ''+\nu '''\lambda '''+\ldots +\nu ^{(n)}\lambda ^{(n)}=0,$

lorsque $\rho =\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots ,\rho _{n},$ excepté $\rho _{m},$ auquel cas l’équation se vérifie d’elle-même, à cause du facteur $\rho ^{2}-\rho _{m}^{2}.$

D’où l’on voit que les valeurs de $\nu ',\nu '',\nu ''',\ldots ,\nu ^{(n)},$ qui satisfont à la condition $(h),$ sont les mêmes que celles qui résultent des équations $(k),$ en y faisant $\rho =\rho _{m}.$ Donc, si l’on dénote ces valeurs par $\nu '_{m},\nu ''_{m},\nu '''_{m},\ldots ,$ et qu’on les substitue dans l’équation $(g),$ on aura

$\mu ^{(m)}={\frac {\nu _{m}'\Delta '+\nu _{m}''\Delta ''+\nu _{m}'''\Delta '''+\ldots +\nu _{m}^{(n)}\Delta ^{(n)}}{\nu _{m}'\lambda '_{m}+\nu _{m}''\lambda ''_{m}+\nu _{m}'''\lambda '''_{m}+\ldots +\nu _{m}^{(n)}\lambda _{m}^{(n)}}}.$

Mais les équations $(f)$ demandent que les quantités $\Delta ',\Delta '',\Delta ''',\ldots ,\Delta ^{(n)}$ soient toutes nulles à l’exception de $\Delta ^{(s)}\,;$ donc, si l’on fait, pour abréger,

$\nu '\lambda '+\nu ''\lambda ''+\nu '''\lambda '''+\ldots +\nu ^{(n)}\lambda ^{(n)}=\mathrm {Q} ,$

et qu’on dénote en général par $\mathrm {Q} _{m}$ la valeur de $\mathrm {Q}$ lorsque $\rho =\rho _{m},$ on aura, pour notre cas,

$\mu ^{(n)}={\frac {\nu _{m}^{(s)}\Delta ^{(s)}}{\mathrm {Q} _{m}}},$

et par conséquent

$\mu '={\frac {\nu _{1}^{(s)}\Delta ^{(s)}}{\mathrm {Q} _{1}}},\qquad \mu ''={\frac {\nu _{2}^{(s)}\Delta ^{(s)}}{\mathrm {Q} _{2}}},\ldots .$

Donc enfin, substituant ces valeurs dans la formule $(e),$ et faisant attention que

$\Delta ^{(s)}=\mu '\lambda _{1}^{(s)}+\mu ''\lambda _{2}^{(s)}+\mu '''\lambda _{3}^{(s)}+\ldots +\mu ^{(n)}\lambda _{n}^{(s)},$

on aura

$y^{(s)}={\frac {\nu _{1}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{1}}}\theta _{1}+{\frac {\nu _{2}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{2}}}\theta _{2}+{\frac {\nu _{3}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{3}}}\theta _{3}+\ldots +{\frac {\nu _{n}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{n}}}\theta _{n}.$

Ainsi le problème ne dépend plus que de la résolution des équations $(c)$ et $(k).$

31. Nous avons trouvé que la quantité $\nu _{m}'\lambda '+\nu _{m}''\lambda ''+\nu _{m}'''\lambda '''+\ldots$$+\nu _{m}^{(n)}\lambda ^{(n)}$ est nulle lorsque $\rho =\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots ,\rho _{n},$ excepté $\rho _{m}\,;$ or il est facile de voir que les valeurs de ${\frac {\lambda ''}{\lambda '}},{\frac {\lambda '''}{\lambda '}},\ldots ,{\frac {\lambda ^{(n)}}{\lambda '}},$ tirées des équations $(c),$ seront exprimées par des fractions telles que ${\frac {q''}{q'}},{\frac {q'''}{q'}},\ldots ,{\frac {q^{(n)}}{q'}},$ les quantités $q',q'',q''',\ldots$ étant de la forme

$a+b\rho ^{2}+c\rho ^{4}+\ldots +h\rho ^{(n-1)}\,;$

de sorte que si l’on fait, ce qui est permis, $\lambda '=q',$ on aura $\lambda ''=q'',$$\lambda '''=q''',\ldots ,$ et, par conséquent, la quantité

$\nu '_{m}\lambda '+\nu ''_{m}\lambda ''+\nu '''_{m}\lambda '''+\ldots +\nu _{m}^{(n)}\lambda ^{(n)}$

deviendra de la forme

$\alpha +\beta \rho ^{2}+\gamma \rho ^{4}+\ldots +\zeta \rho ^{2(n-1)}\,;$

donc on aura

$\nu '_{m}\lambda '+\nu ''_{m}\lambda ''+\nu '''_{m}\lambda '''+\ldots +\nu _{m}^{(n)}\lambda ^{(n)}=\chi \left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{1}^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{2}^{2}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{n}^{2}}}\right),$

en prenant tous les facteurs depuis $1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{1}^{2}}}$ jusqu’à $1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{n}^{2}}},$ hormis $1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{m}^{2}}},$ et le coefficient $\chi$ étant égal à la valeur de

$\nu '_{m}\lambda '+\nu ''_{m}\lambda ''+\ldots +\nu _{m}^{(n)}\lambda ^{(n)},$

lorsqu’on fait $\rho =0$ dans les quantités $\lambda ',\lambda '',\lambda ''',\ldots .$

Or, soit $\mathrm {P} =0$ l’équation en $\rho ^{2}$ tirée des équations $(c)$ ou $(k),$ on aura, en supposant que le terme tout connu de $\mathrm {P}$ soit $1,$

$\mathrm {P} =\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{1}^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{2}^{2}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{n}^{2}}}\right)\,;$

donc

$\chi \mathrm {P} =\left[\nu '_{m}\lambda '+\nu ''_{m}\lambda ''+\nu '''_{m}\lambda '''+\ldots +\nu _{m}^{(n)}\lambda ^{(n)}\right]\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{m}^{2}}}\right).$

Prenons les différences de part et d’autre, en faisant varier $\rho ,$ et supposons ensuite $\rho =\rho _{m},$ ce qui changera les quantités $\lambda ',\lambda '',\lambda ''',\ldots$ en $\lambda '_{m},$ $\lambda ''_{m},\lambda '''_{m},\ldots ,$ nous aurons

$\chi {\frac {d\mathrm {P} }{d\rho }}=-{\frac {2}{\rho _{m}}}\left[\nu '_{m}\lambda '_{m}+\nu ''_{m}\lambda ''_{m}+\nu '''_{m}\lambda '''_{m}+\ldots +\nu _{m}^{(n)}\lambda _{m}^{(n)}\right]={\frac {2\mathrm {Q} _{m}}{\rho _{m}}}\,;$

donc on aura, en général,

$\mathrm {Q} =-{\frac {1}{2}}\chi \rho {\frac {d\mathrm {P} }{d\rho }},$

ce qui pourra servir a abréger le calcul de la valeur de $\mathrm {Q}$ dans plusieurs occasions.

32. Examinons maintenant les différents cas qui peuvent arriver relativement aux racines de l’équation $\mathrm {P} =0.$ Et d’abord il est clair que si toutes ces racines sont réelles, positives et inégales, les valeurs de $\rho$ seront aussi réelles et inégales ; ainsi ce cas n’aura aucune difficulté.

S’il y a des racines négatives, alors les valeurs correspondantes de $\rho$ deviendront imaginaires de la forme $r{\sqrt {-1}},$ ce qui réduira les exponentielles ${\frac {e^{\rho t}+e^{-\rho t}}{2}}$ et ${\frac {e^{\rho t}-e^{-\rho t}}{2\rho }}$ à cette forme : $\cos rt$ et ${\frac {\sin rt}{r}}\,;$ d’où il s’ensuit que si toutes les racines de l’équation $\mathrm {P} =0$ étaient réelles, négatives et inégales, les valeurs de $y',y'',y''',\ldots$ ne contiendraient que des sinus et des cosinus ; nous verrons plus bas que ce cas est le seul où la solution soit bonne en général relativement à la question mécanique.

Passons au cas des racines égales, et supposons $\rho _{2}=\rho _{1},$ il est facile de voir, par les formules du numéro précédent, que les valeurs de $\mathrm {Q} _{1}$ et de $\mathrm {Q} _{2}$ deviendront égales à zéro ; de sorte que les deux premiers termes de la valeur de $y^{(s)}$ semblent devoir être infinis. Pour obvier à cet inconvénient, on supposera $\rho _{2}=\rho _{1}+\omega ,$ $\omega$ étant une quantité évanouissante, et à cause de

$\mathrm {Q} =-{\frac {1}{2}}\chi \rho {\frac {d\mathrm {P} }{d\rho }}=-{\frac {\chi \rho }{2d\rho }}d\left[\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{1}^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{2}^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{3}^{2}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {\rho ^{2}}{\rho _{n}^{2}}}\right)\right],$

on aura

$\mathrm {Q} =\chi \left(1-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{2}^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{3}^{2}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{n}^{2}}}\right)=2\chi {\frac {\omega }{\rho _{1}}}\left(1-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{3}^{2}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{n}^{2}}}\right),$

et de même

$\mathrm {Q} _{2}=-2\chi {\frac {\omega }{\rho _{1}}}\left(1-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{3}^{2}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{n}^{2}}}\right).$

Donc, si l’on fait ${\frac {d\mathrm {Q} }{d\rho }}=\mathrm {R} ,$ et qu’on dénote par $\mathrm {R} _{1}$ ce que devient $\mathrm {R}$ lorsque $\rho$ devient $\rho _{1},$ on aura

$\mathrm {Q_{1}=-{\frac {\omega }{\rho _{1}^{2}}}R_{1}\quad {\text{et}}\quad Q_{2}={\frac {\omega }{\rho _{2}^{2}}}R_{1}} .$

Or, en faisant

$\rho _{2}=\rho _{1}+\omega ,$

on a

$\nu _{2}^{(s)}\theta _{2}=\nu _{1}^{(s)}\theta _{1}+{\frac {d[\nu _{1}^{(s)}\theta _{1}]}{d\rho _{1}}}\omega \,;$

donc

${\frac {\nu _{1}^{(s)}\theta _{1}}{\mathrm {Q} _{1}}}+{\frac {\nu _{2}^{(s)}\theta _{2}}{\mathrm {Q} _{2}}}=-{\frac {\rho _{1}^{2}\nu _{1}^{(s)}\theta _{1}}{\omega \mathrm {R} _{1}}}+{\frac {\rho _{1}^{2}\nu _{1}^{(s)}\theta _{1}}{\omega \mathrm {R} _{1}}}+{\frac {\rho _{1}^{2}}{\omega \mathrm {R} _{1}}}{\frac {d[\nu _{1}^{(s)}\theta _{1}]}{d\rho _{1}}}\omega ={\frac {\rho _{1}^{2}}{\mathrm {R} _{1}}}{\frac {d[\nu _{1}^{(s)}\theta _{1}]}{d\rho _{1}}}.$

On résoudra de même le cas de trois racines égales, et ainsi des autres. Au reste, il est évident que les termes de la valeur de $y^{(s)}$ qui répondent aux racines égales contiendront toujours l’angle $t,$ et de plus, des exponentielles ordinaires si ces racines sont positives, et des sinus et des cosinus si elles sont négatives.

Enfin, s’il se trouvait des racines imaginaires, on les réduirait d’abord deux à deux à la forme $a+b{\sqrt {-1}}$ et $a-b{\sqrt {-1}},$ $a$ et $b$ étant des quantités réelles, de sorte que

$\rho _{1}^{2}=a+b{\sqrt {-1}},\qquad \rho _{2}^{2}=a-b{\sqrt {-1}},$

et ainsi de suite ; ce qui donnerait

$\rho _{1}=f+g{\sqrt {-1}},\qquad \rho _{2}=f-g{\sqrt {-1}},$

et par conséquent,

$e^{\pm \rho _{1}t}=e^{\pm ft}e^{\pm gt{\sqrt {-1}}}=e^{\pm ft}\left(\cos gt\pm \sin gt{\sqrt {-1}}\right),$

et de même

$e^{\pm \rho _{2}t}=e^{\pm ft}\left(\cos gt\pm \sin gt{\sqrt {-1}}\right).$

On ramènerait de même à la forme $p+q{\sqrt {-1}}$ et $p-q{\sqrt {-1}}$ les valeurs des quantités $\mu ,\nu$ et $\mathrm {Q}$ répondantes à $\rho _{1}$ et $\rho _{2},$ et on trouverait, après les substitutions et les réductions, que les imaginaires se détruiraient dans les deux termes ${\frac {\nu _{1}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{1}}}\theta _{1}+{\frac {\nu _{2}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{2}}}\theta _{2},$ lesquels contiendraient alors des sinus et des cosinus multipliés par des exponentielles ordinaires.

33. Au reste, quand on veut appliquer la solution précédente au mouvement d’un système quelconque de corps, on doit supposer, comme nous lavons fait, que les quantités $y',y'',y''',\ldots$ soient assez petites pour qu’on puisse négliger, sans erreur sensible, dans les expressions des forces accélératrices des corps, les termes qui contiendraient les produits $y'^{2},y'y'',\ldots .$ Ainsi il faudra, pour que la solution soit bonne mécaniquement : 1^o que les valeurs initiales $\mathrm {Y',Y'',Y''',\ldots ,V',V'',V'''} ,\ldots$ soient infiniment petites ; 2^o que les expressions de $y',y'',y''',\ldots$ ne contiennent aucun terme qui augmente à l’infini avec le temps $t\,;$ par conséquent il faudra que les racines de l’équation $\mathrm {P} =0$ soient toutes réelles, négatives et inégales, auquel cas la valeur de $y^{(s)}$ ne contiendra que des sinus et des cosinus (numéro précédent), ou au moins que les termes qui renfermeraient l’arc $t$ disparaissent d’eux-mêmes.

Donc, 1^o si $\rho _{1}^{2}$ est une quantité positive, il faudra que l’on ait

$(l)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {\lambda '_{1}Y'+\lambda ''_{1}Y''+\lambda '''_{1}Y'''} +\ldots +\lambda _{1}^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}=&0,\\\mathrm {\lambda '_{1}V'+\lambda ''_{1}V''+\lambda '''_{1}V'''} +\ldots +\lambda _{1}^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}=&0,\end{aligned}}\right.$

ce qui fera évanouir le premier terme ${\frac {\nu _{1}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{1}}}\theta _{1}$ de la valeur de $y^{(s)}.$

De même, si $\rho _{1}^{2}$ et $\rho _{2}^{2}$ étaient toutes deux positives, mais inégales, on aurait, outre les deux conditions précédentes, encore ces deux-ci :

${\begin{aligned}\mathrm {\lambda '_{2}Y'+\lambda ''_{2}Y''+\lambda '''_{2}Y'''} +\ldots +\lambda _{2}^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}=&0,\\\mathrm {\lambda '_{2}V'+\lambda ''_{2}V''+\lambda '''_{2}V'''} +\ldots +\lambda _{2}^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}=&0,\end{aligned}}$

et il faudrait effacer les deux premiers termes de $y^{(s)},$ et ainsi de suite.

2^o Si $\rho _{1}^{2}$ et $\rho _{2}^{2}$ sont égales et négatives, on aura les mêmes conditions $(l),$ et les deux termes ${\frac {\nu _{1}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{1}}}\theta _{1}+{\frac {\nu _{2}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{2}}}\theta _{2}$ deviendront, en faisant $\rho _{1}=r_{1}{\sqrt {-1}},$

${\begin{aligned}{\frac {r_{1}}{2\mathrm {R} _{1}}}&{\frac {d\left[\nu _{1}^{(s)}\left(\lambda '_{1}\mathrm {Y} '+\lambda ''_{1}\mathrm {Y} ''+\lambda '''_{1}\mathrm {Y} '''+\ldots +\lambda _{1}^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}\right)\right]}{dr_{1}}}\cos r_{1}t\\&+{\frac {r_{1}}{2\mathrm {R} _{1}}}{\frac {d\left[{\cfrac {\nu _{1}^{(s)}}{r_{1}}}\left(\lambda '_{1}\mathrm {V} '+\lambda ''_{1}\mathrm {V} ''+\lambda '''_{1}\mathrm {V} '''+\ldots +\lambda _{1}^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}\right)\right]}{dr_{1}}}\sin r_{1}t.\end{aligned}}$

Mais si $\rho _{1}^{2}$ et $\rho _{2}^{2}$ étaient égales et positives, alors on aurait encore deux autres conditions à remplir, savoir

${\begin{aligned}&{\frac {d\left[\nu _{1}^{(s)}\left(\lambda '_{1}\mathrm {Y} '+\lambda ''_{1}\mathrm {Y} ''+\lambda '''_{1}\mathrm {Y} '''+\ldots +\lambda _{1}^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}\right)\right]}{d\rho _{1}}}=0,\\&{\frac {d\left[{\cfrac {\nu _{1}^{(s)}}{\rho _{1}}}\left(\lambda '_{1}\mathrm {V} '+\lambda ''_{1}\mathrm {V} ''+\lambda '''_{1}\mathrm {V} '''+\ldots +\lambda _{1}^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}\right)\right]}{d\rho _{1}}}=0,\end{aligned}}$

et ainsi du reste.

Mais il y a ici une remarque importante à faire : c’est que les équations $(a)$ n’étant qu’approchées, l’équation $\mathrm {P} =0$ doit aussi être regardée comme telle, de sorte que lorsqu’on trouve des racines égales, on n’est pas en droit d’en conclure que les valeurs de $\rho$ sont égales, mais seulement qu’elles ne diffèrent que par des quantités infiniment petites ; d’où il s’ensuit qu’à la rigueur, l’égalité des racines de l’équation $\mathrm {P} =0$ ne suffit pas pour introduire des arcs de cercle dans les valeurs de $y',y'',y''',\ldots ,$ en tant que ces quantités représentent les espaces parcourus dans les oscillations des corps. Cependant, comme la supposition de $\rho _{2}=\rho _{1}+\omega ,$ $\omega$ étant une quantité très-petite, rend aussi les quantités $\mathrm {Q} _{1}$ et $\mathrm {Q} _{2}$ très-petites du même ordre, comme on peut s’en assurer par ce qui a été dit dans le numéro précédent sur le cas des racines égales, il est clair que les quantités ${\frac {\theta _{1}}{\mathrm {Q} _{1}}}$ et ${\frac {\theta _{2}}{\mathrm {Q} _{2}}}$ contiendront des termes finis, et qu’ainsi il faudra, pour que les valeurs de $y',y'',y'''\ldots$ soient toujours très-petites, que les termes dont il s’agit disparaissent entièrement de l’expression de $y^{(s)},$ ce qui donnera, en négligeant les quantités infiniment petites du second ordre, les mêmes conditions et les mêmes résultats que ci-dessus. Il est clair que ce que nous venons de dire des racines égales doit avoir lieu de même, lorsqu’elles ne diffèrent que par des quantités très-petites.

3^o Si $\rho _{1}^{2}$ et $\rho _{2}^{2}$ étaient imaginaires, alors réduisant les quantités $\lambda '_{1},\lambda ''_{1},$$\lambda '''_{1},\ldots$ et $\lambda '_{2},\lambda ''_{2},\lambda '''_{2},\ldots$ à la forme $p'+q'{\sqrt {-1}},\ p''+q''{\sqrt {-1}},$$p'''+q'''{\sqrt {-1}},\ldots ,$ et $p'-q'{\sqrt {-1}},\ p''-q''{\sqrt {-1}},\ p'''-q'''{\sqrt {-1}},\ldots ,$ on aurait les conditions suivantes :

${\begin{aligned}p'\mathrm {Y} '+p''\mathrm {Y} ''+p'''\mathrm {Y} '''+\ldots +p^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}=0,\\p'\mathrm {V} '+p''\mathrm {V} ''+p'''\mathrm {V} '''+\ldots +p^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}=0,\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}q'\mathrm {Y} '+q''\mathrm {Y} ''+q'''\mathrm {Y} '''+\ldots +q^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}=0,\\q'\mathrm {V} '+q''\mathrm {V} ''+q'''\mathrm {V} '''+\ldots +q^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}=0.\end{aligned}}$

On aura de pareilles conditions pour chaque paire de racines imaginaires.

34. De là on tire une méthode générale pour voir si l’état d’équilibre d’un système quelconque donné de corps est stable, c’est-à-dire si, les corps étant infiniment peu dérangés de cet état, ils y reviendront d’eux-mêmes, ou au moins tendront à y revenir.

On supposera le système dans un état infiniment proche de celui d’équilibre, et on cherchera les expressions des forces accélératrices des corps pour se remettre à cet état, lesquelles seront, aux infiniment petits du second ordre et des suivants près, de cette forme :

$\mathrm {A} y'+\mathrm {B} y''+\mathrm {C} y'''+\ldots ,$

comme nous l’avons supposé dans les équations $(a).$ On formera ensuite des équations telles que les équations $(c),$ et on en tirera l’équation $\mathrm {P} =0,$ dont $\rho ^{2}$ sera l’inconnue, et qui sera nécessairement d’un degré égal à l’exposant du nombre des corps. Cela posé :

1^o Si toutes les racines de cette équation sont réelles négatives et inégales, l’état d’équilibre sera stable en général, quel que soit le dérangement initial du système ;

2^o Si ces racines sont toutes réelles positives ou toutes imaginaires, ou en partie réelles positives, et en partie imaginaires, l’état d’équilibre n’aura aucune stabilité, et le système une fois dérangé de cet état ne pourra le reprendre ;

3^o Enfin, si les racines sont en partie réelles négatives et inégales, et en partie réelles négatives et égales, ou réelles et positives, ou imaginaires, l’état d’équilibre aura seulement une stabilité relative et conditionnelle, c’est-à-dire que cet état ne se rétablira, ou ne tendra à se rétablir, que lorsqu’il y aura, entre les distances et les vitesses initiales, les conditions marquées dans le numéro précédent ; dans tous les autres cas il sera impossible que le système revienne de lui-même à son premier état.

35. Lorsque toutes les racines de l’équation $\mathrm {P} =0$ sont réelles inégales et négatives, il est clair qu’en faisant $\rho ^{2}=-r^{2},$ chaque terme de la valeur de $y^{(s)}$ se réduira à la forme

$\alpha \cos rt+\beta \sin rt,$

laquelle représente, comme on sait, le mouvement d’un pendule simple de longueur ${\frac {1}{r^{2}}}\,;$ d’où il est aisé de conclure que le mouvement de chaque corps sera composé de $n$ mouvements pareils à ceux de $n$ pendules dont les longueurs seraient

${\frac {1}{r_{1}^{2}}},\quad {\frac {1}{r_{2}^{2}}},\quad {\frac {1}{r_{3}^{2}}},\ldots ,\quad {\frac {1}{r_{n}^{2}}}.$

C’est le théorème que M. Daniel Bernoulli a déduit, par induction, de la considération du mouvement d’une corde chargée de plusieurs poids.

Si l’on veut que les oscillations des corps deviennent simples et isochrones, on supposera que l’état initial du système soit tel, que l’on ait

$(m)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\lambda '\mathrm {Y'+\lambda ''Y''+\lambda '''Y'''} +\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}=0,\\\lambda '\mathrm {V'+\lambda ''V''+\lambda '''V'''} +\ldots +\lambda ^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}=0,\end{aligned}}\right.$

pour toutes les valeurs de $\rho ^{2},$ hors une quelconque à volonté comme $\rho _{m}^{2}\,;$ car alors les quantités $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\ldots$ seront nulles, à l’exception de $\theta _{m},$ et par conséquent la valeur de $y^{(s)}$ se réduira à ${\frac {\nu _{m}^{(s)}}{\mathrm {Q} _{m}}}\theta _{m}.$ Mais les équations $(m)$ étant absolument semblables à l’équation $(h)$ du n^o 30, il est clair qu’on aura pour la détermination des quantités $\mathrm {Y',Y'',Y''',\ldots ,V',V'',V'''} ,\ldots ,$ des équations analogues aux équations $(k)\,;$ d’où il s’ensuit que ces quantités seront en raison constante avec les quantités $\nu '_{m},\nu ''_{m},\nu '''_{m},\ldots \nu _{m}^{(n)}\,;$ de sorte qu’on aura

${\frac {\mathrm {\lambda '_{m}Y'+\lambda ''_{m}Y''+\lambda '''_{m}Y'''} +\ldots +\lambda _{m}^{(n)}\mathrm {Y} ^{(n)}}{\mathrm {Y} ^{(s)}}}$

${\begin{aligned}&={\frac {\mathrm {\lambda '_{m}V'+\lambda ''_{m}V''+\lambda '''_{m}V'''} +\ldots +\lambda _{m}^{(n)}\mathrm {V} ^{(n)}}{\mathrm {V} ^{(s)}}}\\&={\frac {\lambda '_{m}\nu '_{m}+\lambda ''_{m}\nu ''_{m}+\lambda '''_{m}\nu '''_{m}+\ldots +\lambda _{m}^{(n)}\nu _{m}^{(n)}}{\nu _{m}^{(s)}}}={\frac {\mathrm {Q} _{m}}{\nu _{m}^{(s)}}}\,;\end{aligned}}$

donc

$y^{(s)}=\mathrm {Y} ^{(s)}\cos r_{m}t+\mathrm {V} ^{(s)}{\frac {\sin r_{m}t}{r_{m}}}.$

Ainsi le mouvement des corps sera le même, dans ce cas, que s’ils étaient pesants et qu’ils fussent suspendus chacun à un fil de longueur ${\frac {1}{r_{m}^{2}}},$ la gravité étant prise pour l’unité des forces accélératrices ; d’où l’on voit que le système est susceptible d’autant de différents mouvements isochrones que l’équation $\mathrm {P} =0$ a de racines réelles négatives et inégales.

Des oscillations d’un fil fixe par une de ses extrémités, et
chargé d’un nombre quelconque de poids.

36. Soit $n$ le nombre des poids, que nous supposerons, pour plus de simplicité, égaux entre eux et également éloignés les uns des autres ; imaginons que le fil ne fasse que des oscillations infiniment petites et dans le même plan ; et soient nommées $y',y'',y''',\ldots ,y^{(n)}$ les distances des corps à la verticale, à commencer par le plus bas, et $a$ la distance d’un corps à l’autre : on aura, comme il est très-aisé de le voir par les principes de la Dynamique, et comme on peut le déduire des formules générales que j’ai données dans le Mémoire intitulé : Application de la méthode précédente à différents problèmes de dynamique (page 398),

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\ \ &+{\frac {y'-y''}{a}}=0,\\{\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}\ \,&+{\frac {y''-y'''}{a}}-{\frac {y'-2y''+y'''}{a}}=0,\\{\frac {d^{2}y'''}{dt^{2}}}\ &+{\frac {y'''-y^{\mathrm {iv} }}{a}}-2{\frac {y''-2y'''+y^{\mathrm {iv} }}{a}}=0,\\{\frac {d^{2}y^{\mathrm {iv} }}{dt^{2}}}\ &+{\frac {y^{\mathrm {iv} }-y^{\mathrm {v} }}{a}}\ -3{\frac {y'''-2y^{\mathrm {iv} }+y^{\mathrm {v} }}{a}}=0,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {d^{2}y^{(n)}}{dt^{2}}}&+{\frac {y^{(n)}}{a}}-(n-1){\frac {y^{(n-1)}}{-}}2y^{(n)}{a}=0,\end{aligned}}$

c’est-à-dire

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}&+{\frac {y'-y''}{a}}=0,\\{\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}&+{\frac {-y'+3y''-2y'''}{a}}=0,\\{\frac {d^{2}y'''}{dt^{2}}}&+{\frac {-2y''+5y'''-3y^{\mathrm {iv} }}{a}}=0,\\{\frac {d^{2}y^{\mathrm {iv} }}{dt^{2}}}&+{\frac {-3y'''+7y^{\mathrm {iv} }-4y^{\mathrm {v} }}{a}}=0,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {d^{2}y^{(n)}}{dt^{2}}}&+{\frac {-(n-1)y^{(n-1)}+(2n-1)y^{(n)}}{a}}=0.\end{aligned}}$

Comparant ces équations avec les équations $(a)$ du n^o 30, on trouvera que les équations $(c)$ du même numéro deviennent celles-ci :

${\begin{aligned}\rho ^{2}\lambda '&+{\frac {\lambda '-\lambda ''}{a}}=0,\\\rho ^{2}\lambda ''&+{\frac {-\lambda '+3\lambda ''-2\lambda '''}{a}}=0,\\\rho ^{2}\lambda '''&+{\frac {-2\lambda ''+5\lambda '''-3\lambda ^{\mathrm {iv} }}{a}}=0,\\\rho ^{2}\lambda ^{\mathrm {iv} }&+{\frac {-3\lambda '''+7\lambda ^{\mathrm {iv} }-4\lambda ^{\mathrm {v} }}{a}}=0,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho ^{2}\lambda ^{(n)}&+{\frac {-(n-1)\lambda ^{(n-1)}+(2n-1)\lambda ^{(n)}}{a}}=0.\end{aligned}}$

d’où l’on tire

et ainsi de suite ; de sorte qu’on aura en général

${\begin{aligned}\lambda ''\ =&\left(1+a\rho ^{2}\right)\lambda ',\\\lambda '''=&{\frac {-\lambda '+\left(3+a\rho ^{2}\right)\lambda ''}{2}}=\left(1+2a\rho ^{2}+{\frac {a^{2}\rho ^{4}}{2}}\right)\lambda ',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\lambda ^{\mathrm {iv} }=&\left(1+3a\rho ^{2}+{\frac {3a^{2}\rho ^{4}}{2}}+{\frac {a^{3}\rho ^{6}}{2.3}}\right)\lambda ',\\\lambda ^{\mathrm {v} }=&\left(1+4a\rho ^{2}+{\frac {6a^{2}\rho ^{4}}{2}}+{\frac {4a^{3}\rho ^{6}}{2.3}}+{\frac {a^{4}\rho ^{8}}{2.3.4}}\right)\lambda ',\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; de sorte qu’on aura en général

$\lambda ^{(m)}=\left[1+(m-1)a\rho ^{2}+{\frac {(m-1)(m-2)}{4}}a^{2}\rho ^{4}\right.$

$\left.+{\frac {(m-1)(m-2)(m-3)}{4.9}}a^{3}\rho ^{6}+\ldots \right]\lambda '.$

Or il est visible que, pour satisfaire à la dernière équation

$\rho ^{2}\lambda ^{(n)}+{\frac {-(n-1)\lambda ^{n-1}+(2n-1)\lambda ^{(n)}}{a}}=0,$

il faut supposer

$\lambda ^{n+1}=0,$

ce qui donne

$1+na\rho ^{2}+{\frac {n(n-1)a^{2}}{4}}\rho ^{4}+{\frac {n(n-1)(n-2)a^{3}}{4.9}}\rho ^{6}+\ldots =0,$

équation d’où l’on tirera $n$ valeurs de $\rho ^{2},$ qu’on désignera par $\rho _{1}^{2},\rho _{2}^{2},\rho _{3}^{2},$$\ldots ,\rho _{n}^{2},$ et qu’on substituera successivement dans l’expression de $\lambda ^{(m)}$ pour avoir les valeurs de $\lambda _{1}^{(m)},\lambda _{2}^{(m)},\lambda _{3}^{(m)},\ldots .$

À l’égard des quantités $\nu ,$ on les trouvera de la même manière par le moyen des équations $(k),$ lesquelles deviennent, dans le cas présent,

${\begin{aligned}\rho ^{2}\nu '\ &+{\frac {\nu '-\nu ''}{a}}=0,\\\rho ^{2}\nu ''&+{\frac {-\nu '+3\nu ''-2\nu '''}{a}}=0,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\rho ^{2}\nu '''&+{\frac {-2\nu ''+5\nu '''-3\nu ^{\mathrm {iv} }}{a}}=0,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\rho ^{2}\nu ^{(n)}&+{\frac {-(n-1)\nu ^{(n-1)}+(2n-1)\nu ^{(n)}}{a}}=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire, comme ci-dessus,

$\nu ^{(m)}=\left[1+(m-1)a\rho ^{2}+{\frac {(m-1)(m-2)}{4}}a^{2}\rho ^{4}\right.$

$\left.+{\frac {(m-1)(m-2)(m-3)}{4.9}}a^{3}\rho ^{6}+\ldots \right]\nu ',$

ou bien, en supposant $\lambda '=\nu '=1$ pour plus de simplicité,

$\nu ^{(m)}=\lambda ^{(m)},$

et, par conséquent,

$\nu _{1}^{(m)}=\lambda _{1}^{(m)},\qquad \nu _{2}^{(m)}=\lambda _{2}^{(m)},\ldots .$

On aura donc

${\begin{aligned}\mathrm {Q} =&\lambda '^{2}+\lambda ''^{2}+\lambda '''^{2}+\ldots +\lambda ^{(n)2}\\=&1+\left(1+a\rho ^{2}\right)^{2}+\left(1+2a\rho ^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}\rho ^{4}\right)^{2}+\ldots \\&+\left[1+(n-1)a\rho ^{2}+{\frac {(n-1)(n-2)a^{2}}{4}}\rho ^{4}+\ldots \right]^{2}.\end{aligned}}$

Mais on peut trouver une expression plus simple de cette quantité par la méthode du n^o 31. Car on a d’abord

$\mathrm {P} =1+na\rho ^{2}+{\frac {n(n-1)a^{2}}{4}}\rho ^{4}+{\frac {n(n-1)(n-2)a^{3}}{4.9}}\rho ^{6}+\ldots ,$

d’où l’on tire

${\frac {1}{2}}\rho {\frac {d\mathrm {P} }{d\rho }}=na\rho ^{2}+{\frac {n(n-1)a^{2}}{4}}\rho ^{4}+{\frac {n(n-1)(n-2)a^{3}}{4.3}}\rho ^{6}+\ldots .$

Or, en faisant $\rho =0,$ on a

$\lambda '=1,\quad \lambda ''=1,\quad \lambda '''=1,\ldots \,;$

donc

${\begin{aligned}\chi &=\nu '+\nu ''+\nu '''+\ldots +\nu ^{(n)}\\&=1\\&+1+a\pi ^{2}\\&+1+2a\pi ^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}\rho ^{4}\\&+1+3a\pi ^{2}+{\frac {3a^{2}}{2}}\rho ^{4}+{\frac {a^{3}}{2.3}}\rho ^{6}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&1+(n-1)a\rho ^{2}+{\frac {(n-1)(n-2)a^{2}}{4}}\rho ^{4}+{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)a^{3}}{4.9}}\rho ^{6}+\ldots \\=&n+{\frac {n(n-1)a}{2}}\rho ^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)a^{2}}{4.3}}\rho ^{4}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)a^{3}}{4.9.4}}\rho ^{6}+\ldots ,\end{aligned}}$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {Q} =-{\frac {1}{2}}\chi \rho {\frac {d\mathrm {P} }{d\rho }}=-a\rho ^{2}&\left[n+{\frac {n(n-1)}{2}}a\rho ^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{4.3}}a^{2}\rho ^{4}\right.\\&\qquad \left.\quad +{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{4.9.4}}a^{3}\rho ^{6}+\ldots \right]^{2}.\end{aligned}}$

Ces deux expressions de $\mathrm {Q}$ ne sont, pas à la vérité identiques, mais elles deviennent égales lorsque $\rho$ est égal à $\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots \,;$ ce qui suffit pour notre objet.

Faisant donc ces substitutions dans la dernière formule du n^o 30, on aura l’expression générale des quantités $y,$ et le problème sera résolu.

Au reste, quoiqu’il soit difficile, peut-être impossible, de déterminer en général les racines de l’équation $\mathrm {P} =0,$ on peut cependant s’assurer, par la nature même du problème, que ces racines sont nécessairement toutes réelles inégales et négatives ; car sans cela les valeurs de $y',y'',y''',\ldots$ pourraient croître à l’infini, ce qui serait absurde.

37. Si l’on cherche quelles doivent être les distances et les vitesses initiales des corps pour que chacun d’eux ne fasse que des vibrations isochrones et analogues à celles d’un pendule simple, on trouvera (n^o 35), en prenant /pour la longueur de ce pendule,

${\begin{aligned}\mathrm {Y} ^{(s)}=&\left[1-{\frac {(s-1)a}{l}}+{\frac {(s-1)(s-2)a^{2}}{4l^{2}}}-{\frac {(s-1)(s-2)(s-3)a^{3}}{4.9l^{3}}}+\ldots \right]\mathrm {Y} ',\\\mathrm {V} ^{(s)}=&\left[1-{\frac {(s-1)a}{l}}+{\frac {(s-1)(s-2)a^{2}}{4l^{2}}}-{\frac {(s-1)(s-2)(s-3)a^{3}}{4.9l^{3}}}+\ldots \right]\mathrm {V} ',\\\end{aligned}}$

et la valeur de $l$ devra se déterminer par l’équation

$1-{\frac {na}{l}}+{\frac {n(n-1)a^{2}}{4l^{2}}}-{\frac {n(n-1)(n-2)a^{3}}{4.9l^{3}}}+\ldots =0.$

Des vibrations d’une corde tendue et chargée d’un nombre
quelconque de poids.

38. Quoique j’aie déjà résolu ce problème dans mes Recherches sur le son, imprimées dans le premier volume de ces Mémoires, je crois pouvoir le redonner ici, non-seulement pour faire voir comment ma méthode générale s’y applique, mais encore parce qu’il me donnera lieu de faire de nouvelles réflexions sur les vibrations des cordes sonores, qui pourront être utiles à l’éclaircissement de cette matière épineuse et délicate.

Supposons une corde chargée de $n$ poids égaux qui la divisent en $n+1$ parties égales que nous ferons chacune égale à $a,$ et tendue par un poids qui soit à la somme de ceux dont la corde est chargée comme $c^{2}$ est à $1\,;$ nommant $y',y'',y''',\ldots ,y^{(n)}$ les distances des poids à l’axe de la corde, et faisant, pour abréger,

${\frac {nc^{2}}{a}}=k^{2},$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\ \ &-k^{2}\left(-2y'+y''\right)=0,\\{\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}\,\ &-k^{2}\left(y'\,-2y''\ +y'''\right)=0,\\{\frac {d^{2}y'''}{dt^{2}}}\ &-k^{2}\left(y''-2y'''+y^{\mathrm {iv} }\right)=0,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {d^{2}y^{(n)}}{dt^{2}}}&-k^{2}\left(y^{(n-1)}-2y^{(n)}\right)=0.\end{aligned}}$

Donc, en comparant ces équations avec les équations générales du n^o 30, on aura les équations suivantes en $\lambda ',\lambda '',\lambda ''',\ldots ,$

${\begin{aligned}&\rho ^{2}\lambda '\ \ -k^{2}\left(-2\lambda '+\lambda ''\right)=0,\\&\rho ^{2}\lambda ''\ -k^{2}\left(\lambda '\ -2\lambda ''\,+\lambda '''\right)=0,\\&\rho ^{2}\lambda '''-k^{2}\left(\lambda ''-2\lambda '''+\lambda ^{\mathrm {iv} }\right)=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\rho ^{2}\lambda ^{(n)}-k^{2}\left(\lambda ^{(n-1)}-2\lambda ^{(n)}\right)=0\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en supposant $1+{\frac {\rho ^{2}}{2k^{2}}}=\cos \varphi ,$

$\lambda ''={\frac {\sin 2\varphi }{\sin \varphi }}\lambda ',\qquad \lambda '''={\frac {\sin 3\varphi }{\sin \varphi }}\lambda ',\ldots ,$

et en général

$\lambda ^{(m)}={\frac {\sin m\varphi }{\sin \varphi }}\lambda '.$

Et pour la détermination de l’angle $\varphi ,$ c’est-à-dire de la quantité $\rho ,$ on aura l’équation

$\lambda ^{(n+1)}={\frac {\sin(n+1)\varphi }{\sin \varphi }}\lambda '=0,$

laquelle donne

$\varphi ={\frac {m\pi }{n+1}},$

$\pi$ exprimant l’angle de $180$ degrés, et $m$ un nombre quelconque entier depuis zéro jusqu’à $n$ inclusivement. De sorte qu’on aura

$\rho =k{\sqrt {2\cos \varphi -2}}=2k\sin {\frac {1}{2}}\varphi {\sqrt {-1}}=2k\sin {\frac {m\pi }{2(n+1)}}{\sqrt {-1}}\,;$

ce qui donnera toutes les valeurs de $\rho$ que nous avons désignées par $\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots ,\rho _{n},$ en faisant $m$ successivement égal à $1,2,3,\ldots ,n.$

On trouvera des équations entièrement semblables en $\nu ',\nu '',\nu ''',\ldots$ d’où l’on tirera pareillement

$\nu ^{(m)}={\frac {\sin(n+1)\varphi }{\sin \varphi }}.$

De plus on aura

${\begin{aligned}\mathrm {Q} =&{\frac {\nu '\lambda '}{\sin ^{2}\varphi }}\left(\sin ^{2}\varphi +\sin ^{2}2\varphi +\sin ^{2}3\varphi +\ldots +\sin ^{2}n\varphi \right)\\=&{\frac {\nu '\lambda '}{\sin ^{2}\varphi }}\left[{\frac {1}{2}}n-{\frac {1}{2}}\left(\cos 2\varphi +\cos 4\varphi +\cos 6\varphi +\ldots +\cos 2n\varphi \right)\right]\\=&{\frac {\nu '\lambda '}{\sin ^{2}\varphi }}\left[{\frac {1}{2}}n-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\cos 2n\varphi -\cos 2(n+1)\varphi }{2(1-\cos 2\varphi )}}-{\frac {1}{2}}\right)\right],\end{aligned}}$

ou à cause de $\varphi ={\frac {m\pi }{n+1}},$

$\mathrm {Q} ={\frac {(n+1)}{2\sin ^{2}\varphi }}\nu '\lambda '.$

On trouverait la même valeur de $\mathrm {Q}$ par la méthode du n^o 31: mais le calcul serait alors tant soit peu plus long. Cependant, comme ce calcul peut servir à montrer la bonté de la méthode dont nous parlons, je pas cru devoir le supprimer, mais je l’ai renfermé entre deux crochets, afin que mes lecteurs puissent le passer s’ils le jugent à propos.

[On aura d’abord

$\mathrm {P} ={\frac {\sin(n+1)\varphi }{(n+1)\sin \varphi }}\,;$

j’écris $\mathrm {P} ={\frac {\sin(n+1)\varphi }{(n+1)\sin \varphi }}$ et non pas simplement $\mathrm {P} ={\frac {\sin(n+1)\varphi }{\sin \varphi }},$ afin que, lorsque $\rho =0,$ c’est-à-dire $\varphi =0,$ on ait $\mathrm {P} =1,$ comme nous l’avons supposé : d’où l’on tire par la différentiation

${\frac {d\mathrm {P} }{d\varphi }}={\frac {\cos(n+1)\varphi }{\sin \varphi }}-{\frac {\sin(n+1)\varphi \cos \varphi }{(n+1)\sin ^{2}\varphi }},$

ou, à cause de $\sin(n+1)\varphi =0,$

${\frac {d\mathrm {P} }{d\varphi }}={\frac {\cos(n+1)\varphi }{\sin \varphi }}\,;$

or l’équation $1+{\frac {\rho ^{2}}{2k^{2}}}=\cos \varphi$ donne

${\frac {\rho ^{2}}{2k^{2}}}=\cos \varphi -1,$

et prenant les différences logarithmiques,

${\frac {d\rho }{\rho }}={\frac {\sin \varphi }{1-\cos \varphi }}d\varphi \,;$

donc

${\frac {1}{2}}\rho {\frac {\mathrm {P} }{\rho }}={\frac {(1-\cos \varphi )\cos(n+1)\varphi }{2\sin ^{2}\varphi }}={\frac {\cos(n+1)\varphi }{2(1+\cos \varphi )}}.$

Maintenant on a $\varphi =0,$ lorsque $\rho =0,$ et, par conséquent

$\lambda ''=2\lambda ',\qquad \lambda '''=3\lambda ',\ldots \,;$

donc

${\begin{aligned}\chi =&\lambda '\left[\nu '+2\nu ''+3\nu '''+\ldots +n\nu ^{(n)}\right]\\=&{\frac {\nu '\lambda '}{\sin \varphi }}\left(\sin \varphi +2\sin 2\varphi +3\sin 3\varphi +\ldots +n\sin n\varphi \right)\\=&{\frac {\nu '\lambda '}{\sin \varphi }}{\frac {(n+1)\sin n\varphi -n\sin(n+1)\varphi }{2(1-\cos \varphi )}},\end{aligned}}$

et, à cause de $\sin(n+1)\varphi =0,$

$\chi =\nu '\lambda '{\frac {(n+1)\sin n\varphi }{2\sin \varphi (1-\cos \varphi )}}\,;$

donc

$\mathrm {Q} =-{\frac {1}{2}}\chi \rho {\frac {d\mathrm {P} }{d\rho }}=-{\frac {(n+1)\sin \varphi \cos(n+1)\varphi }{4\sin ^{2}\varphi }}\nu '\lambda ',$

et, à cause de $\sin(2n+1)\varphi =-\sin \varphi ,$

$\mathrm {Q} =-{\frac {(n+1)\left[\sin(2n+1)\varphi -\sin \varphi \right]}{4\sin ^{3}\varphi }}\nu '\lambda '={\frac {n+1}{2\sin ^{2}\varphi }}\nu '\lambda '.$

Donc, faisant ces substitutions dans l’expression de $y'$ (n^o 30), et supposant en général

$\mathrm {Y} _{m}=\mathrm {Y} '\sin {\frac {m\pi }{n+1}}+\mathrm {Y} ''\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}+\mathrm {Y} '''\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\mathrm {Y} ^{(n)}\sin {\frac {nm\pi }{n+1}}$

et

$\mathrm {V} _{m}=\mathrm {V} '\sin {\frac {m\pi }{n+1}}+\mathrm {V} ''\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}+\mathrm {V} '''\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\mathrm {V} ^{(n)}\sin {\frac {nm\pi }{n+1}},$

on aura

${\begin{aligned}&y^{(s)}={\frac {2\sin {\cfrac {s\pi }{n+1}}}{n+1}}\\&\times \left\{\mathrm {Y} _{1}\cos \left[2tk\sin {\frac {\pi }{2(n+1)}}\right]+{\frac {\mathrm {V} _{1}}{2k\sin {\cfrac {\pi }{2(n+1)}}}}\sin \left[2tk\sin {\frac {\pi }{2(n+1)}}\right]\right\}\\&+{\frac {2\sin {\cfrac {2s\pi }{n+1}}}{n+1}}\\&\times \left\{\mathrm {Y} _{2}\cos \left[2tk\sin {\frac {2\pi }{2(n+1)}}\right]+{\frac {\mathrm {V} _{2}}{2k\sin {\cfrac {2\pi }{2(n+1)}}}}\sin \left[2tk\sin {\frac {2\pi }{2(n+1)}}\right]\right\}\\&+{\frac {2\sin {\cfrac {3s\pi }{n+1}}}{n+1}}\\&\times \left\{\mathrm {Y} _{3}\cos \left[2tk\sin {\frac {3\pi }{2(n+1)}}\right]+{\frac {\mathrm {V} _{3}}{2k\sin {\cfrac {3\pi }{2(n+1)}}}}\sin \left[2tk\sin {\frac {3\pi }{2(n+1)}}\right]\right\}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {2\sin {\cfrac {ns\pi }{n+1}}}{n+1}}\\&\times \left\{\mathrm {Y} _{n}\cos \left[2tk\sin {\frac {n\pi }{2(n+1)}}\right]+{\frac {\mathrm {V} _{n}}{2k\sin {\cfrac {n\pi }{2(n+1)}}}}\sin \left[2tk\sin {\frac {n\pi }{2(n+1)}}\right]\right\}.\end{aligned}}$

Application de la solution précédente aux cordes sonores.

39. Je supposerai ici, pour plus de simplicité, que les vitesses initiales $\mathrm {V',V'',V'''} ,\ldots$ soient nulles, moyennant quoi la valeur de $y^{(s)}$ ne contiendra plus que des termes de cette forme

${\frac {2\sin {\cfrac {ms\pi }{n+1}}}{n+1}}\mathrm {Y} _{m}\cos \left[2tk\sin {\frac {m\pi }{2(n+1)}}\right],$

$m$ étant successivement $1,2,3,\ldots ,n.$

Cela posé, on sait que

$\varphi =\sin \varphi +\alpha \sin ^{3}\varphi +\beta \sin ^{5}\varphi +\gamma \sin ^{7}\varphi +\ldots ,$

en faisant

$\alpha ={\frac {1.1}{2.3}},\quad \beta ={\frac {3.3}{4.5}},\quad \gamma ={\frac {5.5}{6.7}},\ldots \,;$

donc

$\sin \varphi =\varphi -\alpha \sin ^{3}\varphi -\beta \sin ^{5}\varphi -\gamma \sin ^{7}\varphi -\ldots \,;$

donc, supposant $\varphi ={\frac {m\pi }{2(n+1)}},$ et faisant, pour abréger,

$\sin {\frac {m\pi }{2(n+1)}}=x,$

on aura

$\sin {\frac {m\pi }{2(n+1)}}={\frac {m\pi }{2(n+1)}}-\alpha x^{3}-\beta x^{5}-\gamma x^{7}-\ldots ,$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}\cos \left[2tk\sin {\frac {m\pi }{2(n+1)}}\right]&=\cos \left({\frac {mkt}{n+1}}\pi -2\alpha ktx^{3}-2\beta ktx^{5}-2\gamma ktx^{7}-\ldots \right)\\&=\cos \left({\frac {mkt}{n+1}}\pi \right)\cos \left(2\alpha ktx^{3}+2\beta ktx^{5}+\ldots \right)\\&=\sin \left({\frac {mkt}{n+1}}\pi \right)\sin \left(2\alpha ktx^{3}+2\beta ktx^{5}+\ldots \right).\end{aligned}}$

Or

$\cos \left(2\alpha ktx^{3}+2\beta ktx^{5}+\ldots \right)=1-2\alpha ^{2}k^{2}t^{2}x^{6}-2\alpha \beta k^{2}t^{2}x^{8}-2\beta ^{2}k^{2}t^{2}x^{10}-\ldots ,$

et

$\sin \left(2\alpha ktx^{3}+2\beta ktx^{5}+\ldots \right)$

$=2\alpha ktx^{3}+2\beta ktx^{5}+2\gamma ktx^{7}+\left(2\delta kt-{\frac {4\alpha ^{3}k^{3}t^{3}}{3}}\right)x^{9}+\ldots \,;$

de plus

${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1.3}{2.4}}x^{4}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}x^{6}+\ldots ,$

et, par conséquent,

$\left(1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1.3}{2.4}}x^{4}+\ldots \right){\sqrt {1-x^{2}}}\,;$

donc, on aura aussi

$\sin \left(2\alpha ktx^{3}+2\beta ktx^{5}+\ldots \right)$

${\begin{aligned}&=\left\{2\alpha ktx^{2}+(\alpha +2\beta )ktx^{4}+\left({\frac {3\alpha }{4}}+\beta +2\gamma \right)ktx^{6}\right.\\&+\left.\left[\left({\frac {3.5\alpha }{4.6}}+{\frac {3\beta }{4}}+\gamma +2\delta \right)kt-{\frac {4\alpha ^{3}}{3}}k^{3}t^{3}\right]x^{8}+\ldots \right\}x{\sqrt {1-x^{2}}}\end{aligned}}$

où l’on remarquera que

$x{\sqrt {1-x^{2}}}=\sin {\frac {m\pi }{2(n+1)}}\cos {\frac {m\pi }{2(n+1)}}={\frac {1}{2}}\sin {\frac {m\pi }{n+1}}.$

Maintenant (n^o 38)

$\mathrm {Y} _{m}=\mathrm {Y} '\sin {\frac {m\pi }{n+1}}+\mathrm {Y} ''\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}+\mathrm {Y} '''\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\mathrm {Y} ^{(n)}\sin {\frac {nm\pi }{n+1}}\,;$

donc, si l’on multiplie cette quantité par $x^{2},$ c’est-à-dire par

$\left[\sin {\frac {m\pi }{2(n+1)}}\right]^{2}={\frac {1}{2}}\left(1-\cos {\frac {m\pi }{n+1}}\right),$

et qu’on développe les produits des sinus et des cosinus, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {Y} _{m}x^{2}={\frac {1}{4}}&\left\{\mathrm {Y} '\left(2\sin {\frac {m\pi }{n+1}}-\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}\right)\right.\\&\ \ +\mathrm {Y} ''\left(2\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}-\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}-\sin {\frac {m\pi }{n+1}}\right)\\&\ \ +\mathrm {Y} '''\left(2\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}-\sin {\frac {4m\pi }{n+1}}-\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}\right)\\&\ \ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\ \ \left.+\mathrm {Y} ^{(n)}\left[2\sin {\frac {nm\pi }{n+1}}-\sin {\frac {(n+1)m\pi }{n+1}}-\sin {\frac {(n-1)m\pi }{n+1}}\right]\right\}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&=-{\frac {1}{4}}\left[(\mathrm {Y''-2Y'} )\sin {\frac {m\pi }{n+1}}+(\mathrm {Y'''-2Y''+Y} )\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}\right.\\&\left.+\left(\mathrm {Y^{\mathrm {iv} }-2Y'''+Y''} \right)\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\left[-2\mathrm {Y} ^{(n)}+\mathrm {Y} ^{(n-1)}\right]\sin {\frac {nm\pi }{n+1}}\right],\end{aligned}}$

à cause de $\sin {\frac {(n+1)m\pi }{n+1}}=\sin m\pi =0.$

Qu’on dénote par $\Delta ^{2}\mathrm {Y}$ les différences secondes des quantités $\mathrm {Y}$ dans la suite $\mathrm {Y',Y'',Y''',\ldots ,Y} ^{(n)},$ de sorte que l’on ait en général

$\Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(s)}=\mathrm {Y} ^{(s+1)}-2\mathrm {Y} ^{(s)}+\mathrm {Y} ^{(s-1)},$

et supposant

$\mathrm {Y} ^{0}=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Y} ^{(n+1)}=0$

(ce qui est permis, à cause que les quantités $\mathrm {Y',Y'',Y''',\ldots ,Y} ^{(n)}$ sont les

seules données), afin que

$\Delta ^{2}\mathrm {Y} '=\mathrm {Y} ''-2\mathrm {Y} '\quad {\text{et}}\quad \Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(m)}=-2\mathrm {Y} ^{(m)}+\mathrm {Y} ^{(m-1)},$

on aura

$\mathrm {Y} ^{(m)}x^{2}=-{\frac {1}{4}}\left[\Delta ^{2}\mathrm {Y} '\sin {\frac {m\pi }{n+1}}+\Delta ^{2}\mathrm {Y} ''\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}\right.$

$\left.+\Delta ^{2}\mathrm {Y} '''\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(n)}\sin {\frac {nm\pi }{n+1}}\right].$

Si l’on fait de même

${\begin{aligned}\Delta ^{4}\mathrm {Y} ^{(s)}=&\Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(s+1)}-2\Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(s)}+\Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(s-1)}\\=&\mathrm {Y} ^{(s+2)}-4\mathrm {Y} ^{(s+1)}+6\mathrm {Y} ^{(s)}-4\mathrm {Y} ^{(s-1)}+\mathrm {Y} ^{(s-2)}\end{aligned}}$

et qu’on suppose ensuite

$\Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{0}=0\quad {\text{et}}\quad \Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(n+1)}=0,$

on trouvera

$\mathrm {Y} ^{(m)}x^{4}={\frac {1}{16}}\left[\Delta ^{4}\mathrm {Y} '\sin {\frac {m\pi }{n+1}}+\Delta ^{4}\mathrm {Y} ''\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}\right.$

$\left.+\Delta ^{4}\mathrm {Y} '''\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\Delta ^{4}\mathrm {Y} ^{(n)}\sin {\frac {nm\pi }{n+1}}\right].$

En général on aura

$\mathrm {Y} ^{(m)}x^{2r}=\pm {\frac {1}{2^{r}}}\left[\Delta ^{2r}\mathrm {Y} '\sin {\frac {m\pi }{n+1}}+\Delta ^{2r}\mathrm {Y} ''\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}\right.$

$\left.+\Delta ^{2r}\mathrm {Y} '''\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\Delta ^{2r}\mathrm {Y} ^{(n)}\sin {\frac {nm\pi }{n+1}}\right]$

(le signe supérieur étant pour le cas de $r$ pair, et l’inférieur pour celui de $r$ impair), pourvu qu’on suppose

$\mathrm {Y} ^{0}=0,\ \ \Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{0}=0,\ \ \Delta ^{4}\mathrm {Y} ^{0}=0,\ldots ,$

$\mathrm {Y} ^{(n+1)}=0,\ \ \Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(n+1)}=0,\ \ \Delta ^{4}\mathrm {Y} ^{(n+1)}=0,\ldots ,$

conditions auxquelles on peut satisfaire en imaginant la suite des $\mathrm {Y}$ continuée de part et d’autre à l’infini, de manière que les termes $\mathrm {Y} ^{0}$ et $\mathrm {Y} ^{(n-1)}$ soient nuls, et que les termes également distants de ceux-ci soient égaux et de signes contraires.

Donc, si l’on fait ces substitutions, et qu’on fasse, pour abréger,

${\begin{aligned}{\frac {2\alpha ^{2}k^{2}t^{2}}{2^{6}}}\Delta ^{6}\mathrm {Y} ^{(s)}-{\frac {2\alpha \beta k^{2}t^{2}}{2^{8}}}\Delta ^{8}\mathrm {Y} ^{(s)}+\ldots =&\mathrm {P} ^{(s)},\\-{\frac {\alpha kt}{2^{2}}}\Delta ^{2}\mathrm {Y} ^{(s)}+{\frac {1}{2}}(\alpha +2\beta ){\frac {kt}{2^{4}}}\Delta ^{4}\mathrm {Y} ^{(s)}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {3\alpha }{4}}+\beta +2\gamma \right){\frac {kt}{2^{6}}}\Delta ^{6}\mathrm {Y} ^{(s)}+\ldots =&\mathrm {Q} ^{(s)},\end{aligned}}$

et de plus

${\begin{aligned}\mathrm {P} '\sin '{\frac {m\pi }{n+1}}+\mathrm {P} ''\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}+\mathrm {P} '''\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\mathrm {P} ^{(n)}\sin {\frac {nm\pi }{n+1}}=&\mathrm {P} _{m},\\\mathrm {Q} '\sin '{\frac {m\pi }{n+1}}+\mathrm {Q} ''\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}+\mathrm {Q} '''\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\mathrm {Q} ^{(n)}\sin {\frac {nm\pi }{n+1}}=&\mathrm {Q} _{m},\end{aligned}}$

on aura

${\frac {2\sin {\cfrac {ms\pi }{n+1}}}{n+1}}\mathrm {Y} _{m}\cos \left[2tk\sin {\frac {m\pi }{2(n+1)}}\right]$

${\begin{aligned}=&{\frac {2\sin {\cfrac {ms\pi }{n+1}}}{n+1}}(\mathrm {Y} _{m}+\mathrm {P} _{m})\cos {\frac {mkt}{n+1}}\pi +{\frac {2\sin {\cfrac {ms\pi }{n+1}}}{n+1}}\mathrm {Q} _{m}\sin {\frac {m\pi }{n+1}}\sin {\frac {mkt}{n+1}}\pi \\=&{\frac {\mathrm {Y} _{m}+\mathrm {P} _{m}}{n+1}}\left[\sin {\frac {m(s+kt)}{n+1}}\pi +\sin {\frac {m(s-kt)}{n+1}}\pi \right]\\&+{\frac {\mathrm {Q} _{m}}{2(n+1)}}\left[\sin {\frac {m(s+1+kt)}{n+1}}\pi -\sin {\frac {m(s-1+kt)}{n+1}}\pi \right.\\&\qquad \qquad \qquad -\left.\sin {\frac {m(s+1-kt)}{n+1}}\pi +\sin {\frac {m(s-1-kt)}{n+1}}\pi \right].\end{aligned}}$

Donc, si l’on fait $m$ successivement égal à $1,2,3,\ldots ,n,$ et qu’on suppose en général

${\begin{aligned}\varphi (x)=&2{\frac {\mathrm {Y_{1}+P_{1}} }{n+1}}\sin x\pi +2{\frac {\mathrm {Y_{2}+P_{2}} }{n+1}}\sin 2x\pi +2{\frac {\mathrm {Y_{3}+P_{3}} }{n+1}}\sin 3x\pi +\ldots \\&+2{\frac {\mathrm {Y} _{n}+\mathrm {P} _{n}}{n+1}}\sin nx\pi ,\\\\\psi (x)=&2{\frac {\mathrm {Q} _{1}}{n+1}}\sin x\pi +2{\frac {\mathrm {Q} _{2}}{n+1}}\sin 2x\pi +2{\frac {\mathrm {Q} _{3}}{n+1}}\sin 3x\pi +\ldots \\&+2{\frac {\mathrm {Q} _{n}}{n+1}}\sin nx\pi ,\end{aligned}}$

$\varphi$ et $\psi$ dénotant des fonctions, on aura (numéro précédent)

${\begin{aligned}&y^{(s)}={\frac {1}{2}}\left[\varphi \left({\frac {s+kt}{n+1}}\right)+\varphi \left({\frac {s-kt}{n+1}}\right)\right]\\&+{\frac {1}{4}}\left[\psi \left({\frac {s+1+kt}{n+1}}\right)-\psi \left({\frac {s-1+kt}{n+1}}\right)-\psi \left({\frac {s+1-kt}{n+1}}\right)+\psi \left({\frac {s-1-kt}{n+1}}\right)\right].\end{aligned}}$

D’où l’on voit que pour avoir la valeur d’une $y$ quelconque, comme $y^{(s)},$ après un temps quelconque $t,$ il n’y aura qu’à tracer deux courbes, dont les ordonnées répondant aux abscisses $x$ soient $\varphi (x)$ et $\psi (x),$ et prendre ensuite dans la première de ces courbes

${\frac {1}{2}}\operatorname {ord.absc} .{\frac {s+kt}{n+1}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {ord.absc} .{\frac {s-kt}{n+1}},$

et dans la seconde

${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\operatorname {ord.absc} .{\frac {s+1+kt}{n+1}}&-{\frac {1}{4}}\operatorname {ord.absc} .{\frac {s-1+kt}{n+1}}\\&-{\frac {1}{4}}\operatorname {ord.absc} .{\frac {s+1-kt}{n+1}}+{\frac {1}{4}}\operatorname {ord.absc} .{\frac {s-1-kt}{n+1}}.\end{aligned}}$

Substituons maintenant dans les expressions de $\varphi (x)$ et $\psi (x)$ les valeurs de $\mathrm {Y_{1},Y_{2},Y_{3}} ,\ldots ,\mathrm {Y} _{n},\ \mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots ,\mathrm {P} _{n},$ et $\mathrm {Q_{1},Q_{2},Q_{3}} ,\ldots ,\mathrm {Q} _{n},$ et supposant en général

${\begin{aligned}\chi (u,x)=&\sin u\pi \sin x\pi +\sin 2u\pi \sin 2x\pi +\sin 3u\pi \sin 3x\pi +\ldots \\&+\sin nu\pi \sin nx\pi ,\end{aligned}}$

nous aurons

${\begin{aligned}\varphi (x)=&2{\frac {\mathrm {Y'+P'} }{n+1}}\chi \left({\frac {1}{n+1}},x\right)+2{\frac {\mathrm {Y''+P''} }{n+1}}\chi \left({\frac {2}{n+1}},x\right)\\&+2{\frac {\mathrm {Y'''+P'''} }{n+1}}\chi \left({\frac {3}{n+1}},x\right)+\ldots +2{\frac {\mathrm {Y} ^{(n)}+\mathrm {P} ^{(n)}}{n+1}}\chi \left({\frac {n}{n+1}},x\right)\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}\psi (x)=&2{\frac {\mathrm {Q} '}{n+1}}\chi \left({\frac {1}{n+1}},x\right)+2{\frac {\mathrm {Q} ''}{n+1}}\chi \left({\frac {2}{n+1}},x\right)\\&+2{\frac {\mathrm {Q} '''}{n+1}}\chi \left({\frac {3}{n+1}},x\right)+\ldots +2{\frac {\mathrm {Q} ^{(n)}}{n+1}}\chi \left({\frac {n}{n+1}},x\right).\end{aligned}}$

Or

$2\cos u\pi \chi (u,x)$

${\begin{aligned}=&2\cos u\pi \sin u\pi \sin x\pi +2\cos u\pi \sin 2u\pi \sin 2x\pi \\&+2\cos u\pi \sin 3u\pi \sin 3x\pi +\ldots +2\cos u\pi \sin nu\pi \sin nx\pi \\=&\sin 2u\pi \sin x\pi +(\sin u\pi +\sin 3u\pi )\sin 2x\pi \\&+(\sin 2u\pi +\sin 4u\pi )\sin 3x\pi +\ldots \\&+\left[\sin(n-1)u\pi +\sin(n+1)u\pi \right]\sin nx\pi \\=&\sin 2x\pi \sin u\pi +(\sin x\pi +\sin 3x\pi )\sin 2u\pi \\&+(\sin 2x\pi +\sin 4x\pi )\sin 3u\pi +\ldots \\&+\left[\sin(n-1)x\pi +\sin(n+1)x\pi \right]\sin nu\pi \\&+\sin(n+1)u\pi \sin nx\pi -\sin(n+1)x\pi \sin nu\pi \\=&2\cos x\pi \chi (n,x)+\sin(n+1)u\pi \sin nx\pi -\sin(n+1)x\pi \sin nu\pi .\end{aligned}}$

Donc

$\chi (u,x)={\frac {\sin(n+1)u\pi \sin nx\pi -\sin(n+1)x\pi \sin nu\pi }{2(\cos u\pi -\cos x\pi )}}$

Soient

$u={\frac {m}{n+1}},\qquad x={\frac {s}{n+1}},$

$m$ et $s$ étant des nombres entiers, on aura

$\sin(n+1)u\pi =\sin m\pi =0,\qquad \sin(n+1)x\pi =\sin s\pi =0\,;$

par conséquent,

$\chi \left({\frac {m}{n+1}},{\frac {s}{n+1}}\right)=0.$

Il en faut excepter le cas où $s=m,$ car alors le numérateur et le dénominateur de la formule deviennent égaux chacun à zéro. Pour trouver la valeur de $\chi (u,x)$ dans ce cas, on fera $x=u+\omega ,$ $\omega$ étant une quantité évanouissante, et l’on aura, en effaçant ce qui se détruit,

$\chi (u,x)={\frac {n\sin(n+1)u\pi \cos nu\pi }{2\sin u\pi }}-{\frac {(n+1)\cos(n+1)u\pi \sin nu\pi }{2\sin u\pi }}.$

Donc, faisant $u=x={\frac {m}{n+1}},$

$\chi \left({\frac {m}{n+1}},{\frac {m}{n+1}}\right)=-{\frac {(n+1)\cos m\pi \sin {\cfrac {nm\pi }{n+1}}}{2\sin {\cfrac {m\pi }{n+1}}}}.$

Or

$\cos m\pi \sin {\frac {nm}{n+1}}\pi ={\frac {1}{2}}\sin {\frac {2n+1}{n+1}}m\pi -{\frac {1}{2}}\sin {\frac {m}{n+1}}\pi ,$

et

$\sin {\frac {2n+1}{n+1}}m\pi =\sin \left(2m-{\frac {m}{n+1}}\right)\pi =-\sin {\frac {m}{n+1}}\pi$

(à cause que $m$ est un nombre entier) ; donc

$\cos m\pi \sin {\frac {nm}{n+1}}\pi =-\sin {\frac {m}{n+1}}\pi \,;$

et, par conséquent,

$\chi \left({\frac {m}{n+1}},{\frac {m}{n+1}}\right)={\frac {n+1}{2}}.$

On aura donc

$\varphi \left({\frac {s}{n+1}}\right)=\mathrm {Y} ^{(s)}+\mathrm {P} ^{(s)}\quad {\text{et}}\quad \psi \left({\frac {s}{n+1}}\right)=\mathrm {Q} ^{(s)}\,;$

c’est-à-dire que les deux courbes qui représentent les fonctions $\varphi (x)$ et $\psi (x)$ doivent être telles, que les ordonnées répondant aux abscisses ${\frac {s}{n+1}}$ soient $\mathrm {Y} ^{(s)}+\mathrm {P} ^{(s)}$ et $\mathrm {Q} ^{(s)}.$

Ayant donc divisé l’axe de la corde, que je suppose égal à $1,$ en $n+1$ parties égales, on appliquera à chaque abscisse ${\frac {s}{n+1}}$ deux ordonnées, l’une égale à $\mathrm {Y} ^{(s)}+\mathrm {P} ^{(s)}$ et l’autre égale à $\mathrm {Q} ^{(s)},$ et l’on fera passer par les extrémités de chacune de ces deux suites d’ordonnées deux courbes représentées par l’équation

$y=\alpha \sin x\pi +\beta \sin 2x\pi +\gamma \sin 3x\pi +\ldots +\omega \sin nx\pi ,$

$y$ étant l’ordonnée qui répond à l’abscisse $x,$ et $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,\omega$ des coefficients arbitraires ; on aura de cette manière les courbes qui serviront à

déterminer, pour un temps quelconque $t,$ la figure du polygone vibrant, comme nous l’avons enseigné plus haut.

À l’égard de la continuation de ces courbes, il est clair qu’elles s’étendront de part et d’autre à l’infini, et seront composées de branches égales, semblables et alternativement situées au-dessus et au-dessous de l’axe, de sorte qu’il ne faudra que tracer les branches qui répondent à l’axe $1,$ et les transporter ensuite alternativement au-dessus et au-dessous de l’axe prolongé à l’infini de part et d’autre.

40. Supposons présentement que le nombre $n$ des corps soit très-grand, et que, par conséquent, la distance $a$ d’un corps à l’autre soit très-petite, la longueur de toute la corde étant égale à $1\,;$ il est clair que les différences $\Delta ^{2}\mathrm {Y} ,\Delta ^{4}\mathrm {Y} ,\ldots$ deviendront très-petites du second ordre, du quatrième, … ; donc, puisque $k={\sqrt {\frac {nc^{2}}{a}}}={\frac {c}{a}},$ à cause de $n={\frac {1}{a}},$ les quantités $k\Delta ^{2}\mathrm {Y} ,$$k\Delta ^{4}\mathrm {Y} ,k^{2}\Delta ^{6}\mathrm {Y} ,\ldots$ seront très-petites du premier ordre du troisième, du quatrième, …, et par conséquent les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ pourront être regardées et traitées comme nulles sans erreur sensible Ainsi, dans cette hypothèse, on aura à très-peu près le mouvement de la corde, en faisant passer par les sommets des ordonnées très-proches $\mathrm {Y',Y'',Y'''} ,\ldots ,$ lesquelles représentent la figure initiale du polygone vibrant, une courbe dont l’équation soit

$y=\alpha \sin \pi x+\beta \sin 2\pi x+\gamma \sin 3\pi x+\ldots +\omega \sin n\pi x.$

et que j’appellerai génératrice, et prenanl ensuite pour l’ordonnée du polygone vibrant, qui répond à une abscisse quelconque ${\frac {s}{n+1}}=x,$ la demi-somme de deux ordonnées de cette courbe, desquelles l’une réponde à l’abscisse

${\frac {s+kt}{n+1}}=x+ct,$

et l’autre réponde à l’abscisse

${\frac {s-kt}{n+1}}=x-ct\,;$

et cette détermination sera toujours d’autant plus exacte que le nombre n sera plus grand. Or il est évident que plus le nombre des poids est grand, plus le polygone initial doit s’approcher de la courbe circonscrite ; d’où il s’ensuit qu’en supposant le nombre des poids infini, ce qui est le cas de la corde vibrante, on pourra regarder la figure initiale même de la corde comme une branche de la courbe génératrice, et qu’ainsi pour avoir cette courbe il n’y aura qu’à transporter la courbe initiale alternativement au-dessus et au-dessous de l’axe à l’infini (numéro précédent).

41. On pourrait douter s’il ne faut pas que la courbe initiale de la corde soit aussi comprise dans la même équation

$y=\alpha \sin \pi x+\beta \sin 2\pi x+\ldots .$

Il est certain que si l’on veut que la courbe génératrice soit la même géométriquement que la courbe initiale, il faut que celle-ci soit renfermée dans l’équation $y=\alpha \sin \pi x+\beta \sin 2\pi x+\ldots .$ Je dis : la même géométriquement, car il suffit que la différence de ces deux courbes soit moindre qu’aucune grandeur donnée, pour qu’elles puissent être prises pour les mêmes. Or il est clair que, quelle que soit la courbe initiale, on peut toujours faire passer, par une infinité de points infiniment proches de cette courbe, une autre courbe de la forme

$y=\alpha \sin \pi x+\beta \sin 2\pi x+\ldots .$

de manière que la différence entre les deux courbes soit aussi petite qu’on voudra, quoique cette différence ne puisse devenir absolument nulle que dans le cas où la courbe initiale sera aussi de la même forme ; dans tous les autres cas cette courbe initiale ne sera qu’une espèce d’asymptote dont la courbe génératrice pourra s’approcher à l’infini, sans qu’elles puissent jamais coïncider entièrement.

Pour confirmer ce que je viens de dire, je vais faire voir comment on peut trouver une infinité de telles courbes, qui coïncident avec une courbe donnée en un nombre quelconque de points aussi près les uns des autres qu’on voudra. Pour cela je prends l’équation

$y={\frac {2\mathrm {Y} _{1}}{n+1}}\sin x\pi +{\frac {2\mathrm {Y} _{2}}{n+1}}\sin 2x\pi +{\frac {2\mathrm {Y} _{3}}{n+1}}\sin 3x\pi +\ldots +{\frac {2\mathrm {Y} _{n}}{n+1}}\sin nx\pi ,$

dans laquelle

$\mathrm {Y} _{m}=\mathrm {Y} '\sin {\frac {m\pi }{n+1}}+\mathrm {Y} ''\sin {\frac {2m\pi }{n+1}}+\mathrm {Y} '''\sin {\frac {3m\pi }{n+1}}+\ldots +\mathrm {Y} ^{(n)}\sin {\frac {nm\pi }{n+1}},$

et, par ce que j’ai démontré dans le n^o 39, j’aurai, lorsque $x={\frac {s}{n+1}},$

$y=\mathrm {Y} ^{(s)}$

Soient maintenant

$n+1={\frac {1}{d\mathrm {X} }}\quad {\text{et}}\quad {\frac {s}{n+1}}=\mathrm {X} ,$

on aura

$\mathrm {Y} _{m}=\int \mathrm {Y} \sin m\mathrm {X} \pi =(n+1)\int \mathrm {Y} \sin m\mathrm {X} \pi d\mathrm {X} ,$

cette intégrale étant prise depuis $\mathrm {X} =0$ jusqu’à $\mathrm {X} =1$ ; par conséquent

${\begin{aligned}y=&2\int \mathrm {Y} \sin \mathrm {X} \pi d\mathrm {X} \sin x\pi +2\int \mathrm {Y} \sin 2\mathrm {X} \pi d\mathrm {X} \sin 2x\pi \\&+2\int \mathrm {Y} \sin \mathrm {X} \pi d\mathrm {X} \sin 3x\pi +\ldots +2\int \mathrm {Y} \sin n\mathrm {X} \pi d\mathrm {X} \sin nx\pi ,\end{aligned}}$

de sorte que, lorsque $x=\mathrm {X} ,$ on aura $y=\mathrm {Y} ,$ $\mathrm {Y}$ étant l’ordonnée qui répond à l’abscisse $\mathrm {X} .$

Or, soient $\mathrm {Z}$ une fonction quelconque de $\mathrm {X} ,$ et $z$ une pareille l’onction de $x,$ il est clair qu’en mettant dans l’équation précédente $\mathrm {YZ}$ au lieu de $\mathrm {Y} ,$ et $yz$ au lieu de $y,$ on aura aussi, lorsque $\mathrm {X} =x,$

$yz=\mathrm {YZ} ,$

c’est-à-dire, à cause de $z=\mathrm {Z}$ dans ce cas,

$y=\mathrm {Y} .$

D’où il s’ensuit que si l’on a une courbe quelconque rapportée à un axe égal à $1,$ et dont les coordonnées soient $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ et qu’on décrive sur le

même axe une autre courbe dont l’équation, en prenant $x$ et $y$ pour les coordonnées, soit

${\begin{aligned}y={\frac {2}{z}}\int \mathrm {ZY} \sin \mathrm {X} \pi d\mathrm {X} +{\frac {2}{z}}\int \mathrm {ZY} \sin 2\mathrm {X} \pi d\mathrm {X} &+{\frac {2}{z}}\int \mathrm {ZY} \sin 3\mathrm {X} \pi d\mathrm {X} +\ldots \\&+{\frac {2}{z}}\int \mathrm {ZY} \sin n\mathrm {X} \pi d\mathrm {X} ,\end{aligned}}$

ces deux courbes coïncideront dans tous les points qui répondent aux abscisses

$x=\mathrm {X} ={\frac {s}{n+1}},$

$s$ et $n$ étant des nombres entiers, quelle que soit d’ailleurs la fonction $\mathrm {Z} \,;$ or on peut rendre $n$ et $s$ si grands que, les points de coïncidence soient aussi près les uns des autres qu’on voudra.

Au reste il ne faut pas manquer d’observer que la construction donnée ci-dessus, pour représenter le mouvement de la corde vibrante, n’est exacte qu’autant qu’il est permis de négliger les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ comme nous l’avons fait (n^o 40). Or il est clair que ces quantités seront toujours nulles d’elles-mêmes, si ${\frac {d^{m}y}{dx^{m}}}$ ne fait de saut nulle part dans la courbe initiale, ni dans les branches alternatives ; ainsi, pourvu que cette condition soit observée, on pourra toujours déterminer le mouvement de la corde, quelle que soit d’ailleurs la nature de la courbe initiale.

Nouvelle manière d’intégrer par approximation l’équation

(A)

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}y+\mathrm {L} +i\mathrm {M} y^{2}+i^{2}\mathrm {N} y^{3}+\ldots =0,$

dans laquelle $\mathrm {K,L,M,N} ,\ldots$ sont des constantes quelconques,
et $i$ marque un coefficient très-petit.

42. On sait que l’intégrale de l’équation

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}y+\mathrm {L} +a\cos \alpha t+b\cos \beta t+\ldots =0$

est

${\begin{aligned}y=f\cos \mathrm {K} t+{\frac {g}{\mathrm {K} }}\sin \mathrm {K} t+\mathrm {\frac {L}{K^{2}}} (\cos \mathrm {K} t-1)&+{\frac {a}{\mathrm {K} ^{2}-\alpha ^{2}}}(\cos \mathrm {K} t-\cos \alpha t)\\&+{\frac {b}{\mathrm {K} ^{2}-\beta ^{2}}}(\cos \mathrm {K} t-\cos \beta t)+\ldots ,\end{aligned}}$

$f$ et $g$ étant deux constantes arbitraires dont l’une exprime la valeur de $y,$ et l’autre celle de ${\frac {y}{t}},$ lorsque $t=0.$

Si $\alpha =\mathrm {K} ,$ on trouvera, en faisant $\alpha =\mathrm {R} +\omega$ et regardant $\omega$ comme une quantité évanouissante, que les termes

${\frac {a}{\mathrm {K} ^{2}-\alpha ^{2}}}(\cos \mathrm {K} t-\cos \alpha t)$

se réduisent à celui-ci :

$-{\frac {a}{2\mathrm {K} }}t\sin \mathrm {K} t.$

43. Cela posé, pour intégrer l’équation (A) suivant la méthode ordinaire d’approximation, on négligera d’abord les termes affectés de $i,$ et l’on aura pour première équation approchée

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}y+\mathrm {L} =0.$

et, par conséquent,

$y=f\cos \mathrm {K} t+{\frac {g}{\mathrm {K} }}\sin \mathrm {K} t+\mathrm {\frac {L}{K^{2}}} (\cos \mathrm {K} t-1).$

On substituera ensuite cette première valeur de $y$ dans le terme $i\mathrm {M} y^{2},$ en négligeant le terme suivant $i^{2}\mathrm {N} y^{3},$ et faisant, pour plus de simplicité,

$g=0\quad {\text{et}}\quad f+\mathrm {{\frac {L}{K^{2}}}=F} \,;$

on aura la nouvelle équation

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}y+\mathrm {L} +i\mathrm {M\left({\frac {F^{2}}{2}}+{\frac {L^{4}}{K^{4}}}\right)} -2i\mathrm {\frac {MLF}{K}} \cos \mathrm {K} t+i\mathrm {\frac {MF^{2}}{2}} \cos 2\mathrm {K} t=0,$

dont l’intégrale sera

$y=f\cos \mathrm {K} t+\mathrm {\frac {L'}{K^{2}}} (\cos \mathrm {K} t-1)+i\mathrm {\frac {MLF}{K^{3}}} t\sin \mathrm {K} t-i\mathrm {\frac {MF^{2}}{2.3K^{2}}} (\cos \mathrm {K} t-\cos 2\mathrm {K} t),$

en supposant

$g=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {L} +i\mathrm {M\left({\frac {F^{2}}{2}}+{\frac {L^{2}}{K^{4}}}\right)=L'} .$

44. Mais voici une difficulté. L’expression de $y$ qu’on vient de trouver renferme un terme multiplié par $t,$ et si l’on continuait le calcul de la même manière, on trouverait encore des termes multipliés par $t^{2},t^{3},\ldots \,;$ cependant il est certain que la valeur de $y$ ne doit point contenir de pareils termes. Pour le démontrer je reprends l’équation (A) et j’en tire, en multipliant par $2dy$ et intégrant,

(B)

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}y^{2}+2\mathrm {L} y+\mathrm {H} +{\frac {2i\mathrm {M} }{3}}y^{3}+{\frac {i^{2}\mathrm {N} }{2}}y^{4}\ldots =0,$

$\mathrm {H}$ étant une constante qu’on déterminera par les valeurs données de $y$ et de ${\frac {dy}{dt}},$ lorsque $t=0\,;$ de sorte qu’on aura, en général,

$\mathrm {H} =-g^{2}-\mathrm {K} ^{2}f^{2}-2\mathrm {L} f-{\frac {2i\mathrm {M} }{3}}f^{3}-{\frac {i^{2}\mathrm {N} }{2}}f^{4}\ldots .$

Je fais ${\frac {dy}{dt}}=x,$ j’ai

$x^{2}+\mathrm {K} ^{2}y^{2}+2\mathrm {L} y+\mathrm {H} +{\frac {2i\mathrm {M} }{3}}y^{3}+{\frac {i^{2}\mathrm {N} }{2}}y^{4}\ldots =0,$

équation qui peut être regardée comme appartenant à une courbe dont $x$ et $y$ soient les coordonnées. Or, puisque $i$ est une quantité très-petite, il est clair qu’on aura à peu près

$x^{2}+\mathrm {K} ^{2}y^{2}+2\mathrm {L} y+\mathrm {H} =0,$

d’où l’on tire

$y=-\mathrm {L} +{\frac {\sqrt {\mathrm {L^{2}-K^{2}H-K^{2}} x^{2}}}{\mathrm {K} ^{2}}}.$

Ces deux racines donnent, comme l’on voit, une ovale dans laquelle la valeur de $y$ est contenue entre ces deux limites :

$y=\mathrm {\frac {-L+{\sqrt {L^{2}-K^{2}H}}}{K^{2}}} \quad {\text{et}}\quad y=\mathrm {\frac {-L-{\sqrt {L^{2}-K^{2}H}}}{K^{2}}} .$

Pour trouver les autres racines, on supposera $y={\frac {z}{i}},$ et après avoir fait disparaître les puissances de $i$ qui se trouveront au dénominateur, on cherchera les valeurs de $z$ par les règles ordinaires d’approximation. De cette manière on aura, en ne considérant d’abord que l’équation

$x^{2}+\mathrm {K} ^{2}y^{2}+2\mathrm {L} y+\mathrm {H} +{\frac {2i\mathrm {M} }{3}}y^{3}=0,$

et poussant la précision jusqu’aux $i^{2},$

$z=-\mathrm {\frac {3K^{2}}{2M}} +{\frac {2i\mathrm {L} }{\mathrm {K} }}-{\frac {8i^{2}\mathrm {L^{2}M} }{3\mathrm {K} ^{6}}}-{\frac {2i^{2}\mathrm {M} \left(\mathrm {H} +x^{2}\right)}{3\mathrm {K} ^{4}}},$

et, par conséquent,

$y=-{\frac {3\mathrm {K} ^{2}}{2i\mathrm {M} }}+\mathrm {\frac {2L}{K}} -{\frac {8i\mathrm {L^{2}M} }{3\mathrm {K} ^{6}}}-{\frac {2i\mathrm {M} \left(\mathrm {H} +x^{2}\right)}{3\mathrm {K} ^{4}}},$

ce qui donne une branche parabolique infiniment éloignée de l’axe. On

tirera de même de l’équation

$x^{2}+\mathrm {K} ^{2}y^{2}+2\mathrm {L} y+\mathrm {H} +{\frac {2i\mathrm {M} }{3}}y^{3}+{\frac {i^{2}\mathrm {N} }{2}}y^{4}=0,$

$y={\frac {\alpha }{i}}+\beta +i\left(\gamma +\delta x^{2}\right),$

où

${\begin{aligned}\alpha =&\mathrm {\frac {-{\cfrac {2M}{3}}\pm {\sqrt {{\cfrac {4M^{2}}{9}}-2K^{2}}}}{N}} ,\\\beta =&-\mathrm {\frac {4L\alpha }{4N\alpha ^{3}+4M\alpha ^{2}+4K^{2}\alpha }} ,\\\gamma =&-\mathrm {\frac {\left(6N^{2}\alpha ^{2}+4M\alpha +2K^{2}\right)\beta ^{2}+4L\beta +2C}{4N\alpha ^{3}+4M\alpha ^{2}+4K^{2}\alpha }} ,\\\delta =&-\mathrm {\frac {2}{4N\alpha ^{3}+4M\alpha ^{2}+4K^{2}\alpha }} \end{aligned}}$

ce qui donnera, à cause de l’ambiguïté du radical $\mathrm {\sqrt {{\frac {4M^{2}}{9}}-2K^{2}}} ,$ deux branches paraboliques éloignées à l’infini de l’axe, et ainsi de suite.

De là il est aisé de conclure que la valeur de $y$ ne peut jamais passer du fini à l’infini. Donc, puisque $t$ peut devenir infinie, ce qui est évident par la nature même de l’équation (A), il s’ensuit que la valeur de $y$ en $t$ ne doit point contenir de termes qui croissent avec $t\,;$ donc ; etc.

45. Voyons donc comment on pourrait faire disparaître de l’expression de $y$ les termes qui contiendraient des puissances de $t,$ et qui rendraient cette expression très-fautive.

Qu’on suppose, dans l’équation (A),

$y=y'+\lambda +i\mu +i^{2}\nu +\ldots ,$

$\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots$ étant des constantes indéterminées et $y'$ une nouvelle variable, et négligeant les termes qui seraient affectés de $i^{3},\ldots ,$ on aura une équation de cette forme :

(C)

${\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\mathrm {R} ^{2}y'+\mathrm {A} +i\left(\mathrm {B+M} y'^{2}\right)+i^{2}\left(\mathrm {C+3N} \lambda y'^{2}+\mathrm {N} y'^{3}\right)+\ldots =0,$

dans laquelle

$\mathrm {R^{2}=K^{2}} +2i\mathrm {M} \lambda +i^{2}\mathrm {\left(2M\mu +3N\lambda ^{2}\right)} ,$

$\mathrm {A=L+K^{2}\lambda ,\quad B=K^{2}\mu +M\lambda ^{2},\quad C=K^{2}\nu +2M\mu \lambda +N\lambda ^{3}} ,$

ce qui donnera pour première équation approchée

${\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\mathrm {R} ^{2}y'+\mathrm {A} =0\,;$

d’où on aura, en supposant $y'=f'$ et ${\frac {dy'}{dt}}=0,$ lorsque $t=0,$

$y'=f'\cos \mathrm {R} t;+\mathrm {\frac {A}{R^{2}}} (\cos \mathrm {R} t-1).$

Substituant ensuite cette première valeur de $y'$ dans le terme $i\mathrm {M} y'^{2}$ de l’équation (C), et négligeant les termes affectés de $i^{2},$ 1, on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}&+\mathrm {R} ^{2}y'+\mathrm {A} +i\left[\mathrm {B+M{\frac {A^{2}}{R^{4}}}+{\frac {M}{2}}} \left(f'+\mathrm {\frac {A}{R^{2}}} \right)^{2}\right]\\&-2i\mathrm {M{\frac {A}{R^{2}}}} \left(f'+\mathrm {\frac {A}{R^{2}}} \right)\cos \mathrm {R} t+i{\frac {\mathrm {M} }{2}}\left(f'+\mathrm {\frac {A}{R^{2}}} \right)^{2}\cos 2\mathrm {R} t=0.\end{aligned}}$

On fera $\mathrm {A} =0,$ moyennant quoi le terme qui contient $\cos \mathrm {R} t$ disparaîtra, et l’équation se réduira à celle-ci :

${\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\mathrm {R} ^{2}y'+i\left(\mathrm {B} +{\frac {\mathrm {M} f'^{2}}{2}}\right)+i{\frac {\mathrm {M} f'^{2}}{2}}\cos 2\mathrm {R} t=0.$

dont l’intégrale sera

$y'=f'\cos \mathrm {R} t+i\left(\mathrm {\frac {B}{R^{2}}} +{\frac {\mathrm {M} f'^{2}}{2\mathrm {R} ^{2}}}\right)(\cos \mathrm {R} t-1)+i{\frac {\mathrm {M} f'^{2}}{2.3\mathrm {R} ^{2}}}(\cos \mathrm {R} t-\cos 2\mathrm {R} t).$

Si l’on veut se contenter de cette approximation, on négligera dans la valeur de $\mathrm {R}$ les termes de l’ordre de $i^{2},$ et l’on aura

$\mathrm {R^{2}=K^{2}} +2i\mathrm {M} \lambda \,;$

or la supposition de $\mathrm {A} =0$ donne $\lambda =-\mathrm {\frac {L}{K^{2}}} ,$ donc on aura

$\mathrm {R^{2}=K^{2}} -2i\mathrm {\frac {LM}{K^{2}}} .$

À l’égard de la quantité $\mu$ qui entre dans la valeur de $\mathrm {B} ,$ on pourra la supposer égale à zéro, de sorte qu’on aura

$\mathrm {B=M\lambda ^{2}={\frac {L^{2}M}{K^{1}}}} .$

Ainsi la valeur de $y$ sera, aux quantités de l’ordre de $i^{2}$ près,

$-\mathrm {\frac {L}{K^{2}}} +y'.$

Mais si l’on voulait pousser le calcul plus loin, il faudrait substituer l’expression précédente de $y'$ dans les termes $i\mathrm {M} y'^{2},\ 3i^{2}\mathrm {N} \lambda y'^{2}$ et $i^{2}\mathrm {N} y'^{3}$ de l’équation (C), en négligeant les quantités qui se trouveraient affectées de $i^{3},$ et faire disparaître ensuite le terme qui contiendrait $\cos \mathrm {R} t,$ en supposant égal à zéro son coefficient

$i^{2}\left[-2\mathrm {M} f'\left(\mathrm {\frac {B}{R^{2}}} +{\frac {\mathrm {M} f'^{2}}{2\mathrm {R} ^{2}}}\right)+{\frac {\mathrm {M} ^{2}f'^{3}}{2.3\mathrm {R} ^{2}}}+{\frac {3\mathrm {N} f'^{3}}{4}}\right],$

ce qui donnerait

$\mathrm {B} =-{\frac {5\mathrm {M} f'^{2}}{12}}+{\frac {3\mathrm {NR} ^{2}f'^{2}}{8\mathrm {M} }}.$

De cette manière on aurait une nouvelle valeur de $y'$ qui ne contiendrait, comme la précédente, que des cosinus d’angles, et ainsi de suite.

La valeur de $\mathrm {B}$ qu’on vient de trouver donnera, à cause de $\mathrm {B=K^{2}\mu +M\lambda ^{2}} ,$

$\mu =\mathrm {\left({\frac {3NR^{2}}{8MK^{2}}}-{\frac {5M}{12K^{2}}}\right)} f'^{2}-\mathrm {{\frac {ML^{2}}{K^{6}}}=\left({\frac {3N}{8M}}-{\frac {5M}{12K^{2}}}\right)} f'^{2}-\mathrm {\frac {ML^{2}}{K^{6}}} ,$

en mettant au lieu de $\mathrm {R} ^{2}$ sa valeur approchée $\mathrm {K} ^{2}\,;$ d’où l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {R} ^{2}=&\mathrm {K} ^{2}+2i\mathrm {M} \lambda +i^{2}\mathrm {\left(2M\mu +3N\lambda ^{2}\right)} \\=&\mathrm {K} ^{2}-2i\mathrm {\frac {ML}{K^{2}}} +i^{2}\left[\mathrm {\left({\frac {3N}{4}}-{\frac {5M^{2}}{6K^{2}}}\right)} f'^{2}+\mathrm {{\frac {3NL^{2}}{K^{4}}}-{\frac {2M^{2}L^{2}}{K^{6}}}} \right]\,;\end{aligned}}$

c’est la valeur de $\mathrm {R} ^{2}$ aux quantités de l’ordre de $i^{3}$ près.

46. Je vais présentement donner une méthode particulière pour intégrer ces sortes d’équations différentielles aussi exactement qu’on voudra par approximation, méthode qui aura sur la précédente l’avantage de donner directement, et sans aucune supposition précaire, la vraie forme de l’intégrale.

Je supposerai ici, pour plus de simplicité, qu’on ne veuille avoir égard qu’aux quantités de l’ordre de $i$ et de $i^{2}\,;$ mais on verra aisément que la méthode aura lieu quelque loin qu’on veuille pousser l’approximation.

Soient $y^{2}=u$ et $y^{3}=v\,;$ l’équation proposée $(\mathrm {A} )$ deviendra

(D)

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}y+\mathrm {L} +i\mathrm {M} u+i^{2}\mathrm {N} v=0.$

Or

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=2y{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+2{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\,;$

donc, si l’on multiplie l’équation (A) par $2y,$ et l’équation (B) du n^o 44 par $2,$ et qu’ensuite on les ajoute ensemble, on aura

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+4\mathrm {K} ^{2}y^{2}+6\mathrm {L} y+2\mathrm {H} +{\frac {10i\mathrm {M} }{3}}y^{3}+6i^{2}\mathrm {N} y^{4}=0.$

Mais, comme la quantité $u$ est déjà multipliée par $i$ dans l’équation (D), il est clair que pour ne pas introduire dans la valeur de $y$ des termes de l’ordre de $i^{3},$ il faut rejeter dans la valeur de $u,$ et par conséquent aussi dans celle de ${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}},$ les termes de l’ordre de $i^{2}\,;$ effaçant donc le terme $6i^{2}\mathrm {N} y^{4},$ et mettant dans les autres $u$ à la place de $y^{2}$ et $v$ à la place de $y^{3},$ on aura

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+4\mathrm {K} ^{2}u+6\mathrm {L} y+2\mathrm {H} +{\frac {10i\mathrm {M} }{3}}v=0.$

On a de même

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=3y^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+6y{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\,;$

donc, multipliant l’équation (A) par $3y^{2},$ et l’équation (B) par $6y,$ et les ajoutant ensemble, on aura

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+9\mathrm {K} ^{2}y^{3}+15\mathrm {L} y^{2}+6\mathrm {H} y+7i\mathrm {M} y^{4}+\ldots =0.$

Or, $v$ étant multipliée par $i^{2}$ dans l’équation (D), on rejettera dans la valeur de ${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}$ tous les termes affectés de $i,$ de sorte qu’on aura, en mettant $u$ au lieu de $y^{2}$ et $v$ au lieu de $y^{3},$

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+9\mathrm {K} ^{2}v+15\mathrm {L} u+6\mathrm {H} y=0.$

Nous avons donc, entre les trois variables $y,u,v,$ ces trois équations du second ordre :

(E)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&+\mathrm {K} ^{2}y+\mathrm {L} +i\mathrm {M} u+i^{2}\mathrm {N} v=0,\\{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}&+4\mathrm {K} ^{2}u+6\mathrm {L} y+2\mathrm {H} +{\frac {10i\mathrm {M} }{3}}v=0,\\{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}&+9\mathrm {K} ^{2}v+15\mathrm {L} u+6\mathrm {H} y=0,\end{aligned}}\right.$

lesquelles sont intégrables par la méthode du n^o 26.

Suivant cette méthode je multiplie la première par $\lambda e^{\rho t}dt,$ la seconde par $\mu e^{\rho t}dt,$ la troisième par $\nu e^{\rho t}dt$ (n^o 29), $\lambda ,\mu ,\nu$ et $\rho$ étant des constantes indéterminées, ensuite je les ajoute ensemble, et j’en prends l’intégrale en faisant disparaître, par des intégrations par parties, les différences des variables $y,u,v$ de dessous le signe $\int \,;$ j’aurai donc

$\left[\lambda {\frac {dy}{dt}}+\mu {\frac {du}{dt}}+\nu {\frac {dv}{dt}}-(\lambda y+\mu u+\nu v)\rho +\mathrm {\frac {\lambda L+2\mu H}{\rho }} \right]e^{\rho t}$

$+\int \left[\left(\lambda \rho ^{2}+\lambda \mathrm {K} ^{2}+6\mu \mathrm {L} +6\nu \mathrm {H} \right)y+\left(i\lambda \mathrm {M} +\mu \rho ^{2}+4\mu \mathrm {K} ^{2}+15\nu \mathrm {L} \right)u\right.$

$\left.+\left(i^{2}\lambda \mathrm {N} +{\frac {10i}{3}}\mu \mathrm {M} +\nu \rho ^{2}+9\nu \mathrm {K} ^{2}\right)v\right]e^{\rho t}dt=\mathrm {const} .$

J’égale à zéro les coefficients des variables $y,u,v,$ qui sont sous les signes $\int ,$ ce qui me donne ces trois équations :

(F)

$\left\{{\begin{aligned}&\lambda \rho ^{2}+\lambda \mathrm {K} ^{2}+6\mu \mathrm {L} +6\nu \mathrm {H} =0,\\&i\lambda \mathrm {M} +\mu \rho ^{2}+4\mu \mathrm {K} ^{2}+15\nu \mathrm {L} =0,\\&i^{2}\lambda \mathrm {N} +{\frac {10i}{3}}\mu \mathrm {M} +\nu \rho ^{2}+9\nu \mathrm {K} ^{2}=0,\end{aligned}}\right.$

par le moyen desquelles je détermine les quantités $\lambda ,\mu ,\nu$ et $\rho .$

De cette manière j’ai

(G)

$\left[\lambda {\frac {dy}{dt}}+\mu {\frac {du}{dt}}+\nu {\frac {dv}{dt}}-(\lambda y+\mu u+\nu v)\rho +\mathrm {\frac {\lambda L+2\mu H}{\rho }} \right]e^{\rho t}=\mathrm {const} .$

Or, pour peu qu’on examine les équations (F), il est aisé de reconnaître que la quantité $\mu$ doit être de l’ordre de $i,$ et celle de $\nu$ de l’ordre de $i^{2}.$

Soient donc

$\mu =i\lambda \alpha \quad {\text{et}}\quad \nu =i^{2}\lambda \beta ,$

on aura, en divisant la première équation par $\lambda ,$ la seconde par $i\lambda ,$ et la troisième par $i^{2}\lambda ,$ les trois suivantes :

${\begin{aligned}\rho ^{2}+\quad \mathrm {K} ^{2}\,+6i\alpha \mathrm {L} +6i^{2}\beta \mathrm {H} =&0,\\\mathrm {M} +\ \alpha \left(\rho ^{2}+4\mathrm {K} ^{2}\right)+15i\beta \mathrm {L} =&0,\\\mathrm {N} +{\frac {10}{3}}\alpha \mathrm {M} +\beta \left(\rho ^{2}+9\mathrm {K} ^{2}\right)=&0.\end{aligned}}$

La première donne

$\rho ^{2}=-\mathrm {K} ^{2}-6i\alpha \mathrm {L} -6i^{2}\beta \mathrm {H} ,$

et mettant cette valeur de $\rho ^{2}$_2 dans les deux autres, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {M} +\alpha \left(3\mathrm {K} ^{2}-6i\alpha \mathrm {L} -6i^{2}\beta \mathrm {H} \right)+15i\beta \mathrm {L} =&0,\\\mathrm {N} +{\frac {10}{3}}\alpha \mathrm {M} +\beta \left(8\mathrm {K} ^{2}-6i\alpha \mathrm {L} -6i^{2}\beta \mathrm {H} \right)=0.\end{aligned}}$

Négligeons d’abord les termes affectés de $i,$ et nous aurons

$\mathrm {M+3\alpha K^{2}=0,\qquad N+{\frac {10}{3}}\alpha M+8\beta K^{2}} =0,$

d’où l’on tire

$\alpha =-\mathrm {\frac {M}{3K^{2}}} \quad {\text{et}}\quad \beta =-\mathrm {{\frac {N}{8K^{2}}}-{\frac {10\alpha M}{3.8K^{2}}}=-{\frac {N}{8K^{2}}}+{\frac {10M^{2}}{9.8K^{4}}}} .$

Substituant ensuite ces valeurs dans les termes de l’ordre de $i,$ et négligeant ceux de l’ordre de $i^{2},$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {M} +\ \,3\alpha \mathrm {K} ^{2}-\ \ 6i\mathrm {L\left({\frac {M}{3K^{2}}}\right)^{2}} \ \ +15i\mathrm {L\left(-{\frac {N}{8K^{2}}}+{\frac {10M^{2}}{9.8K^{4}}}\right)} =0,\\\mathrm {N} +{\frac {10}{3}}\alpha \mathrm {M} +8\beta \mathrm {K} ^{2}-6i\mathrm {L\left(-{\frac {M}{3K^{2}}}\right)\left(-{\frac {N}{8K^{2}}}+{\frac {10M^{2}}{9.8K^{4}}}\right)} =0,\end{aligned}}$

d’où l’on tirera de nouvelles valeurs plus exactes de $\alpha$ et de $\beta ,$ lesquelles

seront

${\begin{aligned}\alpha =&-\mathrm {\frac {M}{3K^{2}}} +{\frac {6i\mathrm {L} }{3\mathrm {K} ^{2}}}\left(\mathrm {\frac {M}{3K^{2}}} \right)^{2}-{\frac {15i\mathrm {L} }{3\mathrm {K} ^{2}}}\mathrm {\left(-{\frac {N}{8K^{2}}}+{\frac {10M^{2}}{9.8K^{4}}}\right)} ,\\\beta =&-\mathrm {\frac {N}{8K^{2}}} +\mathrm {\frac {10M^{2}}{8.9K^{4}}} -{\frac {10.6i\mathrm {LM} }{9.8\mathrm {K} ^{4}}}\left(\mathrm {\frac {M}{3K^{2}}} \right)^{2}+{\frac {15i\mathrm {LM} }{9.8\mathrm {K} ^{4}}}\mathrm {\left(-{\frac {N}{8K^{2}}}+{\frac {10M^{2}}{9.8K^{4}}}\right)} \\&+{\frac {6i\mathrm {L} }{8\mathrm {K} ^{2}}}\left(-\mathrm {\frac {M}{3K^{2}}} \right)\mathrm {\left(-{\frac {N}{8K^{2}}}+{\frac {10M^{2}}{9.8K^{4}}}\right)} ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; mais comme $\mu =i\lambda \alpha$ et $\nu =i^{2}\lambda \beta ,$ il est clair que pour notre objet il suffira d’avoir la valeur de $\alpha$ aux quantités de l’ordre de $i^{2}$ près, et celle de $\beta$ aux quantités de l’ordre de $i$ près ; de sorte qu’on pourra se contenter de prendre

$\alpha =-\mathrm {\frac {M}{3K^{2}}} +{\frac {i\mathrm {L} }{\mathrm {K} ^{4}}}\mathrm {\left({\frac {5N}{8}}-{\frac {17M^{2}}{36K^{2}}}\right)}$

et

$\beta =-\mathrm {{\frac {N}{8K^{2}}}+{\frac {10M^{2}}{9.8K^{4}}}} .$

Ayant trouvé les valeurs de $\alpha$ et de $\beta ,$ on les substituera dans l’équation $\rho ^{2}=-\mathrm {K} ^{2}-6i\alpha \mathrm {L} -6i^{2}\beta \mathrm {H} ,$ et l’on aura, en ordonnant les termes par rapport à $i,$

$\rho ^{2}=-\mathrm {K} ^{2}+{\frac {2i\mathrm {LM} }{\mathrm {K} ^{2}}}-{\frac {i^{2}\mathrm {L} ^{2}}{\mathrm {K} ^{4}}}\mathrm {\left({\frac {15N}{4}}-{\frac {17M^{2}}{6K^{2}}}\right)} +{\frac {i^{2}\mathrm {H} }{\mathrm {K} ^{2}}}\mathrm {\left({\frac {3N}{4}}-{\frac {5M^{2}}{6K^{2}}}\right)} .$

Soit $\rho =\mathrm {R} {\sqrt {-1}},$ en sorte que $\rho ^{2}=-\mathrm {R} ^{2},$ et l’on aura

$\mathrm {R} ^{2}=\mathrm {K} ^{2}-{\frac {2i\mathrm {LM} }{\mathrm {K} ^{2}}}+{\frac {i^{2}\mathrm {L} ^{2}}{\mathrm {K} ^{4}}}\mathrm {\left({\frac {15N}{4}}-{\frac {17M^{2}}{6K^{2}}}\right)} -{\frac {i^{2}\mathrm {H} }{\mathrm {K} ^{2}}}\mathrm {\left({\frac {3N}{4}}-{\frac {5M^{2}}{6K^{2}}}\right)} \,;$

d’où

$\mathrm {R} =\mathrm {K} -i{\frac {\mathrm {LM} }{\mathrm {K} ^{3}}}+i^{2}{\frac {\mathrm {L} ^{2}}{\mathrm {K} ^{5}}}\mathrm {\left({\frac {15N}{8}}-{\frac {10M^{2}}{3K^{2}}}\right)} -i^{2}\mathrm {\frac {H}{K^{3}}} \mathrm {\left({\frac {3N}{8}}-{\frac {15M^{2}}{12K^{2}}}\right)} .$

Reprenons maintenant l’équation (G), et substituons-y $\mathrm {R} {\sqrt {-1}}$ au lieu de $\rho ,$ $i\lambda \alpha$ au lieu de $\mu ,$ $i^{2}\lambda \beta$ au lieu de $\nu ,$ $y^{2}$ au lieu de $u,$ et $y^{3}$ au lieu de $v,$ nous aurons, en prenant $\mathrm {C}$ pour la constante,

$\lambda e^{\mathrm {R} t{\sqrt {-1}}}\left[\left(1+2i\alpha y+3i^{2}\beta y^{2}\right){\frac {dy}{dt}}\right.$

$\left.\left(y+i\alpha y^{2}+i^{2}\beta y^{3}+{\frac {\mathrm {L} -2i\alpha \mathrm {H} }{\mathrm {R} ^{2}}}\right)\mathrm {R} {\sqrt {-1}}\right]=\mathrm {C} .$

Or, soient, lorsque $t=0,$

$y=f\quad {\text{et}}\quad {\frac {dy}{dt}}=g,$

on aura

$\mathrm {C} =\lambda \left(1+2i\alpha f+3i^{2}\beta f^{2}\right)g-\lambda \left(f+i\alpha f^{2}+i^{2}\beta f^{3}+{\frac {\mathrm {L} -2i\alpha \mathrm {H} }{\mathrm {R} ^{2}}}\right)\mathrm {R} {\sqrt {-1}}.$

Donc, si l’on fait

$\mathrm {F} =f+i\alpha f^{2}+i^{2}\beta f^{3}+{\frac {\mathrm {L} -2i\alpha \mathrm {H} }{\mathrm {R} ^{2}}},\qquad \mathrm {G} =\left(1+2i\alpha f+3i^{2}\beta f^{2}\right),$

et qu’on divise toute l’équation par $e^{\mathrm {R} t{\sqrt {-1}}},$ on aura

$\left(1+2i\alpha y+3i^{2}\beta y^{2}\right){\frac {dy}{dt}}+\left(y+i\alpha y^{2}+i^{2}\beta y^{3}+{\frac {\mathrm {L} -2i\alpha \mathrm {H} }{\mathrm {R} ^{2}}}\right)\mathrm {R} {\sqrt {-1}}$

${\begin{aligned}&=\left(\mathrm {G-FR} {\sqrt {-1}}\right)e^{-\mathrm {R} t{\sqrt {-1}}}\\&=(\mathrm {G} \cos \mathrm {R} t-\mathrm {FR} \sin \mathrm {R} t)-(\mathrm {FR} \cos \mathrm {R} t+\mathrm {G} \sin \mathrm {R} t){\sqrt {-1}}\,;\end{aligned}}$

et prenant le radical ${\sqrt {-1}}$ en moins,

$\left(1+2i\alpha y+3i^{2}\beta y^{2}\right){\frac {dy}{dt}}-\left(y+i\alpha y^{2}+i^{2}\beta y^{3}+{\frac {\mathrm {L} -2i\alpha \mathrm {H} }{\mathrm {R} ^{2}}}\right)\mathrm {R} {\sqrt {-1}}$

$=(\mathrm {G} \cos \mathrm {R} t-\mathrm {FR} \sin \mathrm {R} t)+(\mathrm {FR} \cos \mathrm {R} t+\mathrm {G} \sin \mathrm {R} t){\sqrt {-1}}\,;$

donc, retranchant la première de ces équations de la seconde, et divisant ensuite par $2\mathrm {R} {\sqrt {-1}},$ on aura

(H)

$y+i\alpha y^{2}+i^{2}\beta y^{3}+{\frac {\mathrm {L} -2i\alpha \mathrm {H} }{\mathrm {R} ^{2}}}=\mathrm {F} \cos \mathrm {R} t+\mathrm {\frac {G}{R}} \sin \mathrm {R} t.$

C’est l’intégrale de l’équation (A), en n’ayant égard qu’aux quantités de l’ordre de $i$ et de $i^{2}.$

Si l’on veut avoir la valeur de $y,$ on n’aura qu’à résoudre l’équation (H) par approximation, en observant de négliger dans cette opération les quantités qui se trouveraient multipliées par des puissances de $i$ plus hautes que la seconde.

Pour y parvenir plus aisément on fera

$r=\mathrm {T} +i\mathrm {T} '+i^{2}\mathrm {T} '',$

et, substituant cette valeur dans l’équation (H), on égalera à zéro les termes homogènes, c’est-à-dire ceux qui sont affectés de la même puissance de $i\,;$ ce qui donnera

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&\mathrm {F} \cos \mathrm {R} t+\mathrm {\frac {G}{R}} \sin \mathrm {R} t-{\frac {\mathrm {L} -2i\alpha \mathrm {H} }{\mathrm {R} ^{2}}},\\\mathrm {T} '=&-\alpha \mathrm {T^{2},\qquad T''=-2\alpha TT'-\beta T^{3}} \,;\end{aligned}}$

d’où il est clair que la valeur de $y$ ne contiendra que des sinus et des cosinus d’angles multiples de $t.$

En supposant $g=0,$ on verra que la valeur de $\mathrm {R} ^{2}$ trouvée ci-dessus s’accorde entièrement avec celle du n^o 45 ; il n’y aura, pour s’en convaincre, qu’à mettre, au lieu de $\mathrm {H}$ et de $f',$ leurs valeurs approchées $-\left(\mathrm {K} ^{2}f+2\mathrm {L} f\right)$ et $f+\mathrm {\frac {L}{K^{2}}}$ (n ^os 44 et 45).

Du mouvement d’un corps qui décrit une orbite à peu près circulaire, en vertu d’une force centrale proportionnelle à une fonction quelconque de la distance.

47. Soient $r$ le rayon vecteur de l’orbite, $t$ le temps écoulé depuis le commencement du mouvement, $\varphi$ l’angle parcouru par le rayon $r$ durant le temps $t,$ $\Delta r$ la fonction de la distance $r$ qui exprime la force centrale, $a$ la distance initiale, $c$ la vitesse de projection, et $b$ l’angle de la ligne de projection avec le rayon vecteur ; on aura, en prenant $dt$ constant, ces deux équations

$d{\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}=0,\qquad {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {rd\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+\Delta r=0.$

(Voyez l’Article IV du Mémoire qui a pour titre Application de la méthode précédente, etc., page 370.)

La première étant intégrée donne ${\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}$ égale à une constante ; mais lorsque $t=0,$ on a

$r=a\quad {\text{et}}\quad {\frac {rd\varphi }{dt}}=c\sin b\,;$

donc

${\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}=ac\sin b\quad {\text{et}}\quad {\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {ac\sin b}{r^{2}}}\,;$

substituant donc cette valeur dans l’autre équation, on aura, pour les équations générales du mouvement du corps,

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {a^{2}c^{2}\sin ^{2}b}{r^{3}}}+\Delta r=0,\qquad {\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {ac\sin b}{r^{2}}}=0.$

Maintenant, puisqu’on suppose que l’orbite diffère peu d’un cercle, il est clair que $r$ doit être presque égal à $a,$ et que par conséquent on peut faire $r=a+2y,$ $i$ étant un coefficient très-petit, et $y$ une nouvelle variable ; ce qui donnera

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=1{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\qquad {\frac {1}{r^{3}}}={\frac {1}{(a+2y)^{3}}}={\frac {1}{a^{3}}}-3i{\frac {y}{a^{4}}}+6i^{2}{\frac {y^{2}}{a^{5}}}-10i^{3}{\frac {y^{3}}{a^{6}}}+\ldots ,$

$\Delta r=\Delta (a+2y)=\Delta a+i\Delta 'ay+i^{2}{\frac {\Delta ''a}{2}}y^{2}+i^{3}{\frac {\Delta '''a}{2.3}}y^{3}+\ldots ,$

en supposant

${\frac {d.\Delta r}{dr}}=\Delta 'r,\qquad {\frac {d.\Delta 'r}{dr}}=\Delta ''r,\ldots \,;$

donc la première équation deviendra

${\begin{aligned}i{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-&{\frac {c^{2}\sin ^{2}b}{a}}\left(1-3i{\frac {y}{a}}+6i^{2}{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-10i^{3}{\frac {y^{3}}{a^{3}}}+\ldots \right)\\&+\Delta a+i\Delta 'ay+i^{2}{\frac {\Delta ''a}{2}}y^{2}+i^{3}{\frac {\Delta '''a}{2.3}}y^{3}+\ldots =0\,;\end{aligned}}$

d’où l’on voit que $\Delta a-{\frac {c^{2}\sin ^{2}b}{a}}$ doit être nécessairement une quantité

très-petite de l’ordre de $i\,;$ de sorte qu’on peut supposer

$\Delta a-{\frac {c^{2}\sin ^{2}b}{a}}=1\mathrm {L} ,$

moyennant quoi l’équation sera divisible par $i,$ et deviendra, après la division,

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\Delta 'a+{\frac {3c^{2}\sin ^{2}b}{a^{2}}}\right)y+\mathrm {L} +i\left({\frac {\Delta ''a}{2}}-{\frac {6c^{2}\sin ^{2}b}{a^{3}}}\right)y^{2}$

$+i^{2}\left({\frac {\Delta '''a}{2.3}}+{\frac {10c^{2}\sin ^{2}b}{a^{4}}}\right)y^{3}+\ldots =0,$

équation qui se réduit à la formule (A) du n^o 42, en supposant

$\Delta 'a+{\frac {3c^{2}\sin ^{2}b}{a^{2}}}=\mathrm {K} ^{2},\quad {\frac {\Delta ''a}{2}}-{\frac {6c^{2}\sin ^{2}b}{a^{3}}}=\mathrm {M} ,\quad {\frac {\Delta '''a}{2.3}}+{\frac {10c^{2}\sin ^{2}b}{a^{4}}}=\mathrm {N} ,\ldots .$

Ainsi l’on aura la valeur de $y,$ et par conséquent celle de $r$ en $t\,;$ il faudra seulement observer que, quand $t=0,\ r=a$ et ${\frac {dr}{dt}}=-c\cos b,$ c’est-à-dire

$y=0\quad {\text{et}}\quad i{\frac {dy}{dt}}=-c\cos b,$

par conséquent

$f=0\quad {\text{et}}\quad ig=-c\cos b\,;$

d’où l’on voit que $\cos b$ doit être très-petit, et par conséquent l’angle de projection $b$ presque droit ; ce qui est d’ailleurs évident, à cause que l’orbite est supposée peu différente d’un cercle.

L’autre équation donnera, après la substitution de $a+2y$ au lieu de $r,$

${\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {c\sin b}{a}}+2i{\frac {c\sin b}{a^{2}}}y-3i^{2}{\frac {c\sin b}{a^{3}}}y^{2}+4i^{3}{\frac {c\sin b}{a^{4}}}y^{3}-\ldots =0.$

Je substitue dans cette équation $u$ au lieu de $y^{2},$ et $v$ au lieu de $y^{3},$ ensuite j’y ajoute les trois équations (E) du n^o 46, multipliées la première par $\lambda ,$ la seconde par $\mu$ la troisième par $\nu$ ( $\lambda ,\mu ,\nu$ étant des coefficients indéterminés), ce qui me donne, en ordonnant les termes,

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}+\lambda {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&+\mu {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+\nu {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}-{\frac {c\sin b}{a}}+\lambda \mathrm {L} +2\mu \mathrm {H} \\&+\left({\frac {2ic\sin b}{a^{2}}}+\lambda \mathrm {K} ^{2}+6\mu \mathrm {L} +6\nu \mathrm {H} \right)y\\&+\left(-{\frac {3i^{2}c\sin b}{a^{3}}}+i\lambda \mathrm {M} +4\mu \mathrm {K} ^{2}+15\nu \mathrm {L} \right)u\\&+\left({\frac {4i^{3}c\sin b}{a^{4}}}+i^{2}\lambda \mathrm {N} +{\frac {10i\mu \mathrm {M} }{3}}+9\nu \mathrm {K} ^{2}\right)v=0.\end{aligned}}$

Je suppose à présent

(I)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {2ic\sin b}{a^{2}}}+\lambda \mathrm {K} ^{2}+6\mu \mathrm {L} +6\nu \mathrm {H} =0,\\&-{\frac {3i^{2}c\sin b}{a^{3}}}+i\lambda \mathrm {M} +4\mu \mathrm {K} ^{2}+15\nu \mathrm {L} =0,\\&{\frac {4i^{3}c\sin b}{a^{4}}}+i^{2}\lambda \mathrm {N} +{\frac {10i\mu \mathrm {M} }{3}}+9\nu \mathrm {R} ^{2}=0.\end{aligned}}\right.$

ce qui réduit l’équation précédente à

${\frac {d\varphi }{dt}}+\lambda {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mu {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+\nu {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}-{\frac {c\sin b}{a}}+\lambda \mathrm {L} +2\mu \mathrm {H} =0,$

dont l’intégrale est,

$\varphi +\lambda {\frac {dy}{dt}}+\mu {\frac {du}{dt}}+\nu {\frac {dv}{dt}}-\left({\frac {c\sin b}{a}}-\lambda \mathrm {L} -2\mu \mathrm {H} \right)t=\mathrm {const} .,$

c’est-à-dire, en remettant $y^{2}$ au lieu de $u,$ $y^{3}$ au lieu de $v,$ et faisant attention que lorsque $t=0$ on a $\varphi =0,$ $y=0$ et ${\frac {dy}{dt}}=g.$

$\varphi +\left(\lambda +2\mu y+3\nu y^{2}\right){\frac {dy}{dt}}-\left({\frac {c\sin b}{a}}-\lambda \mathrm {L} -2\mu \mathrm {H} \right)t=\lambda g.$

Et il ne s’agira plus que de tirer les valeurs de $\lambda ,\mu ,\nu$ des équations (I) ; or, si l’on fait $\lambda =i\gamma ,\ \mu =i^{2}\delta ,\ \nu =i^{3}\varepsilon ,$ et qu’on divise la première équation par $i,$ la seconde par $i^{2},$ la troisième par $i^{3},$ on aura

${\begin{aligned}&{\frac {2c\sin b}{a^{2}}}+\gamma \mathrm {K} ^{2}+6i\delta \mathrm {L} +6i^{2}\varepsilon \mathrm {H} =0,\\-&{\frac {3c\sin b}{a^{3}}}+\gamma \mathrm {M} +4\delta \mathrm {K} ^{2}+15i\varepsilon \mathrm {L} =0,\\&{\frac {4c\sin b}{a^{4}}}+\gamma \mathrm {N} +{\frac {10}{3}}\delta \mathrm {M} +9\varepsilon \mathrm {K} ^{2}=0.\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en négligeant ce qu’on doit négliger,

${\begin{aligned}\gamma =&-{\frac {2c\sin b}{a^{2}\mathrm {K} ^{2}}}+{\frac {6i\mathrm {L} }{\mathrm {K} ^{2}}}\delta -{\frac {6i^{2}\mathrm {H} }{\mathrm {K} ^{2}}}\varepsilon =0,\\\delta =&{\frac {c\sin b}{a^{2}\mathrm {K} ^{2}}}\left({\frac {3}{4a}}+\mathrm {\frac {M}{2K^{2}}} +{\frac {9i\mathrm {LM} }{8a\mathrm {K} ^{4}}}+{\frac {3i\mathrm {LM} ^{2}}{4\mathrm {K} ^{6}}}\right)-{\frac {15i\mathrm {L} }{4\mathrm {K} ^{2}}}\varepsilon ,\\\varepsilon =&{\frac {c\sin b}{a^{2}\mathrm {K} ^{2}}}\left(-{\frac {4}{9a^{2}}}+\mathrm {\frac {2N}{9K^{2}}} -{\frac {5\mathrm {M} }{18a\mathrm {K} ^{2}}}-{\frac {5\mathrm {M} ^{2}}{27\mathrm {K} ^{4}}}\right).\end{aligned}}$

Donc si l’on fait, pour abréger,

$\mathrm {S} ={\frac {c\sin b}{a}}-i\gamma \mathrm {L} -2i^{2}\delta \mathrm {H} ,$

on aura

(K)

$\varphi =\mathrm {S} t+i\gamma g-i\left(\gamma +2i\delta y+3i^{2}\varepsilon y^{2}\right){\frac {dy}{dt}}.$

Or $y$ est déjà connu en $t,$ donc on connaîtra aussi $\varphi$ en $t.$

Il est à remarquer que $\mathrm {S} t+i\gamma g$ représente l’angle du mouvement moyen ; de sorte que si l’on nomme cet angle $\theta ,$ et qu’on substitue dans les équations (H) et (K) ${\frac {\theta -i\gamma g}{\mathrm {S} }}$ au lieu de $t,$ on aura les formules qui feront trouver le lieu vrai du corps, son lieu moyen étant donné.

Il est visible que les absides de l’orbite se trouveront aux points où $dy=0\,;$ or, si l’on différentie l’équation (H) et qu’on fasse ensuite $dy=0,$ on aura

$-\mathrm {RF} \sin \mathrm {R} t+\mathrm {G} \cos \mathrm {R} t=0,$

c’est-à-dire

$\operatorname {tang} \mathrm {R} t=\mathrm {\frac {G}{RF}} .$

Soit $h$ le plus petit angle qui répond à la tangente $\mathrm {\frac {G}{RF}} ,$ et l’on aura

$\mathrm {R} t=h+\mu \pi ,$

$\pi$ dénotant l’angle de $180$ degrés, et $\mu$ un nombre quelconque entier ; maintenant l’équation (K) donnera, lorsque $dy=0,$

$\varphi =\mathrm {S} t+i\gamma g\,;$

donc, mettant au lieu de $t$ sa valeur ${\frac {h+\mu \pi }{\mathrm {R} }},$ on aura pour les lieux des absides

$\varphi =i\gamma g+\mathrm {\frac {S}{R}} (h+\mu \pi )\,;$

d’où l’on voit que la distance d’une abside à l’autre sera égale à l’angle $\mathrm {\frac {S}{R}} \pi ,$ et que par conséquent le mouvement des absides sera de $\left(\mathrm {\frac {S}{R}} -1\right)360$ degrés à chaque révolution.

48. Si l’on veut connaître la figure de l’orbite décrite par les corps, il faudra éliminer $t$ des équations (H) et (K) pour avoir une équation entre $y$ et $\varphi$ ; mais il sera beaucoup plus simple de substituer d’abord dans l’équation ${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {rd\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+\Delta r=0,$ au lieu de $dt,$ sa valeur ${\frac {r^{2}d\varphi }{ac\sin b}},$ ce qui donnera, en faisant ${\frac {1}{r}}=s$ et prenant $d\varphi$ constant,

${\frac {d^{2}s}{d\varphi ^{2}}}+s=-{\frac {\Delta {\cfrac {1}{s}}}{s^{2}a^{2}c^{2}\sin ^{2}b}}=0,$

et d’intégrer ensuite cette dernière équation par la méthode du n^o 46.

En effet, puisque $r$ est à peu près égale à $a,$ par hypothèse, $s$ sera à peu près égale à ${\frac {1}{a}},$ et par conséquent on pourra supposer

$s={\frac {1}{a}}+iy,$

ce qui, en faisant

${\frac {\Delta {\cfrac {1}{s}}}{s^{2}a^{2}t^{2}\sin ^{2}b}}=\Gamma s,$

et

${\frac {1}{a}}-\Gamma {\frac {1}{a}}=\mathrm {L} ,\ \ 1-\Gamma '{\frac {1}{a}}=\mathrm {R} ^{2},\ \ -{\frac {1}{2}}\Gamma ''{\frac {1}{a}}=\mathrm {M} ,\ \ -{\frac {1}{2.3}}\Gamma '''{\frac {1}{a}}=\mathrm {N} ,\ldots ,$

donnera

${\frac {d^{2}y}{d\varphi ^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}y+\mathrm {H} +i\mathrm {M} y^{2}+i^{2}\mathrm {N} y^{3}+\ldots =0,$

dont l’intégrale sera (n^o 46)

$y+i\alpha y^{2}+i^{2}\beta y^{3}=-{\frac {\mathrm {L} -2i\alpha \mathrm {H} }{\mathrm {R} ^{2}}}+\mathrm {F} \cos \mathrm {R} \varphi +\mathrm {\frac {G}{R}} \sin \mathrm {R} \varphi .$

Ainsi l’on aura $y$ en $\varphi \,;$ il faudra seulement observer que la quantité $g$ n’exprimera plus ici la valeur de ${\frac {dy}{dt}}$ lorsque $t=0,$ mais celle de ${\frac {dy}{d\varphi }},$ c’est-à-dire ${\frac {dr}{id\varphi }}$ de sorte qu’on aura

$ig=-\cot b.$

Le coefficient $\mathrm {R}$ donnera la distance d’une abside à l’autre de ${\frac {180^{\circ }}{\mathrm {R} }},$ et l’on verra, après en avoir fait le calcul, que cette valeur s’accorde avec celle que nous avons trouvée ci-dessus.

Soit

$\Delta r=\mathrm {A} r^{m-2},$

donc

${\begin{aligned}\Gamma \ \ \ {\frac {1}{a}}=&{\frac {\mathrm {A} a^{m-2}}{c^{2}\sin ^{2}b}},\\\Gamma '\ \ {\frac {1}{a}}=&-m{\frac {\mathrm {A} a^{m-1}}{c^{2}\sin ^{2}b}},\\\Gamma ''\ {\frac {1}{a}}=&m(m+1){\frac {\mathrm {A} a^{m}}{c^{2}\sin ^{2}b}},\\\Gamma '''{\frac {1}{a}}=&-m(m+1)(m+2){\frac {\mathrm {A} a^{m+1}}{c^{2}\sin ^{2}b}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

on aura donc

${\begin{aligned}&{\frac {1}{a}}-{\frac {\mathrm {A} a^{m-2}}{c^{2}\sin ^{2}b}}=i\mathrm {L} ,\\&1+m{\frac {\mathrm {A} a^{m-1}}{c^{2}\sin ^{2}b}}=\mathrm {K} ^{2},\\&-{\frac {m(m+1)}{2}}{\frac {\mathrm {A} a^{m}}{c^{2}\sin ^{2}b}}=\mathrm {M} ,\\&{\frac {m(m+1)(m+2)}{2.3}}{\frac {\mathrm {A} a^{m+1}}{c^{2}\sin ^{2}b}}=\mathrm {N} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

donc, puisque ${\frac {\mathrm {A} a^{m-2}}{c^{2}\sin ^{2}b}}={\frac {1}{a}}-i\mathrm {L} ,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {K} ^{2}=&1+m(1-ia\mathrm {L} ),\qquad \mathrm {M} =-{\frac {m(m+1)a}{2}}(1-ia\mathrm {L} ),\\\mathrm {N} \ \ =&{\frac {m(m+1)(m+2)}{2.3}}(1-ia\mathrm {L} ),\ldots ,\end{aligned}}$

faisant donc ces substitutions dans la valeur de $\mathrm {R} ^{2}$ du n^o 46, et rejetant tous les termes qui contiendraient des puissances de $i$ plus hautes que la seconde, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {R} ^{2}=&1+m(1-ia\mathrm {L} )+im(m+1)a\mathrm {L} {\frac {1-ia\mathrm {L} }{1+m(1-ia\mathrm {L} )}}\\&+{\frac {i^{2}a^{2}\mathrm {L} ^{2}}{(1+m)^{2}}}\left[{\frac {5m(m+1)(m+2)}{8}}-{\frac {17m^{2}(m+1)}{24}}\right]\\&-{\frac {i^{2}a^{2}\mathrm {H} }{1+m}}\left[{\frac {m(m+1)(m+2)}{8}}-{\frac {5m^{2}(m+1)}{24}}\right]\\=&1+m+{\frac {i^{2}m(3-m)a^{2}}{12(1+m)}}\left[\mathrm {L} ^{2}-(1+m)\mathrm {H} \right],\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$\mathrm {R} ={\sqrt {1+m}}+{\frac {i^{2}m(3-m)a^{2}}{24(1+m)^{\frac {3}{2}}}}\left[\mathrm {L} ^{2}-(1+m)\mathrm {H} \right],$

ce qui donnera pour la distance d’une abside à l’autre

$\left[{\frac {1}{\sqrt {1+m}}}-{\frac {i^{2}m(3-m)a^{2}}{24(1+m)^{\frac {5}{2}}}}\left[\mathrm {L} ^{2}-(1+m)\mathrm {H} \right]\right]180^{\circ }.$

49. Supposons maintenant que l’on ait à intégrer l’équation

${\frac {d^{2}y}{dt^{3}}}+\mathrm {K} ^{2}y+\mathrm {L} +i\left(\mathrm {M} y^{2}+\mathrm {M} '{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\right)+i^{2}\left(\mathrm {N} y^{3}+\mathrm {N} 'y{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\right)+\ldots =0,$

on pourra faire disparaître la quantité ${\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}$ de la manière suivante.

Qu’on multiplie l’équation par $2dy,$ et qu’on en prenne l’intégrale, en négligeant les termes affectés de $i^{2},$ on aura

${\frac {dy^{2}}{dt^{3}}}+\mathrm {K} ^{2}y^{2}+2\mathrm {L} y+\mathrm {H} +i\left({\frac {2\mathrm {M} }{3}}y^{3}+2\mathrm {M} '\int {\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}dy\right)=0.$

Or,

$\int {\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}dy=y{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}-2\int ydy{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},$

et, en mettant au lieu de ${\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}$ et de ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$ leurs valeurs approchées $-\mathrm {K} ^{2}y^{2}-2\mathrm {L} y-\mathrm {H}$ et $-\mathrm {K} ^{2}y-\mathrm {L} .$

$\int {\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}dy=-{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{3}}y^{3}-\mathrm {L} y^{2}-\mathrm {H} y\,;$

donc on aura

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\mathrm {K} ^{2}-2i\mathrm {LM} '\right)y^{2}+(2\mathrm {L} -2i\mathrm {HM} ')y+\mathrm {H} +i\mathrm {\left({\frac {2M}{3}}-{\frac {2K^{2}M'}{3}}\right)} y^{3}=0.$

Substituant donc cette valeur de ${\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}$ dans l’équation proposée, elle deviendra

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&+\left[\mathrm {K} ^{2}-2i\mathrm {LM} '+i^{2}\mathrm {H\left(2M'^{2}-N'\right)} \right]y+\mathrm {L} -i\mathrm {HM} '\\&+i\mathrm {\left(M-K^{2}M'+2iLM'^{2}\right)} y^{2}+i^{2}\mathrm {\left(N-K^{2}N'-{\frac {2MM'}{3}}+{\frac {2K^{2}M^{2}}{3}}\right)} y^{3}=0,\end{aligned}}$

laquelle est, comme on le voit, dans le cas de l’équation (A).

Par cette méthode on pourra faire disparaître toutes les puissances paires de ${\frac {dy}{dt}}$ qui se trouveront dans l’équation proposée. À l’égard des puissances impaires de ${\frac {dy}{dt}}$ il est facile de voir qu’elles donneront dans la valeur de $y$ des arcs de cercle ; d’où il s’ensuit que la solution ne pourra avoir lieu que tant que $t$ ne sera pas fort grande, et qu’ainsi il sera permis de se servir de telle méthode d’approximation qu’on voudra. Cependant, comme il peut être quelquefois important de connaître la vraie forme de la valeur de $y,$ qu’on chercherait vainement par les méthodes ordinaires, je vais donner le moyen d’y parvenir.

50. Soit en général l’équation

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&+\mathrm {K} y+\mathrm {K} '{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {L} +i\left(\mathrm {M} y^{2}+\mathrm {M} 'y{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {M} ''{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\right)\\&+i^{2}\left(\mathrm {N} y^{3}+\mathrm {N} 'y^{2}{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {N} ''y{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {N} '''{\frac {dy^{3}}{dt^{3}}}\right)+\ldots =0.\end{aligned}}$

On fera ${\frac {dy}{dt}}=z,$ et l’on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&+\mathrm {K} y+\mathrm {K} 'z+\mathrm {L} +i\left(\mathrm {M} y^{2}+\mathrm {M} 'yz+\mathrm {M} ''z^{2}\right)\\&+i^{2}\left(\mathrm {N} y^{3}+\mathrm {N} 'y^{2}z+\mathrm {N} ''yz^{2}+\mathrm {N} '''z^{3}\right)+\ldots =0.\end{aligned}}$

On différentiera cette équation, et l’on y substituera ensuite ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$ au lieu de ${\frac {d^{3}y}{dt^{3}}},$ $z$ au lieu de ${\frac {dy}{dt}},$ et ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$ au lieu de ${\frac {dz}{dt}},$ ou plutôt sa valeur en $y$ et $z\,;$ de cette manière on aura une nouvelle équation en $z$ de la forme suivante

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&+ky+k'z+l+i\left(my^{2}+m'yz+m''z^{2}\right)\\&+i^{2}\left(ny^{3}+n'y^{2}z+n''yz^{2}+n'''z^{3}\right)+\ldots =0.\end{aligned}}$

Toute la difficulté se réduira donc à intégrer ces deux équations : sur quoi voyez ci-après le n^o 52.

51. Si l’équation proposée était du quatrième ordre, on la réduirait à deux du second, en faisant ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-z=0,$ et substituant ensuite $z$ au lieu ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},$ ${\frac {dz}{dt}}$ au lieu de ${\frac {d^{3}y}{dt^{3}}},$ et ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$ au lieu de ${\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}.$

Mais si la proposée était du troisième ordre, alors il faudrait la réduire d’abord au quatrième par la différentiation, et ensuite à deux du second par la supposition de ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-z=0,$ et ainsi du reste.

De l’intégration des équations

(L)

$\ \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&+\mathrm {F} +\mathrm {G} y+\mathrm {H} z+i\left(\mathrm {K} y^{2}+\mathrm {L} yz+\mathrm {M} z^{2}\right)\\&+i^{2}(\mathrm {N} y^{3}+\mathrm {P} y^{2}z+\mathrm {Q} yz^{2}+\mathrm {R} z^{3})+\ldots =0.\end{aligned}}\right.$

(M)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&+f+gy+hz+i\left(ky^{2}+lyz+mz^{2}\right)\\&+i^{2}(ny^{3}+py^{2}z+qyz^{2}+rz^{3})+\ldots =0.\end{aligned}}\right.$

52. Nous commencerons par chercher la valeur des quantités ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$ et ${\frac {dydz}{dt^{2}}},$ qui entrent dans les différentielles secondes de $y^{2},z^{2},yz,\ldots \,;$ or, comme nous nous proposons seulement de pousser l’approximation jusqu’aux quantités de l’ordre de $i^{2},$ il suffira d’avoir égard, dans les valeurs dont il s’agit, aux termes de l’ordre de $i,$ parce que les quantités $y^{2},z^{2},yz,\ldots$ sont déjà elles-mêmes multipliées par $i$ dans les équations proposées.

Je multiplie d’abord l’équation (L) par $2dy,$ et j’en prends l’intégrale ; j’ai, en négligeant les termes affectés de $i^{2},$

(N)

$\qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&+\mathrm {A} +2\mathrm {F} y+\mathrm {G} y^{2}+2\mathrm {H} \int zdy\\&+i\left({\frac {2\mathrm {K} }{3}}y^{3}+2\mathrm {L} \int yzdy+2\mathrm {M} \int z^{2}dy\right)=0.\end{aligned}}\right.$

Je multiplie de même l’équation (M) par $2dz$ et j’ai, après l’intégration,

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {B} +2fz+2g\int ydz+hz^{2}+i\left(2k\int y^{2}dz+2l\int yzdz+{\frac {2m}{3}}z^{3}\right)=0.$

ou bien, en mettant $yz-\int zdy$ au lieu de $\int ydz,$ $y^{2}z-2\int yzdy$ au lieu de $\int y^{2}dz,$ et ${\frac {1}{2}}yz^{2}-{\frac {1}{2}}\int z^{2}dy$ au lieu de $\int yzdz,$

(O)

$\quad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&+\mathrm {B} +2fz+2gyz+hz^{2}+2g\int zdy\\&+i\left(2ky^{2}z+lyz^{2}+{\frac {2m}{3}}z^{3}-4k\int yzdy-l\int z^{2}dy\right)=0.\end{aligned}}\right.$

Enfin, multipliant l’équation (L) par $dz$ et l’équation (M) par $dy,$ les ajoutant ensemble et intégrant, on aura

(P)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {dydz}{dt^{2}}}+\mathrm {C} +fy+\mathrm {F} z+{\frac {g}{2}}y^{2}+\mathrm {G} yz+{\frac {\mathrm {H} }{2}}z^{2}+(h-\mathrm {G} )\int zdy\\&\quad +i\left[{\frac {k}{3}}y^{3}+\mathrm {K} y^{2}z+{\frac {\mathrm {L} }{2}}yz^{2}+{\frac {\mathrm {M} }{3}}z^{3}\right.\\&\left.+\quad \qquad \qquad \qquad +(l-2\mathrm {K} )\int yzdy+\left(m-{\frac {\mathrm {L} }{2}}\right)\int z^{2}dy\right]=0.\end{aligned}}\right.$

Pour déterminer les constantes $\mathrm {A,B,C} ,$ on supposera que, quand $t=0,$ on ait $y=\gamma ,\ z=\delta ,\ {\frac {dy}{dt}}=\varepsilon ,\ {\frac {dz}{dt}}=\eta ,\ \int zdy=\Gamma ,\ \int yzdy=\Delta$ et $\int z^{2}dy=\Lambda ,$ et l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&-\varepsilon ^{2}-s2\mathrm {F} \gamma -\mathrm {G} \gamma ^{2}-2\mathrm {H} \Gamma -i\left({\frac {2\mathrm {K} }{3}}\gamma ^{3}+2\mathrm {L} \Delta +2\mathrm {M} \Lambda \right),\\\\\mathrm {B} =&-\eta ^{2}-2f\delta -2g\gamma \delta -h\delta ^{2}+2g\Gamma \\&-i\left(2k\gamma ^{2}\delta +l\gamma \delta ^{2}+{\frac {2m}{3}}\delta ^{3}-4k\Delta -l\Lambda \right),\\\\\mathrm {C} =&-\varepsilon \eta -f\gamma -\mathrm {F} \delta -{\frac {g}{2}}\gamma ^{2}-\mathrm {G} \gamma \delta -{\frac {\mathrm {H} }{2}}\delta ^{2}-(h-\mathrm {G} )\Gamma \\&-i\left[{\frac {k}{3}}\gamma ^{3}+\mathrm {K} \gamma ^{2}\delta +{\frac {\mathrm {L} }{2}}\gamma \delta ^{2}+{\frac {\mathrm {M} }{3}}\delta ^{3}+(l-2\mathrm {K} )\Delta +\left(m-{\frac {\mathrm {L} }{2}}\right)\Lambda \right].\end{aligned}}$

Cela posé, je fais

${\begin{alignedat}{4}y^{2}=&u,&yz=&u_{1},&z^{2}=&u_{2},&\int zdy=&u_{3},\\y^{3}=&v,&y^{2}z=&v_{1},&yz^{2}=&v_{2},&z^{3}=&v_{3},\\\int yzdy=&v_{4},\qquad &\int z^{2}dy=&v_{5},\qquad &y\int zdy=&v_{6},\qquad &z\int zdy=&v_{7}\,;\end{alignedat}}$

j’aurai, au lieu des équations (L) et (M), ces deux-ci :

(1)

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {F} +\mathrm {G} y+\mathrm {H} z+i\left(\mathrm {K} u+\mathrm {L} u_{1}+\mathrm {M} u_{2}\right)+i^{2}\left(\mathrm {N} v+\mathrm {P} v_{1}+\mathrm {Q} v_{2}+\mathrm {R} v_{3}\right)=0,$

(2)

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+f+gy+hz+i\left(ku+lu_{1}+mu_{2}\right)+i^{2}\left(nv+pv_{1}+qv_{2}+rv_{3}\right)=0.$

Maintenant on a :

1^o ${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=2y{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+2{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\,;$

donc $2y\times \mathrm {(L)+2(N)}$ donnera, en négligeant les termes de l’ordre de $i,$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}&+2\mathrm {A} +6\mathrm {F} y+4\mathrm {G} y^{2}+2\mathrm {H} yz+4\mathrm {H} \int zdy\\&+i\left({\frac {10\mathrm {K} }{3}}y^{3}+2\mathrm {L} y^{2}z+2\mathrm {M} yz^{2}+4\mathrm {L} \int yzdy+4\mathrm {M} \int z^{2}dy\right)=0,\end{aligned}}$

et, en faisant les substitutions précédentes,

(3)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}&+2\mathrm {A} +6\mathrm {F} y+4\mathrm {G} u+2\mathrm {H} u_{1}+4\mathrm {H} u_{3}\\&+i\left({\frac {10\mathrm {K} }{3}}v+2\mathrm {L} v_{1}+2\mathrm {M} v_{2}+4\mathrm {L} v_{4}+4\mathrm {M} v_{5}\right)=0,\end{aligned}}\right.$

2^o ${\frac {d^{2}u_{1}}{dt^{2}}}=z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2{\frac {dydz}{dt^{2}}}\,;$

donc $z\times (\mathrm {L} )+y\times (\mathrm {M} )+2(\mathrm {P} )$ donnera

(4)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}u_{1}}{dt^{2}}}&+2\mathrm {C} +3fy+3\mathrm {F} z+2gu+(3\mathrm {G} +h)u_{1}+2\mathrm {H} u_{2}+2(h-\mathrm {G} )u_{3}\\&+i\left[{\frac {5k}{3}}v+(3\mathrm {K} +l)v_{1}+(2\mathrm {L} +m)v_{2}+{\frac {5\mathrm {M} }{3}}v_{3}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+(2l-4K)v_{4}+(2m-L)v_{5}{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right]=0.\end{aligned}}\right.$

3^o ${\frac {d^{2}u_{2}}{dt^{2}}}=2z{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\,;$

donc $2z\times (\mathrm {M} )+2(\mathrm {O} )$ donnera

(5)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}&+2\mathrm {B} +6fz+6gu_{1}+4hu_{2}-4gu_{3}\\&+i\left(6kv_{1}+4kv_{2}+{\frac {10m}{3}}v_{3}-8kv_{4}-2kv_{5}\right)=0.\end{aligned}}\right.$

4^o ${\frac {d^{2}u_{3}}{dt^{2}}}=z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {dydz}{dt^{2}}}\,;$ donc $z\times (\mathrm {L} )+(\mathrm {P} )s$ donnera

(6)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {d^{2}u_{3}}{dt^{2}}}+\mathrm {C} +fy+2\mathrm {F} z+{\frac {g}{2}}u+2\mathrm {G} u_{1}+{\frac {3\mathrm {H} }{2}}u_{2}+(h-\mathrm {G} )u_{3}\\&+i\left[{\frac {k}{3}}v+2\mathrm {K} v_{1}+{\frac {3\mathrm {L} }{2}}v_{2}+{\frac {4\mathrm {M} }{3}}v_{3}+(l-2\mathrm {K} )v_{4}+\left(m-{\frac {\mathrm {L} }{2}}\right)v_{5}\right]=0.\end{aligned}}\right.$

5^o ${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=3y^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+6y{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\,;$

donc $3y^{2}\mathrm {(L)+6(N)}$ donnera, en rejetant les termes affectés de $i,$ à cause que la variable $v$ est déjà elle-même multipliée par $i^{2}$ dans les équations (1) et (2),

(7)

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+6\mathrm {A} y+15\mathrm {F} u+g\mathrm {G} v+3\mathrm {H} v_{1}+12\mathrm {H} v_{6}=0.$

6^o ${\frac {d^{2}v_{1}}{dt^{2}}}=2yz{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2z{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+4y{\frac {dydz}{dt^{2}}}\,;$

donc $2yz\times (\mathrm {L} )+y^{2}\times (\mathrm {M} )+2z\times (\mathrm {N} )+4y\times (\mathrm {P} )$ donnera, en négligeant par la même raison que ci-devant les termes de l’ordre de $i,$

(8)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}v_{1}}{dt^{2}}}&+4\mathrm {C} y+2\mathrm {A} z+5fu+10\mathrm {F} u_{1}+3gv\\&+(8\mathrm {G} +h)v_{1}+4\mathrm {H} v_{2}+4(h-\mathrm {G} )v_{6}+4\mathrm {H} v_{7}=0.\end{aligned}}\right.$

7^o ${\frac {d^{2}v_{2}}{dt^{2}}}=z^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+2yz{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2y{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}+4z{\frac {dydz}{dt^{2}}}\,;$

donc $z^{2}\times (\mathrm {L} )+2yz\times (\mathrm {M} )+2y\times (\mathrm {O} )+4z\times (\mathrm {P} )$ donnera

(9)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}v_{2}}{dt^{2}}}&+2\mathrm {B} y+4\mathrm {C} z+10fu_{1}+5\mathrm {F} u_{2}+8gv_{1}\\&+(5\mathrm {G} +4h)v_{2}+3\mathrm {H} v_{3}-4gv_{6}+4(h-\mathrm {G} )v_{7}=0.\end{aligned}}\right.$

8^o ${\frac {d^{2}v_{3}}{dt^{2}}}=3z^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+6z{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\,;$

donc $3z^{2}\times (\mathrm {M} )+6z\times (\mathrm {O} )$ donnera

(10)

${\frac {d^{2}v_{3}}{dt^{2}}}+6\mathrm {B} z+15fu_{2}+15gv_{2}+ghv_{3}-12gv_{7}=0.$

9^o ${\frac {d^{2}v_{4}}{dt^{2}}}=yz{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+z{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+y{\frac {dydz}{dt^{2}}}\,;$

donc $yz\times (\mathrm {L} )+z\times (\mathrm {N} )+y\times (\mathrm {P} )$ donnera

(11)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}v_{4}}{dt^{2}}}&+\mathrm {C} y+\mathrm {A} z+fu+4\mathrm {F} u_{1}+{\frac {g}{2}}v\\&+3\mathrm {G} v_{1}+{\frac {3\mathrm {H} }{2}}v_{2}+(h-\mathrm {G} )v_{6}+2\mathrm {H} v_{7}=0.\end{aligned}}\right.$

10^o ${\frac {d^{2}v_{5}}{dt^{2}}}=z^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+2z{\frac {dydz}{dt^{2}}}\,;$

donc $z^{2}\times (\mathrm {L} )+2z\times (\mathrm {P} )$ donnera

(12)

${\frac {d^{2}v_{5}}{dt^{2}}}+2\mathrm {C} z+2fu_{1}+3\mathrm {F} u_{2}+gv_{1}+3\mathrm {G} v_{2}+2\mathrm {H} v_{3}+2(h-\mathrm {G} )v_{7}=0.$

11^o ${\frac {d^{2}v_{6}}{dt^{2}}}=\left(yz+\int zdy\right){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+2z{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+y{\frac {dydz}{dt^{2}}}\,;$

donc $\left(yz+\int zdy\right)\times (\mathrm {L} )+2z\times (\mathrm {N} )+y\times (\mathrm {P} )$ donnera

(13)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}v_{6}}{dt^{2}}}&+\mathrm {C} y+2\mathrm {A} z+fu_{1}+6\mathrm {F} u+\mathrm {F} u_{3}\\&+{\frac {g}{2}}v+4\mathrm {G} v_{1}+{\frac {3\mathrm {H} }{2}}v_{2}+hv_{6}+5\mathrm {H} v_{7}=0.\end{aligned}}\right.$

12^o ${\frac {d^{2}v_{7}}{dt^{2}}}=z^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\int zdy+3z{\frac {dydz}{dt^{2}}}\,;$

donc $z^{2}\times (\mathrm {L} )+(\mathrm {M} )\times \int zdy+3z\times (\mathrm {P} )$ donnera

(14)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}v_{7}}{dt^{2}}}&+3\mathrm {C} z+3fu_{1}+4\mathrm {F} u_{2}+fu_{3}\\&+{\frac {3g}{2}}v_{1}+4\mathrm {G} v_{2}+{\frac {5\mathrm {H} }{2}}v_{3}+gv_{6}+(4h-3\mathrm {G} )=0.\end{aligned}}\right.$

Ayant ainsi autant d’équations que de variables, l’intégration qui doit donner la valeur de $y$ et de $z$ est facile par la méthode du n^o 26 ; de sorte que, si l’on multiplie l’équation (1) par $e^{\rho t},$ l’équation (2) par $\lambda e^{\rho t},$ l’équation (3) par $i\mu e^{\rho t},$ l’équation (4) par $i\mu _{1}e^{\rho t},$ l’équation (5) par $i\mu _{2}e^{\rho t},$ l’équation (6) par $i\mu _{3}e^{\rho t},$ l’équation (7) par $i^{2}\nu e^{\rho t},$ l’équation (8) par $i^{2}\nu _{1}e^{\rho t},$ l’équation (9) par $i^{2}\nu _{2}e^{\rho t},$ l’équation (10) par $i^{2}\nu _{3}e^{\rho t},$ l’équation (11) par $i^{2}\nu _{4}e^{\rho t},$ l’équation (12) par $i^{2}\nu _{5}e^{\rho t},$ l’équation (13) par $i^{2}\nu _{6}e^{\rho t},$ l’équation (14) par $i^{2}\nu _{7}e^{\rho t},$ et qu’on achève le reste comme dans le n^o 46, on aura, en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\theta =&y+\lambda z+i\left(\mu u+\mu _{1}u_{1}+\mu _{2}u_{2}+\mu _{3}u_{3}\right)\\&+i^{2}\left(\nu v+\nu _{1}v_{1}+\nu _{2}v_{2}+\nu _{3}v_{3}+\nu _{4}v_{4}+\nu _{5}v_{5}+\nu _{6}v_{6}+\nu _{7}v_{7}\right)\end{aligned}}$

et

$\varkappa =\mathrm {F} +\lambda f+i(2\mu \mathrm {A} +2\mu _{1}\mathrm {C} +2\mu _{2}\mathrm {B} +\mu _{3}\mathrm {C} ),$

on aura, dis-je,

(Q)

$\left({\frac {d\theta }{dt}}-\rho \theta +{\frac {\varkappa }{\rho }}\right)e^{\rho t}=\mathrm {const} .,$

et ensuite

${\begin{aligned}\rho ^{2}&+\mathrm {G} +g\lambda +i(6\mathrm {F} \mu +3f\mu _{1}+f\mu _{3})\\&\qquad \qquad \qquad +i^{2}(6\mathrm {A} \nu +4\mathrm {C} \nu _{1}+2\mathrm {B} \nu _{2}+\mathrm {C} \nu _{4}+\mathrm {C} \nu _{6})=0,\\\mathrm {H} \ \ &+(\rho ^{2}+h)\lambda +i(3\mathrm {F} \mu _{1}+6f\mu _{2}+2\mathrm {F} \mu _{3})\\&+i^{2}\left(2\mathrm {A} \nu _{1}+4\mathrm {C} \nu _{2}+6\mathrm {B} \nu _{3}+\mathrm {A} \nu _{4}+2\mathrm {C} \nu _{5}+2\mathrm {A} \nu _{6}+3\mathrm {C} \nu _{7}\right)=0,\\\\\mathrm {K} \ \ &+k\lambda +(\rho ^{2}+4\mathrm {G} )\mu +2g\mu _{1}+{\frac {g}{2}}\mu _{3}+i\left(15\mathrm {F} \nu +5f\nu _{1}+f\nu _{4}+f\nu _{6}\right)=0,\\\mathrm {L} \ \ &+l\lambda +2\mathrm {H} \mu +\left(\rho ^{2}+3\mathrm {G} +h\right)\mu _{1}+6g\mu _{2}+2\mathrm {G} \mu _{3}\\\\&+i\left(10\mathrm {F} \nu _{1}+10f\nu _{2}+4\mathrm {F} \nu _{4}+2f\nu _{5}+6\mathrm {F} \nu _{6}+3f\nu _{7}\right)=0,\\\\\mathrm {M} \ \ &+m\lambda +2\mathrm {H} \mu _{1}+(\rho ^{2}+4h)\mu _{3}\\&\qquad \qquad \qquad +{\frac {3\mathrm {H} }{2}}\mu _{3}+i\left(5\mathrm {F} \nu _{2}+15\nu _{3}+3\mathrm {F} \nu _{5}+4\mathrm {F} \nu _{7}\right)=0,\\\\4\mathrm {H} &\mu +2(h-\mathrm {G} )\mu _{1}-4g\mu _{2}+\left(\rho ^{2}+h-\mathrm {G} \right)\mu _{3}+i\left(\mathrm {F} \nu _{6}+f\nu _{7}\right)=0,\\\\\mathrm {N} \ \ &+n\lambda +{\frac {10\mathrm {K} }{3}}\mu +{\frac {5k}{3}}\mu _{1}+{\frac {k}{3}}\mu _{3}+\left(\rho ^{2}+9\mathrm {G} \right)\nu +3g\nu _{1}+{\frac {g}{2}}\nu _{4}+{\frac {g}{2}}\nu _{6}=0,\\\\\mathrm {P} \ \ &+p\lambda +2\mathrm {L} \mu +(3\mathrm {K} +l)\mu _{1}+6k\mu _{2}+2\mathrm {K} \mu _{3}\\&+3\mathrm {H} \nu +\left(\rho ^{2}+8\mathrm {G} +h\right)\nu _{1}+8g\nu _{2}+3\mathrm {G} \nu _{4}+g\nu _{5}+4\mathrm {G} \nu _{6}+{\frac {3g}{2}}\nu _{7}=0,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {Q} \ \ &+q\lambda +2\mathrm {M} \mu +(2\mathrm {L} +m)\mu _{1}+4l\mu _{2}+{\frac {3\mathrm {L} }{2}}\mu _{3}\\&+4\mathrm {H} \nu _{1}+(\rho ^{2}+5\mathrm {G} +4h)\nu _{2}+15g\nu _{3}+{\frac {3\mathrm {H} }{2}}\nu _{4}+3\mathrm {G} \nu _{5}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {3\mathrm {H} }{2}}\nu _{6}+4\mathrm {G} \nu _{7}=0,\\\\\mathrm {R} \ \ &+rl+{\frac {5\mathrm {M} }{3}}\mu _{1}+{\frac {10m}{3}}\mu _{2}+{\frac {4\mathrm {M} }{3}}\mu _{3}+3\mathrm {H} \nu _{2}+\left(\rho ^{2}+9h\right)\nu _{3}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +2\mathrm {H} \nu _{5}+{\frac {5\mathrm {H} }{2}}\nu _{7}=0,\\\\4\mathrm {L} &\mu +(2l-4\mathrm {K} )\mu _{1}-8k\mu _{2}+(l-2\mathrm {K} )\mu _{3}+\rho ^{2}\nu _{4}=0,\\\\4\mathrm {M} &\mu +(2m-\mathrm {L} )\mu _{1}-2l\mu _{2}+\left(m-{\frac {\mathrm {L} }{2}}\right)\mu _{3}+\rho ^{2}\nu _{5}=0,\\\\12\mathrm {H} &\nu +4(h-\mathrm {G} )\nu _{1}-4g\nu _{2}+(h-\mathrm {G} )\nu _{4}+\left(\rho ^{2}+h\right)\nu _{6}+g\nu _{7}=0,\\\\4\mathrm {H} &\nu _{1}+4(h-\mathrm {G} )\nu _{2}-12g\nu _{3}+2\mathrm {H} \nu _{4}+2(h-\mathrm {G} )\nu _{1}+h\nu _{6}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\left(\rho ^{2}+4h-3\mathrm {G} \right)\nu _{7}=0,\end{aligned}}$

équations par lesquelles on déterminera les quatorze inconnues $\rho ,\lambda ,\mu ,$ $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\nu ,\nu _{1},\nu _{2},\nu _{3},\nu _{4},\nu _{5},\nu _{6},\nu _{7},$ en ayant attention de pousser les valeurs des deux premières jusqu’aux quantités de l’ordre de $i^{2},$ celles des quatre suivantes jusqu’aux quantités de l’ordre de $i$ seulement, et enfin de rejeter dans les valeurs des sept dernières toutes les quantités affectées de $i.$

Or je remarque : 1^o que la quantité $\rho$ ne paraissant que sous la forme quadrative, elle aura nécessairement deux valeurs, l’une positive et l’autre négative ; de sorte que si l’on suppose que $\rho$ désigne la racine positive, on pourra écrire partout indifféremment $+\rho$ et $-\rho \,;$ 2^o que si l’on représente les deux premières équations par

$\rho ^{2}+\mathrm {G} +g\lambda +i\alpha =0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {H} +\left(\rho ^{2}+h\right)\lambda +i\beta =0,$

on aura, en éliminant $\lambda ,$

(R)

$\rho ^{4}+(\mathrm {G} +h+i\alpha )\rho ^{2}+\mathrm {G} h-\mathrm {H} g+i(\alpha h-\beta g)=0,$

d’où l’on tirera deux valeurs de $\rho ^{2}.$

Soient maintenant, lorsque $t=0,$

$\theta =\mathrm {D} \quad {\text{et}}\quad {\frac {d\theta }{dt}}=\mathrm {E} ,$

c’est-à-dire

${\begin{aligned}\mathrm {D} =&\gamma +\lambda \delta +i\left(\mu \gamma ^{2}+\mu _{1}\gamma \delta +\mu _{2}\delta ^{2}+\mu _{3}\Gamma \right))\\&+i^{2}\left(\nu \gamma ^{3}+s\nu _{1}\gamma ^{2}\delta +\nu _{2}\gamma \delta ^{2}+\nu _{3}\delta ^{3}+\nu _{4}\Delta +\nu _{5}\Lambda +\nu _{6}\gamma \Gamma +\nu _{7}\delta \Gamma \right)\end{aligned}}$

et

$\mathrm {E} =\varepsilon +\lambda \eta +i\left[2\mu \gamma \varepsilon +\mu _{1}(\delta \varepsilon +\gamma \eta )+2\mu _{2}\delta \eta +\mu _{3}\delta \varepsilon \right]$

$+i\left[3\nu \gamma ^{2}\delta +\nu _{1}\left(2\gamma \delta \varepsilon +\gamma ^{2}\eta \right)+\nu _{2}\left(\delta ^{2}\varepsilon +2\gamma \delta \eta \right)+3\nu _{3}\delta ^{2}\eta +\nu _{4}\gamma \delta \varepsilon +\nu _{5}\delta ^{2}\varepsilon \right.$

$\left.+\nu _{6}\left(\Gamma \varepsilon +\gamma ^{2}\delta \varepsilon \right)+\nu _{7}\left(\Gamma \eta +\gamma \delta ^{2}\varepsilon \right)\right]\,;$

l’équation (Q) donnera, en divisant par $e^{\rho t},$

${\frac {d\theta }{dt}}-\rho \theta +{\frac {\varkappa }{\rho }}=\left(\mathrm {E} -\rho \mathrm {D} +{\frac {\varkappa }{\rho }}\right)e^{-\rho t},$

et prenant la quantité $\rho$ en $-,$

${\frac {d\theta }{dt}}+\rho \theta -{\frac {\varkappa }{\rho }}=\left(\mathrm {E} +\rho \mathrm {D} -{\frac {\varkappa }{\rho }}\right)e^{\rho t},$

d’où l’on tire

$\theta ={\frac {\varkappa }{\rho ^{2}}}+\left(\mathrm {D} -{\frac {\varkappa }{\rho ^{2}}}\right){\frac {e^{\rho t}+e^{-\rho t}}{2}}+\mathrm {E} {\frac {e^{\rho t}-e^{-\rho t}}{2\rho }}$

ou bien

$\theta ={\frac {\varkappa }{\rho ^{2}}}+\left(\mathrm {D} -{\frac {\varkappa }{\rho ^{2}}}\right)\cos \left(t{\sqrt {-\rho ^{2}}}\right)+{\frac {\mathrm {E} }{\sqrt {-\rho ^{2}}}}\sin \left(t{\sqrt {-\rho ^{2}}}\right).$

Soient maintenant $\rho '^{2}$ et $\rho ''^{2}$ les deux racines de l’équation (R), et $\theta ',\theta '',\lambda ',\lambda '',\mu ',\mu '',\ldots$ les valeurs correspondantes de $\theta ,\lambda ,\mu ,\ldots \,;$ on aura, en remettant au lieu de $u,u_{1},u_{2},\ldots ,$ leurs valeurs $y^{2},yz,z^{2},\ldots$ ces deux équations

${\begin{aligned}y&+\lambda 'z+i\left(\mu 'y^{2}+\mu '_{1}yz+\mu '_{2}z^{2}+\mu '_{3}\int zdy\right)\\&+i^{2}\left(\nu 'y^{3}+\nu '_{1}y^{2}z+\nu '_{2}yz^{2}+\nu '_{3}z^{3}+\nu '_{4}\int yzdy\right.\end{aligned}}$

$\left.+\nu '_{5}\int z^{2}dy+\nu '_{6}y\int dzy+\nu '_{7}z\int zdy\right)=\theta ',$

${\begin{aligned}y&+\lambda ''z+i\left(\mu ''y^{2}+\mu ''_{1}yz+\mu ''_{2}z^{2}+\mu ''_{3}\int zdy\right)\\&+i^{2}\left(\nu ''y^{3}+\nu ''_{1}y^{2}z+\nu ''_{2}yz^{2}+\nu ''_{3}z^{3}+\nu ''_{4}\int yzdy\right.\end{aligned}}$

$\left.+\nu ''_{5}\int z^{2}dy+\nu ''_{6}y\int dzy+\nu ''_{7}z\int zdy\right)=\theta '',$

d’où l’on tirera par approximation les valeurs de $y$ et de $z.$

Il est évident que pour que les valeurs de $y$ et de $z$ ne contiennent que des sinus et des cosinus, il faut que les racines de l’équation (R) soient toutes deux réelles et négatives ; par conséquent il faut que l’on ait

1^o $(\mathrm {G} +h+i\alpha )^{2}>4\left[\mathrm {G} h-\mathrm {H} g+i(\alpha h-\beta g)\right],$

2^o $\mathrm {G} +h+i\alpha >0,\qquad \mathrm {G} h\mathrm {H} g+i(\alpha h-\beta g)>0.$

Si ces trois conditions n’ont point lieu à la fois, alors les valeurs de $y$ et de $z$ contiendront des exponentielles réelles, et par conséquent la solution ne sera bonne que tant que $t$ ne sera pas fort grande.

On pourrait ajouter que les expressions de $y$ et de $z$ renfermeraient l’angle $t,$ si les deux valeurs de $\rho ^{2}$ étaient égales ; car alors, supposant $\rho ''=\rho '+\omega ,$ et regardant $\omega$ comme une quantité évanouissante, on trouverait que la seconde des deux équations ci-dessus se réduirait à celle-ci

${\begin{aligned}{\frac {d\lambda '}{d\rho '}}z&+i\left({\frac {d\mu '}{d\rho '}}y^{2}+{\frac {d\mu _{1}'}{d\rho '}}yz+{\frac {d\mu _{2}'}{d\rho '}}z^{2}+{\frac {d\mu _{3}'}{d\rho '}}\int zdy\right)\\&+i^{2}\left({\frac {d\nu '}{d\rho '}}y^{3}+{\frac {d\nu _{1}'}{d\rho '}}y^{2}z+{\frac {d\nu _{2}'}{d\rho '}}yz^{2}+{\frac {d\nu _{3}'}{d\rho '}}z^{3}+{\frac {d\nu _{4}'}{d\rho '}}\int yzdy\right.\\\end{aligned}}$

$\left.+{\frac {d\nu _{5}'}{d\rho '}}\int z^{2}dy+{\frac {d\nu _{6}'}{d\rho '}}y\int zdy+{\frac {d\nu _{7}'}{d\rho '}}z\int dy\right)={\frac {d\theta '}{d\rho '}},$

dans laquelle la quantité ${\frac {d\theta '}{d\rho '}}$ contient nécessairement des termes multipliés par l’angle $t.$ Mais comme l’équation (R) n’est qu’approchée, quand il arriverait que

$(\mathrm {G} +h+i\alpha )^{2}=4\left[\mathrm {G} h-\mathrm {H} g+i(\alpha h-\beta g)\right],$

ce qui est la condition des racines égales, on n’en pourrait conclure

autre chose, sinon que les deux valeurs de $\rho ^{2}$ seraient égales aux quantités de l’ordre de $i^{3}$ près, et que par conséquent il faudrait pousser l’approximation jusqu’aux quantités de ce même ordre. Ce ne serait qu’après avoir poussé l’approximation fort loin et avoir reconnu que les valeurs de $\rho$ sont toujours égales, qu’on pourrait à la rigueur faire usage de l’équation que nous venons de donner.

53. On voit aisément que la méthode précédente est générale pour tel nombre d’équations qu’on voudra, pourvu que ces équations soient analogues aux équations (L) et (M), c’est-à-dire que les produits de deux dimensions soient affectés de $i,$ ceux de trois soient affectés de $i^{2},$ et ainsi de suite.

Cette méthode serait surtout utile pour déterminer aussi près qu’on voudrait le mouvement d’un système quelconque de corps qui agiraient les uns sur les autres, et qui ne feraient que de très-petites oscillations autour de leurs points d’équilibre. Car nommant $iy,iz,\ldots ,$ les espaces parcourus par ces corps dans leurs oscillations, on trouverait des équations de la forme de celle dont je viens de parler ; au reste nous avons déjà donné (n^o 30) la solution générale de ce problème pour le cas des oscillations infiniment petites.

54. Si les équations proposées contenaient des termes de la forme

$i\int zdy,\ \ i^{2}\int yzdy,\ \ i^{2}\int z^{2}dy,\ \ i^{2}y\int zdy,\ \ i^{2}z\int zdy,$

l’intégration n’aurait aucune difficulté de plus ; il faudrait seulement avoir attention de changer les expressions

$\int dy\int zdy\quad {\text{et}}\quad \int dz\int zdy$

qui se trouveraient dans les équations (N), (O), (P) en leurs équivalentes

$y\int zdy-\int yzdy\quad {\text{et}}\quad z\int zdy-\int z^{2}dy.$

55. Si elles contenaient des termes de la forme

$i{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\quad i{\frac {dydz}{dt^{2}}},\quad i{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}},\quad i^{2}y{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}},\quad i^{2}y{\frac {dydz}{dt^{2}}},\ldots ,$

on les ferait disparaître par des procédés semblables à ceux que nous avons suivis dans le n^o 49. Il en serait de même de tous les termes qui contiendraient des produits de ${\frac {dy}{dt}}$ et ${\frac {dz}{dt}}$ de dimensions paires ; mais s’il se trouvait des produits de dimensions impaires de ces mêmes quantités, alors on ferait chacune d’elles égale à une nouvelle variable, et on achèverait le reste comme dans le n^o 50.

56. Enfin, si l’on avait des équations du troisième ordre et au delà, on les réduirait toujours au second par la méthode du n^o 51.

De l’intégration de l’équation

(S)

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}y+i\left(\mathrm {M} y\cos \mathrm {H} t+\mathrm {N} {\frac {dy}{dt}}\sin \mathrm {H} t\right)=\mathrm {T} .$

dans laquelle $\mathrm {T}$ est une fonction quelconque de $t.$

57. Je remarque d’abord que si $\mathrm {T}$ était égal à zéro, l’équation serait dans le cas du n^o 55, car il n’y aurait qu’à faire $\cos \mathrm {H} t=z,$ ce qui donnerait

$\sin \mathrm {H} t=-{\frac {1}{\mathrm {H} }}{\frac {dz}{dt}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {H} ^{2}z=0.$

Or, puisque l’indéterminée $y$ n’y passe pas le premier degré, il est clair qu’on pourra faire disparaître le terme tout connu $\mathrm {T}$ par la méthode du n^o 1. En effet, si l’on multiplie l’équation proposée par $zdt,$ et qu’on pratique les autres opérations que prescrit cette méthode, on aura les deux équations suivantes :

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}z+i\left[\left(\mathrm {M} \cos \mathrm {H} t-{\frac {d(\mathrm {N} \sin \mathrm {H} t)}{dt}}\right)z-\mathrm {N} \sin \mathrm {H} t{\frac {dz}{dt}}\right]=0,$

${\frac {dy}{dt}}z-y{\frac {dz}{dt}}=\int \mathrm {T} zdt,$

dont la première est réductible au cas du n^o 55, et dont l’autre étant intégrée donnera $y=\int {\frac {dt}{z^{2}}}\int \mathrm {T} zdt.$

Au reste, ces sortes d’équations peuvent encore s’intégrer par une méthode particulière et fort simple que je vais exposer,

Je fais

${\begin{alignedat}{2}y\cos \mathrm {H} t=&u,&y\cos 2\mathrm {H} t=&v,&\ldots ,&\\y\sin \mathrm {H} t=&U,\qquad &y\sin 2\mathrm {H} t=&V,&\ldots ,&\\\end{alignedat}}$

ce qui me donne

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dy}{dt}}\cos \mathrm {H} t=&{\frac {du}{dt}}+\mathrm {H} U,\qquad &{\frac {dy}{dt}}\cos 2\mathrm {H} t=&{\frac {dv}{dt}}+2\mathrm {H} V,\ldots ,\\{\frac {dy}{dt}}\sin \mathrm {H} t=&{\frac {dU}{dt}}-\mathrm {H} u,&{\frac {dy}{dt}}\sin 2\mathrm {H} t=&{\frac {dV}{dt}}+2\mathrm {H} v,\ldots ,\end{alignedat}}$

et ensuite

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\cos \mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+2\mathrm {H} {\frac {dU}{dt}}-\mathrm {H} ^{2}u,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\cos 2\mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+4\mathrm {H} {\frac {dV}{dt}}-4\mathrm {H} ^{2}v,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\sin \mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}U}{dt^{2}}}-2\mathrm {H} {\frac {du}{dt}}-\mathrm {H} ^{2}U,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\sin 2\mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}V}{dt^{2}}}-4\mathrm {H} {\frac {dv}{dt}}-4\mathrm {H} ^{2}V,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Cela posé, j’aurai d’abord, au lieu de l’équation (S), celle-ci

(1)

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} _{2}y+i\left[(\mathrm {M-HN} )u+\mathrm {N} {\frac {dU}{dt}}\right]=\mathrm {T} .$

De plus, la même équation (S) étant multipliée successivement par $\cos \mathrm {H} t$ et par $\sin \mathrm {H} t$ donnera

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&\cos \mathrm {H} t+\mathrm {K} ^{2}y\cos \mathrm {H} t+i\left[\mathrm {M} y\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos 2\mathrm {H} t\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {N} {\frac {dy}{dt}}\sin 2\mathrm {H} t\right]\\&=\mathrm {T} \cos \mathrm {H} t\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&\sin \mathrm {H} t+\mathrm {K} ^{2}y\sin \mathrm {H} t+i\left[{\frac {1}{2}}\mathrm {M} y\sin 2\mathrm {H} t+\mathrm {N} {\frac {dy}{dt}}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos 2\mathrm {H} t\right)\right]\\&=\mathrm {T} \sin \mathrm {H} t\end{aligned}}$

c’est-à-dire, en faisant les substitutions ci-dessus,

(2)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}&+2\mathrm {H} {\frac {U}{dt}}+\mathrm {\left(K^{2}-H^{2}\right)} u+i\left[{\frac {\mathrm {M} }{2}}y+\mathrm {\left({\frac {M}{2}}-NH\right)} v+{\frac {\mathrm {N} }{2}}{\frac {dV}{dt}}\right]\\&=\mathrm {T} \cos \mathrm {H} t,\end{aligned}}$

(3)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}U}{dt^{2}}}&-2\mathrm {H} {\frac {du}{dt}}+\mathrm {\left(K^{2}-H^{2}\right)} U+i\left[\mathrm {\left({\frac {M}{2}}-NH\right)} V-{\frac {\mathrm {N} }{2}}{\frac {dv}{dt}}\right]\\&=\mathrm {T} \sin \mathrm {H} t.\end{aligned}}$

Si l’on voulait n’avoir égard, dans la valeur de $y,$ qu’aux quantités de l’ordre de $i,$ on négligerait dans les valeurs de $u$ et de $U,$ et par conséquent aussi dans les équations (2) et (3), tous les termes affectés de $i,$ moyennant quoi ces équations ne contiendraient plus que les trois variables $y,u$ et $U,$ de sorte qu’avec l’équation $(i)$ elles suffiraient pour résoudre le problème ; mais si l’on veut pousser l’approximation jusqu’aux quantités de l’ordre de $i^{2},$ comme nous l’avons fait dans les problèmes précédents, alors on conservera tous les termes des équations (2) et (3), et on multipliera de nouveau l’équation (S) par $\cos 2\mathrm {H} t$ et par $\sin 2\mathrm {H} t\,;$ ce qui donnera, après les substitutions, deux équations en $v$ et en $V,$ dans lesquelles on pourra négliger les termes affectés de $i,$ parce que les quantités $v$ et $V$ sont déjà elles-mêmes multipliées par $i$ dans les équations (2) et (3) ; ainsi l’on aura

(4)

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+4\mathrm {H} {\frac {dV}{dt}}+\mathrm {\left(K^{2}-4H^{2}\right)} v=\mathrm {T} \cos 2\mathrm {H} t,$

(5)

${\frac {d^{2}V}{dt^{2}}}-4\mathrm {H} {\frac {dv}{dt}}+\mathrm {\left(K^{2}-4H^{2}\right)} V=\mathrm {T} \sin 2\mathrm {H} t,$

et l’intégration de l’équation proposée sera réduite à celle de cinq équations (1), (2), (3), (4) et (5), lesquelles sont, comme on voit, dans le cas du n^o 29.

Ayant donc multiplié la première de ces équations par le $\lambda e^{\rho t}dt,$ la seconde par $\mu e^{\rho t}dt,$ la troisième par ${\mathfrak {M}}e^{\rho t}dt,$ la quatrième par $\nu e^{\rho t}dt,$ et la cinquième par ${\mathfrak {N}}e^{\rho t}dt,$ on les ajoutera ensemble, et on en prendra l’intégrale en faisant disparaître de dessous le signe $\int$ les différences des variables $y,u,\mathrm {U} ,\ldots \,;$ après quoi on chassera les expressions intégrales $\int ye^{\rho t}dt,\int ue^{\rho t}dt,\int \mathrm {U} e^{\rho t}dt,\ldots ,$ en égalant à zéro leurs coefficients, ce qui donnera

${\begin{aligned}&\left(\rho ^{2}+\mathrm {K} ^{2}\right)\lambda +i\left({\frac {\mathrm {M} }{2}}\mu -{\frac {\mathrm {N} }{2}}{\mathfrak {M}}\rho \right)=0,\\&i\mathrm {\left(M-NH\right)} \lambda +\mathrm {\left(\rho ^{2}+K^{2}-H^{2}\right)} \mu +2H{\mathfrak {M}}\rho =0,\\-&i\mathrm {N\lambda \rho -2H\mu \rho +\left(\rho ^{2}+K^{2}-H^{2}\right)} {\mathfrak {M}}=0,\\&i\mathrm {\left({\frac {M}{2}}-NH\right)} \mu +{\frac {i\mathrm {N} }{2}}{\mathfrak {M}}\rho +\mathrm {\left(\rho ^{2}+K^{2}-4H^{2}\right)} \nu +4\mathrm {H} {\mathfrak {N}}\rho =0,\\-&{\frac {i\mathrm {N} }{2}}\mu \rho +i\mathrm {\left({\frac {M}{2}}-NH\right)} {\mathfrak {M}}-4\mathrm {H} \nu \rho +\mathrm {\left(\rho ^{2}+K^{2}-4H^{2}\right)} {\mathfrak {N}}=0.\end{aligned}}$

De cette manière on aura l’équation intégrale

${\begin{aligned}&\left[\lambda {\frac {dy}{dt}}+\mu {\frac {du}{dt}}+{\mathfrak {M}}{\frac {d\mathrm {U} }{dt}}+\nu {\frac {dv}{dt}}+{\mathfrak {N}}{\frac {d\mathrm {V} }{dt}}+\left(-\lambda \rho +{\frac {i\mathrm {N} }{2}}{\mathfrak {M}}\right)y\right.\\&\qquad +(-\mu \rho -2\mathrm {H} {\mathfrak {M}})u+\left(i\mathrm {N} \lambda +2\mathrm {H} \mu -{\mathfrak {M}}wr\right)\mathrm {U} \\&\qquad +\left.\left(-{\frac {i\mathrm {N} }{2}}{\mathfrak {M}}-\nu \rho -4\mathrm {H} {\mathfrak {N}}\right)\nu +\left({\frac {i\mathrm {N} }{2}}\mu +4\mathrm {H} \nu -{\mathfrak {N}}\rho \right)\mathrm {V} \right]e^{\rho t}\\&=\int \mathrm {T} \left(\lambda +\mu \cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {M}}\sin \mathrm {H} t+\nu \cos 2\mathrm {H} t+{\mathfrak {N}}\sin 2\mathrm {H} t\right)e^{\rho t}dt.\end{aligned}}$

Soit $\rho ^{2}=-\mathrm {R} ^{2},$ de sorte que $\rho =\mathrm {R} {\sqrt {-1}},$ et

$\mu =i\alpha \lambda ,\quad \nu =i^{2}\beta \lambda ,\quad {\mathfrak {M}}=i{\mathfrak {A}}\rho \lambda ,\quad {\mathfrak {N}}=i^{2}{\mathfrak {B}}\rho \lambda ,$

et l’on aura premièrement

${\begin{aligned}-&\mathrm {R^{2}+K^{2}} +i^{2}\mathrm {\left({\frac {M}{2}}\alpha +{\frac {N}{2}}R^{2}\alpha \right)} =0,\\&\mathrm {M\ \,-NH+\left(-R^{2}+K^{2}-H^{2}\right)\alpha -2HR^{2}} {\mathfrak {A}}=0,\\-&\mathrm {N\,\ \ -2H\alpha +\left(-R^{2}+K^{2}-H^{2}\right)} {\mathfrak {A}}=0,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\mathrm {\left({\frac {M}{2}}-NH\right)} \alpha -\mathrm {{\frac {N}{2}}R^{2}} {\mathfrak {A}}+\mathrm {\left(-R^{2}+K^{2}-4H^{2}\right)} \beta -4\mathrm {HR} ^{2}{\mathfrak {B}}=0,\\-&\mathrm {\frac {N}{2}} \alpha +\mathrm {\left({\frac {M}{2}}-NH\right)} {\mathfrak {A}}-4\mathrm {H} \beta +\mathrm {\left(-R^{2}+K^{2}-4H^{2}\right)} {\mathfrak {B}}=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\mathrm {R} ^{2}=&{\frac {\mathrm {K} ^{2}+{\frac {1}{2}}i^{2}\mathrm {M} \alpha }{1-{\frac {1}{2}}i^{2}\mathrm {N} {\mathfrak {A}}}},\\\alpha =&\mathrm {\frac {(M-NH)\left(R^{2}-K^{2}+H^{2}\right)+2NHR^{2}}{\left(R^{2}-K^{2}+H^{2}\right)^{2}-4H^{2}R^{2}}} ,\\{\mathfrak {A}}=&\mathrm {\frac {N\left(R^{2}-K^{2}+H^{2}\right)+2(M-NH)H}{\left(R^{2}-K^{2}+H^{2}\right)^{2}-4H^{2}R^{2}}} ,\\\beta =&\mathrm {\frac {\left({\cfrac {1}{2}}M-NH\right)\left(R^{2}-K^{2}+4H^{2}\right)+2NHR^{2}}{\left(R^{2}-K^{2}+4H^{2}\right)^{2}-16H^{2}R^{2}}} \alpha ,\\&-\mathrm {\frac {{\cfrac {1}{2}}N\left(R^{2}-K^{2}+4H^{2}\right)R^{2}+4\left({\cfrac {1}{2}}M-NH\right)HR}{\left(R^{2}-K^{2}+4H^{2}\right)^{2}-16H^{2}R^{2}}} {\mathfrak {A}},\\{\mathfrak {B}}=&\mathrm {\frac {\left({\cfrac {1}{2}}M-NH\right)\left(R^{2}-K^{2}+4H^{2}\right)+2NHR^{2}}{\left(R^{2}-K^{2}+4H^{2}\right)^{2}-16H^{2}R^{2}}} {\mathfrak {A}},\\&-\mathrm {\frac {{\cfrac {1}{2}}N\left(R^{2}-K^{2}+4H^{2}\right)R^{2}+4\left({\cfrac {1}{2}}M-NH\right)H}{\left(R^{2}-K^{2}+4H^{2}\right)^{2}-16H^{2}R^{2}}} \alpha \,;\end{aligned}}$

et ensuite

$\left\{{\frac {dy}{dt}}+i\alpha {\frac {du}{dt}}+i\left(\mathrm {N+2H\alpha +R^{2}} {\mathfrak {A}}\right)U+i^{2}\beta {\frac {dv}{dt}}+i^{2}\left(\mathrm {{\frac {N}{2}}\alpha +4H\beta +R^{2}} {\mathfrak {B}}\right)V\right.$

$-\left[\left(1-{\frac {i\mathrm {N} }{2}}{\mathfrak {A}}\right)y+i(\alpha +2\mathrm {H} {\mathfrak {A}})u-i{\mathfrak {A}}{\frac {dU}{dt}}\right.$

$\left.\left.+i^{2}\left({\frac {\mathrm {N} }{2}}{\mathfrak {A}}+\beta +4\mathrm {H} {\mathfrak {B}}\right)v-i^{2}{\mathfrak {B}}{\frac {dV}{dt}}\right]\mathrm {R} {\sqrt {-1}}\right\}e^{\mathrm {R} t{\sqrt {-1}}}$

$=\int \mathrm {T} \left[1+i\alpha \cos \mathrm {H} t+i^{2}\beta \cos 2\mathrm {H} t\right.$

$\left.+\left(i{\mathfrak {A}}\sin \mathrm {H} t+i^{2}{\mathfrak {B}}\sin 2\mathrm {H} t\right)\mathrm {R} {\sqrt {-1}}\right]e^{\mathrm {R} t{\sqrt {-1}}}dt\,;$

ou, divisant par $e^{\mathrm {R} t{\sqrt {-1}}},$ et changeant les exponentielles imaginaires en sinus et cosinus,

${\frac {dy}{dt}}+i\alpha {\frac {du}{dt}}+i\left(\mathrm {N+2H\alpha +R^{2}} {\mathfrak {A}}\right)U+i^{2}\beta {\frac {dv}{dt}}+i^{2}\left(\mathrm {{\frac {N}{2}}\alpha +4H\beta +R^{2}} {\mathfrak {B}}\right)V$

$-\left[\left(1-{\frac {i\mathrm {N} }{2}}{\mathfrak {A}}\right)y+i(\alpha +2\mathrm {H} {\mathfrak {A}})u-i{\mathfrak {A}}{\frac {dU}{dt}}\right.$

$\left.+i^{2}\left({\frac {\mathrm {N} }{2}}{\mathfrak {A}}+\beta +4\mathrm {H} {\mathfrak {B}}\right)v-i^{2}{\mathfrak {B}}{\frac {dV}{dt}}\right]\mathrm {R} {\sqrt {-1}}$

${\begin{aligned}=\cos \mathrm {R} t\int \mathrm {T} &\left[\left(1+i\alpha \cos \mathrm {H} t+i^{2}\beta \cos 2\mathrm {H} t\right)\cos \mathrm {R} t\right.\\&\qquad \left.-i({\mathfrak {A}}\sin \mathrm {H} t+i{\mathfrak {B}}\sin 2\mathrm {H} t)\mathrm {R} \sin \mathrm {R} t\right]dt\\+\sin \mathrm {R} t\int \mathrm {T} &\left[\left(1+i\alpha \cos \mathrm {H} t+i^{2}\beta \cos 2\mathrm {H} t\right)\sin \mathrm {R} t\right.\\&\qquad \left.+i({\mathfrak {A}}\sin \mathrm {H} t+i{\mathfrak {B}}\sin 2\mathrm {H} t)\mathrm {R} \cos \mathrm {R} t\right]dt\\-\sin \mathrm {R} t\int \mathrm {T} &\left[\left(1+i\alpha \cos \mathrm {H} t+i^{2}\beta \cos 2\mathrm {H} t\right)\cos \mathrm {R} t\right.\\&\qquad \left.-i({\mathfrak {A}}\sin \mathrm {H} t+i{\mathfrak {B}}\sin 2\mathrm {H} t)\mathrm {R} \sin \mathrm {R} t\right]dt{\sqrt {-1}}\\+\cos \mathrm {R} t\int \mathrm {T} &\left[\left(1+i\alpha \cos \mathrm {H} t+i^{2}\beta \cos 2\mathrm {H} t\right)\sin \mathrm {R} t\right.\\&\qquad \left.+i({\mathfrak {A}}\sin \mathrm {H} t+i{\mathfrak {B}}\sin 2\mathrm {H} t)\mathrm {R} \cos \mathrm {R} t\right]dt{\sqrt {-1}}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on remet pour $u,U,v$ et $V$ leurs valeurs, et qu’on compare les imaginaires avec les imaginaires, et les réelles avec les réelles, on aura

$\left[1-{\frac {i\mathrm {N} }{2}}{\mathfrak {A}}+i(\alpha +\mathrm {H} {\mathfrak {A}})\cos \mathrm {H} t+i^{2}\left(1-{\frac {\mathrm {N} }{2}}{\mathfrak {A}}+\beta +2\mathrm {H} {\mathfrak {B}}\right)\cos 2\mathrm {H} t\right]y$

$-i({\mathfrak {A}}\sin \mathrm {H} t+i{\mathfrak {B}}\sin 2\mathrm {H} t){\frac {dy}{dt}}$

${\begin{aligned}=\sin \mathrm {R} t\int \mathrm {T} &\left[\left(1+i\alpha \cos \mathrm {H} t+i^{2}\beta \cos 2\mathrm {H} t\right){\frac {\cos \mathrm {R} t}{\mathrm {R} }}\right.\\&\qquad \left.-i({\mathfrak {A}}\sin \mathrm {H} t+i{\mathfrak {B}}\sin 2\mathrm {H} t)\sin \mathrm {R} t{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right]dt\\-\cos \mathrm {R} t\int \mathrm {T} &\left[\left(1+i\alpha \cos \mathrm {H} t+i^{2}\beta \cos 2\mathrm {H} t\right){\frac {\sin \mathrm {R} t}{\mathrm {R} }}\right.\\&\qquad \left.+i({\mathfrak {A}}\sin \mathrm {H} t+i{\mathfrak {B}}\sin 2\mathrm {H} t)\cos \mathrm {R} t{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right]dt.\end{aligned}}$

et

$\left(1+i\alpha \cos \mathrm {H} t+i^{2}\beta \cos 2\mathrm {H} t\right){\frac {dy}{dt}}$

${\begin{aligned}&+i[\left(\mathrm {N+H\alpha +R^{2}} {\mathfrak {A}}\right)\sin \mathrm {H} t+\left(\mathrm {{\frac {N}{2}}\alpha +2H\beta +R^{2}} {\mathfrak {B}}\right)\sin 2\mathrm {H} t]y\\=&\cos \mathrm {R} t\int \mathrm {T} \left[\left(1+i\alpha \cos \mathrm {H} t+i^{2}\beta \cos 2\mathrm {H} t\right)\cos \mathrm {R} t\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.-i({\mathfrak {A}}\sin \mathrm {H} t+i{\mathfrak {B}}\sin 2\mathrm {H} t)\mathrm {R} \sin \mathrm {R} t\right]dt\\+&\sin \mathrm {R} t\int \mathrm {T} \left[\left(1+i\alpha \cos \mathrm {H} t+i^{2}\beta \cos 2\mathrm {H} t\right)\sin \mathrm {R} t\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+i({\mathfrak {A}}\sin \mathrm {H} t+i{\mathfrak {B}}\sin 2\mathrm {H} t)\mathrm {R} \cos \mathrm {R} t\right]dt,\end{aligned}}$

deux équations à l’aide desquelles on éliminera ${\frac {dy}{dt}}.$

De l’intégration des équations

${\begin{aligned}(\mathrm {T} )\quad \qquad &{\frac {d^{2}y\ }{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}\ y\ +i\left(\mathrm {M} y'\cos \mathrm {H} t+\mathrm {N} {\frac {dy'}{dt}}\sin \mathrm {H} t\right)=\mathrm {T} ,\\(\mathrm {U} )\quad \qquad &{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\mathrm {K} '^{2}y'+i\left(\mathrm {M} 'y\cos \mathrm {H} t-\mathrm {N} '{\frac {dy}{dt}}\sin \mathrm {H} t\right)=\mathrm {T} ',\end{aligned}}$

58. Soit fait, comme dans le numéro précédent,

$y\cos \mathrm {H} t=u,\ \ y\sin \mathrm {H} t=U,\ \ y\cos 2\mathrm {H} t=v,\ \ y\sin 2\mathrm {H} t=V,\ldots ,$

et de même

$y'\cos \mathrm {H} t=u',\ \ y'\sin \mathrm {H} t=U',\ \ y'\cos 2\mathrm {H} t=v',\ \ y'\sin 2\mathrm {H} t=V',\ldots ,$

on aura

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dy}{dt}}\cos \mathrm {H} t=&{\frac {du}{dt}}+\mathrm {H} U,&{\frac {dy}{dt}}\cos 2\mathrm {H} t=&{\frac {dv}{dt}}+2\mathrm {H} V,\\{\frac {dy}{dt}}\sin \mathrm {H} t=&{\frac {dU}{dt}}-\mathrm {H} u,&{\frac {dy}{dt}}\sin 2\mathrm {H} t=&{\frac {dV}{dt}}-2\mathrm {H} v,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\cos \mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+2\mathrm {H} {\frac {dU}{dt}}-\mathrm {H} ^{2}u,&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\cos 2\mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+4\mathrm {H} {\frac {dV}{dt}}-4\mathrm {H} ^{2}v,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\sin \mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}U}{dt^{2}}}-2\mathrm {H} {\frac {du}{dt}}-\mathrm {H} ^{2}U,\quad &{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\sin 2\mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}V}{dt^{2}}}-4\mathrm {H} {\frac {dv}{dt}}-4\mathrm {H} ^{2}V,\\\end{alignedat}}$

et pareillement

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dy'}{dt}}\cos \mathrm {H} t=&{\frac {du'}{dt}}+\mathrm {H} U',&{\frac {dy'}{dt}}\cos 2\mathrm {H} t=&{\frac {dv'}{dt}}+2\mathrm {H} V',\\{\frac {dy'}{dt}}\sin \mathrm {H} t=&{\frac {dU'}{dt}}-\mathrm {H} u',&{\frac {dy'}{dt}}\sin 2\mathrm {H} t=&{\frac {dV'}{dt}}-2\mathrm {H} v',\\{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\cos \mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}u'}{dt^{2}}}+2\mathrm {H} {\frac {dU'}{dt}}-\mathrm {H} ^{2}u',&{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\cos 2\mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}v'}{dt^{2}}}+4\mathrm {H} {\frac {dV'}{dt}}-4\mathrm {H} ^{2}v',\\{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\sin \mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}U'}{dt^{2}}}-2\mathrm {H} {\frac {du'}{dt}}-\mathrm {H} ^{2}U',\quad &{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\sin 2\mathrm {H} t=&{\frac {d^{2}V'}{dt^{2}}}-4\mathrm {H} {\frac {dv'}{dt}}-4\mathrm {H} ^{2}V',\\\end{alignedat}}$

Cela posé, on aura d’abord, au lieu des équations (T) et (U), ces deux-ci :

${\begin{aligned}(1)\qquad \qquad &{\frac {d^{2}y\ }{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}\ y\ +i\left[(\mathrm {M\ -HN} )u'+\mathrm {N} {\frac {dU'}{dt}}\right]=\mathrm {T} .\\(2)\qquad \qquad &{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+\mathrm {K} '^{2}y'+i\left[(\mathrm {M'-HN'} )u-\mathrm {N} '{\frac {dU}{dt}}\right]=\mathrm {T} '.\\\end{aligned}}$

Ensuite les mêmes équations (T) et (U) étant multipliées successivement par $\cos \mathrm {H} t$ et par $\sin \mathrm {H} t$ donneront (après les substitutions) ces quatre autres équations :

${\begin{aligned}(3)\qquad &\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}&+2\mathrm {H} {\frac {dU}{dt}}+\mathrm {\left(K^{2}-H^{2}\right)} u\\&+i\left[\ \ {\frac {\mathrm {M} }{2}}y'+\mathrm {\left({\frac {M}{2}}\ -NH\ \right)} v'+{\frac {\mathrm {N} }{2}}{\frac {dV'}{dt}}\right]=\mathrm {T} \cos \mathrm {H} t,\\\end{aligned}}\right.\\(4)\qquad &\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}U}{dt^{2}}}&-2\mathrm {H} {\frac {du}{dt}}+\mathrm {\left(K^{2}-H^{2}\right)} U\\&+i\left[\mathrm {\left({\frac {M}{2}}-NH\right)} V'+{\frac {\mathrm {N} }{2}}{\frac {dy'}{dt}}-{\frac {\mathrm {N} }{2}}{\frac {dv'}{dt}}\right]=\mathrm {T} \sin \mathrm {H} t,\\\end{aligned}}\right.\\(5)\qquad &\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}u'}{dt^{2}}}&+2\mathrm {H} {\frac {dU'}{dt}}+\mathrm {\left(K'^{2}-H^{2}\right)} u'\\&+i\left[\ \ {\frac {\mathrm {M} '}{2}}y+\mathrm {\left({\frac {M'}{2}}+N'H\right)} v-{\frac {\mathrm {N} '}{2}}{\frac {dV}{dt}}\right]=\mathrm {T} '\cos \mathrm {H} t,\\\end{aligned}}\right.\\(6)\qquad &\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}U'}{dt^{2}}}&-2\mathrm {H} {\frac {du'}{dt}}+\mathrm {\left(K'^{2}-H^{2}\right)} U'\\&+i\left[\mathrm {\left({\frac {M'}{2}}+N'H\right)} V-{\frac {\mathrm {N} '}{2}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\mathrm {N} '}{2}}{\frac {dv}{dt}}\right]=\mathrm {T} '\sin \mathrm {H} t,\\\end{aligned}}\right.\end{aligned}}$

Enfin, multipliant encore l’une et l’autre des équations (T) et (U) par

$\cos 2\mathrm {H} t$ et par $\sin 2\mathrm {H} t,$ et négligeant les termes affectés de $i,$ on aura

${\begin{alignedat}{4}(7)\qquad &{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}&+&4\mathrm {H} {\frac {dV}{dt}}&+&\mathrm {\left(K^{2}-4H^{2}\right)} v&=&\mathrm {T} \cos 2\mathrm {H} t,\\(8)\qquad &{\frac {d^{2}V}{dt^{2}}}&-&4\mathrm {H} {\frac {dv}{dt}}&+&\mathrm {\left(K^{2}-4H^{2}\right)} V&=&\mathrm {T} \sin 2\mathrm {H} t.\\(9)\qquad &{\frac {d^{2}v'}{dt^{2}}}&+&4\mathrm {H} {\frac {dV'}{dt}}&+&\mathrm {\left(K'^{2}-4H^{2}\right)} v'&=&\mathrm {T} '\cos 2\mathrm {H} t,\\(10)\qquad &{\frac {d^{2}V'}{dt^{2}}}&-&4\mathrm {H} {\frac {dv'}{dt}}&+&\mathrm {\left(K'^{2}-4H^{2}\right)} V'&=&\mathrm {T} '\sin 2\mathrm {H} t.\\\end{alignedat}}$

On aura donc en tout dix inconnues et dix équations, et le problème ne dépendra plus que de l’intégration de ces équations.

En suivant notre méthode on multipliera l’équation (1) par $\lambda ,$ l’équation (2) par $\lambda ',$ l’équation (3) par $\mu ,$ l’équation (4) par ${\mathfrak {M}},$ l’équation (5) par $\mu ',$ l’équation (6) par ${\mathfrak {M}}',$ l’équation (7) par $\nu ,$ l’équation (8) par ${\mathfrak {N}},$ l’équation (9) par $\nu ',$ l’équation (10) par ${\mathfrak {N}}'\,;$ et, après les avoir ajoutées ensemble, on multipliera la somme par $e^{\rho t}dt,$ et on en prendra l’intégrale ; ce qui donnera, en faisant disparaître de dessous le signe $\int$ les différences des variables $y,u,V,u',\ldots ,$ et égalant ensuite à zéro les coefficients des termes où ces mêmes variables se trouveront sous le signe,

$(\mathrm {V} )\left\{{\begin{aligned}&\left(\rho ^{2}+\mathrm {K} ^{2}\right)\lambda +i\left({\frac {\mathrm {M} '}{2}}\mu '+{\frac {\mathrm {N} '}{2}}{\mathfrak {M}}'\rho \right)=0,\\&\left(\rho ^{2}+\mathrm {K} '^{2}\right)\lambda '+i\left({\frac {\mathrm {M} }{2}}\mu -{\frac {\mathrm {N} }{2}}{\mathfrak {M}}\rho \right)=0,\\&i(\mathrm {M'+N'H} )\lambda '+\mathrm {\left(\rho ^{2}+K^{2}-H^{2}\right)} \mu +2\mathrm {H} {\mathfrak {M}}\rho =0,\\&i\mathrm {N} '\lambda '\rho -2\mathrm {H} \mu \rho +\mathrm {\left(\rho ^{2}+K^{2}-H^{2}\right)} {\mathfrak {M}}=0,\\&i(\mathrm {M-NH} )\lambda +\mathrm {\left(\rho ^{2}+K'^{2}-H^{2}\right)} \mu '+2\mathrm {H} {\mathfrak {M}}'\rho =0,\\&-i\mathrm {N} \lambda \rho -2\mathrm {H} \mu '\rho +\mathrm {\left(\rho ^{2}+K'^{2}-H^{2}\right)} {\mathfrak {M}}'=0,\\&i\mathrm {\left({\frac {M'}{2}}+N'H\right)} \mu '-{\frac {i\mathrm {N} '}{2}}{\mathfrak {M}}'\rho +\mathrm {\left(\rho ^{2}+K^{2}-4H^{2}\right)} \nu +4\mathrm {H} {\mathfrak {N}}\rho =0,\\&{\frac {i\mathrm {N} '}{2}}\mu '\rho +i\mathrm {\left({\frac {M'}{2}}+N'H\right)} {\mathfrak {M}}'-4\mathrm {H} \nu \rho +\mathrm {\left(\rho ^{2}+K^{2}-4H^{2}\right)} {\mathfrak {N}}=0,\\&i\mathrm {\left({\frac {M}{2}}-NH\right)} \mu +{\frac {i\mathrm {N} }{2}}{\mathfrak {M}}\rho +\mathrm {\left(\rho ^{2}+K'^{2}-4H^{2}\right)} \nu '+4\mathrm {H} {\mathfrak {N}}'\rho =0,\\&-{\frac {i\mathrm {N} }{2}}\mu \rho +i\mathrm {\left({\frac {M}{2}}-NH\right)} {\mathfrak {M}}-4\mathrm {H} \nu '\rho +\mathrm {\left(\rho ^{2}+K'^{2}-4H^{2}\right)} {\mathfrak {N}}'=0.\end{aligned}}\right.$

et

$(\mathrm {X} )\left\{{\begin{aligned}&\left[\lambda {\frac {dy}{dt}}+\lambda '{\frac {dy}{dt}}+\lambda '{\frac {dy}{dt}}+\mu {\frac {du}{dt}}+{\mathfrak {M}}{\frac {dU}{dt}}+\mu '{\frac {du'}{dt}}\right.\\&\qquad {\mathfrak {M}}'{\frac {dU'}{dt}}\nu {\frac {dv}{dt}}{\mathfrak {N}}{\frac {dV}{dt}}\nu '{\frac {dv'}{dt}}{\mathfrak {N}}'{\frac {dV'}{dt}}\\&\qquad +\left(-\lambda \rho +{\frac {i\mathrm {N} '}{2}}{\mathfrak {M}}'\right)y+\left(-\lambda '\rho +{\frac {i\mathrm {N} }{2}}{\mathfrak {M}}\right)y'\\&\qquad +(-\mu \rho -2\mathrm {H} {\mathfrak {M}})u+(-i\mathrm {N} '\lambda '+2\mathrm {H} \mu -{\mathfrak {M}}\pi )U\\&\qquad +(-\mu '\rho -2\mathrm {H} {\mathfrak {M}}')u'+(i\mathrm {N} \lambda +2\mathrm {H} \mu '-{\mathfrak {M}}'\pi )U'\\&\qquad +\left({\frac {i\mathrm {N} '}{2}}{\mathfrak {M}}'-\nu \rho -4\mathrm {H} {\mathfrak {N}}\right)v+\left(-{\frac {i\mathrm {N} '}{2}}\mu '+4\mathrm {H} \nu -{\mathfrak {N}}\rho \right)V\\&\qquad \left.+\left(-{\frac {i\mathrm {N} }{2}}{\mathfrak {M}}-\nu '\rho -4\mathrm {H} {\mathfrak {N}}'\right)v'+\left({\frac {i\mathrm {N} }{2}}\mu +4\mathrm {H} \nu '-{\mathfrak {N}}'\rho \right)V'\right]e^{\rho t}\\&=\int \left[\mathrm {T} \left(\lambda +\mu \cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {M}}\sin \mathrm {H} t+\nu \cos 2\mathrm {H} t+{\mathfrak {N}}\sin 2\mathrm {H} t\right)\right.\\&\quad \left.-\mathrm {T} '\left(\lambda '+\mu '\cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {M}}'\sin \mathrm {H} t+\nu '\cos 2\mathrm {H} t+{\mathfrak {N}}'\sin 2\mathrm {H} t\right)\right]e^{\rho t}dt.\end{aligned}}\right.$

59. Qu’on multiplie la quatrième, la sixième, la huitième et la dixième des équations (V) par $\pm {\sqrt {-1}},$ et qu’on les ajoute ensuite chacune à sa précédente, on aura, au lieu des dix équations (V), les six suivantes :

${\begin{aligned}&\left(\rho ^{2}+\mathrm {K} ^{2}\ \right)\lambda \ +i\left(\mathrm {{\frac {M'}{2}}\rho '+{\frac {N'}{2}}} {\mathfrak {M}}'\rho \right)=0,\\&\left(\rho ^{2}+\mathrm {K} '^{2}\right)\lambda '+i\left(\mathrm {{\frac {M}{2}}\ \rho \ -{\frac {N}{2}}} \ {\mathfrak {M}}\ \rho \right)=0,\\&i\mathrm {\left[M'+N'\left(H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)\right]} \lambda '+\mathrm {\left[K^{2}\ -\left(H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)^{2}\right]} \left(\mu \ \pm {\mathfrak {M}}\ {\sqrt {-1}}\right)=0,\\&i\mathrm {\left[M\ -N\ \left(H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)\right]} \lambda \ +\mathrm {\left[K'^{2}-\left(H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)^{2}\right]} \left(\mu '\pm {\mathfrak {M}}'{\sqrt {-1}}\right)=0,\\&i\mathrm {\left[M'+N'\left(2H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)\right]} \left(\mu '\pm {\mathfrak {M}}'{\sqrt {-1}}\right)\\&\qquad +2\mathrm {\left[K^{2}\ -\left(2H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)^{2}\right]} \left(\nu \ \pm {\mathfrak {N}}\ {\sqrt {-1}}\right)=0,\\&i\mathrm {\left[M-N\left(2H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)\right]} \left(\mu \pm {\mathfrak {M}}{\sqrt {-1}}\right)\\&\qquad +2\mathrm {\left[K'^{2}-\left(2H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)^{2}\right]} \left(\nu '\pm {\mathfrak {N}}'{\sqrt {-1}}\right)=0.\end{aligned}}$

Les deux premières donnent, ou bien

(Y)

$-\rho ^{2}=\mathrm {K} ^{2}+{\frac {i}{\lambda }}\left({\frac {\mathrm {M} '}{2}}\mu '+{\frac {\mathrm {N} '}{2}}{\mathfrak {M}}'\rho \right)$

et

$\lambda '=-i{\frac {\mathrm {M} \mu -\mathrm {N} {\mathfrak {M}}\rho }{2\left(\rho ^{2}+\mathrm {K} ^{2}\right)}},$

ou bien

$-\rho ^{2}=\mathrm {K} '^{2}+{\frac {i}{\lambda '}}\left(\mathrm {{\frac {M}{2}}\mu -{\frac {N}{2}}} {\mathfrak {M}}\rho \right)$

et

$\lambda =-i{\frac {\mathrm {M} '\mu '-\mathrm {N} {\mathfrak {M}}'\rho }{2\left(\rho ^{2}+\mathrm {K} ^{2}\right)}}.$

Dans le premier cas, la troisième équation deviendra, en substituant la valeur de $\lambda '$,

$\mathrm {\left[K^{2}-\left(H\pm {\sqrt {-1}}\right)^{2}\right]} (\mu \pm {\mathfrak {M}}{\sqrt {-1}})$

$-i^{2}\mathrm {\left[M'+N'\left(H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)\right]} {\frac {\mathrm {M'\mu '+N} {\mathfrak {M}}'\rho }{2\left(\rho ^{2}+\mathrm {K} ^{2}\right)}}=0,$

laquelle donnera séparément, à cause de l’ambiguïté du signe, $\mu =0$ et ${\mathfrak {M}}=0\,;$ de sorte qu’on aura aussi $\lambda '=0,\ \nu '=0$ et ${\mathfrak {N}}'=0\,;$ et l’on aura ensuite, pour la détermination des quantités $\mu ',{\mathfrak {M}}',\nu$ et ${\mathfrak {N}},$

$(\mathrm {Z} )\left\{{\begin{aligned}\mu '\pm {\mathfrak {M}}'{\sqrt {-1}}=&-i\mathrm {\frac {M-N\left(H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)}{K'^{2}-\left(H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)^{2}}} \lambda ,\\\nu \ \pm {\mathfrak {N}}\ \ {\sqrt {-1}}=&-i\mathrm {\frac {M'-N'\left(2H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)}{2\left[K^{2}-\left(2H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)^{2}\right]}} \left(\mu '\pm {\mathfrak {M}}'{\sqrt {-1}}\right),\\\end{aligned}}\right.$

d’où l’on voit que les quantités $\mu '$ et ${\mathfrak {M}}'$ seront de l’ordre de $i,$ et les quantités $\nu$ et ${\mathfrak {N}}$ de celui de $i^{2}.$

Dans le second cas on trouvera d’abord $\mu '=0,\ {\mathfrak {M}}'=0,$ et par conséquent $\lambda =0,\ \nu =0$ et ${\mathfrak {N}}=0\,;$ ensuite on aura

$\mu \pm {\mathfrak {M}}{\sqrt {-1}}=-i\mathrm {\frac {M'+N'\left(H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)}{K^{2}-\left(H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)^{2}}} \lambda ',$

et

$\nu '\pm {\mathfrak {N}}'{\sqrt {-1}}=-i\mathrm {\frac {M-N\left(2H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)}{2\left[K'^{2}-\left(2H\pm \rho {\sqrt {-1}}\right)^{2}\right]}} \left(\mu \pm {\mathfrak {M}}{\sqrt {-1}}\right),$

d’où l’on tirera $\mu ,{\mathfrak {M}},\nu '$ et ${\mathfrak {N}}'.$

Ayant ainsi les valeurs de tous les coefficients, on achèvera le calcul comme on a fait dans le numéro précédent, et l’on aura, à l’aide des deux valeurs de $\rho ^{2},$ deux équations finales qui serviront à trouver $y$ et $y'.$

Il y a cependant un cas qui demande une discussion particulière ; c’est celui où le coefficient $\mathrm {H}$ serait presque égal à $\mathrm {K-K'} ,$ la différence n’étant que de l’ordre de $i\,;$ nous allons l’examiner dans les numéros suivants.

Analyse du cas où $\mathrm {H}$ est presque égal à $\mathrm {K-K'} .$

60. Soient

$\mathrm {K} =h+ik,\quad \mathrm {K} '=h'+ik'\quad {\text{et}}\quad \mathrm {H} =h-h',$

en sorte que

$\mathrm {H=K-K'} +i(k-k').$

Je fais

$\rho {\sqrt {-1}}=h+im,$

c’est-à-dire

$\rho =-(h+im){\sqrt {-1}},$

ce qui me donne

$\rho ^{2}+\mathrm {K} ^{2}=-2ih(m-k)-2i^{2}\left(m^{2}-k^{2}\right),$

et les équations (Y) et (Z) du numéro précédent se changeront en celles-ci :

${\begin{aligned}(a)&\qquad 2h(m-k)+i\left(m^{2}-k^{2}\right)={\frac {1}{\lambda }}\left[{\frac {\mathrm {M} '}{2}}\mu '-{\frac {\mathrm {N} '(h+im)}{2}}{\mathfrak {M}}'{\sqrt {-1}}\right],\\(b)&\qquad \quad \mu '\pm {\mathfrak {M}}'{\sqrt {-1}}=-i{\frac {\mathrm {M-N} \left[h-h'\pm (h+im)\right]}{(h'+ik')^{2}-\left[h-h'\pm (h+im)\right]^{2}}}\lambda ,\\(c)&\ \ \nu \pm {\mathfrak {N}}{\sqrt {-1}}=-{\frac {i}{2}}{\frac {\mathrm {M'+N'} \left[2h-2h'\pm (h+im)\right]}{2(h+ik)^{2}-\left[2h-2h'\pm (h+im)\right]^{2}}}\left(\mu '\pm {\mathfrak {M}}'{\sqrt {-1}}\right),\end{aligned}}$

d’où l’on tirera les valeurs de $m,\mu ',{\mathfrak {M}}',\nu$ et ${\mathfrak {N}}.$

L’équation $(b)$ étant prise en $-$ donnera

$\mu '-{\mathfrak {M}}'{\sqrt {-1}}=-i{\frac {\mathrm {M+N} (h'+im)}{(h'+ik')^{2}-(h'+im)^{2}}}\lambda .$

Or

${\begin{aligned}\left[(h'+ik')^{2}+(h'+im)^{2}=2ih'(k'-m)+i^{2}\left(k'^{2}-m^{2}\right)\right]&\\=-i(m-k')\left[2h+i\left(m+k'\right)\right]\,;&\end{aligned}}$

donc, faisant cette substitution, et divisant ensuite le haut et le bas de la fraction par $i,$ on aura

$\mu '-{\mathfrak {M}}'{\sqrt {-1}}={\frac {\mathrm {M+N} (h'+im)}{(m-k')\left[2h'+i(m+k')\right]}}\lambda ,$

équation dans laquelle je remarque que la quantité $i$ ne se trouve plus qu’au premier degré ; de sorte que cette équation ne doit être regardée comme exacte qu’aux quantités de l’ordre de $i^{2}$ près. C’est pourquoi il faudra négliger dans la suite toutes les quantités de ce même ordre.

Prenons maintenant l’équation (b) en $+,$ et nous aurons, en rejetant les termes de l’ordre de $i^{2},$

$\mu '+{\mathfrak {M}}'{\sqrt {-1}}=-i{\frac {\mathrm {M-N} (2h-h')}{h'^{2}-(2h-h')^{2}}}\lambda .$

Donc

${\begin{aligned}\mu '=&{\frac {1}{2}}\left\{{\frac {\mathrm {M+N} (h'+im)}{(m-k')\left[2h'+i(m+k')\right]}}+i{\frac {\mathrm {M-N} (2h-h')}{4h(h-h')}}\right\}\lambda ,\\{\mathfrak {M}}'=&{\frac {1}{2}}\left\{{\frac {\mathrm {M+N} (h'+im)}{(m-k')\left[2h'+i(m+k')\right]}}-i{\frac {\mathrm {M-N} (2h-h')}{4h(h-h')}}\right\}\lambda ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire, en faisant

${\begin{aligned}\alpha =&{\frac {\mathrm {N} m}{4h'(m-k')}}-{\frac {(\mathrm {M+N} h')(m+k')}{8h'^{2}(m-k')}}+{\frac {\mathrm {M-N} (2h-h'}{8h(h-h')}}\\{\mathfrak {A}}=&{\frac {\mathrm {N} m}{4h'(m-k')}}-{\frac {(\mathrm {M+N} h')(m+k')}{8h'^{2}(m-k')}}+{\frac {\mathrm {M-N} (2h-h'}{8h(h-h')}},\end{aligned}}$

$\mu '=\left[{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}+i\alpha \right]\lambda ,\qquad {\mathfrak {M}}'=\left[{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}+i{\mathfrak {A}}\right]\lambda {\sqrt {-1}}.$

Ces valeurs étant substituées dans l’équation $(a),$ il viendra

${\begin{aligned}2h&(m-k)+i\left(m^{2}-k^{2}\right)\\&={\frac {\mathrm {M} '(\mathrm {M+N} h')}{8h'(m-k')}}+i\alpha {\frac {\mathrm {M} '}{2}}+{\frac {\mathrm {N} '(\mathrm {M+N} h)(h+im)}{8h'(m-k')}}+i{\mathfrak {A}}{\frac {\mathrm {N} 'h}{2}},\end{aligned}}$

ou multipliant par ${\frac {m-k'}{2h}}$ et réduisant,

$(m-k)(m-k')-{\frac {(\mathrm {M+N} h')(\mathrm {M'+N'} h)}{16hh'}}$

$+i\left[(m^{2}-k^{2})(m-k')-{\frac {(\mathrm {M+N} h)\mathrm {N} 'm}{16hh'}}-{\frac {(\alpha \mathrm {M} '+{\mathfrak {A}}\mathrm {N} 'h)(m-k')}{4h}}\right]=0.$

De sorte que si l’on fait

$\Delta =(m^{2}-k^{2})(m-k')-{\frac {(\mathrm {M+N} h)\mathrm {N} 'm}{16hh'}}-{\frac {(\alpha \mathrm {M} '+{\mathfrak {A}}\mathrm {N} 'h)(m-k')}{4h}},$

on aura

$(d)\qquad \qquad (m-k)(m-k')-{\frac {(\mathrm {M+N} h')(\mathrm {M'+N'} h)}{16hh'}}+i\Delta =0,$

équation d’où l’on tirera deux valeurs de $m$ que j’appellerai $m_{1}$ et $m_{2}.$

Si l’on néglige le terme $i\Delta ,$ on aura les premières valeurs approchées de $m_{1}$ et de $m_{2}\,;$ et substituant ensuite ces valeurs dans l’expression de $\Delta ,$ on aura les valeurs de $m_{1}$ et de $m_{2}$ aux quantités de l’ordre de $i^{2}$ près.

Enfin l’équation $(c)$ donnera, en substituant les valeurs de $\mu '$ et de ${\mathfrak {M}}',$ et négligeant les termes de l’ordre de $i^{2},$

$\nu \pm {\mathfrak {N}}{\sqrt {-1}}=-i{\frac {\mathrm {M+N} (2h-2h'\pm h)}{h^{2}-(2h-2h'\pm h)^{2}}}{\frac {\mathrm {M+N} h'}{8h'(m-k')}}(1\mp 1)\lambda ,$

d’où, en faisant

$\beta =-{\frac {\mathrm {M+N} (h-2h')}{4h'(h-h')}}{\frac {\mathrm {M+N} h'}{8h'(m-k')}},$

on aura

$\nu =i\beta \lambda ,\qquad {\mathfrak {N}}=i\beta \lambda {\sqrt {-1}}.$

À l’égard des autres coefficients, savoir : $\lambda ',\mu ,{\mathfrak {M}},\nu '$ et ${\mathfrak {N}}',$ ils seront tous égaux à zéro, comme nous l’avons vu dans le numéro précédent.

61. On fera maintenant ces différentes substitutions dans l’équation intégrale (X) du n^o 58, et l’on aura, en rejetant les termes de l’ordre de $i^{2},$

$(e)\left\{{\begin{aligned}&\left\langle {\frac {dy}{dt}}+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}\left({\frac {du'}{dt}}+{\frac {dU'}{dt}}{\sqrt {-1}}\right)\right.\\&\qquad +hy{\sqrt {-1}}+(h-2\mathrm {H} ){\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}\left(u'{\sqrt {-1}}-U'\right),\\&\qquad +i\left\{\alpha {\frac {du'}{dt}}+{\mathfrak {A}}{\frac {dU'}{dt}}{\sqrt {-1}}+\beta \left({\frac {dv}{dt}}+{\frac {dV}{dt}}{\sqrt {-1}}\right)\right.\\&\qquad \qquad +\left[m-{\frac {\mathrm {N} '(\mathrm {M+N} h')}{8h'(m-k')}}\right]y{\sqrt {-1}}\\&\qquad \qquad +\left[{\frac {\mathrm {(M+N} h')m}{4h'(m-k')}}+h\alpha -2\mathrm {H} {\mathfrak {A}}\right]u'{\sqrt {-1}}\\&\qquad \qquad +\left[\mathrm {N+2H} \alpha -{\frac {(\mathrm {M+N} h')m}{4h'(m-k')}}-h{\mathfrak {A}}\right]U'\\&\qquad \qquad +\left.\left.\left[{\frac {\mathrm {N} '(\mathrm {M+N} h')}{8h'(m-k')}}+(h-4H)\beta \right]\left(v{\sqrt {-1}}-V\right)\right\}\right\rangle e^{(h+im)t{\sqrt {-1}}}\\&=\int \left\{\mathrm {T} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}\mathrm {T} '\left(\cos \mathrm {H} t+\sin \mathrm {H} t{\sqrt {-1}}\right)\right.\\&\qquad \qquad +i\left[\beta \mathrm {T} \left(\cos 2\mathrm {H} t+\sin 2\mathrm {H} t{\sqrt {-1}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+\mathrm {T} '\left(\alpha \cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {A}}\sin \mathrm {H} t{\sqrt {-1}}\right]\right\}e^{-(h+im)t{\sqrt {-1}}}dt.\end{aligned}}\right.$

Supposons que cette intégrale soit prise de telle manière qu’elle soit nulle lorsque $t=0,$ et qu’alors on ait

$y=f,\quad {\frac {dy}{dt}}=g,\quad y'=f',\quad {\frac {dy'}{dt}}=g',$

et par conséquent

$u'=f',\ \ {\frac {du'}{dt}}=g',\ \ U'=0,\ \ {\frac {dU'}{dt}}=\mathrm {H} f',\ \ v=f,\ \ {\frac {dv}{dt}}=g,\ \ V=0,$

et (n^o 58)

${\frac {dV}{dt}}=2\mathrm {H} f,$

il est clair qu’il faudra ajouter au second membre de l’équation précé-

dente, la quantité

${\begin{aligned}g+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}\left(g'+\mathrm {H} f'{\sqrt {-1}}\right)+hf{\sqrt {-1}}+(h-2\mathrm {H} ){\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}f'{\sqrt {-1}}\ \ \ &\\+i\left\{\alpha g'+{\mathfrak {A}}\mathrm {H} f'{\sqrt {-1}}+\beta \left(g+2\mathrm {H} f{\sqrt {-1}}\right)+\left[m-{\frac {\mathrm {N} '(\mathrm {M+N} h')}{8h'(m-k')}}\right]f{\sqrt {-1}}\right.\ \ \ &\\+\left[{\frac {(\mathrm {M+N} h')m}{4h'(m-k')}}+h\alpha -\ 2\mathrm {H} {\mathfrak {A}}\right]f'{\sqrt {-1}}\ \ \ &\\+\left.\left[{\frac {\mathrm {N} '(\mathrm {M+N} h')}{8h'(m-k')}}+(h-4\mathrm {H} )\beta \right]f{\sqrt {-1}}\right\},\end{aligned}}$

c’est-à-dire, à cause de $\mathrm {H} =h-h',$

${\begin{aligned}g&+hf{\sqrt {-1}}+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}\left(g'+h'f'{\sqrt {-1}}\right)\\&+i\left\{\alpha g'+\beta g+\left[{\frac {(\mathrm {M+N} h')m}{4h'(m-k')}}+h\alpha -2\mathrm {H} {\mathfrak {A}}\right]f'{\sqrt {-1}}\right.&\\\end{aligned}}$

$+\left.\left[m-(h-2h')\beta \right]f{\sqrt {-1}}{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right\}.$

62. Pour rendre le calcul plus simple, nous négligerons d’abord les termes de l’ordre de $i\,;$ moyennant quoi l’équation $(e)$ deviendra, en mettant $h-h'$ au lieu de $\mathrm {H} ,$ et $e^{(h-h')t{\sqrt {-1}}}$ au lieu de $\cos \mathrm {H} t+\sin \mathrm {H} t{\sqrt {-1}},$

$(f)\left\{{\begin{aligned}&\left\langle {\frac {dy}{dt}}+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}\left[{\frac {du'}{dt}}+(h-2h')U'\right]\right.\\&\qquad +\left.\left\{hy+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}\left[{\frac {dU'}{dt}}-(h-2h')u'\right]\right\}{\sqrt {-1}}\right\rangle e^{-(h+im)t{\sqrt {-1}}}\\&=g+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}g'+\left[hf+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}f'\right]{\sqrt {-1}}\\&\qquad +\int \left[\mathrm {T} e^{-(h+im)t{\sqrt {-1}}}+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}\mathrm {T} 'e^{-(h'+im)t{\sqrt {-1}}}\right]dt\end{aligned}}\right.$

Si l’on multiplie cette équation par $e^{(h+im)t{\sqrt {-1}}},$ qu’ensuite, après avoir réduit les exponentielles imaginaires en sinus et cosinus, on compare la partie imaginaire du premier membre à la partie imaginaire du second, et qu’on fasse, pour abréger,

${\begin{aligned}\theta =&\sin \left[(h+im)t\right]\int \mathrm {T} \cos[(h+im)t]dt\\-&\cos \left[(h+im)t\right]\int \mathrm {T} \sin[(h+im)t]dt,\\\vartheta =&\sin \left[(h+im)t\right]\int \mathrm {T} '\cos[(h'+im)t]dt\\-&\cos \left[(h+im)t\right]\int \mathrm {T} '\sin[(h'+im)t]dt.\end{aligned}}$

on aura l’équation suivante

${\begin{aligned}hy&+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}\left[{\frac {dU'}{dt}}-(h-2h')u'\right]\\&=\left[hf+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}f'\right]\cos \left[(h+im)t\right]\end{aligned}}$

$+\left[g+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}g'\right]\sin \left[(h+im)t\right]+\theta +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}\vartheta .$

laquelle, en mettant successivement $m_{1}$ et $m_{2}$ à la place de $m,$ et dénotant par $\theta _{1}$ et $\theta _{2},$ $\vartheta _{1}$ et $\vartheta _{2}$ les valeurs correspondantes de $\theta$ et des $\vartheta$ en fournira deux autres, dont la seconde étant multipliée par ${\frac {m_{2}-k'}{h(m_{1}-m_{2})}},$ et ensuite retranchée de la première aussi multipliée par ${\frac {m_{1}-k'}{h(m_{1}-m_{2})}}\,;$ on aura

$(g)\left\{{\begin{aligned}y&=\left[\ \ {\frac {m_{1}-k'}{m_{1}-m_{2}}}\,f\ \ +\ \ {\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h(m_{1}-m_{2})}}f'\ \right]\cos \left[(h+im_{1})t\right]\\&-\left[{\frac {m_{1}-k'}{h(m_{1}-m_{2})}}g+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4hh'(m_{1}-m_{2})}}g'\right]\sin \left[(h+im_{1})t\right]\\&-\left[\ \ \ {\frac {m_{2}-k'}{m_{1}-m_{2}}}f\ \ +\ \ {\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h(m_{1}-m_{2})}}f'\ \right]\cos \left[(h+im_{2})t\right]\\&-\left[{\frac {m_{2}-k'}{h(m_{1}-m_{2})}}g+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4hh'(m_{1}-m_{2})}}g'\right]\sin \left[(h+im_{2})t\right]\\&+{\frac {m_{1}-k'}{h(m_{1}-m_{2})}}\theta _{1}-{\frac {m_{2}-k'}{h(m_{1}-m_{2})}}\theta _{2}-{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4hh'(m_{1}-m_{2})}}\left(\vartheta _{1}-\vartheta _{2}\right).\end{aligned}}\right.$

63. Il faudrait maintenant faire un calcul semblable pour trouver la valeur de $y',$ en employant les autres formules du n^o 59 ; mais sans entrer dans un nouveau détail à cet égard, il suffira de considérer que les équations proposées (T) et (U), dans lesquelles $\mathrm {H} =h-h',$ sont telles que l’une se change en l’autre, en marquant seulement d’un trait les lettres $y,\mathrm {K,M,N} ,h,\mathrm {T} ,$ et effaçant celui des lettres $y',\mathrm {K',M',N'} ,h',\mathrm {T} '\,;$ d’où il s’ensuit que pour avoir l’expression de $y'$ il ne faudra que mettre dans celle de $y,f',g',h',k',\mathrm {M',N',T'}$ au lieu de $y,f,g,h,k,\mathrm {M,N,T}$ et vice versâ.

À l’égard des valeurs de $m,$ on remarquera qu’en négligeant le terme $i\Delta ,$ elles seront les mêmes pour les deux cas, puisque les quantités $M,N,$$h,k$ et $\mathrm {M',N'} ,h',k'$ entrent de la même manière dans l’équation $(d)$ du n^o 60.

64. Ayant trouvé les premières valeurs de $y$ et de $y',$ si l’on veut avoir une plus grande précision et tenir compte aussi des quantités de l’ordre de $i,$ on nommera ces valeurs $\mathrm {y}$ et $\mathrm {y} ',$ et on désignera de même par $\mathrm {u',U',v}$ et $\mathrm {V}$ les valeurs correspondantes des quantités $u',U',v$ et $V\,;$ ensuite on supposera

$y=y+iy^{\star },\qquad u'=u'+iu'^{\star },\qquad U'=\mathrm {U} '+iU'^{\star },$

et l’on fera ces substitutions dans l’équation $(e)$ du n^o 61, en négligeant les termes de l’ordre de $i^{2}\,;$ après quoi on effacera tous les termes qui ne seront point affectés de $i,$ parce que ces termes se détruiront d’eux-mêmes, en vertu de l’équation $(f),$ et l’on divisera les autres par $i.$ De cette manière on aura

$\left\langle {\frac {dy^{\star }}{dt}}+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}\left({\frac {du'^{\star }}{dt}}+(h-2h')U'^{\star }\right)\right.$

${\begin{aligned}&+\left[hy^{\star }+{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m-k')}}\left({\frac {dU'^{\star }}{dt}}-(h-2h')u'^{\star }\right)\right]{\sqrt {-1}}\\&+\alpha {\frac {d\mathrm {u} '}{dt}}+\beta {\frac {d\mathrm {v} }{dt}}+\left(\mathrm {N+2H} \alpha -{\frac {(\mathrm {M+N} h')m}{4h(m-k')}}-h{\mathfrak {A}}\right)\mathrm {U} '\\&-\left({\frac {\mathrm {N} '(\mathrm {M+N} h')}{8h'(m-k')}}+(h-4\mathrm {H} )\beta \right)\mathrm {V} \end{aligned}}$

$+\left[{\mathfrak {A}}{\frac {d\mathrm {U} '}{dt}}+\beta {\frac {d\mathrm {V} }{dt}}+(m-{\frac {\mathrm {N} '(\mathrm {M+N} h')}{8h'\left(m-k'\right)}}y\right.$

${\begin{aligned}&+\left({\frac {(\mathrm {M+N} h')m}{4h'(m-k')}}+h\alpha -2\mathrm {H} {\mathfrak {A}}\right)\mathrm {u} '\\&+\left.\left.\left({\frac {\mathrm {N} (\mathrm {M+N} h')}{8h'(m-k')}}+(h-4\mathrm {H} )\beta \right)\mathrm {v} \right]\right\rangle e^{-(h+im)t{\sqrt {-1}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}=\alpha g'&+\beta g+\left[\left({\frac {(\mathrm {M+N} h')m}{4h'(m-k')}}+h\alpha -\mathrm {H} {\mathfrak {A}}\right)f'+(m-(h-2h')\beta \right]{\sqrt {-1}}\\&+\int \left[\beta \mathrm {T} \left(\cos 2\mathrm {H} t+\sin 2\mathrm {H} t{\sqrt {-1}}\right)\right.\end{aligned}}$

$\left.+\mathrm {T} '\left(\alpha \cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {A}}\sin \mathrm {H} t{\sqrt {-1}}\right)\right]e^{-(h+im)t{\sqrt {-1}}}dt.$

On traitera cette équation comme on a fait ci-devant l’équation $(f),$ et supposant, pour abréger,

${\begin{aligned}\varphi &=\sin \left[(h+im)t\right]\int \mathrm {T} \cos \left[(2h'-h+im)t\right]dt\\&-\cos \left[(h+im)t\right]\int \mathrm {T} \sin \left[(2h'-h+im)t\right]dt,\\\\\chi &=\sin \left[(h+im)t\right]\int \mathrm {T} '\cos \left[(h'+im)t\right]dt\\&-\cos \left[(h+im)t\right]\int \mathrm {T} '\sin \left[(h'+im)t\right]dt,\\\\\psi &=\sin \left[(h+im)t\right]\int \mathrm {T} '\cos \left[(2h-h'+im)t\right]dt\\&-\cos \left[(h+im)t\right]\int \mathrm {T} '\sin \left[(2h-h'+im)t\right]dt,\end{aligned}}$

et de plus

${\begin{aligned}\gamma &=m-{\frac {\mathrm {N} '(\mathrm {M+N} h')}{8h'(m-k')}},\\\delta &={\frac {(\mathrm {M+N} h')m}{4h'(m-k')}}+h\alpha -2\mathrm {H} {\mathfrak {A}},\\\varepsilon &={\frac {\mathrm {N} '(\mathrm {M+N} h')}{8h'(m-k')}}+(h-4\mathrm {H} )\beta ,\\\zeta &=\alpha g'+\beta g,\\\eta &=\left[{\frac {(\mathrm {M+N} h')m}{4h'(m-k')}}+h\alpha -\mathrm {H} {\mathfrak {A}}\right]f'+\left[m-(h-2h')\beta \right]f,\end{aligned}}$

on trouvera

${\begin{aligned}y^{\star }={\frac {m_{1}-k'}{h(m_{1}-m_{2})}}\left[\eta _{1}\cos[(h+im_{1})t]+\zeta _{1}\sin \left[(h+im_{1})t\right]\right.\qquad &\\+{\mathfrak {A}}_{1}{\frac {d\mathrm {U} '}{dt}}+\beta _{1}{\frac {d\mathrm {V} '}{dt}}+\gamma _{1}\mathrm {y+\delta _{1}u'+\varepsilon _{1}v} \quad &\\\left.+\beta _{1}\varphi _{1}+{\frac {\alpha _{1}+{\mathfrak {A}}_{1}}{2}}\chi _{1}+{\frac {\alpha _{1}-{\mathfrak {A}}_{1}}{2}}\psi _{1}\right]&\\-{\frac {m_{2}-k'}{h(m_{1}-m_{2})}}\left[\eta _{2}\cos[(h+im_{2})t]+\zeta _{2}\sin \left[(h+im_{2})t\right]\right.\qquad &\\+{\mathfrak {A}}_{2}{\frac {d\mathrm {U} '}{dt}}+\beta _{2}{\frac {d\mathrm {V} '}{dt}}+\gamma _{2}\mathrm {y+\delta _{2}u'+\varepsilon _{2}v} \quad &\\\left.+\beta _{2}\varphi _{2}+{\frac {\alpha _{2}+{\mathfrak {A}}_{2}}{2}}\chi _{2}+{\frac {\alpha _{2}-{\mathfrak {A}}_{2}}{2}}\psi _{2}\right]&\end{aligned}}$

$\eta _{1},\eta _{2},\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots$ étant les valeurs de $\eta ,\zeta ,\ldots$ qui répondent à $m_{1}$ et $m_{2}.$

Si l’on voulait encore pousser la précision plus loin, il faudrait alors reprendre les calculs du n^o 58, et y avoir égard aux quantités de l’ordre de $i^{3}$ que nous y avons négligées.

65. Soit $\mathrm {T=AP} ,$ $\mathrm {A}$ étant une quantité constante, et $\mathrm {P}$ une fonction de $\mathrm {P}$ telle, que

${\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}+a^{2}\mathrm {P} =0\,;$

on aura donc

$\int \mathrm {T} \cos \left[(h+im)t\right]dt=\mathrm {A} \int \mathrm {P} \cos \left[(h+im)t\right]dt,$

et

${\begin{aligned}\int \mathrm {P} \cos \left[(h+im)t\right]dt=&-{\frac {1}{a^{2}}}\int {\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}\cos \left[(h+im)t\right]dt\\=&-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\cos \left[(h+im)t\right]-{\frac {h+im}{a^{2}}}\mathrm {P} \sin \left[(h+im)t\right]\\&+{\frac {(h+im)^{2}}{a^{2}}}\int \mathrm {P} \cos \left[(h+im)t\right]dt\end{aligned}}$

en intégrant par parties ; donc, supposant que l’intégrale

$\int \mathrm {P} \cos \left[(h+im)t\right]dt$

soit prise de manière qu’elle soit nulle lorsque $t=0,$ et qu’alors on ait ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}}=\alpha ,$ on aura

${\begin{aligned}\int &\mathrm {P} \cos \left[(h+im)t\right]dt\\&=\left[(h+im)\mathrm {P} \sin \left[(h+im)t\right]+{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\cos \left[(h+im)t\right]-\alpha \right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times {\frac {1}{(h+im)^{2}-a^{2}}}.\end{aligned}}$

On trouvera de même, en prenant $\beta$ pour ce que devient $\mathrm {P}$ lorsque $t=0,$

${\begin{aligned}\int &\mathrm {P} \sin \left[(h+im)t\right]dt\\&=\left[-(h+im)\mathrm {P} \cos \left[(h+im)t\right]+{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\sin \left[(h+im)t\right]+(h+im)\beta \right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times {\frac {1}{(h+im)^{2}-a^{2}}}.\end{aligned}}$

De sorte qu’on aura (n^o 62)

$\theta ={\frac {\mathrm {A} }{(h+im)^{2}-a^{2}}}\left[(h+im)\mathrm {P} -\alpha \sin[(h+im)t]-\beta (h+im)\cos \left[(h+im)t\right]{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right].$

Pareillement, si l’on a

$\mathrm {T} =\mathrm {A} '\mathrm {P} '\quad {\text{et}}\quad {\frac {d^{2}\mathrm {P} '}{dt^{2}}}+a'2\mathrm {P} '=0,$

et que $\alpha ',\beta '$ soient les valeurs de+et de ${\frac {d\mathrm {P} '}{dt}}$ et de $\mathrm {P} '$ quand $t=0,$ on trouvera

${\begin{aligned}\vartheta ={\frac {\mathrm {A} '}{(h'+im)^{2}-a'^{2}}}&\left[(h'+im)\mathrm {P} \cos \left[(h-h')t\right]+{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\sin \left[(h-h')t\right]\right.\\&\quad \left.-\alpha '\sin \left[(h'+im)t\right]-\beta '(h'+im)\cos \left[(h'+im)t\right]{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right].\end{aligned}}$

Donc, si l’on a

$\mathrm {T=AP+BQ+CR} +\ldots$

et

${\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}+a^{2}\mathrm {P} =0,\quad {\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}+b^{2}\mathrm {Q} =0,\quad {\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}+c^{2}\mathrm {R} =0,\ldots ,$

et de même

$\mathrm {T'=A'P'+B'Q'+C'R'} +\ldots$

et

${\frac {d^{2}\mathrm {P} '}{dt^{2}}}+a'^{2}\mathrm {P} '=0,\quad {\frac {d^{2}\mathrm {Q} '}{dt^{2}}}+b'^{2}\mathrm {Q} '=0,\quad {\frac {d^{2}\mathrm {R} '}{dt^{2}}}+c'^{2}\mathrm {R} '=0,\ldots ,$

et qu’on fasse

${\begin{aligned}\Theta =&{\frac {\mathrm {A} }{h^{2}-a^{2}}}\mathrm {P} +{\frac {\mathrm {B} }{h^{2}-b^{2}}}\mathrm {Q} +{\frac {\mathrm {C} }{h^{2}-c^{2}}}\mathrm {R} +\ldots ,\\\Theta '=&{\frac {\mathrm {A} '}{h'^{2}-a'^{2}}}\mathrm {P} '+{\frac {\mathrm {B} '}{h'^{2}-b'^{2}}}\mathrm {Q} '+{\frac {\mathrm {C} '}{h'^{2}-c'^{2}}}\mathrm {R} '+\ldots ,\\\end{aligned}}$

et de plus

$\mathrm {F} =f-\Lambda ,\quad \mathrm {G} =g-\Gamma ,\quad \mathrm {F} '=f'-\Lambda ',\quad \mathrm {G} '=g'-\Gamma '$

$(\Lambda ,\Gamma ;\Lambda '$ et $\Gamma '$ étant les valeurs de $\Theta ,{\frac {d\Theta }{dt}},\Theta '$ et ${\frac {d\Theta '}{dt}},$ lorsque $t=0$), la formule $(g)$ du n^o 62 donnera, en négligeant les termes de l’ordre de $i,$

$(h)\left\{{\begin{aligned}y&=\left[{\frac {m_{1}-k'}{m_{1}-m_{2}}}\quad \ \mathrm {F} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m_{1}-m_{2})}}\ \ \,\mathrm {F} '\right]\cos \left[(h+im_{1})t\right]\\&+\left[{\frac {m_{1}-k'}{h(m_{1}-m_{2})}}\mathrm {G} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4hh'(m_{1}-m_{2})}}\mathrm {G} '\right]\sin \left[(h+im_{1})t\right]\\&-\left[{\frac {m_{2}-k'}{m_{1}-m_{2}}}\quad \ \ \mathrm {F} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h'(m_{1}-m_{2})}}\ \ \,\mathrm {F} '\right]\cos \left[(h+im_{2})t\right]\\&-\left[{\frac {m_{2}-k'}{h(m_{1}-m_{2})}}\mathrm {G} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4hh'(m_{1}-m_{2})}}\mathrm {G} '\right]\sin \left[(h+im_{2})t\right]+\Theta .\end{aligned}}\right.$

Par là on aura la valeur de $y$ lorsque les fonctions $T$ et $\mathrm {T} '$ seront exprimées par des suites quelconques de différents sinus et cosinus d’angles multiples de $t.$

Il faut observer que si $a$ était égal ou presque égal à $h,$ il ne serait pas permis de négliger les termes affectés de $i$ dans l’expression de $\theta ,$ et l’on trouverait alors dans la valeur de $y$ des termes dont les coefficients seraient très-grands ; il en faudra dire autant du cas où $a'$ ne serait que très-peu différent de $h'\,;$ nous en laissons le détail au Lecteur.

Mais, si $a$ était exactement égal à $h+im,$ le dénominateur $a^{2}-(h+im)^{2}$ de l’expression de $\theta$ deviendrait égal à zéro, et comme cette quantité n’est point infinie, le numérateur correspondant serait aussi égal à zéro dans ce cas-là ; faisant donc

$h+im=a+\omega ,$

et regardant $\omega$ comme une quantité évanouissante, on trouverait

$\theta ={\frac {\mathrm {A} }{2a}}\left[\alpha t\cos at+\beta (\cos at-at\sin at)-\mathrm {P} -a{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\right]\,;$

de sorte que la formule $(h)$ contiendrait des termes multipliés par l’angle $t.$ Il en serait de même si $a'=h'+im.$ Au reste ces deux cas sont susceptibles de remarques analogues à celle que nous avons faite à la fin n^o 52.

66. Comme les quantités $m,$ etm_2 sont les racines d’une équation du second degré (n^o 60), il peut arriver qu’elles soient égales ou imaginaires ; ainsi il ne sera pas inutile de nous arrêter ici à discuter ces deux cas.

1^o Si $m_{2}=m_{1},$ je fais $m_{2}=m_{1}+\omega$ ($\omega$ étant une quantité évanouissante), ce qui me donne

${\frac {m_{1}-k'}{m_{1}-m_{2}}}=-{\frac {m_{1}-k'}{\omega }},\quad {\frac {m_{2}-k'}{m_{1}-m_{2}}}=-{\frac {m_{1}-k'}{\omega }}-1,$

$\quad {\frac {\mathrm {M+N} h'}{m_{1}-m_{2}}}=-{\frac {\mathrm {M+N} h'}{\omega }},$

et

${\begin{aligned}\cos[(h+im_{2})t]=&\cos \left[(h+im_{1})t\right]-it\omega \sin \left[(h+im_{1})t\right],\\\sin[(h+im_{2})t]=&\sin \left[(h+im_{1})t\right]+it\omega \cos \left[(h+im_{1})t\right]\,;\end{aligned}}$

donc, faisant ces substitutions dans la formule $(h),$ on aura, après avoir effacé ce qui se détruit,

${\begin{aligned}y=&\mathrm {F} \cos \left[(h+im_{1})t\right]+{\frac {\mathrm {G} }{h}}\sin \left[(h+im_{1})t\right]\\&-i\left[(m_{1}-k')\mathrm {F} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h}}\mathrm {F} '\right]t\sin \left[(h+im_{1})t\right]\\&-i\left[{\frac {m_{1}-k'}{h}}\mathrm {G} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4hh'}}\mathrm {G} '\right]t\cos \left[(h+im_{1})t\right]+\Theta .\end{aligned}}$

Mais il faut bien remarquer que, pour que cette équation ait lieu, il faut que les valeurs de $m$ soient égales rigoureusement et sans rien négliger. (Voyez le numéro cité ci-dessus.)

2^o Si $m_{1}$ et $m_{2}$ sont imaginaires, en sorte que

$m_{1}=\mu +\nu {\sqrt {-1}}\quad {\text{et}}\quad m_{2}=\mu -\nu {\sqrt {-1}},$

on aura

${\frac {m_{1}-k'}{m_{1}-m_{2}}}={\frac {\mu -k'}{2\nu {\sqrt {-1}}}}+{\frac {1}{2}},\quad {\frac {m_{2}-k'}{m_{1}-m_{2}}}={\frac {\mu -k'}{2\nu {\sqrt {-1}}}}-{\frac {1}{2}},$

${\frac {\mathrm {M+N} h'}{m_{1}-m_{2}}}={\frac {\mathrm {M+N} h'}{2\nu {\sqrt {-1}}}}$

ensuite on trouvera

${\begin{aligned}\cos \left[(h+im_{1})t\right]=&\cos \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}+e^{-i\nu t}}{2}}+\sin \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}-e^{-i\nu t}}{2{\sqrt {-1}}}},\\\sin \left[(h+im_{1})t\right]=&\sin \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}+e^{-i\nu t}}{2}}-\cos \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}-e^{-i\nu t}}{2{\sqrt {-1}}}},\\\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}\cos \left[(h+im_{2})t\right]=&\cos \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}+e^{-i\nu t}}{2}}-\sin \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}-e^{-i\nu t}}{2{\sqrt {-1}}}},\\\sin \left[(h+im_{2})t\right]=&\sin \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}+e^{-i\nu t}}{2}}+\cos \left[(h+i\mu )t\right]{\frac {e^{i\nu t}-e^{-i\nu t}}{2{\sqrt {-1}}}}.\end{aligned}}$

Ces substitutions faites, on verra que les imaginaires se détruiront dans la formule $(h),$ et qu’elle deviendra

${\begin{aligned}y=&\left[\mathrm {F} \cos \left[(h+i\mu )t\right]+{\frac {\mathrm {G} }{h}}\sin \left[(h+i\mu )t\right]\right]{\frac {e^{i\nu t}+e^{-i\nu t}}{2}}\\&\quad -\left[\left({\frac {\mu -k'}{\nu }}\mathrm {F} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h\nu }}\mathrm {F} '\right)\sin \left[(h+i\mu )t\right]\right.\end{aligned}}$

$-\left.\left({\frac {\mu -k'}{h\nu }}\mathrm {G} +{\frac {\mathrm {M+N} h'}{4hh'\nu }}\mathrm {G} '\right)\cos \left[(h+i\mu )t\right]\right]{\frac {e^{i\nu t}-e^{-i\nu t}}{2}}+\Theta .$

Ainsi, dans le cas où l’équation $(d)$ a ses deux racines imaginaires, la valeur de $y$ contient nécessairement des exponentielles toutes réelles, et qui croissent à l’infini à mesure que $t$ croit.

Application de la solution précédente à la théorie de Jupiter
et de Saturne.

67. Soient $\mathrm {I}$ la masse du Soleil, $\mathrm {J}$ celle de Jupiter, $r$ le rayon vecteur de l’orbite de cette planète projetée sur le plan de l’écliptique (plan que nous regarderons comme absolument fixe et immobile $\varphi$ l’angle décrit par le rayon $r,$ pendant le temps $t,$ et $q$ la tangente de la latitude héliocentrique de Jupiter.

Soient de même $\mathrm {J} '$ la masse de Saturne, $r'$ le rayon vecteur de son orbite réduit au plan de l’écliptique, $\varphi '$ l’angle décrit par ce rayon durant le même temps $t,$ et $q'$ la tangente de la latitude héliocentrique de Saturne.

Enfin, soient la perpendiculaire menée du centre de Jupiter sur le plan de l’écliptique $p,$ la perpendiculaire menée du centre de Saturne sur le même plan $p',$ la distance de Jupiter au Soleil, c’est-à-dire le rayon mené du Soleil à Jupiter, $u,$ la distance de Saturne au Soleil $u',$ et la distance de Jupiter à Saturne $v,$ en sorte que

$p-rq,\qquad p'=r'q',\quad u={\sqrt {r^{2}+p^{2}}}=r{\sqrt {1+q^{2}}},\quad u'={\sqrt {1+q'^{2}}},$

et

${\begin{aligned}v&={\sqrt {\left[r\sin(\varphi -\varphi ')\right]^{2}+\left[r'-r\cos(\varphi -\varphi ')\right]^{2}+(p-p')^{2}}}\\&={\sqrt {r^{2}\left(1+q^{2}\right)-2rr'\left[\cos(\varphi -\varphi ')+qq'\right]+r^{2}\left(1+q'^{2}\right)}}\end{aligned}}$

et supposant

${\begin{aligned}\mathrm {R} \ =&\mathrm {J} '\left[{\frac {r-r'\cos(\varphi -\varphi ')}{v^{3}}}+{\frac {r'\cos(\varphi -\varphi ')}{u'^{3}}}\right],\\\mathrm {Q} \ =&\mathrm {J} '\left({\frac {r'}{v^{3}}}-{\frac {r'}{u'^{3}}}\right)r\sin(\varphi -\varphi '),\\\mathrm {P} \ =&\mathrm {J} '\left({\frac {p-p'}{v^{3}}}+{\frac {p'}{u'^{3}}}\right),\\\mathrm {R} '=&\mathrm {J} \ \left[{\frac {r-r'\cos(\varphi '-\varphi )}{v^{3}}}+{\frac {r\cos(\varphi '-\varphi )}{u^{3}}}\ \right],\\\mathrm {Q} '=&\mathrm {J} \ \left({\frac {r}{v^{3}}}-{\frac {r}{u^{3}}}\right)r'\sin(\varphi '-\varphi ),\\\mathrm {P} '=&\mathrm {J} \ \left({\frac {p'-p}{v^{3}}}+{\frac {p}{u^{3}}}\right),\end{aligned}}$

on aura les six équations suivantes (voyez les Articles XIV et XVI du Mémoire intitulé : Application de la méthode précédente, etc.,

p. 385 et. 389) ;

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {rd\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+(\mathrm {I+J} ){\frac {r}{u^{3}}}+\mathrm {R} =0,\\&{\frac {d(r^{2}d\varphi )}{dt^{2}}}+\mathrm {Q} =0,\\&{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+(\mathrm {I+J} ){\frac {p}{u^{3}}}+\mathrm {P} =0,\\&{\frac {d^{2}r'}{dt^{2}}}-{\frac {r'd\varphi '^{2}}{dt^{2}}}+(\mathrm {I+J'} ){\frac {r'}{u'^{3}}}+\mathrm {R} '=0,\\&{\frac {d(r'^{2}d\varphi ')}{dt^{2}}}+\mathrm {Q} '=0,\\&{\frac {d^{2}p'}{dt^{2}}}+(\mathrm {I+J'} ){\frac {p'}{u'^{3}}}+\mathrm {P} '=0,\end{aligned}}$

dont les trois premières représentent le mouvement de Jupiter dérangé par Saturne, et les trois autres celui de Saturne dérangé par Jupiter.

D’où l’on voit que, quand on aura calculé les dérangements de Jupiter, les mêmes formules serviront à calculer ceux de Saturne, puisqu’il n’y aura qu’à changer $r',\varphi ',p',u',\mathrm {J} '$ en $r,\varphi ,p,u,\mathrm {J} ,$ et vice versâ.

68. Puisque $p=rq,$ l’équation

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+(\mathrm {I+J} ){\frac {p}{u^{3}}}+\mathrm {P} =0$

deviendra, en divisant par $r,$

${\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+{\frac {2dqdr}{rdt^{2}}}+q{\frac {d^{2}r}{rdt^{2}}}+(\mathrm {I+J} ){\frac {q}{u^{3}}}+{\frac {\mathrm {P} }{r}}=0,$

et, mettant au lieu de ${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}$ sa valeur tirée de la première équation, on aura, après avoir effacé ce qui se détruit,

${\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+q{\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {2dqdr}{rdt^{2}}}+{\frac {\mathrm {P-R} q}{r}}=0.$

Ensuite l’équation, ${\frac {d(r^{2}d\varphi )}{dt^{2}}}+\mathrm {Q} =0$ donnera

${\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}=c-\int \mathrm {Q} dt,$

$c$ étant une constante arbitraire ; d’où l’on tire

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {c-\int \mathrm {Q} dt}{r^{2}}}.$

Donc les équations du mouvement de Jupiter seront, à cause de $u=r{\sqrt {1+q^{2}}},$

$(i)\qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}&-{\frac {\left(c-\int \mathrm {Q} dt\right)^{2}}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {I+J} }{r^{2}\left(1+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {R} =0,\\{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}&+q{\frac {\left(c-\int \mathrm {Q} dt\right)^{2}}{r^{4}}}+{\frac {2dqdr}{rdt^{2}}}+{\frac {\mathrm {P-R} q}{r}}=0,\\{\frac {d\varphi }{dt}}\ &-{\frac {c-\int \mathrm {Q} dt}{r^{2}}}=0.\end{aligned}}\right.$

69. Les équations $(i)$ donneront $r,q$ et $\varphi$ en $t\,;$ d’où l’on connaîtra le lieu de la planète à chaque instant. Si l’on voulait de plus avoir l’orbite qu’elle décrit, on n’aurait qu’à éliminer le temps $t$ au moyen de l’équation

${\frac {d\left(r^{2}d\varphi \right)}{dt^{2}}}+\mathrm {Q} =0,$

laquelle étant multipliée par $2r^{2}d\varphi ,$ et ensuite intégrée, donne

$\left({\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}\right)^{2}+2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi =\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire ; d’où l’on tire

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {\mathrm {C} -2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}}.$

Et cette valeur étant substituée dans les deux premières des équations $(i),$ on aura, en prenant $d\varphi$ constant au lieu de $dt,$ et faisant

${\frac {1}{r}}=s,\quad \mathrm {R} r^{2}+\mathrm {Q} {\frac {dr}{d\varphi }}=U,\quad r^{3}\left(\mathrm {P-R} q+\mathrm {Q} {\frac {dq}{rd\varphi }}\right)=V,$

les équations suivantes :

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}s}{d\varphi ^{2}}}+s&+{\frac {(\mathrm {I+J} )\left(1+q^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}+U}{\mathrm {C} -2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}=0,\\{\frac {d^{2}q}{d\varphi ^{2}}}+q&+{\frac {V}{\mathrm {C} -2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}=0,\end{aligned}}$

70. Supposons que les forces perturbatrices $\mathrm {R,Q,P}$ soient nulles, en sorte que l’orbite soit décrite en vertu de la seule force tendant au centre du Soleil, et les équations que nous venons de trouver deviendront

${\frac {d^{2}s}{d\varphi ^{2}}}+s-{\frac {\mathrm {I+J} }{\mathrm {C} \left(1+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=0,\quad {\frac {d^{2}q}{d\varphi ^{2}}}+q=0,$

lesquelles étant intégrées donneront

$q=\varepsilon \sin(\varphi -\alpha ),\quad s=\mathrm {\frac {I+J}{D}} {\sqrt {1+q^{2}}}+\eta \cos(\varphi -\omega ).$

$\varepsilon ,\alpha ,\eta$ et $\omega$ étant des constantes arbitraires, et $\mathrm {D}$ étant égal à $\mathrm {C} \left(1+\varepsilon ^{2}\right).$

La première de ces deux formules nous montre que l’orbite est toute dans un plan fixe passant par le centre des rayons $r,$ et coupant ce plan de manière que $\varepsilon$ soit la tangente de l’inclinaison, et $\alpha$ le lieu du nœud ascendant.

La seconde fait voir que l’orbite est une ellipse dont le foyer est dans le centre même des rayons vecteurs $r\,;$ et pour en déterminer l’espace et la position on considérera que si l’on nomme $\Phi$ et ${\mathfrak {A}}$ les angles dont $\varphi$ et $\alpha$ sont les projections, on aura, $\Phi -{\mathfrak {A}}$ étant l’argument de latitude, et $\varphi -\alpha$ sa projection,

${\frac {\cos(\varphi -\alpha )}{\cos(\Phi -{\mathfrak {A}})}}={\sqrt {1+q^{2}}},\quad {\frac {\sin(\varphi -\alpha )}{\sin(\Phi -{\mathfrak {A}})}}={\frac {\sqrt {1+q^{2}}}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}},$

et par conséquent

$\cos(\varphi -\alpha )={\sqrt {1+q^{2}}}\cos(\Phi -{\mathfrak {A}}),\quad \sin(\varphi -\alpha )={\frac {\sqrt {1+q^{2}}}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}\sin(\Phi -{\mathfrak {A}})\,;$

donc

${\begin{aligned}\cos(\varphi -\omega )=&cos(\varphi -\alpha +\alpha -\omega )\\=&\cos(\varphi -\alpha )\cos(\alpha -\omega )-\sin(\varphi -\alpha )\sin(\alpha -\omega )\\=&\left[\cos(\alpha -\omega )\cos(\Phi -{\mathfrak {A}})-{\frac {\sin(\alpha -\omega )}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}\sin(\Phi -{\mathfrak {A}})\right]{\sqrt {1+q^{2}}}\,;\end{aligned}}$

et faisant, pour plus de simplicité,

$\cos(\alpha -\omega )={\mathcal {E}}\cos({\mathfrak {A-B}}),\quad {\frac {\sin(\alpha -\omega )}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}={\mathcal {E}}\sin({\mathfrak {A-B}}),$

ce qui donne

${\mathcal {E}}={\sqrt {\frac {1+\varepsilon ^{2}\cos(\alpha -\omega )^{2}}{1+\varepsilon ^{2}}}}\quad {\text{et}}\quad \operatorname {tang} ({\mathfrak {A-B}})={\frac {\operatorname {tang} (\alpha -\omega )}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}},$

on aura

$\cos(\varphi -\omega )={\mathcal {E}}\cos(\Phi -{\mathfrak {B}}){\sqrt {1+q^{2}}}\,;$

donc

${\frac {s}{\sqrt {1+q^{2}}}}=\mathrm {\frac {I+J}{D}} +\eta {\mathcal {E}}\cos(\Phi -{\mathfrak {B}}).$

Or $s={\frac {1}{r}},$ et $r{\sqrt {1+q^{2}}}=u$ rayon vecteur de l’orbite réelle ; donc l’équation de cette orbite sera

$u={\frac {1}{\mathrm {\cfrac {I+J}{D}} +\eta {\mathcal {E}}\cos(\Phi -{\mathfrak {B}})}},$

laquelle est visiblement celle d’une ellipse dont $\mathrm {\frac {I+J}{D}}$ est le paramètre et $\eta {\mathcal {E}}$ l’excentricité. À l’égard de la position du grand axe de cette ellipse, il est clair que $\Phi ={\mathfrak {B}}$ donnera le lieu du périhélie, et pour avoir l’angle correspondant $\varphi ,$ que nous nommerons $\beta ,$ on observera que

$\operatorname {tang} (\varphi -\alpha )={\frac {\operatorname {tang} (\Phi -{\mathfrak {A}})}{\sqrt {1+\varepsilon }}},$

de sorte qu’on aura

$\operatorname {tang} (\beta -\alpha )={\frac {\operatorname {tang} ({\mathfrak {B-A}})}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}={\frac {\operatorname {tang} (\omega -\alpha )}{1+\varepsilon ^{2}}}.$

71. Imaginons maintenant que l’effet des forces perturbatrices consiste à faire varier les quantités $\varepsilon ,\alpha ,\eta$ et $\omega ,$ en sorte que l’orbite soit représentée par une ellipse qui change continuellement d’espace et de position ; nous aurons donc

1^o $q=\varepsilon \sin(\varphi -\alpha )$ et ${\frac {dq}{d\varphi }}=\varepsilon \cos(\varphi -\alpha )+{\frac {d\varepsilon }{d\varphi }}\sin(\varphi -\alpha )-{\frac {d\alpha }{d\varphi }}\varepsilon \cos(\varphi -\alpha )\,;$

or, puisqu’on a deux indéterminées $\varepsilon$ et $\alpha ,$ dont l’une peut être tout ce qu’on voudra, nous supposerons

$\sin(\varphi -\alpha )d\varepsilon =\varepsilon \cos(\varphi -\alpha )d\alpha ,$

ce qui donnera

${\frac {dq}{d\varphi }}=\varepsilon \cos(\varphi -\alpha ),$

de sorte que la variation instantanée de la latitude sera la même que si le plan de l’orbite ne changeait point de position. Donc, en mettant ${\frac {\varepsilon \cos(\varphi -\alpha )d\alpha }{\sin(\varphi -\alpha )d\alpha }}$ pour $d\varepsilon ,$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}q}{d\varphi ^{2}}}=&-\varepsilon \sin(\varphi -\alpha )+{\frac {d\varepsilon }{d\varphi }}\cos(\varphi -\alpha )+{\frac {d\alpha }{d\varphi }}\varepsilon \sin(\varphi -\alpha )\\=&-\varepsilon \sin(\varphi -\alpha )+{\frac {\varepsilon d\alpha }{\sin(\varphi -\alpha )d\varphi }}.\end{aligned}}$

Donc on aura, au lieu de l’équation

${\frac {d^{2}q}{d\varphi ^{2}}}+q+{\frac {V}{\mathrm {C} -2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}=0,$

ces deux-ci :

${\frac {\varepsilon d\alpha }{\sin(\varphi -\alpha )d\varphi }}+{\frac {V}{{\cfrac {\mathrm {D} }{1+\varepsilon ^{2}}}-2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}=0,$

${\frac {d\varepsilon }{\varepsilon }}-{\frac {d\alpha }{\operatorname {tang} (\varphi -\alpha )}}=0,$

par lesquelles on connaîtra le mouvement de la ligne des nœuds, et la variation de l’inclinaison de l’orbite.

2^o On aura

$s=\mathrm {\frac {I+J}{D}} {\sqrt {1+q^{2}}}+\eta \cos(\varphi -\omega ),$

d’où l’on tire

${\frac {ds}{d\varphi }}=\mathrm {\frac {I+J}{D}} {\frac {qdq}{d\varphi {\sqrt {1+q^{2}}}}}-\eta \sin(\varphi -\omega )+{\frac {d\eta }{d\varphi }}\cos(\varphi -\omega )+{\frac {d\omega }{d\varphi }}\eta \sin(\varphi -\omega ).$

Supposons ici, à l’imitation de ce que nous venons de faire plus haut,

$\cos(\varphi -\omega )d\eta =-\eta \sin(\varphi -\omega )d\omega ,$

de manière que l’on ait simplement

${\frac {ds}{d\varphi }}={\frac {I+J}{D}}{\frac {qdq}{d\varphi {\sqrt {1+q^{2}}}}}-\eta \sin(\varphi -\omega ),$

c’est-à-dire que la variation instantanée du rayon $r={\frac {1}{s}}$ soit la même que si l’ellipse demeurait constante, et différentiant cette valeur de ${\frac {ds}{d\varphi }},$ on trouvera

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}s}{d\varphi ^{2}}}=&\mathrm {\frac {I+J}{D}} \left[{\frac {dq^{2}+qd^{2}q}{d\varphi ^{2}{\sqrt {1+q^{2}}}}}-{\frac {q^{2}dq^{2}}{d\varphi ^{2}\left(1+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&-\eta \cos(\varphi -\omega )-{\frac {d\eta }{d\varphi }}\sin(\varphi -\omega )+{\frac {d\omega }{d\varphi }}\eta \cos(\varphi -\omega )\,;\end{aligned}}$

or, à cause de ${\frac {dq^{2}}{d\varphi ^{2}}}+q^{2}=\varepsilon ^{2},$

${\frac {dq^{2}}{d\varphi ^{2}{\sqrt {1+q^{2}}}}}-{\frac {q^{2}dq^{2}}{d\varphi ^{2}\left(1+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {dq^{2}}{d\varphi ^{2}\left(1+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {\varepsilon ^{2}-q^{2}}{\left(1+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$

$={\frac {1+\varepsilon ^{2}}{\left(1+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {1}{\sqrt {1+q^{2}}}}\,;$

de plus

${\frac {d^{2}q}{d\varphi ^{2}}}=-q-{\frac {V}{\mathrm {C} -2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }},$

donc

${\begin{aligned}{\frac {qd^{2}q}{d\varphi ^{2}{\sqrt {1+q^{2}}}}}=&-{\frac {q^{2}}{\sqrt {1+q^{2}}}}-{\frac {q}{\sqrt {1+q^{2}}}}{\frac {V}{\mathrm {C} -2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}\\=&-{\sqrt {1+q^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {1+q^{2}}}}-{\frac {q}{\sqrt {1+q^{2}}}}{\frac {V}{\mathrm {C} -2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}\,;\end{aligned}}$

donc on aura, à cause de $d\eta =-{\frac {\eta \sin(\varphi -\omega )}{r\cos(\varphi -\omega )}}d\omega ,$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}s}{d\varphi ^{2}}}=&\mathrm {\frac {I+J}{D}} \left[{\frac {1+\varepsilon ^{2}}{\left(1+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\sqrt {1+q^{2}}}-{\frac {q}{\sqrt {1+q^{2}}}}{\frac {V}{\mathrm {C} -2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}\right]\\&-\eta \cos(\varphi -\omega )+{\frac {\eta d\omega }{d\varphi \cos(\varphi -\omega )}}.\end{aligned}}$

De sorte que l’équation

${\frac {d^{2}s}{d\varphi ^{2}}}+s-{\frac {(\mathrm {I+J} )\left(1+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}+U}{\mathrm {C} -2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}=0$

se changera en ces deux-ci :

${\frac {\eta d\omega }{\cos(\varphi -\omega )d\varphi }}-{\frac {\mathrm {U} +\mathrm {\cfrac {I+J}{D}} \left[2{\cfrac {1+\varepsilon ^{2}}{\left(1+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi +{\cfrac {q}{\sqrt {1+q^{2}}}}V\right]}{{\cfrac {\mathrm {D} }{1+\varepsilon ^{2}}}-2\int \mathrm {Q} r^{2}d\varphi }}=0,$

${\frac {d\eta }{\eta }}+\operatorname {tang} (\varphi -\omega )d\varphi =0,$

lesquelles serviront à trouver $\eta$ ets $\omega .$

Au reste, dès qu’on aura trouvé $r$ et $q$ en $\varphi ,$ ou bien $r,q$ et $\varphi$ en $t,$ on pourra, si l’on veut, trouver tout de suite les valeurs de $\alpha ,\varepsilon ,\omega$ et $\eta$ car les équations

$q=\varepsilon \sin(\varphi -\omega ),\quad {\frac {dq}{d\varphi }}=\varepsilon \cos(\varphi -\omega )$

donneront

$\varepsilon ={\sqrt {q^{2}+\left({\frac {dq}{d\varphi }}\right)^{2}}},\quad \operatorname {tang} (\varphi -\omega )={\frac {qd\varphi }{dq}}.$

Et de même, les équations

$s=\mathrm {\frac {I+J}{D}} {\sqrt {1+q^{2}}}+\eta \cos(\varphi -\omega ),\quad {\frac {ds}{d\varphi }}=\mathrm {\frac {I+J}{D}} {\frac {qdq}{d\varphi {\sqrt {1+q^{2}}}}}-\eta \sin(\varphi -\omega )$

donneront, en faisant, pour abréger, $\mathrm {S} -\mathrm {\frac {I+J}{D}} {\sqrt {1+q^{2}}}=u,$

$\eta ={\sqrt {u^{2}+\left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}}},\quad \operatorname {tang} (\varphi -\omega )=-{\frac {du}{ud\varphi }}.$

72. Les observations nous apprennent que le mouvement de Jupiter autour du Soleil est à peu près circulaire et uniforme, et que le plan de son orbite ne fait qu’un très-petit angle avec celui de l’écliptique ; d’où il s’ensuit que si l’on nomme $a$ la distance moyenne de Jupiter au Soleil, et $h$ sa vitesse angulaire moyenne, on pourra supposer

$r=a(1+iy),\quad \varphi =ht+ix,\quad q=iz,$

$y,x,z$ étant des quantités variables, et $i$ un coefficient très-petit, où il faut remarquer que les valeurs de $y$ et de ${\frac {dx}{dt}}$ ne doivent renfermer aucun terme tout constant ; autrement, contre l’hypothèse, $a$ et $h$ ne seraient plus les valeurs moyennes de $r$ et de ${\frac {d\varphi }{dt}}.$

Cela posé, si l’on fait ces substitutions dans les équations $(i)$ du n^o 68, et qu’on divise la première par $a,$ on aura, en poussant la précision jusqu’aux quantités de l’ordre de $i^{3},$

${\begin{aligned}i{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&-{\frac {\left(c-\int \mathrm {Q} dt\right)^{2}}{a^{4}}}\left(1-3iy+6i^{2}y^{2}-10i^{3}y^{3}\right)\\&+{\frac {\mathrm {I+J} }{a^{3}}}\left(1-2iy+3i^{2}y^{2}-{\frac {3}{2}}i^{2}z^{2}-4i^{3}y^{3}+3i^{3}yz^{2}\right)+{\frac {\mathrm {R} }{a}}=0.\\i{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&+i{\frac {\left(c-\int \mathrm {Q} dt\right)^{2}}{a^{4}}}z\left(1-4iy+10i^{2}y^{2}\right)\\&+2i^{2}\left({\frac {dzdy}{dt^{2}}}-iy{\frac {dzdy}{dt^{2}}}\right)+{\frac {\mathrm {P-R} q}{r}}=0.\\h+i&{\frac {dx}{dt}}-{\frac {c-\int \mathrm {Q} dt}{a^{2}}}\left(1-2iy+3i^{2}y^{2}-4i^{3}y^{3}\right)=0.\end{aligned}}$

On voit d’abord par ces équations que les quantités

$-{\frac {\left(c-\int \mathrm {Q} dt\right)^{2}}{a^{4}}}+{\frac {\mathrm {I+J} }{a^{3}}}+{\frac {\mathrm {R} }{a}},\quad {\frac {\mathrm {P-R} q}{r}}\quad {\text{et}}\quad h-{\frac {c-\int \mathrm {Q} dt}{a^{2}}}$

doivent être chacune très-petites de l’ordre de $i,$ pour que les hypothèses que nous avons faites puissent subsister.

Supposons donc

$(k)\quad {\frac {c-\int \mathrm {Q} dt}{a^{2}}}=h+iX,\quad {\frac {\mathrm {I+J} }{a^{3}}}+{\frac {\mathrm {R} }{a}}=h^{2}+i\mathrm {Y} ,\quad {\frac {\mathrm {P-Q} q}{r}}=i\mathrm {Z} ,$

et les équations précédentes étant divisées par $i$ deviendront, en faisant $b={\frac {\mathrm {I+J} }{a^{3}}},$

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(3h^{2}-2b\right)y+\mathrm {Y} -2h\mathrm {X} -i\left(6h^{2}-3b\right)y^{2}-{\frac {3}{2}}ibz^{2}+6ihy\mathrm {X} -i\mathrm {X} ^{2}$

$+i^{2}\left(10h^{2}-4b\right)y^{3}+3i^{2}byz^{2}-12i^{2}hy^{2}\mathrm {X} +3i^{2}y\mathrm {X} ^{2}=0,$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&+h^{2}z+Z-4ih^{2}zy+2i{\frac {dzdy}{dt^{2}}}+2ihzX\\&+10i^{2}h^{2}zy^{2}-2i^{2}{\frac {dzdy}{dt^{2}}}y-8i^{2}hzy\mathrm {X} +i^{2}z\mathrm {X} ^{2}=0.\\{\frac {dx}{dt}}&+2hy-\mathrm {X} -3ihy^{2}+2iy\mathrm {X} +4i^{2}hy^{3}-3i^{2}y^{2}\mathrm {X} =0.\end{aligned}}$

Si l’on nomme de même $a'$ la distance moyenne de Saturne au Soleil, $h'$ sa vitesse angulaire moyenne, et qu’on suppose

$r'=a'(1+iy'),\quad \varphi '=h't+ix',\quad q'=iz',$

on aura les mêmes équations que ci-devant, en marquant seulement les lettres d’un trait.

73. Il faut maintenant faire les mêmes substitutions dans les valeurs de $\mathrm {P,Q,R} ,$ et premièrement dans celle de ${\frac {1}{v^{3}}}$ qui entre dans la valeur de ces quantités ; mais, pour rendre le calcul plus simple, nous n’aurons égard dans cette opération qu’aux termes de l’ordre de $i,$ une plus grande précision étant d’ailleurs inutile dans la présente recherche.

Mettons d’abord $a(1+iy)$ à la place de $r,$ et $a'(i+iy')$ à la place de $r',$ et nous aurons, en négligeant les termes $q^{2},qq'$ et $q'^{2},$ qui seraient du second ordre, et faisant, pour plus de simplicité, $\varphi -\varphi '=\theta ,$

$v={\sqrt {a^{2}(1+2iy)-2aa'(1+iy+iy')\cos \theta +a'^{2}(1+2iy')}},$

savoir

$v={\sqrt {a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}+2i\left(a^{2}y+a'^{2}y'\right)-2iaa'(y+y')\cos \theta }},$

d’où l’on tire par les séries

${\begin{aligned}{\frac {1}{v^{3}}}&=\left[a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3i\left[a^{2}y+a'^{2}y'-aa'(y+y')\cos \theta \right]\left[a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}.\end{aligned}}$

Or les quantités

$\left[a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\quad {\text{et}}\quad \left[a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}$

étant irrationnelles, il est nécessaire de les réduire à une forme rationnelle, sans quoi l’intégration des équations proposées ne réussirait point.

Pour cela je remarque qu’en faisant $a'=\alpha a,$ la question se réduit à changer en une fonction rationnelle une quantité de cette forme $\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s},$ dans laquelle $\alpha$ est une fraction moindre que l’unité. Or, puisque

$1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}=\left[1-\alpha \left(\cos \theta +\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]\left[1-\alpha \left(\cos \theta -\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right],$

on élèvera la quantité $1-\alpha \left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)$ à la puissance $-s\,:$ ce qui, à cause de

$\left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)^{m}=\cos m\theta \pm \sin m\theta {\sqrt {-1}},$

donnera

${\begin{aligned}\end{aligned}}$

$\left[1-\alpha \left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-s}$

${\begin{aligned}=1&+s\alpha \left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)+{\frac {s(s+1)}{2}}\alpha ^{2}\left(\cos 2\theta \pm \sin 2\theta {\sqrt {-1}}\right)\\&+{\frac {s(s+1)(s+2)}{2.3}}\alpha ^{3}\left(\cos 3\theta \pm \sin 3\theta {\sqrt {-1}}\right)+\ldots .\end{aligned}}$

De sorte que, si l’on fait

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&1+s\alpha \cos \theta +{\frac {s(s+1)}{2}}\alpha ^{2}\cos 2\theta +{\frac {s(s+1)(s+2)}{2.3}}\alpha ^{3}\cos 3\theta +\ldots ,\\\mathrm {Q} =&s\alpha \sin \theta +{\frac {s(s+1)}{2}}\alpha ^{2}\sin 2\theta +{\frac {s(s+1)(s+2)}{2.3}}\alpha ^{3}\sin 3\theta +\ldots ,\end{aligned}}$

on aura

$\left[1-\alpha (\cos \theta +\sin \theta {\sqrt {-1}})\right]^{-s}=\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}}$

et

$\left[1-\alpha (\cos \theta -\sin \theta {\sqrt {-1}})\right]^{-s}=\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}}$.

Donc

$\left(i-2a\cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s}=\mathrm {P^{2}+Q^{2}} .$

Or, si l’on fait les carrés des deux séries $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ et qu’on ajoute ensemble les termes qui auront le même coefficient, en faisant attention que

$\cos m\theta \cos n\theta 9+\sin m\theta \sin n\theta =\cos(m-n)\theta ,$

on trouvera

$\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s}={\mathfrak {A}}+{\mathfrak {B}}\cos \theta +{\mathfrak {C}}cos2\theta +{\mathfrak {D}}\cos 3\theta +\ldots ,$

les coefficients ${\mathfrak {A,B,C}},\ldots$ étant exprimés de la manière suivante :

${\begin{aligned}{\mathfrak {A}}\ =&1+s^{2}\alpha ^{2}+\left[{\frac {s(s+1)}{2}}\right]^{2}\alpha ^{4}+\left[{\frac {s(s+1)(s+2)}{2.3}}\right]^{2}\alpha ^{6}+\ldots ,\\{\frac {\mathfrak {B}}{2}}=&s\alpha +s{\frac {s(s+1)}{2}}\alpha ^{3}+{\frac {s(s+1)}{2}}{\frac {s(s+1)(s+2)}{2.3}}\alpha ^{5}+\ldots ,\\{\frac {\mathfrak {C}}{2}}=&{\frac {s(s+1)}{2}}\alpha ^{2}+s{\frac {s(s+1)(s+2)}{2.3}}\alpha ^{4}+{\frac {s(s+1)}{2}}{\frac {s(s+1)(s+2)(s+3)}{2.3.4}}\alpha ^{6}+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Au reste, quand on aura déterminé par ces séries les deux premiers coefficients ${\mathfrak {A}}$ et ${\mathfrak {B}},$ on trouvera tous les suivants d’une manière très-simple et très-facile ; car, si l’on prend les différentielles logarithmiques de l’équation

$\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s}={\mathfrak {A+B}}\cos \theta +{\mathfrak {C}}\cos 2\theta +\ldots ,$

et qu’après avoir multiplié les deux membres en croix on compare terme à terme, on aura, comme M. Euler l’a trouvé le premier dans ses Recherches sur le mouvement de Saturne,

${\mathfrak {C}}={\frac {\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {B}}-2s\alpha {\mathfrak {A}}}{(2-s)\alpha }},$

${\begin{aligned}{\mathfrak {D}}&={\frac {2\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {C}}-(1+s)\alpha {\mathfrak {B}}}{(3-s)\alpha }},\\{\mathfrak {E}}&={\frac {3\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {D}}-(2+s)\alpha {\mathfrak {C}}}{(4-s)\alpha }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Connaissant ainsi tous les coefficients de la série qui représente $\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s},$ on trouvera tout de suite ceux de la série qui exprime $\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-s-1}\,;$ car, dénotant ces derniers par ${\mathfrak {P,Q,R}},\ldots ,$ il faudra que la série ${\mathfrak {P+Q}}\cos \theta +{\mathfrak {R}}\cos 2\theta +\ldots ,$ étant multipliée par $1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2},$ devienne égale à la série ${\mathfrak {A+B}}\cos \theta +{\mathfrak {C}}\cos 2\theta +\ldots ,$ La multiplication faite, on trouvera, en comparant les deux premiers termes,

${\mathfrak {A}}=\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {P}}-\alpha {\mathfrak {Q}}\quad {\text{et}}\quad {\mathfrak {B}}=\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {Q}}-2\alpha {\mathfrak {P}}-\alpha {\mathfrak {R}}.$

Or ${\mathfrak {R}}$ est donné en ${\mathfrak {P}}$ et ${\mathfrak {Q}}$ de la même manière que ${\mathfrak {C}}$ est donné en ${\mathfrak {A}}$ et ${\mathfrak {B}},$ de sorte qu’on aura, en mettant $s+1$ à la place de $s,$

${\mathfrak {R}}={\frac {\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {Q}}-2(s+1)\alpha {\mathfrak {P}}}{(1-s)\alpha }}.$

Donc, substituant cette valeur de ${\mathfrak {R}}$ on aura deux équations en ${\mathfrak {A,B,P}}$ et ${\mathfrak {Q}},$ d’où l’on tirera

${\begin{aligned}{\mathfrak {P}}&={\frac {\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {A}}+{\cfrac {s-1}{s}}\alpha {\mathfrak {B}}}{(1-\alpha ^{2})^{2}}},\\{\mathfrak {Q}}&={\frac {{\cfrac {s-1}{s}}\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {B}}+4\alpha {\mathfrak {A}}}{(1-\alpha ^{2})^{2}}}.\end{aligned}}$

Ensuite on aura

${\begin{aligned}{\mathfrak {S}}&={\frac {2\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {R}}-(2+s)\alpha {\mathfrak {Q}}}{(2-s)\alpha }},\\{\mathfrak {T}}&={\frac {3\left(1+\alpha ^{2}\right){\mathfrak {S}}-(3+s)\alpha {\mathfrak {R}}}{(3-s)\alpha }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Tout se réduit donc à trouver les valeurs de ${\mathfrak {A}}$ et de ${\mathfrak {B}}$ lorsque $s={\frac {3}{2}}\,;$ or les séries ci-dessus donnent, pour ce cas,

${\begin{aligned}{\mathfrak {A}}\ &=1+{\frac {9}{4}}\alpha ^{2}+{\frac {9.25}{4.16}}\alpha ^{4}+{\frac {9.25.49}{4.16.36}}\alpha ^{6}+\ldots ,\\{\frac {\mathfrak {B}}{2}}&={\frac {3}{2}}\alpha +{\frac {9.5}{4.4}}\alpha ^{3}+{\frac {9.25.7}{4.16.6}}\alpha ^{5}+\ldots ,\end{aligned}}$

lesquelles, à cause de $\alpha ={\frac {5}{2}}$ environ, dans la théorie de Jupiter et de Saturne, seront assez convergentes pour qu’on puisse se contenter d’un petit nombre de termes.

Pour faciliter le calcul de ces deux séries, lesquelles peuvent aussi être d’usage dans plusieurs autres occasions, je vais donner ici les logarithmes des différentes puissances de $\alpha$ qui entrent dans les valeurs de ${\mathfrak {A}}$ et de ${\frac {\mathfrak {B}}{2}}.$

${\begin{array}{|l|c|l|c|l|c|}\hline \\&\mathrm {LOGARITHMES} &&\mathrm {LOGARITHMES} &&\mathrm {LOGARITHMES} \\&\mathrm {des} &&\mathrm {des} &&\mathrm {des} \\&\mathrm {coefficients} .&&\mathrm {coefficients} .&&\mathrm {coefficients} .\\\\\hline \alpha &0,1760913&\alpha ^{15}&1,0207661&\alpha ^{29}&1,2880049\\\alpha ^{2}&0,3521825&\alpha ^{16}&1,0470951&\alpha ^{30}&1,3022454\\\alpha ^{3}&0,4490925&\alpha ^{17}&1,0705762&\alpha ^{31}&1,3156093\\\alpha ^{4}&0,5460025&\alpha ^{18}&1,0940573&\alpha ^{32}&1,3289733\\\alpha ^{5}&0,6129493&\alpha ^{19}&1,1152466&\alpha ^{33}&1,3415624\\\alpha ^{6}&0,6798961&\alpha ^{20}&1,1364359&\alpha ^{34}&1,3541515\\\alpha ^{7}&0,73l0486&\alpha ^{21}&1,1557410&\alpha ^{35}&1,3660508\\\alpha ^{8}&0,7822012&\alpha ^{22}&1,1750462&\alpha ^{36}&1,3779500\\\alpha ^{9}&0,8235939&\alpha ^{23}&1,1927749&\alpha ^{37}&1,3892310\\\alpha ^{10}&0,8649865&\alpha ^{24}&1,2105037&\alpha ^{38}&1,4005120\\\alpha ^{11}&0,8997486&\alpha ^{25}&1,2268941&\alpha ^{39}&1,4112359\\\alpha ^{12}&0,9345108&\alpha ^{26}&1,2432845&\alpha ^{40}&1,4219598\\\alpha ^{13}&0,9644740&\alpha ^{27}&1,2585245&\ldots &\ldots \ldots \ldots \\\alpha ^{14}&0,9944372&\alpha ^{28}&1,2737645&\ldots &\ldots \ldots \ldots \\\\\hline \end{array}}$

En examinant cette Table il est aisé de voir que les différences des logarithmes forment une progression décroissante ; d’où il s’ensuit que si, après avoir pris la somme d’un nombre quelconque de termes de l’une ou de l’autre série, on en regarde le reste comme une progression géométrique, l’erreur sera toujours moindre que la somme de cette progression ; ainsi il sera aisé de juger de la quantité de l’approximation.

74. Supposons donc

$\left(a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}={\mathfrak {A_{1}+B_{1}}}\cos \theta +{\mathfrak {C}}_{1}\cos 2\theta +{\mathfrak {D}}_{1}\cos 3\theta +\ldots$

et

$\left(a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}={\mathfrak {P_{1}+Q_{1}}}\cos \theta +{\mathfrak {R}}_{1}\cos 2\theta +{\mathfrak {S}}_{1}\cos 3\theta +\ldots$

et nous aurons

${\frac {1}{v^{3}}}={\mathfrak {A_{1}+B_{1}}}\cos \theta +{\mathfrak {C}}_{1}\cos 2\theta +{\mathfrak {D}}_{1}\cos 3\theta +\ldots$

$-3iy\left[a^{2}{\mathfrak {P}}_{1}-aa'{\frac {{\mathfrak {Q}}_{1}}{2}}+\left(a^{2}{\mathfrak {Q}}_{1}-aa'{\mathfrak {P}}_{1}-aa'{\frac {{\mathfrak {R}}_{1}}{2}}\right)\cos \theta \right.$

$\left.+\left(a^{2}{\mathfrak {R}}_{1}-aa'{\frac {{\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {S}}_{1}}{2}}\right)\cos 2\theta +\ldots \right]$

$-3iy'\left[a'^{2}{\mathfrak {P}}_{1}-aa'{\frac {{\mathfrak {Q}}_{1}}{2}}+\left(a'^{2}{\mathfrak {Q}}_{1}-aa'{\mathfrak {P}}_{1}-aa'{\frac {{\mathfrak {R}}_{1}}{2}}\right)\cos \theta \right.$

$\left.+\left(a'^{2}{\mathfrak {R}}_{1}-aa'{\frac {{\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {S}}_{1}}{2}}\right)\cos 2\theta +\ldots \right],$

ou bien

${\begin{aligned}{\frac {1}{v^{3}}}=&{\mathfrak {A_{1}+B_{1}}}\cos \theta +{\mathfrak {C}}_{1}\cos 2\theta +{\mathfrak {D}}_{1}\cos 3\theta +\ldots \\&+iy\ \left({\mathfrak {P_{2}+Q_{2}}}\cos \theta +{\mathfrak {R}}_{2}\cos 2\theta +{\mathfrak {S}}_{2}\cos 3\theta +\ldots \right)\\&+iy'\left({\mathfrak {P_{3}+Q_{3}}}\cos \theta +{\mathfrak {R}}_{3}\cos 2\theta +{\mathfrak {S}}_{3}\cos 3\theta +\ldots \right),\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}{\mathfrak {P}}_{2}&=3\left(aa'{\frac {{\mathfrak {Q}}_{1}}{2}}-a^{2}{\mathfrak {P}}_{1}\right),\\{\mathfrak {Q}}_{2}&=3\left(aa'{\frac {2{\mathfrak {P_{1}+R_{1}}}}{2}}\,-a^{2}{\mathfrak {Q}}_{1}\right),\\{\mathfrak {R}}_{2}&=3\left(aa'{\frac {\mathfrak {Q_{1}+S_{1}}}{2}}\,\ \ -a^{2}{\mathfrak {R}}_{1}\right),\\{\mathfrak {S}}_{2}&=3\left(aa'{\frac {\mathfrak {R_{1}+T_{1}}}{2}}\quad -a^{2}{\mathfrak {S}}_{1}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\mathfrak {P}}_{3}&=3\left(aa'{\frac {{\mathfrak {Q}}_{1}}{2}}-a'^{2}{\mathfrak {P}}_{1}\right),\\{\mathfrak {Q}}_{3}&=3\left(aa'{\frac {2{\mathfrak {P_{1}+R_{1}}}}{2}}\,-a'^{2}{\mathfrak {Q}}_{1}\right),\\{\mathfrak {R}}_{3}&=3\left(aa'{\frac {\mathfrak {Q_{1}+S_{1}}}{2}}\,\ \ -a'^{2}{\mathfrak {R}}_{1}\right),\\{\mathfrak {S}}_{3}&=3\left(aa'{\frac {\mathfrak {R_{1}+T_{1}}}{2}}\quad -a'^{2}{\mathfrak {S}}_{1}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

75. Cela posé, on aura d’abord

${\begin{aligned}{\frac {r}{v^{3}}}=&a\left({\mathfrak {A_{1}+B_{1}}}\cos \theta +{\mathfrak {C}}_{1}\cos 2\theta +{\mathfrak {D}}_{1}\cos 3\theta +\ldots \right)\\&+iy\ a\left[{\mathfrak {A_{1}+P_{2}}}+({\mathfrak {B_{1}+Q_{2}}})\cos \theta +({\mathfrak {C_{1}+R_{2}}})\cos 2\theta \right.\\&\ \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+({\mathfrak {D_{1}+S_{2}}})\cos 3\theta +\ldots \right]\\&+iy'a\left({\mathfrak {P_{3}+Q_{3}}}\cos \theta +{\mathfrak {R}}_{3}\cos 2\theta +{\mathfrak {S}}_{3}\cos 3\theta +\ldots \right),\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}{\frac {r'}{v^{3}}}=&a'\left({\mathfrak {A_{1}+B_{1}}}\cos \theta +{\mathfrak {C}}_{1}\cos 2\theta +{\mathfrak {D}}_{1}\cos 3\theta +\ldots \right)\\&+iy\ a'\left({\mathfrak {P_{2}+Q_{2}}}\cos \theta +{\mathfrak {R}}_{2}\cos 2\theta +{\mathfrak {S}}_{2}\cos 3\theta +\ldots \right),\\&+iy'a'\left[{\mathfrak {A_{1}+P_{3}}}+({\mathfrak {B_{1}+Q_{3}}})\cos \theta +({\mathfrak {C_{1}+R_{3}}})\cos 2\theta \right.\\&\ \ \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+({\mathfrak {D_{1}+S_{3}}})\cos 3\theta +\ldots \right]\\\end{aligned}}$

Donc, multipliant cette dernière quantité par $\cos \theta ,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {r'}{v^{3}}}\cos \theta =&a'\left[{\frac {{\mathfrak {B}}_{1}}{2}}+{\mathfrak {\left(A_{1}+{\frac {C_{1}}{2}}\right)}}\cos \theta +{\frac {\mathfrak {B_{1}+D_{1}}}{2}}\cos 2\theta +\ldots \right]\\&+iy\ a'\left[{\frac {{\mathfrak {Q}}_{2}}{2}}+{\mathfrak {\left(P_{2}+{\frac {R_{2}}{2}}\right)}}\cos \theta +{\frac {\mathfrak {Q_{2}+S_{2}}}{2}}\cos 2\theta +\ldots \right]\\&+iy'a'\left[{\mathfrak {\frac {B_{1}+Q_{3}}{2}}}+{\mathfrak {\left(A_{1}+P_{3}+{\frac {C_{1}+R_{3}}{2}}\right)}}\cos \theta \right.\\&\ \qquad \qquad \qquad \qquad +\left.{\mathfrak {\frac {B_{1}+Q_{3}+D_{1}++S_{3}}{2}}}\cos 2\theta +\ldots \right].\end{aligned}}$

Or, en négligeant les termes de l’ordre de $i^{2},$

${\frac {r'}{u'^{3}}}={\frac {1}{r'^{2}\left(1+q'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1-2y'}{a'^{2}}},$

et par conséquent

${\frac {r'}{u'^{3}}}\cos \theta ={\frac {1}{a'^{2}}}\cos \theta -2iy'{\frac {1}{a'^{2}}}\cos \theta .$

Donc si l’on fait

${\begin{aligned}{\mathfrak {A}}_{2}&=a^{3}{\mathfrak {A}}_{1}-a^{2}a'{\frac {{\mathfrak {B}}_{1}}{2}},\\{\mathfrak {B}}_{2}&=a^{3}{\mathfrak {B}}_{1}-a^{2}a'{\frac {2{\mathfrak {A_{1}+C_{1}}}}{2}}+{\frac {a^{2}}{a'^{2}}},\\{\mathfrak {C}}_{2}&=a^{3}{\mathfrak {C}}_{1}-a^{2}a'{\frac {\mathfrak {B_{1}+D_{1}}}{2}},\\{\mathfrak {D}}_{2}&=a^{3}{\mathfrak {D}}_{1}-a^{2}a'{\frac {\mathfrak {C_{1}+E_{1}}}{2}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\{\mathfrak {P}}_{4}&=a^{3}({\mathfrak {A_{1}+P_{2}}})-a^{2}a'{\frac {{\mathfrak {Q}}_{2}}{2}},\\{\mathfrak {Q}}_{4}&=a^{3}({\mathfrak {B_{1}+Q_{2}}})-a^{2}a'{\frac {2{\mathfrak {P_{2}+R_{2}}}}{2}},\\{\mathfrak {R}}_{4}&=a^{3}({\mathfrak {C_{1}+R_{2}}})-a^{2}a'{\frac {\mathfrak {Q_{2}+S_{2}}}{2}},\\{\mathfrak {S}}_{4}&=a^{3}({\mathfrak {D_{1}+S_{2}}})-a^{2}a'{\frac {\mathfrak {R_{2}+T_{2}}}{2}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\{\mathfrak {P}}_{3}&=a^{3}{\mathfrak {P}}_{3}-a^{2}a'\left({\frac {{\mathfrak {B}}_{1}}{2}}+{\frac {{\mathfrak {Q}}_{3}}{2}}\right),\\{\mathfrak {Q}}_{3}&=a^{3}{\mathfrak {Q}}_{3}-a^{2}a'\left({\frac {2{\mathfrak {A_{1}+C_{1}}}}{2}}+{\frac {2{\mathfrak {P_{3}+R_{3}}}}{2}}\right)-{\frac {2a}{a'^{2}}},\\{\mathfrak {R}}_{3}&=a^{3}{\mathfrak {R}}_{3}-a^{2}a'\left({\frac {\mathfrak {B_{1}+D_{1}}}{2}}+{\frac {\mathfrak {Q_{3}+S_{3}}}{2}}\right),\\{\mathfrak {S}}_{3}&=a^{3}{\mathfrak {S}}_{3}-a^{2}a'\left({\frac {\mathfrak {C_{1}+E_{1}}}{2}}+{\frac {\mathfrak {R_{3}+T_{3}}}{2}}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

on aura (n^o 67

${\begin{aligned}\mathrm {R} =&{\frac {\mathrm {J} '}{a^{2}}}\left({\mathfrak {A_{2}+B_{2}}}\cos \theta +{\mathfrak {C}}_{2}\cos 2\theta +{\mathfrak {D}}_{2}\cos 3\theta +\ldots \right)\\&+i{\frac {\mathrm {J} '}{a^{2}}}y\ \left({\mathfrak {P_{4}+Q_{4}}}\cos \theta +{\mathfrak {R}}_{4}\cos 2\theta +{\mathfrak {S}}_{4}\cos 3\theta +\ldots \right)\\&+i{\frac {\mathrm {J} '}{a^{2}}}y'\left({\mathfrak {P_{5}+Q_{5}}}\cos \theta +{\mathfrak {R}}_{5}\cos 2\theta +{\mathfrak {S}}_{5}\cos 3\theta +\ldots \right),\end{aligned}}$

Maintenant on aura

${\begin{aligned}{\frac {r'}{v^{3}}}\sin \theta =&a'\left[\left({\mathfrak {A}}_{1}-{\frac {{\mathfrak {C}}_{1}}{2}}\right)\sin \theta +{\frac {\mathfrak {B_{1}-D_{1}}}{2}}\sin 2\theta +\ldots \right]\\&+iy\ a'\left[\left({\mathfrak {P}}_{2}-{\frac {{\mathfrak {R}}_{2}}{2}}\right)\sin \theta +{\frac {\mathfrak {Q_{2}-S_{2}}}{2}}\sin 2\theta +\ldots \right]\\&+iy'a'\left[\left({\mathfrak {A_{1}+P_{3}}}-{\frac {\mathfrak {C_{1}+R_{3}}}{2}}\right)\sin \theta \right.\end{aligned}}$

$\left.+\left({\frac {\mathfrak {B_{1}+Q_{3}}}{2}}-{\frac {\mathfrak {D_{1}+S_{3}}}{2}}\right)\sin 2\theta +\ldots \right]$

Donc, si l’on multiplie ces deux quantités par $r=a(i+iy),$ et qu’on fasse

${\begin{aligned}{\mathfrak {A}}_{3}&=a^{2}a'{\frac {2{\mathfrak {A_{1}-C_{1}}}}{2}}-{\frac {a^{2}}{a'^{2}}},\\{\mathfrak {B}}_{3}&=a^{2}a'{\frac {\mathfrak {B_{1}-D_{1}}}{2}},\\{\mathfrak {C}}_{3}&=a^{2}a'{\frac {\mathfrak {C_{1}-E_{1}}}{2}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\{\mathfrak {P}}_{6}&=a^{2}a'\left({\frac {2{\mathfrak {A_{1}-C_{1}}}}{2}}+{\frac {2{\mathfrak {P_{2}-R_{2}}}}{2}}\right)-{\frac {a^{2}}{a'^{2}}},\\{\mathfrak {Q}}_{6}&=a^{2}a'\left({\frac {\mathfrak {B_{1}-D_{1}}}{2}}+{\frac {\mathfrak {Q_{2}-S_{2}}}{2}}\right),\\{\mathfrak {R}}_{6}&=a^{2}a'\left({\frac {\mathfrak {C_{1}-E_{1}}}{2}}\ \ +{\frac {\mathfrak {R_{2}-T_{2}}}{2}}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\{\mathfrak {P}}_{7}&=a^{2}a'\left({\frac {2{\mathfrak {A_{1}-C_{1}}}}{2}}+{\frac {2{\mathfrak {P_{3}-R_{3}}}}{2}}\right)+{\frac {2a^{2}}{a'^{2}}},\\{\mathfrak {Q}}_{7}&=a^{2}a'\left({\frac {\mathfrak {B_{1}-D_{1}}}{2}}+{\frac {\mathfrak {Q_{3}-S_{3}}}{2}}\right),\\{\mathfrak {R}}_{7}&=a^{2}a'\left({\frac {\mathfrak {C_{1}-E_{1}}}{2}}\ \ \,+{\frac {\mathfrak {R_{3}-T_{3}}}{2}}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura (numéro cité)

$\mathrm {Q} ={\frac {\mathrm {J} '}{a}}\left({\mathfrak {A}}_{3}\sin \theta +{\mathfrak {B}}_{3}\sin 2\theta +{\mathfrak {C}}_{3}\sin 3\theta +\ldots \right)$

${\begin{aligned}&+i{\frac {\mathrm {J} '}{a}}y\ \left({\mathfrak {P}}_{6}\sin \theta +{\mathfrak {Q}}_{6}\sin 2\theta +{\mathfrak {R}}_{6}\sin 3\theta +\ldots \right)\\&+i{\frac {\mathrm {J} '}{a}}y'\left({\mathfrak {P}}_{7}\sin \theta +{\mathfrak {Q}}_{7}\sin 2\theta +{\mathfrak {R}}_{7}\sin 3\theta +\ldots \right).\end{aligned}}$

Enfin on a

${\frac {p-p}{v^{3}}}=i\left(z{\frac {r}{v^{3}}}-z'{\frac {r'}{v^{3}}}\right)\quad {\text{et}}\quad {\frac {p'}{u'^{3}}}=iz'{\frac {1}{r'^{2}\left(1+q'^{2}\right)}}\,;$

d’où, en négligeant les termes de l’ordre de $i^{2},$ on aura

$\mathrm {P} =i\mathrm {J} '\left[(za-z'a')({\mathfrak {A_{1}+B_{1}}}\cos \theta +{\mathfrak {C}}_{1}\cos 2\theta +\ldots )+{\frac {z'}{a'^{2}}}\right].$

De sorte que, si l’on fait

${\begin{alignedat}{3}{\mathfrak {A}}_{4}=&a^{3}{\mathfrak {A_{1}-A_{2}}},&{\mathfrak {B}}_{4}=&a^{3}{\mathfrak {B_{1}-B_{2}}},&{\mathfrak {C}}_{4}=&a^{3}{\mathfrak {C_{1}-C_{2}}},\ldots ,\\{\mathfrak {A}}_{5}=&{\frac {a^{2}}{a'^{2}}}-a^{2}a'{\mathfrak {A}}_{1},\qquad &{\mathfrak {B}}_{5}=&-a^{2}a'{\mathfrak {B}}_{1},\qquad &{\mathfrak {C}}_{5}=&-a^{2}a'{\mathfrak {C}}_{1},\ldots ,\end{alignedat}}$

on aura, aux quantités de l’ordre de $i^{2}$ près,

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {P-R} q}{r}}=&i{\frac {\mathrm {J} '}{a^{3}}}z\ \left({\mathfrak {A}}_{4}+{\mathfrak {B}}_{4}\sin \theta +{\mathfrak {C}}_{4}\sin 2\theta +{\mathfrak {D}}_{4}\sin 3\theta +\ldots \right)\\+&i{\frac {\mathrm {J} '}{a^{3}}}z'\left({\mathfrak {A}}_{5}+{\mathfrak {B}}_{5}\sin \theta +{\mathfrak {C}}_{5}\sin 2\theta +{\mathfrak {D}}_{5}\sin 3\theta +\ldots \right).\end{aligned}}$

Et il ne restera plus, pour achever les substitutions, qu’à mettre au lieu de $\theta ,$ c’est-à-dire au lieu de $\varphi -\varphi ',$ sa valeur $(h-h')t+i(x-x'),$ ou bien, en faisant $h-h'=\mathrm {H,\ H} t+i(x-x'),$ ce qui est très-facile, car il n’y aura qu’à mettre partout dans les expressions précédentes $\mathrm {H} t$ à la place de $\theta ,$ et ajouter ensuite à la valeur de $\mathrm {R}$ la quantité

$-i{\frac {\mathrm {J} '}{a^{2}}}(x-x')\left({\mathfrak {B}}_{2}\sin \mathrm {H} t+2{\mathfrak {C}}_{2}\sin 2\mathrm {H} t+3{\mathfrak {D}}_{2}\sin 3\mathrm {H} t+\ldots \right),$

et à celle de $\mathrm {Q}$ la quantité

$i{\frac {\mathrm {J} '}{a}}(x-x')\left({\mathfrak {A}}_{3}\cos \mathrm {H} t+2{\mathfrak {B}}_{3}\cos 2\mathrm {H} t+3{\mathfrak {C}}_{3}\cos 3\mathrm {H} t+\ldots \right).$

76. On sait que les masses de Jupiter et de Saturne sont très-petites par rapport à celle du Soleil, en sorte qu’on peut supposer $\mathrm {\frac {J}{I}} =i\mathrm {m}$ et $\mathrm {\frac {J'}{I}} =i\mathrm {m} '\,;$ donc, puisque $b={\frac {\mathrm {I+J} }{a^{2}}}$ (n^o 72), on aura

$\mathrm {J} '=i{\frac {\mathrm {m} '}{1+i\mathrm {m} }}a^{3}b,$

où, faisant ${\frac {\mathrm {m} '}{1+i\mathrm {m} }}b=\mathrm {n} ,$

$\mathrm {J} '=ia^{3}\mathrm {n} \,;$

d’où il s’ensuit que les quantités $\mathrm {P,Q,R}$ sont très-petites de l’ordre de $i,$ et qu’ainsi, pour satisfaire aux équations $(k)$ du numéro cité, il est nécessaire de supposer ${\frac {c}{a^{2}}}$ presque égal à $h,$ et ${\frac {\mathrm {I+J} }{a^{3}}}$ ou bien $b$ presque égal à $h^{2}.$

Soit donc

${\frac {c}{a^{2}}}-h=i\mathrm {f} \quad {\text{et}}\quad b-h^{2}=i\mathrm {g} ,$

et les équations $(k)$ donneront, après avoir substitué les valeurs de $\mathrm {R,Q}$ et ${\frac {\mathrm {P-R} q}{r}},$ trouvées ci-dessus, et divisé le tout par $i,$

${\begin{aligned}\mathrm {X=f} &+\mathrm {\frac {n}{H}} \left({\mathfrak {A}}_{3}\cos \mathrm {H} t+{\frac {1}{2}}{\mathfrak {B}}_{3}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots \right)\\&-i\mathrm {n} \int y\ \left({\mathfrak {P}}_{6}\sin \mathrm {H} t+{\mathfrak {Q}}_{6}\sin 2\mathrm {H} t+\ldots \right)dt\\&-i\mathrm {n} \int y'\left({\mathfrak {P}}_{7}\sin \mathrm {H} t+{\mathfrak {Q}}_{7}\sin 2\mathrm {H} t+\ldots \right)dt\\&-i\mathrm {n} \int (x-x')\left({\mathfrak {A}}_{3}\cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {B}}_{3}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots \right)dt\\\\\mathrm {Y=g} &+\mathrm {n} \left({\mathfrak {A_{2}+B_{2}}}\cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {C}}_{2}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots \right)\\&+i\mathrm {n} y\ \left({\mathfrak {P_{4}+Q_{4}}}\cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {R}}_{4}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots \right)\\&+i\mathrm {n} y'\left({\mathfrak {P_{5}+Q_{5}}}\cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {R}}_{5}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots \right)\\&-i\mathrm {n} (x-x')\left({\mathfrak {B}}_{2}\sin \mathrm {H} t+{\mathfrak {C}}_{2}\sin 2\mathrm {H} t+\ldots \right),\\\\\mathrm {Z=g} &+i\mathrm {n} z\ \left({\mathfrak {A_{4}+B_{4}}}\cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {C}}_{4}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots \right)\\&+i\mathrm {n} z'\left({\mathfrak {A_{5}+B_{5}}}\cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {C}}_{5}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots \right).\end{aligned}}$

77. Ayant ainsi les valeurs de $\mathrm {X,Y}$ et $\mathrm {Z} ,$ il ne s’agira plus que de les substituer dans les équations du n^o 72. Or, si l’on met $h^{2}+i\mathrm {g}$ au lieu de $b,$ qu’on néglige les quantités affectées de $i^{2}\mathrm {n}$ et de $i\mathrm {n} ^{2}$ (parce que $\mathrm {n}$ est aussi une quantité fort petite, comme on le verra plus bas), et, qu’après avoir ajouté ensemble les coefficients des termes analogues, on fasse

${\begin{aligned}{\mathfrak {A}}_{6}&={\mathfrak {B}}_{2}-{\frac {2(h+i\mathrm {f} )}{\mathrm {H} }}{\mathfrak {A}}_{3},\\{\mathfrak {B}}_{6}&={\mathfrak {C}}_{2}-{\frac {2(h+i\mathrm {f} )}{2\mathrm {H} }}{\mathfrak {B}}_{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\mathfrak {A}}_{7}&={\mathfrak {B}}_{4}+{\frac {2h}{\mathrm {H} }}{\mathfrak {A}}_{3},\\{\mathfrak {B}}_{7}&={\mathfrak {C}}_{4}+{\frac {2h}{2\mathrm {H} }}{\mathfrak {B}}_{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\mathfrak {P}}_{8}&={\mathfrak {Q}}_{4}+{\frac {6h}{\mathrm {H} }}{\mathfrak {A}}_{3},\\{\mathfrak {Q}}_{8}&={\mathfrak {R}}_{4}+{\frac {6h}{2\mathrm {H} }}{\mathfrak {B}}_{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

et ensuite

${\begin{aligned}\Phi =&{\mathfrak {A}}_{6}\cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {B}}_{6}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots +iy({\mathfrak {P}}_{6}\cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {Q}}_{6}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots )\\&+iy'({\mathfrak {P_{5}+Q_{5}}}\cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {R}}_{5}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots )\\&+2ih\int y\ ({\mathfrak {P}}_{6}\sin \mathrm {H} t+{\mathfrak {Q}}_{6}\sin 2\mathrm {H} t+\ldots )dt\\&+2ih\int y'({\mathfrak {P}}_{7}\sin \mathrm {H} t+{\mathfrak {Q}}_{7}\sin 2\mathrm {H} t+\ldots )dt\\&-i(x-x')({\mathfrak {B}}_{2}\sin \mathrm {H} t+{\mathfrak {C}}_{2}\sin 2\mathrm {H} t+\ldots )\\&+2ih\int (x-x')({\mathfrak {A}}_{3}\cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {B}}_{3}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots )dt\\\\\Psi =&z({\mathfrak {A}}_{7}\cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {B}}_{7}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots )+z'({\mathfrak {A_{5}+B_{5}}}\cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {C}}_{5}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots ),\\\\\Xi =&-{\frac {1}{\mathrm {H} }}\left({\mathfrak {A}}_{3}\cos \mathrm {H} t+{\frac {{\mathfrak {B}}_{3}}{2}}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots \right)+{\frac {2i}{\mathrm {H} }}y({\mathfrak {A}}_{3}\cos \mathrm {H} t+{\frac {{\mathfrak {B}}_{3}}{2}}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots )\\&+i\int y'({\mathfrak {P}}_{6}\sin \mathrm {H} t+{\mathfrak {Q}}_{6}\sin 2\mathrm {H} t+\ldots )dt\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+i\int y'({\mathfrak {P}}_{7}\sin \mathrm {H} t+{\mathfrak {Q}}_{7}\sin 2\mathrm {H} t+\ldots )dt\\&+i\int (x-x')({\mathfrak {A}}_{3}\cos \mathrm {H} t+{\mathfrak {B}}_{3}\cos 2\mathrm {H} t+\ldots )dt\end{aligned}}$

on aura les équations suivantes :

$(l)\ \ \quad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+&\left[h^{2}+i\left(+h\mathrm {f} -2\mathrm {g} +3i\mathrm {f} ^{2}+\mathrm {n} {\mathfrak {P}}_{4}\right)\right]y\\+&g-2h\mathrm {f} -i\mathrm {f} ^{2}+\mathrm {n} {\mathfrak {A}}_{2}-3i\left[h^{2}+i\left(4h\mathrm {f-g} \right)\right]y^{2}\\&\qquad -{\frac {3}{2}}i\left(h^{2}+i\mathrm {g} \right)z^{2}+6i^{2}h^{2}y^{3}+3i^{2}h^{2}yz^{2}+\mathrm {n} \Phi =0,\end{aligned}}\right.$

$(m)\quad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+&\left[h^{2}+i\left(2h\mathrm {f} +i\mathrm {f} ^{2}+\mathrm {n} {\mathfrak {A}}_{4}\right)\right]z-4i\left(h^{2}+2ih\mathrm {f} \right)zy\\&\qquad +2i{\frac {dzdy}{dt^{2}}}+10i^{2}h^{2}zy^{2}-2i^{2}y{\frac {dzdy}{dt^{2}}}+i\mathrm {n} \Psi =0,\end{aligned}}\right.$

$(n)\qquad \ \ {\frac {dx}{dt}}+2(h+i\mathrm {f} )y-\mathrm {f} -3i(h+i\mathrm {f} )y^{2}+4i^{2}hy^{3}+\mathrm {n} \Xi =0.$

Telles sont les équations du mouvement de Jupiter, en tant qu’il est altéré par l’action de Saturne.

On trouvera des équations semblables pour le mouvement de Saturne dérangé par Jupiter ; il ne faudra pour cela que mettre $x',y',z'$ à la place de $x,y,z,$ et vice versâ, et marquer toutes les autres lettres d’un trait, à l’exception de $\mathrm {H} ,$ laquelle étant égale a $h-h'$ deviendra $h'-h,$ c’est-à-dire simplement négative.

78. Je remarque maintenant que les équations $(l)$ et $(m)$ peuvent se réduire à ces formes plus simples :

${\frac {d^{2}\mathrm {y} }{dt^{2}}}+\mathrm {K^{2}y+n} {\mathfrak {Y}}=0,\quad {\text{et}}\quad {\frac {d^{2}\mathrm {z} }{dt^{2}}}+\mathrm {L^{2}z} +i\mathrm {n} {\mathfrak {Z}}=0,$

en supposant

$\mathrm {y} =y+\alpha +\left(\beta y^{2}+\gamma ^{2}\right)+i^{2}\left(\delta y^{2}+\varepsilon yz^{2}+\eta z{\frac {dydz}{dt^{2}}}\right)$

et

$\mathrm {z} =z+\left(\mu zy+\nu {\frac {dzdy}{dt^{2}}}\right)+i^{2}\left(\pi z^{3}+\rho zy^{2}+\sigma y{\frac {dzdy}{dt^{2}}}\right).$

Pour le prouver, et déterminer en même temps les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,\mu ,\nu ,\pi ,\ldots ,$ je prends d’abord les différentielles secondes de $\mathrm {y}$ et de $\mathrm {z} \,;$ j’ai

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {y} }{dt^{2}}}=&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+i\beta \left(2y{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+2{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\right)+i\gamma \left(2z{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)\\&+i^{2}\delta \left(3y^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+6y{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}\right)+i^{2}\varepsilon \left(z^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+2zy{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2y{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}+4z{\frac {dydz}{dt^{2}}}\right)\\&+i^{2}\eta \left(2{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+3{\frac {dydz}{dt^{2}}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+z{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+z{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{3}z}{dt^{3}}}+2z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right),\\\\{\frac {d^{2}\mathrm {z} }{dt^{2}}}=&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+i\mu \left(y{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+2{\frac {dzdy}{dt^{2}}}\right)\\&+i\nu \left({\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{3}z}{dt^{3}}}+{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+2{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right)+i^{2}\pi \left(3z^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+6z{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)\\&+i^{2}\rho \left(y^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2zy{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+2z{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+4y{\frac {dzdy}{dt^{2}}}\right)\\&+i^{2}\sigma \left(2{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+3{\frac {dzdy}{dt^{2}}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{3}z}{dt^{3}}}+y{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+2y{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Ensuite je substitue à la place de ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}},{\frac {d^{3}z}{dt^{3}}},{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}},{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}$ leurs valeurs tirées des équations $(l)$ et $(m),$ en négligeant les quantités qui seraient affectées de $i^{3},$ ou de $i^{2}\mathrm {n} \,;$ et pour avoir les valeurs de ${\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}$ et ${\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}$ (car les autres se déduisent aisément des équations citées), je multiplie l’équation $(l)$ par $2dy,$ et l’équation $(m)$ par $2dz,$ et ensuite je les intègre, ce qui me donne, en négligeant les quantités de l’ordre de $i^{2}$ et de $i\mathrm {n} ,$ parce que ${\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}$ et ${\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}$ ne se trouvent que dans des termes déjà affectés de $i,$

${\begin{aligned}{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}&+\left[h^{2}+i(6h\mathrm {f} -2\mathrm {g} )\right]y^{2}+2\left(\mathrm {g} -2h\mathrm {f} -i\mathrm {f} ^{2}+\mathrm {n} {\mathfrak {A}}_{2}\right)\\&\quad \qquad \qquad +\mathrm {A} -2ih^{2}y^{3}-3ih^{2}\int z^{2}dy+2\mathrm {n} \int \Phi dy=0,\\\\{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}&+\left(h^{2}+2ih\mathrm {f} \right)z^{2}+\mathrm {B} -8ih^{2}\int yzdz+4i\int {\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}dy+2i\mathrm {n} \int \Psi dz=0,\end{aligned}}$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des constantes.

Je conserve exprès le terme $2i\mathrm {n} \int \Psi dz,$ parce que la quantité $\Psi$ contient un terme de cette forme ${\mathfrak {B}}_{s}z'\cos \mathrm {H} t,$ lequel étant multiplié par $dz,$ et ensuite intégré, après avoir substitué les valeurs de $z$ et de $z'$ en $t,$ se trouvera divisé par des quantités de l’ordre de $i.$

Or l’équation $(m)$ donne, en rejetant tous les termes affectés de $i,$

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+h^{2}z=0,$

et par conséquent

$\int z{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}dy+h^{2}\int z^{2}dy=0\,;$

mais, en mettant au lieu de ${\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}$ et de ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$ leurs valeurs approchées $-h^{2}z^{2}-\mathrm {B}$ et $-h^{2}y-\mathrm {g} +2h\mathrm {f} ,$ car on peut négliger ici tous les termes affectés de $i$ et de $n,$

${\begin{aligned}\int z{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}dy&=z{\frac {dydz}{dt^{2}}}-\int \left({\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}dy+z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}dz\right)\\&=z{\frac {dydz}{dt^{2}}}+h^{2}\int z^{2}dy+\mathrm {B} y+h^{2}\int yzdz+{\frac {\mathrm {g} -2h\mathrm {f} }{2}}z^{2},\end{aligned}}$

et, à cause de $\int yzdz={\frac {1}{2}}yz^{2}-{\frac {1}{2}}\int z^{2}dy,$

$\int z{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}dy=z{\frac {dydz}{dt^{2}}}+{\frac {h^{2}}{2}}\int z^{2}dy+\mathrm {B} y+{\frac {h^{2}}{2}}yz^{2}+{\frac {\mathrm {g} -2h\mathrm {f} }{2}}z^{2}.$

Donc on aura

${\frac {3}{2}}h^{2}\int z^{2}dy+{\frac {h^{2}}{2}}yz^{2}+z{\frac {dydz}{dt^{2}}}+\mathrm {B} y+{\frac {\mathrm {g} -2h\mathrm {f} }{2}}z^{2}=0\,;$

d’où l’on tire

$\int z^{2}dy=-{\frac {1}{3}}yz^{2}-{\frac {2}{3h^{2}}}z{\frac {dydz}{dt^{2}}}-{\frac {-2\mathrm {B} }{3h^{2}}}y-{\frac {\mathrm {g} -2h\mathrm {f} }{3h^{2}}}z^{2}.$

Donc, si l’on met cette valeur dans la première des deux équations ci-dessus, et qu’on substitue $-h^{2}\int z^{2}dy-\mathrm {B} y$ dans la seconde à la place de $\int {\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}dy,$ et ${\mathfrak {B}}_{5}\int (\cos \mathrm {H} t)z'dz$ à la place de $\int \Psi dz,$ on aura, après les réductions,

$(o)\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&+\left[h^{2}+i(6h\mathrm {f-2g} )\right]y^{2}+2[\mathrm {g} -2h\mathrm {f} +\mathrm {\left(f^{2}-B\right)} +\mathrm {n} {\mathfrak {A}}^{2}]y\\&+\mathrm {A} +i(\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )z^{2}-2ih^{2}y^{3}+ih^{2}yz^{2}+2iz{\frac {dydz}{dt^{2}}}+2\mathrm {n} \int \Phi dy=0,\end{aligned}}\right.$

$(p)\quad {\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}+\left(h^{2}+2ih\mathrm {f} \right)z^{2}+\mathrm {B} -4i\mathrm {B} y-4ih^{2}yz^{2}+2i\mathrm {n} {\mathfrak {B}}_{5}\int (\cos \mathrm {H} t)z'dz=0.$

Ces substitutions faites, on trouvera, en ordonnant les termes,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&\left[-h^{2}-i\left(6h\mathrm {f-2g} +3i\mathrm {f} ^{2}+\mathrm {n} {\mathfrak {P}}_{4}\right)\right.\\&-6i\beta (\mathrm {g} -2h\mathrm {f} -i\mathrm {f} ^{2}+{\frac {2}{3}}i\mathrm {B+n} {\mathfrak {A}}_{2})\\&+\left.8i^{2}\gamma \mathrm {B} -6i^{2}\delta \mathrm {A} -2i^{2}\varepsilon \mathrm {B} +2i^{2}\eta h^{2}\mathrm {B} \right]y\\&-\left(\mathrm {g} -2h\mathrm {f} -i\mathrm {f^{2}+n} {\mathfrak {A}}_{2}\right)-2i\beta \mathrm {A} -2i\gamma \mathrm {B} +2i^{2}\eta (\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )\mathrm {B} \\&+\left[3ih^{2}+3i^{2}(4h\mathrm {f-g} )-4i\beta \left[h^{2}+i(6h\mathrm {f-2g} )\right]-15i^{2}\delta (\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )\right]y^{2}\\&+\left[{\frac {3}{2}}i\left(h^{2}+i\mathrm {g} \right)-2i^{2}\beta (\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )-4i\gamma (h^{2}+2ih\mathrm {f} )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -\left.i^{2}\varepsilon (g-2hf)-4i^{2}\varepsilon h^{2}(g-2hf)\right]z^{2}\\&+\left(-6i^{2}h^{2}+10i^{2}\beta h^{2}-9i^{2}\delta h^{2}\right)y^{3}\\&+\left(-3i^{2}h^{2}+i^{2}\beta h^{2}+16i^{2}\gamma h^{2}-5i^{2}\varepsilon h^{2}+4i^{2}\eta h^{4}\right)yz^{2}\\&+\left(-4i^{2}\beta -4i^{2}\gamma +4i^{2}\varepsilon -5i^{2}\eta h^{2}\right)z{\frac {dydz}{dt^{2}}}\\&+n[-\Phi -2i\beta \Phi y-4i\beta \int \Phi dy-4i^{2}\gamma {\mathfrak {B}}_{3}\int (\cos \mathrm {H} t)z'dz],\\\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&\left[-h^{2}-i\left(2h\mathrm {f} +i\mathrm {f} ^{2}+\mathrm {n} {\mathfrak {A}}_{4}\right)-i\mu (\mathrm {g} -2h\mathrm {f} -i\mathrm {f} ^{2}+\mathrm {n} {\mathfrak {A}}_{2})i\right.\\&+2i\nu \left(\mathrm {g} -2h\mathrm {f} -i\mathrm {f} ^{2}+\mathrm {n} {\mathfrak {A}}_{2}\right)\left(h^{2}+2ih\mathrm {f} \right)\\&\qquad \qquad -\left.3i^{2}\nu h^{2}(2\mathrm {A+B} )-6i^{2}\pi \mathrm {B} -2i^{2}\rho \mathrm {A} +2i^{2}\sigma h^{2}\mathrm {A} \right]z\\&+\left[4i\left(h^{2}+2ih\mathrm {f} \right)-2i\mu \left[h^{2}+i(4h\mathrm {f-g} )\right]\right.\\&+2i\nu \left[h^{2}+i(6h\mathrm {f-2g} )\right]\left(h^{2}+2ih\mathrm {f} \right)-20i^{2}\nu h^{2}(\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -\left.6i^{2}\rho (g-2hf)+6i^{2}\sigma h^{2}(g-2hf)\right]zy\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+[-2i+2i\mu -i\nu \left[2h^{2}+i(20h\mathrm {f-8g} )\right]-3i^{2}\sigma (\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )]{\frac {dydz}{dt^{2}}}\\&+\left({\frac {3}{2}}i^{2}\mu h^{2}-6i^{2}\nu h^{4}-9i^{2}\pi h^{2}\right)z^{3}\\&+\left(-10i^{2}h^{2}+7i^{2}\mu h^{2}-20i^{2}\nu h^{4}-5i^{2}\rho h^{2}+4i^{2}\sigma h^{4}\right)y^{2}z\\&+\left(2i^{2}-2i^{2}\mu +16i^{2}\nu h^{2}+4i^{2}\rho -5i^{2}\sigma h^{2}\right)y{\frac {dydz}{dt^{2}}}\\&+\mathrm {n} \left(-i\Psi -i\mu z\Phi -i\nu {\frac {d\Phi dz}{dt^{2}}}+2i\nu h^{2}z\Phi \right).\end{aligned}}$

Je mets donc ces valeurs de $\mathrm {y,z} ,{\frac {d^{2}\mathrm {y} }{dt^{2}}}$ et ${\frac {d^{2}\mathrm {z} }{dt^{2}}}$ dans les équations

${\frac {d^{2}\mathrm {y} }{dt^{2}}}+\mathrm {K^{2}y+n} {\mathfrak {Y}}=0,\qquad {\frac {d^{2}\mathrm {z} }{dt^{2}}}+\mathrm {L^{2}y} +i\mathrm {n} {\mathfrak {Z}}=0,$

et ensuite j’égale à zéro les termes homogènes, ce qui me donne les équations suivantes :

$-h^{2}-i\left(6h\mathrm {f} -2\mathrm {g} +3i\mathrm {f} ^{2}+\mathrm {n} {\mathfrak {P}}_{4}\right)-6\beta \left(\mathrm {g} -2h\mathrm {f} -i\mathrm {f} ^{2}+{\frac {2}{3}}i\mathrm {B} +\mathrm {n} {\mathfrak {A}}_{2}\right)$

$+8i^{2}\gamma \mathrm {B} -6i^{2}\delta \mathrm {A} -2i^{2}\varepsilon \mathrm {B} +2i^{2}\eta h^{2}\mathrm {B+K^{2}} =0,$

${\begin{aligned}&-\left(g-2hf-if^{2}+n{\mathfrak {A}}_{2}\right)-2i\beta \mathrm {A} -2i\gamma \mathrm {B} +2i^{2}\nu (g-2hf)\mathrm {B} +\alpha \mathrm {K} ^{2}=0,\\&3h^{2}+3i(4h\mathrm {f} -\mathrm {g} )-4\beta \left[h^{2}+i(6h\mathrm {f} -2\mathrm {g} )\right]-15i\delta (\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )+\beta \mathrm {K} ^{2}=0,\\&{\frac {3}{2}}\left(h^{2}+i\mathrm {g} \right)-2i\beta (\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )-4\gamma \left(h^{2}+2ih\mathrm {f} \right)-i\varepsilon (\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +4i\eta h^{2}(\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )+\gamma \mathrm {K} ^{2}=0,\\&-6h^{2}+10\beta h^{2}-9\delta h^{2}+\delta \mathrm {K} ^{2}=0,\\&-3h^{2}+\beta h^{2}+16\gamma h^{2}-5\varepsilon h^{2}+4\eta h^{4}+\varepsilon \mathrm {K} ^{2}=0,\\&-4\beta -4\gamma +4\varepsilon -5\eta h^{2}+\eta \mathrm {K} ^{2}=0,\\&-\Phi -2i\beta \Phi y-4i\beta \int \Phi dy-4i^{2}\gamma {\mathfrak {B}}_{5}\int (\cos \mathrm {H} t)z'dz+{\mathfrak {Y}}=0,\\&-h^{2}-i\left(2h\mathrm {f} +i\mathrm {f} ^{2}+\mathrm {n} {\mathfrak {A}}_{4}\right)-i\mu \left(\mathrm {g} -2h\mathrm {f} -i\mathrm {f} ^{2}+\mathrm {n} {\mathfrak {A}}_{3}\right)\\&\quad +2i\nu \left(\mathrm {g} -2h\mathrm {f} -i\mathrm {f} ^{2}+\mathrm {n} {\mathfrak {A}}_{2}\right)\left(h^{2}+2ih\mathrm {f} \right)\\&-3i^{2}\nu h^{2}(2\mathrm {A+B} )-6i^{2}\pi \mathrm {B} -2i^{2}\rho \mathrm {A} +2i^{2}\sigma h^{2}\mathrm {A+L^{2}} =0,\end{aligned}}$

$4(h^{2}+2ih\mathrm {f} )-2\mu \left[h^{2}+i(4h\mathrm {f} -\mathrm {g} )\right]+2\nu \left[h^{2}+i(6h\mathrm {f} -2\mathrm {g} )\right](h^{2}+2ih\mathrm {f} )$

$-20i\nu h^{2}(\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )-6i\rho (\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )+6i\sigma h^{2}(\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )+\mu \mathrm {L} ^{2}=0,$

${\begin{aligned}&-2+2\mu -\nu \left[2h^{2}+i(20h\mathrm {f} -8\mathrm {g} )\right]-3i\sigma (\mathrm {g} -2h\mathrm {f} )+\nu \mathrm {L} ^{2}=0,\\&{\frac {3}{2}}\mu h^{2}-6\nu h^{4}-9\pi h^{2}+\pi \mathrm {L} ^{2}=0,\\&-10h^{2}+7\mu h^{2}-20\nu h^{4}-5\rho h^{2}+4\sigma h^{4}+\rho \mathrm {L} ^{2}=0,\\&2-2\mu +16\nu h^{2}+4\rho -5\sigma h^{2}+\sigma \mathrm {L} ^{2}=0,\\&-\Psi -(\mu -2\nu h^{2})z\Phi -\nu {\frac {d\Phi dz}{dt^{2}}}+{\mathfrak {Z}}=0,\end{aligned}}$

par où l’on déterminera les valeurs des coefficients $\mathrm {K} ^{2},\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ,\eta ,$$\mathrm {L} ^{2},\mu ,\nu ,\pi ,\rho ,\sigma ,$ ainsi que celles de ${\mathfrak {Y}}$ et de ${\mathfrak {Z}},$ en ayant soin de pousser les valeurs de $\mathrm {K^{2},L^{2}}$ et $\alpha$ jusqu’aux quantités de l’ordre de $i^{2}$ et $i\mathrm {n} ,$ celles de $\beta ,\gamma ,\mu ,\nu$ jusqu’aux quantités de l’ordre de $i$ et de $\mathrm {n}$ seulement, et enfin de négliger dans les autres toutes les quantités affectées de $i$ et de $\mathrm {n} .$

79. Si l’on regarde la quantité $\alpha$ comme connue, et qu’on s’en serve pour déterminer $\mathrm {g} ,$ on aura

$\mathrm {g} =\alpha \mathrm {K} ^{2}+2h\mathrm {f} -\mathrm {n} {\mathfrak {A}}_{2}+i\left(\mathrm {f} ^{2}-2\beta \mathrm {A} -2\gamma \mathrm {B} \right)+2i^{2}\eta \alpha \mathrm {K} ^{2}\mathrm {B} \,;$

ensuite, supposant

$\mathrm {K} =h+ik\quad {\text{et}}\quad \mathrm {L} =h+il,$

on trouvera

${\begin{aligned}k&=\mathrm {f} +2h\alpha +s{\frac {i}{2h}}\left(4h\mathrm {f} \alpha +15h^{2}\alpha ^{2}-5\mathrm {A-B} \right)+{\frac {\mathrm {n} }{2h}}({\mathfrak {P}}_{1}+2{\mathfrak {A}}_{2}),\\l&=\mathrm {f} +2h\alpha +{\frac {i}{2h}}\left(4h\mathrm {f} \alpha +15h^{2}\alpha ^{2}-5\mathrm {A} -\mathrm {B} \right)+{\frac {\mathrm {n} }{2h}}{\mathfrak {A}}_{4},\end{aligned}}$

$\beta =1+{\frac {1}{2}}\alpha ,\quad \gamma ={\frac {1}{2}}+i\alpha \eta h^{2},\quad \delta ={\frac {1}{2}},\quad \varepsilon ={\frac {3}{2}}+\eta h^{2},$

$\mu =i\left(15+2\sigma h^{2}\right)\alpha ,\quad \nu =-{\frac {2}{h^{2}}}+i\left({\frac {4\mathrm {f} }{h^{3}}}+{\frac {6+\sigma h^{2}}{h^{2}}}\alpha \right),\quad \pi ={\frac {3}{2}},$

$\rho ={\frac {15}{2}}+\sigma h^{2},$

${\begin{aligned}{\mathfrak {Y}}&=\Phi +2i\beta \Phi y+4i\beta \int \Phi dy+4i^{2}\gamma {\mathfrak {B}}_{5}\int (\cos \mathrm {H} t)z'dz,\\{\mathfrak {Z}}&=\Psi +(\mu -2\nu h^{2})\Phi z+\nu {\frac {d\Phi dz}{dt^{2}}}.\end{aligned}}$

Et l’on remarquera qu’il restera encore deux indéterminées $\eta$ et $\sigma ,$ lesquelles pourront être supposées égales à tout ce qu’on voudra, selon ce qu’on jugera plus commode.

À l’égard des quantités $\alpha$ et $\mathrm {f} ,$ il faudra les prendre de telle manière que les deux conditions exprimées dans le n^o 72 aient lieu, c’est-à-dire que les valeurs de $y$ et de ${\frac {dx}{dt}}$ ne renferment aucun terme tout constant ; ainsi ce ne sera qu’après avoir trouvé les expressions générales de $y$ et de ${\frac {dx}{dt}}$ en $t,$ qu’on pourra déterminer les constantes $\alpha$ et $\mathrm {f} .$

Au reste, comme il n’est pas absolument nécessaire que la quantité $a$ représente exactement la distance moyenne de la planète, on pourra, si l’on veut, se contenter de remplir la seconde des deux conditions dont nous venons de parler, et pour lors on aura encore une nouvelle indéterminée $\alpha$ à volonté.

Enfin, pour déterminer $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ on substituera d’abord dans les équations $(o)$ et $(p)$ les valeurs de $y$ et $z$ en $t,$ et on fera ensuite des équations séparées des termes dans lesquels $t$ n’entre pas, les autres étant censés se détruire d’eux-mêmes. Or, en mettant au lieu de $y$ et $z$ leurs valeurs approchées $\mathrm {y} -\alpha$ et $\mathrm {z} ,$ et négligeant tous les termes affectés de $i,$ ainsi que ceux qui contiennent des sinus et des cosinus, on a, à cause de $g-2h\mathrm {f}$ égal à très-peu près à $\alpha h^{2},$

${\frac {d\mathrm {y} ^{2}}{dt^{2}}}+h^{2}\mathrm {y} ^{2}-\alpha h^{2}+\mathrm {A} =0$

${\frac {d\mathrm {z} ^{2}}{dt^{2}}}+h^{2}\mathrm {z} ^{2}+\mathrm {B} =0.$

De sorte qu’en ne prenant, dans les valeurs de $\mathrm {y} ^{2},{\frac {d\mathrm {y} ^{2}}{dt^{2}}},\mathrm {z} ^{2}$ et ${\frac {d\mathrm {z} ^{2}}{dt^{2}}},$ que les termes constants, et omettant les autres, on aura

$\mathrm {A} =\alpha ^{2}h^{2}-h^{2}\mathrm {y} ^{2}-{\frac {d\mathrm {y} ^{2}}{dt^{2}}}$

et

$\mathrm {B} =-h^{2}\mathrm {z} ^{2}-{\frac {d\mathrm {z} ^{2}}{dt^{2}}}.$

80. Pour mettre nos formules sous une forme plus commode et plus simple, nous ferons $\alpha =0,\ \eta =0$ et $\sigma =-{\frac {11}{2h^{2}}}\,;$ moyennant quoi nous aurons

$y+i\left(y^{2}+{\frac {1}{2}}z^{2}\right)+i^{2}\left({\frac {1}{2}}y^{3}+{\frac {3}{2}}yz^{2}\right)=\mathrm {y}$

et

$z-2i\left(1-{\frac {2i\mathrm {f} }{h}}\right){\frac {dzdy}{h^{2}dt^{2}}}+i^{2}\left({\frac {3}{2}}z^{3}+2zy^{2}-{\frac {11}{2}}y{\frac {dydz}{h^{2}dt^{2}}}\right)=\mathrm {z} \,;$

d’où l’on tire, en ne poussant la précision que jusqu’aux quantités de l’ordre de $i^{2},$

$(q)\qquad y=\mathrm {y} -i\left(\mathrm {y} ^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {z} ^{2}\right)+i^{2}\left({\frac {3}{2}}\mathrm {y} ^{3}-{\frac {1}{2}}\mathrm {yz} ^{2}-2\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {y} d\mathrm {z} }{h^{2}dt^{2}}}\right),$

${\begin{aligned}z=&\mathrm {z} +2i\left(1-{\frac {2i\mathrm {f} }{h}}\right){\frac {d\mathrm {z} d\mathrm {y} }{h^{2}dt^{2}}}\\&-i^{2}\left[{\frac {3}{2}}\mathrm {z} ^{3}+2\mathrm {zy} ^{2}-{\frac {3}{2}}\mathrm {y} {\frac {d\mathrm {z} d\mathrm {y} }{h^{2}dt^{2}}}+2\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {z} ^{2}}{h^{2}dt^{2}}}+4{\frac {d\mathrm {y} d(d\mathrm {z} d\mathrm {y} )}{h^{4}dt^{4}}}\right],\end{aligned}}$

ou bien, en mettant pour ${\frac {d^{2}\mathrm {y} }{dt^{2}}}$ et ${\frac {d^{2}\mathrm {z} }{dt^{2}}}$ leurs valeurs approchées $-h^{2}\mathrm {y}$ et $-h^{2}\mathrm {z} ,$

$(r)\qquad \left\{{\begin{aligned}z=&\mathrm {z} +2i\left(1-{\frac {2i\mathrm {f} }{h}}\right){\frac {d\mathrm {z} d\mathrm {y} }{h^{2}dt^{2}}}\\&-i^{2}\left({\frac {3}{2}}\mathrm {z} ^{3}+2\mathrm {zy} ^{2}+{\frac {5}{2}}\mathrm {y} {\frac {d\mathrm {z} d\mathrm {y} }{h^{2}dt^{2}}}+2\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {z} ^{2}}{h^{2}dt^{2}}}+4\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {y} ^{2}}{h^{2}dt^{2}}}\right).\end{aligned}}\right.$

Et si l’on substitue cette valeur de $y$ dans l’équation $(n)$ du n^o 77, on aura

$(s)\qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}=&-2(h+i\mathrm {f} )\mathrm {y} +\mathrm {f} +i(h+i\mathrm {f} )\mathrm {\left(5y^{2}+z^{2}\right)} \\&-i^{2}h\left(13\mathrm {y} ^{3}+2\mathrm {yz} ^{2}-4\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {y} d\mathrm {z} }{h^{2}dt^{2}}}\right)-\mathrm {n} \Xi ,\end{aligned}}\right.$

équation facile à intégrer dès qu’on aura les valeurs de $y$ et $z$ en $t.$ On se souviendra seulement qu’il faudra, avant l’intégration, égaler à zéro tous les termes constants.

De plus, si l’on veut avoir l’expression du rayon vecteur $u$ de l’orbite réelle, on fera

$u-a(1+i\nu ),$

et comme $u=r{\sqrt {1+q^{2}}},$ on trouvera

$\nu =y+{\frac {i}{2}}z^{2}+{\frac {i^{2}}{2}}yz^{2},$

et mettant au lieu de $y$ et $z$ leurs valeurs en $\mathrm {y}$ et $\mathrm {z} ,$

$\nu =\mathrm {y} -i\mathrm {y} ^{2}+{\frac {3}{2}}i^{2}\mathrm {y} ^{3}.$

Ainsi le problème ne dépendra plus que de l’intégration des équations

$(t)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d^{2}\mathrm {y} }{dt^{2}}}+\mathrm {K} ^{2}\mathrm {y} +\mathrm {n} {\mathfrak {Y}}=0,$

$(u)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d^{2}\mathrm {z} }{dt^{2}}}+\mathrm {L} ^{2}\mathrm {z} +i\mathrm {n} {\mathfrak {Z}}=0.$

81. Si l’on fait $n=0,$ on aura le cas ordinaire où l’orbite est une ellipse immobile.

On trouvera donc pour ce cas

$\mathrm {y} =\Delta \cos(\mathrm {K} t-{\mathfrak {A}})\quad {\text{et}}\quad \mathrm {z} =\Lambda \sin(\mathrm {L} t-{\mathfrak {E}}),$

$\Delta ,\Lambda ,{\mathfrak {A}}$ et ${\mathfrak {E}}$ étant des constantes.

Donc : 1^o $\mathrm {A} =-h^{2}\Delta ^{2}$ et $\mathrm {B} =-h^{2}\Delta ^{2}$ (n^o 79) ; 2^o si l’on substitue ces valeurs de $\mathrm {y}$ et de $\mathrm {z}$ dans le second membre de l’équation $(s),$ et qu’après avoir développé les puissances des sinus et des cosinus on égale à zéro tous les termes constants, on aura, aux quantités de l’ordre de $i^{2}$ près,

$\mathrm {f} +ih\left({\frac {5}{2}}\Delta ^{2}+{\frac {1}{2}}\Lambda ^{2}\right)=0\,;$

d’où

$f=-ih\left({\frac {5}{2}}\Delta ^{2}+{\frac {1}{2}}\Lambda ^{2}\right).$

De sorte qu’on trouvera (à cause de $\alpha =0$ et de $\mathrm {n} =0$) $k=0$ et $l=0,$ et par conséquent $\mathrm {K} =h$ et $\mathrm {L} =h$ (n^o 79).

Si l’on n’eût pas supposé $\alpha =0,$ on eût eu

$\mathrm {A} =h^{2}(\alpha ^{2}-\Delta ^{2}),\qquad \mathrm {B} =-h^{2}\Lambda ^{2}$

et

$(h+i\mathrm {f} )\alpha +\mathrm {f} +5ih\left({\frac {1}{2}}\Delta ^{2}+\alpha \right)+{\frac {ih}{2}}\Lambda ^{2}=0\,;$

d’où

$\mathrm {f} =-2h\alpha -ih\alpha ^{2}-{\frac {ih}{2}}\left(5\Delta ^{2}+\Lambda ^{2}\right),$

et l’on trouverait, après les substitutions, que tous les termes des valeurs de $k$ et de $l$ se détruiraient d’eux-mêmes, de manière que ces quantités seraient aussi nulles, comme elles le doivent être dans ce cas : ce qui pourrait servir, s’il en était besoin, à confirmer la bonté de nos formules.

Il ne s’agira donc plus que de mettre, dans les équations du numéro précédent, $\Delta \cos(ht-{\mathfrak {A}})$ à la place de $\mathrm {y} ,$ et $\Lambda \sin(ht-{\mathfrak {E}})$ à la place de $\mathrm {z} ,$ ce qui n’aura aucune difficulté : d’ailleurs ce cas est si connu des Géomètres qu’il serait superflu de nous y arrêter. Je me contenterai d’observer :

1^o Que les absides de l’orbite se trouveront aux points où $d\mathrm {y} =0,$ et par conséquent où $\sin(ht-{\mathfrak {A}})=0,$ ce qui donnera pour l’aphélie

$cos(ht-{\mathfrak {A}})=1\quad {\text{et}}\quad \nu =\Delta -i\Delta ^{2}+{\frac {3}{2}}i^{2}\Delta ^{3},$

et pour le périhélie

$\cos(ht-{\mathfrak {A}})=-1\quad {\text{et}}\quad \nu =-\Delta -i\Delta ^{2}-{\frac {3}{2}}i^{2}\Delta ^{3}\,;$

d’où il s’ensuit que le demi-axe de l’ellipse sera égal à $a\left(1-i^{2}\Delta ^{2}\right),$ et l’excentricité à $i\Delta {\frac {1+{\cfrac {3}{2}}i^{2}\Delta ^{2}}{1-i^{2}\Delta ^{2}}}=i\Delta \left(1+{\frac {5}{2}}i^{2}\Delta ^{2}\right),$ soit $i\Delta$ à très-peu près ;

2^o Que par conséquent l’angle $ht-{\mathfrak {A}}$ représentera l’anomalie moyenne, et ${\mathfrak {A}}$ le lieu de l’aphélie ;

3^o Que les limites, c’est-à-dire les plus grandes latitudes, seront aux points où $d\mathrm {z} ={\frac {2i\mathrm {z} d\mathrm {y} }{1-2i\mathrm {y} }},$ et par conséquent, en négligeant les quantités de l’ordre de $i^{2},$ aux points où ${\frac {\cos(ht-{\mathfrak {E}})}{\sin(ht-{\mathfrak {E}})}}=2i{\frac {d\mathrm {y} }{hdt}},$ c’est-à-dire où $\cos(ht-{\mathfrak {E}})=2i{\frac {d\mathrm {y} }{hdt}}\,:$ d’où la plus grande valeur de $\mathrm {z}$ sera

$\Lambda \left(1-2i^{2}h^{2}\Delta ^{2}-{\frac {3}{2}}i^{2}h^{2}\Lambda ^{2}\right)\,;$

de sorte qu’on aura pour la tangente de l’inclinaison de l’orbite

$i\Lambda \left(1-2i^{2}h^{2}\Delta ^{2}-{\frac {3}{2}}i^{2}h^{2}\Lambda ^{2}\right)=i\Delta$

à très-peu près ;

4^o Que, comme ${\frac {d^{2}\mathrm {y} }{dt^{2}}}+h^{2}\mathrm {y} =0,$ on aura, à cause de ${\frac {dx}{dt}}=-2h\mathrm {y} ,$ en négligeant les termes affectés de $i,$

${\frac {d\mathrm {y} }{dt}}=-h^{2}\int \mathrm {y} dt={\frac {h}{2}}x\,;$

donc on aura dans les limites

${\frac {\cos(ht-{\mathfrak {E}})}{\sin(ht-{\mathfrak {E}})}}=ix\,;$

et par conséquent,

$\cos(ht-{\mathfrak {E}})-ix\sin(ht-{\mathfrak {E}})=0,$

ou bien

dd

$\cos(ht+ix-{\mathfrak {E}})=0\,;$

c’est-à-dire

$\cos(\varphi -{\mathfrak {E}})=0\,;$

ce qui montre que ${\mathfrak {E}}$ est le lieu du nœud ascendant, et qu’ainsi l’angle $ht-{\mathfrak {E}}$ dénote la distance moyenne de la planète au nœud.

82. Il est bon de remarquer que si l’on voulait résoudre le problème du n^o 78 d’une manière plus générale, en donnant à tous les termes des équations $(l)$ et $(m)$ des coefficients indéterminés, on trouverait, après en avoir fait le calcul, deux équations de condition entre ces mêmes coefficients ; de sorte que la solution ne pourrait avoir lieu que quand ces équations seraient identiques d’elles-mêmes ; or c’est précisément ce qui arrive dans notre cas, et c’est là la raison pourquoi il reste deux coefficients indéterminés $\eta$ et $\sigma .$ Au reste il est facile de voir que cet inconvénient ne vient que de ce que nous avons conservé la quantité ${\frac {dydz}{dt^{2}}}$ au lieu d’y substituer sa valeur tirée des équations $(l)$ et $(m),$ comme nous l’avons pratiqué dans le n^o 52. Ainsi il sera très-aisé d’y remédier, et de donner par là à notre méthode toute la généralité dont elle est susceptible.

83. Revenons maintenant à notre sujet, et voyons comment il faut s’y prendre pour intégrer les équations $(t)$ et $(u).$ Pour cela on commencera par mettre dans les expressions de ${\mathfrak {Y}}$ et ${\mathfrak {Z}},$ à la place de $y,z$ et $x$ leurs valeurs approchées $\mathrm {y,z}$ et $-2h\int \mathrm {y} dt$ tirées des équations $(q),$ $(r),$ $(s),$ et de même à la place de $y',z',x'$ les valeurs correspondantes $\mathrm {y',z'}$ et $-2h'\int \mathrm {y} 'dt\,;$ puis on cherchera, par l’intégration, les valeurs de $\mathrm {y,z}$ et de $\mathrm {y',z'} ,$ en y négligeant d’abord tous les termes affectés de $i$ et $\mathrm {n} \,;$ et ces premières valeurs étant ensuite substituées dans ${\mathfrak {Y}}$ et ${\mathfrak {Z}}$ serviront à déterminer plus exactement les mêmes quantités $\mathrm {y,z,y',z'} .$

Or il semble d’abord qu’on pourrait se contenter de prendre pour premières valeurs approchées de $\mathrm {y}$ et $\mathrm {z}$ celles que nous avons trouvées plus haut (n^o 81), savoir

$\mathrm {y} =\Delta \cos(\mathrm {K} t-{\mathfrak {A}}),\qquad \mathrm {z} =\Lambda \sin(\mathrm {L} t-{\mathfrak {E}}),$

et par conséquent aussi

$\mathrm {y} '=\Delta '\cos(\mathrm {K} 't-{\mathfrak {A}}'),\qquad \mathrm {z} '=\Lambda '\sin(\mathrm {L} 't-{\mathfrak {E}}').$

Mais ces valeurs étant substituées dans les quantités ${\mathfrak {Y}}$ et ${\mathfrak {Z}},$ on verra, après le développement des produits des différents sinus et cosinus, qu’on aura des termes de cette forme :

$\cos \left[(ht+ik')t-{\mathfrak {A}}'\right]\quad {\text{et}}\quad \sin \left[ht+il')t-{\mathfrak {E}}'\right],$

lesquels étant de l’ordre de $i\mathrm {n}$ dans les équations différentielles se trouveront divisés, après l’intégration, par des quantités du même ordre ; de sorte qu’ils appartiendront aussi aux premières valeurs de $\mathrm {y}$ et $\mathrm {z} .$

Le terme $i{\mathfrak {Q}}_{5}\mathrm {y} '\cos \mathrm {H} t,$ par exemple, qui se trouve dans la quantité $\Phi ,$ donnera par la substitution de la valeur de $\mathrm {y} '$ le terme

${\frac {i{\mathfrak {Q}}_{5}}{2}}\Delta '\cos \left[(h+ik')t-{\mathfrak {A}}'\right],$

à cause de $\mathrm {K} '=h'+ik'$ et de $\mathrm {H} =h-h'\,;$ de sorte que la quantité ${\mathfrak {Y}}$ contiendra le terme

${\frac {i\mathrm {n} {\mathfrak {Q}}_{5}}{2}}\Delta '\cos \left[(h+ik')t-{\mathfrak {A}}'\right],$

lequel étant intégré (n^o 42) donnera dans la valeur de $\mathrm {y}$ le nouveau terme

${\frac {i\mathrm {n} {\mathfrak {Q}}_{5}}{2\left[(h+ik')^{2}-\mathrm {K} ^{2}\right]}}\Delta \cos \left[(h+ik')t-{\mathfrak {A}}'\right],$

or, en mettant $h+ik$ au lieu de $\mathrm {K} ,$ et négligeant les termes de l’ordre de $i^{2},$

$(h+ik')^{2}-\mathrm {K} ^{2}=2i(k'-k)h\,;$

de plus oh a (n^o 79), à cause de $\alpha =0$ et $\mathrm {f} ={\frac {i}{h}}\mathrm {\left({\frac {5}{2}}A+{\frac {1}{2}}B\right)}$ (n^o 81),

$k={\frac {\mathrm {n} }{2h}}({\mathfrak {P}}_{4}+2{\mathfrak {A}}_{2})\,;$

et de même

$k'={\frac {\mathrm {n} '}{2h'}}({\mathfrak {P}}'_{4}+2{\mathfrak {A}}'_{2})\,;$

donc le terme dont il s’agit deviendra

${\frac {{\mathfrak {Q}}_{5}}{2{\cfrac {\mathrm {n} 'h}{\mathrm {n} h'}}({\mathfrak {P}}'_{4}+2{\mathfrak {A}}'_{2})-2({\mathfrak {P}}_{4}+2{\mathfrak {A}}_{2})}}\Delta \cos \left[(h+ik')t-{\mathfrak {A}}'\right],$

lequel appartient, comme on voit, à la première valeur de $\mathrm {y} .$

On trouvera de même dans la première valeur de $\mathrm {y} '$ un terme contenant $\cos[(h'+ik)t-{\mathfrak {A}}],$ et qui étant substitué dans le même terme $i\mathrm {n} {\mathfrak {Q}}_{5}y'\cos \mathrm {H} t$ de la quantité ${\mathfrak {Y}}$ donnera un terme de cette forme : $\cos \left[(h+ik)t-{\mathfrak {A}}\right],$ savoir : $\cos(\mathrm {K} t-{\mathfrak {A}})\,;$ de sorte que la nouvelle valeur de $\mathrm {y}$ renfermera un arc de cercle (n^o 42).

Le même inconvénient aura lieu, comme il est aisé de s’en assurer, par rapport à tous les termes de ${\mathfrak {Y}}$ et de ${\mathfrak {Z}}$ qui renferment $\mathrm {y} '$ ou $\mathrm {z} '$ multipliés par $\cos \mathrm {H} t$ ou par $\sin \mathrm {H} t.$ Tels sont dans la quantité ${\mathfrak {Y}}$ les termes

${\begin{aligned}i\left[{\mathfrak {Q}}_{5}\mathrm {y} '\cos \mathrm {H} t+2h{\mathfrak {P}}_{7}\int \mathrm {y} '\sin \mathrm {H} tdt-2h'{\mathfrak {B}}^{2}\int \mathrm {y} 'dt\times \sin \mathrm {H} t\right.\qquad \qquad &\\\left.+4hh'{\mathfrak {A}}_{3}\int \left(\int \mathrm {y} 'dt\times \cos \mathrm {H} t\right)dt\right],&\end{aligned}}$

et dans la quantité ${\mathfrak {Z}}$ le terme ${\mathfrak {B}}_{5}\cos \mathrm {H} t.$ Ainsi il sera nécessaire d’avoir égard à ces termes dans la première approximation des valeurs de $\mathrm {y}$ et $\mathrm {z} .$

On aura donc en premier lieu l’équation suivante en $\mathrm {y} \,:$

${\frac {d^{2}\mathrm {y} }{dt^{2}}}+\mathrm {K^{2}y} +i\mathrm {n} \left[{\mathfrak {Q}}_{5}\mathrm {y} '\cos \mathrm {H} t+2hP_{7}\int \mathrm {y} '\sin \mathrm {H} tdt\right.$

$\left.-2h'{\mathfrak {B}}_{2}\int \mathrm {y} 'dt\times \sin \mathrm {H} t+4hh'{\mathfrak {A}}_{3}\int \left(\int \mathrm {y} dt\times \cos \mathrm {H} t\right)dt\right]=0,$

ou bien, parce que

$\int \left(\int \mathrm {y} 'dt\times \cos \mathrm {H} t\right)dt={\frac {1}{\mathrm {H} }}\int \mathrm {y} 'dt\times \sin \mathrm {H} t-{\frac {1}{\mathrm {H} }}\int \mathrm {y} '\sin \mathrm {H} tdt.$

${\frac {d^{2}\mathrm {y} }{dt^{2}}}+\mathrm {K^{2}y} +i\mathrm {n} \left[{\mathfrak {Q}}_{5}\mathrm {y} '\cos \mathrm {H} t+\left({\frac {4hh'}{\mathrm {H} }}{\mathfrak {A}}_{3}-2h'{\mathfrak {B}}_{2}\right)\int \mathrm {y} 'dt\times \sin \mathrm {H} t\right.$

$\left.-\left({\frac {4hh'}{\mathrm {H} }}{\mathfrak {A}}_{3}-2h{\mathfrak {P}}_{7}\right)\int \mathrm {y} '\sin \mathrm {H} tdt\right]=0.$

Or on a, aux quantités de l’ordre de $\mathrm {n}$ près,

${\frac {d^{2}\mathrm {y} }{dt^{2}}}+\mathrm {K^{2}y} =0\,;$

donc on aura aussi, dans la même hypothèse,

${\frac {d^{2}\mathrm {y} '}{dt^{2}}}+\mathrm {K'^{2}y'} =0\,;$

donc : 1^o ${\frac {d\mathrm {y} '}{dt}}+\mathrm {K} '^{2}\int \mathrm {y} 'dt=0,s$ d’où

$\int \mathrm {y} 'dt=-{\frac {d\mathrm {y} '}{\mathrm {K} '^{2}dt}}\,;$

2^o $\int {\frac {d^{2}\mathrm {y} '}{dt^{2}}}\sin \mathrm {H} tdt+\mathrm {K} '^{2}\int \mathrm {y} '\sin \mathrm {H} tdt=0\,;$ mais

$\int {\frac {d^{2}\mathrm {y} '}{dt^{2}}}\sin \mathrm {H} tdt={\frac {d\mathrm {y} '}{dt}}\sin \mathrm {H} t-\mathrm {Hy} '\cos \mathrm {H} t-\mathrm {H} ^{2}\int \mathrm {y} '\sin \mathrm {H} tdt\,:$

donc

${\frac {d\mathrm {y} '}{dt}}\sin \mathrm {H} t=\mathrm {Hy} '\cos \mathrm {H} t+\mathrm {\left(K'^{2}-H^{2}\right)} \int \mathrm {y} '\sin \mathrm {H} tdt\,;$

par conséquent

$\int \mathrm {y} '\sin \mathrm {H} t={\frac {\left({\cfrac {d\mathrm {y} '}{dt}}\sin \mathrm {H} t-\mathrm {H} y'\cos \mathrm {H} t\right)}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}.$

Donc, substituant ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendra

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K^{2}y} +i\mathrm {n} \left[\left({\mathfrak {Q}}_{5}+{\frac {4hh'}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {A}}_{3}-{\frac {2h\mathrm {H} }{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {P}}_{7}\right)\mathrm {y} '\cos \mathrm {H} t\right.$

$\left.+\left({\frac {2h}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {P}}_{7}-{\frac {4hh'\mathrm {H} }{\mathrm {\left(H^{2}-K'^{2}\right)K'^{2}} }}{\mathfrak {A}}_{3}+{\frac {2h'}{\mathrm {K} '^{2}}}{\mathfrak {B}}_{2}\right){\frac {d\mathrm {y} '}{dt}}\sin \mathrm {H} t\right]=0.$

Ensuite on aura cette équation en $\mathrm {z} \,:$

${\frac {d^{2}\mathrm {z} }{dt^{2}}}+\mathrm {L^{2}z} +i\mathrm {n} {\mathfrak {B}}_{5}\mathrm {z} '\cos \mathrm {H} t=0.$

On trouvera de même des équations semblables en $\mathrm {y} '$ et $\mathrm {z} ',$ suivant la remarque du n^o 77, et l’on aura ainsi quatre équations, lesquelles s’intégreront, comme on le voit, par la méthode du n^o 58.

84. Puisque $\mathrm {H} =h+h'$ (n^o 85) et $\mathrm {K} =h+ik,\ \mathrm {L} =h+il$ (n^o 79), et de même $\mathrm {K} '=h'+ik',\ \mathrm {L} '=h'+il',$ on aura le cas du n^o 60. Donc : 1^o si l’on fait

${\begin{aligned}\mathrm {M} &=\mathrm {n} \left({\mathfrak {Q}}_{5}+{\frac {4hh'}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {A}}_{3}-{\frac {2h\mathrm {H} }{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {P}}_{7}\right),\\\mathrm {N} &=\mathrm {n} \left[{\frac {2h}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {P}}_{3}-{\frac {4hh'\mathrm {H} }{\mathrm {\left(H^{2}-K'^{2}\right)K'^{2}} }}{\mathfrak {A}}_{3}+{\frac {2h'}{\mathrm {K} '^{2}}}{\mathfrak {B}}_{2}\right],\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}\mathrm {M} '&=\mathrm {n} '\left({\mathfrak {Q}}_{5}+{\frac {4h'h}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {A}}'_{3}-{\frac {2h'\mathrm {H} }{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {P}}'_{7}\right),\\\mathrm {N} '&=\mathrm {n} '\left[{\frac {2h'}{\mathrm {H^{2}-K'^{2}} }}{\mathfrak {P}}'_{3}-{\frac {4h'h\mathrm {H} }{\mathrm {\left(H^{2}-K'^{2}\right)K'^{2}} }}{\mathfrak {A}}h_{3}+{\frac {2h}{\mathrm {K} '^{2}}}{\mathfrak {B}}'_{2}\right],\end{aligned}}$

ensuite

$\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {M+N} h'}{4h}},\qquad \mathrm {P} '={\frac {\mathrm {M'+N'} h}{4h'}},$

et qu’on appelle $m_{1},m_{2}$ les racines de l’équation

$(m-k)(m-k')-\mathrm {PP} '=0,$

en sorte que

${\begin{aligned}m_{1}&={\frac {k+k'+{\sqrt {(k-k')^{2}+4\mathrm {PP} '}}}{2}},\\m_{2}&={\frac {k+k'-{\sqrt {(k-k')^{2}+4\mathrm {PP} '}}}{2}},\end{aligned}}$

on trouvera (n^os 62 et 65) que la première valeur approchée de $\mathrm {y}$ sera de cette forme :

$(v)\left\{{\begin{aligned}y&={\frac {(m_{1}-k')\mathrm {F+PF'} }{m_{1}-m_{2}}}\cos(h+im_{1})t+{\frac {(m_{1}-k')\mathrm {G+PG'} }{m_{1}-m_{2}}}\sin(h+im_{1})t\\&-{\frac {(m_{2}-k')\mathrm {F+PF'} }{m_{1}-m_{2}}}\cos(h+im_{2})t-{\frac {(m_{2}-k')\mathrm {G+PG'} }{m_{1}-m_{2}}}\sin(h+im_{2})t.\end{aligned}}\right.$

2^o Si l’on fait de même

$\mathrm {Q} ={\frac {\mathrm {n} {\mathfrak {B}}_{5}}{4h}},\qquad \mathrm {Q} '={\frac {\mathrm {n} '{\mathfrak {B}}'_{5}}{4h'}},$

et qu’on nomme $n_{1},n_{2}$ les racines de l’équation

$(n-l)(n-l')-\mathrm {QQ} '=0,$

en sorte que

$n_{1}={\frac {l+l'+{\sqrt {(l-l')^{2}+4\mathrm {QQ} '}}}{2}},\quad n_{2}={\frac {l+l'-{\sqrt {(l-l')^{2}+4\mathrm {QQ} '}}}{2}},$

on aura

$(x)\left\{{\begin{aligned}\mathrm {z} &={\frac {(n_{1}-l')\mathrm {B+QB'} }{n_{1}-n_{2}}}\cos(h+in_{1})t+{\frac {(n_{1}-l')\mathrm {C+QC'} }{n_{1}-n_{2}}}\sin(h+in_{1})t\\&-{\frac {(n_{2}-l')\mathrm {B+QB'} }{n_{1}-n_{2}}}\cos(h+in_{2})t+{\frac {(n_{2}-l')\mathrm {C+QC'} }{n_{1}-n_{2}}}\sin(h+in_{2})t.\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {F,F',G,G',B,B',C,C'}$ étant des constantes qu’il faudra déterminer par les observations.

Telles sont les premières valeurs approchées de $\mathrm {y}$ et $\mathrm {z} ,$ et, pour avoir celles de $\mathrm {y} '$ et $\mathrm {z} ',$ il n’y aura qu’à marquer simplement d’un trait toutes les lettres qui ne le sont point et vice versâ.

Si l’on voulait maintenant pousser l’approximation plus loin, et déterminer plus exactement les quantités $\mathrm {y,z,y',z'} ,$ on substituerait d’abord les valeurs qu’on vient de trouver, dans les termes de \mathfrak Y $et$ et des ${\mathfrak {Z}}$ que nous avons négligés ; après quoi il n’y aurait plus qu’à suivre la méthode qui a été exposée dans le n^o 64.

Le peu de temps qui me reste ne me permettant pas d’entrer dans ce détail, je me contenterai d’avoir établi les principes nécessaires pour résoudre le problème dont il s’agit, et je me bornerai à examiner ici, d’après les formules données ci-dessus, les inégalités des mouvements de Jupiter et de Saturne qui font varier l’excentricité et la position de l’aphélie de ces deux planètes, aussi bien que l’inclinaison et le lieu du nœud de leurs orbites, et qui produisent surtout une altération apparente dans leurs moyens mouvements, inégalités que les observations ont fait connaître depuis longtemps, mais que personne jusqu’ici n’a encore entrepris de déterminer avec toute l’exactitude qu’on peut exiger dans un sujet si important.

85. Soit

$m_{1}+m_{2}=2\mu h\quad {\text{et}}\quad m_{1}-m_{2}=2\nu h,$

en sorte que

$\mu ={\frac {k+k'}{2h}}\quad {\text{et}}\quad \nu ={\frac {\sqrt {(k-k')^{2}+4\mathrm {PP} '}}{2h}}\,;$

supposons de plus

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{1}={\frac {(k-k')\mathrm {F+2PF'} }{2h\nu }},\\\mathrm {G} _{1}={\frac {(k-k')\mathrm {G+2PG'} }{2h\nu }},\end{aligned}}$

et nous aurons, au lieu de l’équation $(v),$ celle-ci :

${\begin{aligned}\mathrm {y} &=\mathrm {F} \cos(1+i\mu )ht\cos i\nu ht-\mathrm {F} _{1}\sin(1+i\mu )ht\sin i\nu ht\\&+\mathrm {G} \sin(1+i\mu )ht\cos i\nu ht+\mathrm {G} _{1}\cos(1+i\mu )ht\sin i\nu ht.\end{aligned}}$

Soient maintenant

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {F} \,\ =&\delta \cos \alpha ,&\mathrm {G} \ \,=&\delta \sin \alpha ,\\\mathrm {F} _{1}=&\delta _{1}\cos \alpha _{1},\qquad &\mathrm {G} _{1}=&\delta _{1}\sin \alpha _{1},\end{alignedat}}$

on aura

$y=\delta \cos \left[(1+i\mu )ht-\alpha \right]\cos i\nu ht-\delta _{1}\sin \left[(1+i\mu )ht-\alpha _{1}\right]\sin i\nu ht.$

Soient encore

$\alpha _{1}=\alpha +\eta \quad {\text{et}}\quad \delta _{1}=\beta \delta ,$

on aura

$\sin[(1+i\mu )ht-\alpha _{1}]=\sin[(1+i\mu )ht-\alpha ]\cos \eta )-\cos[(1+i\mu )ht-\alpha ]\sin \eta \,;$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {y} &=\delta (\cos i\nu ht+\beta \sin \eta \sin i\nu ht)\cos \left[(1+i\mu )ht-\alpha \right]\\&-\delta \beta \cos \eta \sin i\nu ht\sin[(1+i\mu )ht-\alpha ].\end{aligned}}$

Enfin, soit

${\frac {\cos i\nu ht+\beta \sin \eta \sin i\nu ht}{\beta \cos \eta \sin i\nu ht}}={\frac {\cos \psi }{\sin \psi }},$

c’est-à-dire

$\cot \psi ={\frac {\cot i\nu ht}{\beta \cos \eta }}+\operatorname {tang} \eta ,$

et nous aurons

$\mathrm {y} =\delta {\sqrt {(\cos i\nu ht+\beta \sin \eta \sin i\nu ht)^{2}+(\beta \cos \eta \sin i\nu ht)^{2}}}\times \cos \left[(1+i\mu )ht+\psi -\alpha \right],$

ou bien, en faisant

$\Delta =\delta {\sqrt {{\frac {1+\beta ^{2}}{2}}+{\frac {1-\beta ^{2}}{2}}\cos 2i\nu ht+\beta \sin \eta \sin 2i\nu ht}}\ \ {\text{et}}\ \ {\mathfrak {A}}=\alpha -\psi -i\mu ht,$

$\mathrm {y} =\Delta \cos(ht-{\mathfrak {A}}).$

De même, si l’on fait

$n_{1}+n_{2}=2\rho h,\qquad n_{1}-n_{2}=2\sigma h.$

en sorte que

$\rho ={\frac {l+l'}{2h}},\qquad \sigma ={\frac {\sqrt {(l-l')^{2}+4\mathrm {QQ} '}}{2h}},$

ensuite

$\mathrm {B} _{1}={\frac {(l-l')\mathrm {B+2QB'} }{2h\sigma }},\qquad \mathrm {C} _{1}={\frac {(l-l')\mathrm {C+2QC'} }{2h\sigma }},$

et de plus

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {B} \,\ =&-\lambda \sin \varepsilon ,&\mathrm {C} \,\ =&\lambda \cos \varepsilon ,\\\mathrm {B} _{1}=&-\lambda _{1}\sin \varepsilon _{1},\qquad &\mathrm {C} _{1}=&\lambda _{1}\cos \varepsilon _{1},\end{alignedat}}$

$\varepsilon _{1}=\varepsilon +\omega ,\qquad \lambda _{1}=\gamma \lambda ,$

$\cot \zeta ={\frac {\cot i\sigma ht}{\gamma \cos \omega }}+\operatorname {tang} \omega ,$

enfin

$\Lambda =\lambda {\sqrt {{\frac {1+\gamma ^{2}}{2}}+{\frac {1-\gamma ^{2}}{2}}\cos 2i\sigma ht+\gamma \sin \omega \sin 2i\sigma ht}}\ \ {\text{et}}\ \ {\mathcal {E}}=\varepsilon -\zeta -i\rho ht,$

on aura par l’équation $(x)$

$\mathrm {z} =\Lambda \sin(ht-{\mathcal {E}}).$

Voilà donc les valeurs de $\mathrm {y}$ et de $\mathrm {z}$ réduites à la même forme que celles du n^o 71 ; d’où il est aisé de conclure que l’orbite de Jupiter est une ellipse, dans laquelle l’excentricité est $i\Delta ,$ le lieu de l’aphélie ${\mathfrak {A}},$ la tangente de l’inclinaison à l’écliptique $i\Lambda ,$ et le lieu du nœud ascendant ${\mathcal {E}}.$ Il en sera de même de l’orbite de Saturne, en marquant seulement les lettres d’un trait.

86. Il faudrait présentement substituer ces valeurs de $\mathrm {y}$ et de $\mathrm {z}$ dans les équations $(q),$ $(r)$ et $(s)$ du n^o 80, pour en déduire les expressions des quantités $y,z$ et $x,$ et par conséquent celles de $r,q$ et $\varphi$ (n^o 72) ; mais sans entrer dans ce détail, il suffira de remarquer :

1^o Que les quantités $\mu ,\nu ,\rho$ et $\sigma$ étant de l’ordre de $\mathrm {n} ,$ comme on le verra ci-après, les variations des quantités $\Delta ,\Lambda ,{\mathfrak {A}}$ et ${\mathcal {E}}$ seront de l’ordre de $i\mathrm {n} \,;$ d’où il s’ensuit que les expressions de $y$ et de $z$ seront à très-peu près les mêmes, c’est-à-dire aux quantités de l’ordre de $i^{2}\mathrm {n}$ près, que si ces quantités étaient constantes. De sorte que pour avoir le rayon vecteur de l’orbite, ainsi que la tangente de l’inclinaison, pour un instant quelconque, il n’y aura qu’à calculer l’un et l’autre par les méthodes ordinaires, d’après les éléments $i\Delta ,i\Lambda ,{\mathfrak {A}}$ et ${\mathcal {E}}$ regardés comme constants.

2^o Que, si l’on dénote par $\left({\frac {dx}{dt}}\right)$ la valeur de ${\frac {dx}{dt}},$ en supposant $\Delta ,\Lambda ,{\mathfrak {A}}$ et ${\mathcal {E}}$ constantes, on aura, abstraction faite du terme $\mathrm {n} \Xi$ qu’on doit négliger ici,

${\frac {dx}{dt}}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)+\mathrm {f} +i(h+i\mathrm {f} )\left({\frac {5}{2}}\Delta ^{2}+{\frac {1}{2}}\Lambda ^{2}\right)=0,$

parce que, dans l’hypothèse de $\Delta$ et $\Lambda$ constantes, les termes tous constants $\mathrm {f} +i(h+i\mathrm {f} )\left({\frac {5}{2}}\Delta ^{2}+{\frac {1}{2}}\Lambda ^{2}\right)$ doivent être supposés nuls, comme nous l’avons fait (n^o 81) ; or, dans le cas présent où les quantités $\Delta$ et $\Lambda$ sont en partie constantes et en partie variables, on fera simplement

$\mathrm {f} +i(h+i\mathrm {f} )\left[{\frac {5}{4}}\delta ^{2}\left(1+\beta ^{2}\right)+{\frac {1}{4}}\lambda ^{2}\left(1+\gamma ^{2}\right)\right]=0,$

et on conservera dans la valeur de ${\frac {dx}{dt}}$ les termes variables qui entrent dans $\Delta ^{2}$ et $\Lambda ^{2},$ savoir

$\delta ^{2}\left({\frac {1-\beta ^{2}}{2}}\cos 2i\nu ht+\beta \sin \eta \sin 2i\nu ht\right)$

et

$\lambda ^{2}\left({\frac {1-\gamma ^{2}}{2}}\cos 2i\sigma ht+\gamma \sin \omega \sin 2i\sigma ht\right),$

de sorte que l’on aura, en négligeant les quantités de l’ordre de $i^{3},$

$\mathrm {f} =-{\frac {ih}{4}}\left[5\delta ^{2}\left(1+\beta ^{2}\right)+\lambda ^{2}\left(1+\gamma ^{2}\right)\right],$

et ensuite

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}=&\left({\frac {dx}{dt}}\right)+{\frac {5ih}{2}}\delta ^{2}\left({\frac {1-\beta ^{2}}{2}}\cos 2i\nu ht+\beta \sin \eta \sin 2i\nu ht\right)\\&+{\frac {ih}{2}}\lambda ^{2}\left({\frac {1-\gamma ^{2}}{2}}\cos 2i\sigma ht+\gamma \sin \omega \sin 2i\sigma ht\right).\end{aligned}}$

Pour intégrer cette équation, soit $(x)$ la valeur de $x,$ dans la supposition de $\Delta ,\Lambda ,{\mathfrak {A}}$ et ${\mathcal {E}}$ constantes, et dénotons par $\operatorname {d} (x)$ la différentielle de $(x)$ en faisant ces quantités seules variables, il est clair que la valeur complète de ${\frac {d(x)}{dt}}$ sera $\left({\frac {dx}{dt}}\right)+{\frac {\operatorname {d} (x)}{dt}}\,;$ de manière qu’on aura, en intégrant,

$(x)=\int \left({\frac {dx}{dt}}\right)dt+\int \operatorname {d} (x),$

et par conséquent

$\int \left({\frac {dx}{dt}}\right)dt=(x)-\int \operatorname {d} (x).$

Mais comme les différences des quantités $\Delta ,\Lambda ,{\mathfrak {A}}$ et ${\mathcal {E}}$ sont de l’ordre de $i\mathrm {n} ,$ la quantité $\int \operatorname {d} (x)$ sera aussi du même ordre, et par conséquent elle pourra être négligée, du moins dans la recherche présente ; on aura donc simplement

$\int \left({\frac {dx}{dt}}\right)dt=(x)\,;$

donc

${\begin{aligned}x=(x)&+{\frac {5\delta ^{2}}{4\nu }}\left[{\frac {1-\beta ^{2}}{2}}\sin 2i\nu ht-\beta \sin \eta (\cos 2i\nu ht-1)\right]\\&+\ {\frac {\lambda ^{2}}{4\sigma }}\left[{\frac {1-\gamma ^{2}}{2}}\sin 2i\sigma ht-\gamma \sin \omega (\cos 2i\sigma ht-1)\right],\end{aligned}}$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}\varphi =ht+i(x)&+{\frac {5i\delta ^{2}}{4\nu }}\left[{\frac {1-\beta ^{2}}{2}}\sin 2i\nu ht-\beta \sin \eta (\cos 2i\nu ht-1)\right]\\&+\ {\frac {i\lambda ^{2}}{4\sigma }}\left[{\frac {1-\gamma ^{2}}{2}}\sin 2i\sigma ht-\gamma \sin \omega (\cos 2i\sigma ht-1)\right],\end{aligned}}$

où l’on remarquera que $ht$ est l’angle du mouvement moyen, et $i(x)$ l’équation du centre calculée à l’ordinaire, et combinée avec la réduction à l’écliptique.

Or, comme les coefficients $i\nu$ et $i\sigma$ sont extrêmement petits, il est visible que, tant que l’angle $ht$ ne sera pas fort grand, on aura à très-peu près

$\sin 2i\nu ht=2i\nu ht,\quad \cos 2i\nu ht=1,$

et

$\sin 2i\sigma ht=2i\sigma ht,\quad \cos 2i\sigma ht=1,$

et, par conséquent,

$\varphi =\left[1+{\frac {5}{4}}i^{2}\delta ^{2}\left(1-\beta ^{2}\right)+{\frac {1}{4}}i^{2}\lambda ^{2}\left(1-\gamma ^{2}\right)\right]ht+i(x)\,;$

de sorte que le mouvement moyen sera augmenté en raison de $1+{\frac {5}{4}}i^{2}\delta ^{2}\left(1-\beta ^{2}\right)+{\frac {1}{4}}i^{2}\lambda ^{2}\left(1-\gamma ^{2}\right)$ à $1.$

Si donc on veut que le terme $ht$ représente le moyen mouvement apparent de la planète, c’est-à-dire celui qui résulte des observations de sa révolution, il faudra faire simplement $\mathrm {f} =-{\frac {ih}{2}}(5\delta ^{2}+\lambda ^{2}2)\,;$ et l’on aura pour lors

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}=({\frac {dx}{dt}})&+{\frac {5ih}{2}}\delta ^{2}\left[{\frac {1-\beta ^{2}}{2}}(\cos 2i\nu ht-1)+\beta \sin \eta (\sin 2i\nu ht\right]\\&+\ {\frac {ih}{2}}\lambda ^{2}\left[{\frac {1-\gamma ^{2}}{2}}(\cos 2i\sigma ht-1)+\gamma \sin \omega \sin 2i\sigma ht\right],\end{aligned}}$

d’où l’on trouvera

${\begin{aligned}\varphi =ht+i(x)&+{\frac {5i\delta ^{2}}{4\nu }}\left[{\frac {1-\beta ^{2}}{2}}(\sin 2i\nu ht-2i\nu ht)-\beta \sin \eta (\cos 2i\nu ht-1)\right]\\&+\ {\frac {i\lambda ^{2}}{4\sigma }}\left[{\frac {1-\gamma ^{2}}{2}}(\sin 2i\sigma ht-2i\sigma ht)-\gamma \sin \omega (\cos 2i\sigma ht-1)\right].\end{aligned}}$

Ainsi, tant que les angles $2i\nu ht$ et $2i\sigma ht$ seront fort petits, ce qui aura lieu pendant un certain nombre de révolutions, on aura à très-peu près

$\varphi =ht+i(x)\,;$

c’est-à-dire que la longitude de la planète sera aussi la même que celle qu’on trouverait par les méthodes ordinaires d’après les éléments $i\Delta ,i\Lambda ,{\mathfrak {A}}$ et ${\mathcal {E}}$ supposés constants.

87. Pour faire maintenant usage de nos formules, on remarquera :

1^o Que $\mathrm {n}$ est égal à ${\frac {\mathrm {m} '}{1+i\mathrm {m} }}b$ (n{{o)) 76) ou à très-peu près à $\mathrm {m} 'h^{2},$ en sorte que

$i\mathrm {n} =i\mathrm {m} 'h^{2}=\mathrm {\frac {J'}{I}} h^{2}\quad {\text{et}}\quad i\mathrm {n} '=\mathrm {\frac {J}{I}} h'^{2}.$

2^o Que l’on aura, par le n^o 79,

$\mathrm {A} =h^{2}\left(\alpha ^{2}-\Delta ^{2}\right)\quad {\text{et}}\quad \mathrm {B} =-h^{2}\Lambda ^{2},$

c’est-à-dire, en ne prenant, comme on le doit, que les termes constants des valeurs de $\Delta ^{2}$ et de $\Lambda ^{2},$

$\mathrm {A} =h^{2}\left[\alpha ^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{2}\left(1+\beta ^{2}\right)\right]\quad {\text{et}}\quad \mathrm {B} =-{\frac {1}{2}}h^{2}\lambda ^{2}\left(1+\gamma ^{2}\right),$

ce qui donnera

$k={\frac {\mathrm {n} }{2h}}({\mathfrak {P}}_{1}+2{\mathfrak {A}}_{2})\quad {\text{et}}\quad l={\frac {\mathrm {n} }{2h}}{\mathfrak {A}}_{1},$

à cause de $\alpha =0$ et de $\mathrm {f} =-{\frac {ih}{4}}\left[5\delta ^{2}\left(1+\beta ^{2}\right)+\lambda ^{2}\left(1+\gamma ^{2}\right)\right],$ de sorte qu’on aura

$ik=\mathrm {\frac {J'}{2I}} h({\mathfrak {P}}_{4}+2{\mathfrak {A}}_{2}),\qquad il=\mathrm {\frac {J'}{2I}} h{\mathfrak {A}}_{4},$

et de même

$ik'=\mathrm {\frac {J}{2I}} h'({\mathfrak {P}}'_{4}+2{\mathfrak {A}}'_{2}),\qquad il'=\mathrm {\frac {J}{2I}} h'{\mathfrak {A}}'_{4}.$

Si l’on voulait employer l’autre valeur de $\mathrm {f} ,$ savoir $-{\frac {ih}{2}}\left(5\delta ^{2}+\lambda ^{2}\right),$ il faudrait alors mettre, dans les valeurs de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {B} ,$ $\delta ^{2}$ au lieu de $\Delta ^{2},$ et $\lambda ^{2}$ au lieu de $\Lambda ^{2},$ et l’on trouverait les mêmes expressions de $k$ et de $l$ que ci-devant.

3^o Que ${\frac {\mathrm {I+J} }{a^{3}}}=b=h^{2}+ig$ (n^o 76), est à très-peu près égal à $h^{2}.$ parce que $\mathrm {g}$ est déjà une quantité très-petite (n^o 79). Donc on aura aussi

${\frac {\mathrm {I+J'} }{a'^{3}}}=h'^{2},$

et, par conséquent,

$\mathrm {\frac {I+J'}{I+J}} {\frac {a^{3}}{a'^{3}}}={\frac {h'^{2}}{h^{2}}},$

ou bien, à cause que les masses $\mathrm {J}$ et $\mathrm {J} '$ de Jupiter et de Saturne sont très-petites par rapport à celle du Soleil $\mathrm {I} ,$

${\frac {a^{3}}{a'^{3}}}={\frac {h'^{2}}{h^{2}}},$

de sorte qu’on aura

${\frac {a}{a'}}=\left({\frac {h'}{h}}\right)^{\frac {2}{3}}.$

Cela posé, on commencera par déterminer, suivant la méthode du n^o 73, les coefficients ${\mathfrak {A,B,C}},\ldots$ et ${\mathfrak {P,Q,R}},\ldots \,;$ après quoi on cherchera les valeurs des quantités ${\mathfrak {A_{2},A_{3},A_{4},B_{2},B_{5},P_{4},P_{7},\ldots ,Q_{5}}},$ ainsi que celles de ${\mathfrak {A'_{2},A'_{3},A'_{4}}},\ldots$ qui entrent dans les expressions de $k,l,\mathrm {P,Q}$ et de $k',l',\mathrm {P',Q'} .$ Or, en faisant $s={\frac {3}{2}}$ et ${\frac {a}{a'}}=\mathrm {a}$ (je mets ici \mathrm a au lieu de $\alpha ,$ parce que j’aurai occasion dans la suite de faire servir cette dernière lettre à un autre usage), on aura, par le numéro cité,

$(1-2a\cos \theta +a^{2})^{-{\frac {3}{2}}}={\mathfrak {A}}+{\mathfrak {B}}\cos \theta +{\mathfrak {C}}\cos 2\theta +\ldots \,;$

donc, ayant supposé (n^o 74)

$\left(a^{2}-2aa'\cos \theta +a^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}={\mathfrak {A}}_{1}+{\mathfrak {B}}_{1}\cos \theta +{\mathfrak {C}}_{1}\cos 2\theta +\ldots ,$

on aura

${\mathfrak {A}}_{1}={\frac {\mathfrak {A}}{a'^{3}}},\quad {\mathfrak {B}}_{1}={\frac {\mathfrak {B}}{a'^{3}}},\quad {\mathfrak {C}}_{1}={\frac {\mathfrak {C}}{a'^{3}}},\ldots .$

On trouvera de même

${\mathfrak {P}}_{1}={\frac {\mathfrak {P}}{a'^{5}}},\quad {\mathfrak {Q}}_{1}={\frac {\mathfrak {Q}}{a'^{5}}},\quad {\mathfrak {R}}_{1}={\frac {\mathfrak {R}}{a'^{5}}},\ldots .$

et l’on remarquera que les quantités ${\mathfrak {A_{1},B_{1},C_{1},\ldots ,P_{1},Q_{1},R_{1}}},\ldots$ restent nécessairement les mêmes, en changeant $a$ en $a'$ et $a'$ en $a,$ de sorte qu’on aura aussi

${\mathfrak {A}}'_{1}={\frac {\mathfrak {A}}{a'^{3}}},\quad {\mathfrak {B}}'_{1}={\frac {\mathfrak {B}}{a'^{3}}},\ldots ,\quad {\mathfrak {P}}_{1}={\frac {\mathfrak {P}}{a'^{5}}},\quad {\mathfrak {Q}}'_{1}={\frac {\mathfrak {Q}}{a'^{5}}},\ldots .$

Faisant donc ces substitutions dans les formules du n^o 75, et mettant partout $\mathrm {a}$ au lieu de ${\frac {a}{a'}},$ on trouvera d’abord

${\begin{aligned}{\mathfrak {A}}_{2}&=a^{3}{\mathfrak {A}}-a^{2}{\frac {\mathfrak {B}}{2}},\\{\mathfrak {A}}_{3}&=a^{2}{\frac {2{\mathfrak {A-C}}}{2}}-a^{2},\\{\mathfrak {A}}_{4}&=a^{3}{\mathfrak {A-A_{2}}}=a^{2}{\frac {\mathfrak {B}}{2}},\\{\mathfrak {B}}_{2}&=a^{3}{\mathfrak {B}}-a^{2}{\frac {2{\mathfrak {A+C}}}{2}}+a^{2},\\{\mathfrak {B}}_{5}&=-a^{2}{\mathfrak {B}},\\\end{aligned}}$

ensuite on aura (n^o 74)

${\begin{aligned}{\mathfrak {P}}_{2}&={\frac {3}{a'^{3}}}\left(\mathrm {a} {\frac {\mathfrak {Q}}{2}}-\mathrm {a} ^{2}{\mathfrak {P}}\right),\\{\mathfrak {Q}}_{2}&={\frac {3}{a'^{3}}}\left(\mathrm {a} {\frac {2{\mathfrak {P+R}}}{2}}-\mathrm {a} ^{2}{\mathfrak {Q}}\right),\\{\mathfrak {R}}_{2}&={\frac {3}{a'^{3}}}\left(\mathrm {a} {\frac {\mathfrak {Q+S}}{2}}-\mathrm {a} ^{2}{\mathfrak {R}}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\{\mathfrak {P}}_{3}&={\frac {3}{a'^{3}}}\left(\mathrm {a} {\frac {\mathfrak {Q}}{2}}-{\mathfrak {P}}\right),\\{\mathfrak {Q}}_{3}&={\frac {3}{a'^{3}}}\left(\mathrm {a} {\frac {\mathfrak {2P+R}}{2}}-{\mathfrak {Q}}\right),\\{\mathfrak {R}}_{3}&={\frac {3}{a'^{3}}}\left(\mathrm {a} {\frac {\mathfrak {Q+S}}{2}}-{\mathfrak {R}}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

ou bien, en faisant pour plus de simplicité

$\mathrm {p} =3\left(\mathrm {a} {\frac {\mathfrak {Q}}{2}}-\mathrm {a} ^{2}{\mathfrak {P}}\right),$

${\begin{aligned}\mathrm {q} &=3\left(\mathrm {a} {\frac {2{\mathfrak {P+R}}}{2}}-\mathrm {a} ^{2}{\mathfrak {Q}}\right),\\\mathrm {r} &=3\left(\mathrm {a} {\frac {\mathfrak {Q+S}}{2}}-\mathrm {a} ^{2}{\mathfrak {R}}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\mathrm {p} _{1}&=3\left(\mathrm {a} {\frac {\mathfrak {Q}}{2}}-{\mathfrak {P}}\right),\\\mathrm {q} _{1}&=3\left(\mathrm {a} {\frac {\mathfrak {2P+R}}{2}}-{\mathfrak {Q}}\right),\\\mathrm {r} _{1}&=3\left(\mathrm {a} {\frac {\mathfrak {Q+S}}{2}}-{\mathfrak {R}}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{alignedat}{3}{\mathfrak {P}}_{2}=&{\frac {\mathrm {p} }{a'^{3}}},&{\mathfrak {Q}}_{2}=&{\frac {\mathrm {q} }{a'^{3}}},&{\mathfrak {R}}_{2}=&{\frac {\mathrm {r} }{a'^{3}}},\ldots ,\\{\mathfrak {P}}_{3}=&{\frac {\mathrm {p} }{a'^{3}}},&{\mathfrak {Q}}_{3}=&{\frac {\mathrm {q} }{a'^{3}}},&{\mathfrak {R}}_{3}=&{\frac {\mathrm {r} }{a'^{3}}},\ldots .\end{alignedat}}$

De là on trouvera, par les formules du n^o 75,

${\begin{aligned}{\mathfrak {P}}_{6}&=\mathrm {a} ^{3}({\mathfrak {A}}+\mathrm {p} )-\mathrm {a^{2}{\frac {q}{2}}} ,\\{\mathfrak {P}}_{7}&=\mathrm {a} ^{2}\left({\frac {2{\mathfrak {A-C}}}{2}}+{\frac {2\mathrm {p_{1}-r_{1}} }{2}}\right)+2\mathrm {a} ^{2}\\\end{aligned}}$

et

${\mathfrak {Q}}_{5}=\mathrm {a^{3}q_{1}-a^{2}} \left({\frac {2{\mathfrak {A+C}}}{2}}+{\frac {2\mathrm {p_{1}+r_{1}} }{2}}\right)-2\mathrm {a} ^{2}.$

On trouvera de même les autres quantités ${\mathfrak {A'_{2},B'_{3}}},\ldots \,;$ il n’y aura pour cela qu’à mettre, dans les formules des numéros cités, $a'$ au lieu de $a$ et $a$ au lieu de $a',$ et marquer ensuite toutes les autres lettres d’un trait, ce qui donnera, après les substitutions,

${\begin{aligned}{\mathfrak {A}}'_{2}&={\mathfrak {A}}-\mathrm {a} {\frac {\mathfrak {B}}{2}},\\{\mathfrak {A}}'_{3}&=\mathrm {a} {\frac {2{\mathfrak {A-C}}}{2}}-{\frac {1}{\mathrm {a} ^{2}}},\\{\mathfrak {A}}'_{4}&={\mathfrak {A-A'_{2}}}=\mathrm {a} {\frac {\mathfrak {B}}{2}},\\{\mathfrak {B}}'_{2}&={\mathfrak {B}}-\mathrm {a} {\frac {2{\mathfrak {A+C}}}{2}}+{\frac {1}{\mathrm {a} ^{2}}},\\{\mathfrak {B}}'_{5}&=-\mathrm {a} {\mathfrak {B}},\end{aligned}}$

et ensuite

${\begin{alignedat}{3}{\mathfrak {P}}'_{2}=&{\frac {\mathrm {p} _{1}}{a'^{3}}},&{\mathfrak {Q}}'_{2}=&{\frac {\mathrm {q} _{1}}{a'^{3}}},&{\mathfrak {R}}'_{2}=&{\frac {\mathrm {r} _{1}}{a'^{3}}},\ldots ,\\{\mathfrak {P}}'_{3}=&{\frac {\mathrm {p} }{a'^{3}}},\qquad &{\mathfrak {Q}}'_{3}=&{\frac {\mathrm {q} }{a'^{3}}},\qquad &{\mathfrak {R}}'_{3}=&{\frac {\mathrm {r} }{a'^{3}}},\ldots ,\end{alignedat}}$

d’où

${\begin{aligned}{\mathfrak {P}}'_{4}&={\mathfrak {A}}+\mathrm {p} _{1}-\mathrm {a^{2}{\frac {q_{1}}{2}}} ,\\{\mathfrak {P}}'_{7}&=\mathrm {a} \left({\frac {2{\mathfrak {A-C}}}{2}}+{\frac {2\mathrm {p-r} }{2}}\right)+2\mathrm {a} ^{2}\\{\mathfrak {Q}}'_{5}&=\mathrm {q-a} \left({\frac {2{\mathfrak {A+C}}}{2}}+{\frac {2\mathrm {p+r} }{2}}\right)-2\mathrm {a} ^{2}.\end{aligned}}$

Enfin on trouvera par le n^o 84, en mettant à la place de $\mathrm {H}$ $h-h',$ à la place de $\mathrm {K}$ et de $\mathrm {K} '$ leurs valeurs approchées $h$ et $h',$ et, à la place de $i\mathrm {n}$ et de $i\mathrm {n} ',$ $\mathrm {\frac {J'}{I}} h^{2},$ et $\mathrm {\frac {J}{I}} h'^{2},$

${\begin{aligned}i\mathrm {P} \ &=\mathrm {\frac {J'}{4I}} h({\mathfrak {Q}}_{5}-4{\mathfrak {A}}_{3}-2{\mathfrak {P}}_{7}+2{\mathfrak {B}}_{2}),\\i\mathrm {P} '&=\mathrm {\frac {J}{4I}} h'({\mathfrak {Q}}'_{5}-4{\mathfrak {A}}'_{3}-2{\mathfrak {P}}'_{7}+2{\mathfrak {B}}'_{2}),\\i\mathrm {Q} \ &=\mathrm {\frac {J'}{4I}} h{\mathfrak {B}}_{5},\\i\mathrm {Q} '&=\mathrm {\frac {J}{4I}} h'{\mathfrak {B}}'_{5}.\end{aligned}}$

Par ces valeurs de $i\mathrm {P} ,i\mathrm {P} ',i\mathrm {Q} ,i\mathrm {Q} ',$ et par les valeurs de $ik,ik',il,il'$ trouvées ci-dessus, on trouvera les valeurs de $i\mu ,i\nu ,i\rho ,i\sigma$ (n^o 85), et, ces mêmes valeurs étant ensuite multipliées par ${\frac {h}{h'}},$ on aura celles de $i\mu ',i\nu ',i\rho ',i\sigma '.$

Maintenant on ajura par le même numéro

$\operatorname {tang} \alpha =\mathrm {\frac {G_{1}}{F_{1}}} ={\frac {(k-k')\mathrm {G+2PG'} }{(k-k')\mathrm {F+2PF'} }}={\frac {(k-k')\delta \sin \alpha +2\mathrm {P} \delta '\sin \alpha '}{(k-k')\delta \cos \alpha +2\mathrm {P} \delta '\cos \alpha '}},$

et

$\delta _{1}=\mathrm {\sqrt {F_{1}^{2}+G_{1}^{2}}}$

$={\frac {\sqrt {(k-k')^{2}\delta ^{2}+4(k-k')\mathrm {P} \delta \delta '(\sin \alpha \sin \alpha '+\cos \alpha \cos \alpha ')+4\mathrm {P} ^{2}\delta '^{2}}}{2h\nu }}.$

Soit $\alpha '-\alpha =\mathrm {A} ,$ c’est-à-dire $\alpha '=a+\mathrm {A} ,$ et l’on aura

${\begin{aligned}\operatorname {tang} \alpha _{1}&={\frac {\left[(k-k')\delta +2\mathrm {P} \delta '\cos \mathrm {A} \right]\sin \alpha +2\mathrm {P} \delta '\sin \mathrm {A} \cos \alpha }{\left[(k-k')\delta +2\mathrm {P} \delta '\cos \mathrm {A} \right]\cos \alpha -2\mathrm {P} \delta '\sin \mathrm {A} \sin \alpha }},\\\delta _{1}&={\frac {\sqrt {(k-k')^{2}\delta ^{2}+4(k-k')\mathrm {P} \delta \delta '\cos \mathrm {A} +4\mathrm {P} ^{2}\delta '^{2}}}{2h\nu }}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on fait

$(k-k')\delta +2\mathrm {P} \delta '\cos \mathrm {A} =\delta s\cos u\quad {\text{et}}\quad 2\mathrm {P} \delta '\sin \mathrm {A} =\delta s\sin u.$

on aura :

1^o $\operatorname {tang} \alpha _{1}={\frac {\cos u\sin \alpha +\sin u\cos \alpha }{\cos u\cos \alpha -\sin u\sin \alpha }}={\frac {\sin(u+\alpha )}{\cos(u+\alpha )}}=\operatorname {tang} (u+\alpha )\,;$

donc $\alpha _{1}=u+\alpha ,$ et par conséquent $\eta =u.$

2^o $\delta s={\sqrt {\left[(k-k')\delta +2\mathrm {P} \delta '\cos \mathrm {A} \right]^{2}+\left(2\mathrm {P} \delta '\sin \mathrm {A} \right)^{2}}}=2h\nu \delta _{1}=2h\nu \beta \delta \,;$

donc

$\beta ={\frac {s}{2h\nu }}.$

Donc, si l’on fait, pour plus de simplicité, ${\frac {\delta '}{\delta }}=\mathrm {b} ,$ on aura

$\beta ={\frac {\sqrt {\left(k-k'+2\mathrm {Pb\cos A} \right)^{2}+\left(2\mathrm {Pb\sin A} \right)^{2}}}{2h\nu }},$

$\sin \eta ={\frac {\mathrm {Pb\sin A} }{h\nu \beta }},\qquad \cos \eta ={\frac {k-k'+2\mathrm {Pb\cos A} }{2h\nu \beta }}.$

Et, pour avoir les valeurs de $\beta ',\sin \eta ',$ et $\cos \eta ',$ il n’y aura qu’à mettre $k'$ au lieu de $k,$ $\alpha '$ au lieu de $\alpha ,$ $\delta '$ au lieu de $\delta ,$ et vice versâ, et marquer ensuite toutes les autres lettres d’un trait ; ce qui donnera, à cause de $\mathrm {b} ={\frac {\delta '}{\delta }}$ et $\mathrm {A} =\alpha '-\alpha ,$

$\beta '={\frac {\sqrt {\left(k'-k+\mathrm {{\cfrac {2P'}{b}}\cos A} \right)^{2}+\left(\mathrm {{\cfrac {2P'}{b}}\sin A} \right)^{2}}}{2h'\nu '}},$

$\sin \eta '=-{\frac {\mathrm {P'\sin A} }{\mathrm {b} h'\nu '\beta '}},\qquad \cos \eta '={\frac {k'-k+\mathrm {{\cfrac {2P'}{b}}\cos A} }{2h'\nu '\beta '}}.$

Si l’on fait de même

$\varepsilon -\varepsilon '=\mathrm {E} \quad {\text{et}}\quad {\frac {\lambda '}{\lambda }}=\mathrm {c} ,$

on trouvera, par des procédés semblables,

$\gamma ={\frac {\sqrt {\left(l-l'+\mathrm {2Qc\cos E} \right)^{2}+\left(\mathrm {2Qc\sin E} \right)^{2}}}{2h\sigma }},$

$\sin \omega ={\frac {\mathrm {2Qc\sin E} }{h\sigma \gamma }},\qquad \cos \omega ={\frac {l-l'+\mathrm {2Qc\cos E} }{2h\sigma \gamma }},$

et ensuite

$\gamma '={\frac {\sqrt {\left(l'-l+\mathrm {{\cfrac {2Q'}{c}}\cos E} \right)^{2}+\left(\mathrm {{\cfrac {2Q'}{c}}\sin E} \right)^{2}}}{2h'\sigma '}},$

$\sin \omega '=-{\frac {\mathrm {2Q'\sin E} }{\mathrm {c} h\sigma '\gamma '}},\qquad \cos \omega '={\frac {l'-l+\mathrm {{\cfrac {2Q'}{c}}\cos E} }{2h'\sigma '\gamma '}}.$

88. Pour déterminer maintenant les constantes $\delta ,\lambda ,\alpha ,\varepsilon$ et $\delta ',\lambda ',\alpha ',\varepsilon ',$ on remarquera qu’en supposant $t=0$ on a

$\Delta =\delta ,\quad \Lambda =\lambda ,\quad {\mathfrak {A}}=\alpha ,\quad {\mathcal {E}}=\varepsilon ,$

et par conséquent aussi

$\Delta '=\delta ',\quad \Lambda '=\lambda ',\quad {\mathfrak {A}}'=\alpha ',\quad {\mathcal {E}}'=\varepsilon '.$

On cherchera donc les éléments de la théorie de Jupiter et de Saturne pour une certaine époque, par exemple pour le commencement de l’année 1750, et l’on fera :

$i\delta =$ l’excentricité de Jupiter,

$i\lambda =$ la tangente de l’inclinaison de son orbite par rapport à l’écliptique,

$\alpha =$ la longitude de l’aphélie,

$\varepsilon =$ la longitude du nœud ascendant,

et de même

$i\delta '=$ l’excentricité de Saturne,

$i\lambda '=$ la tangente de son inclinaison à l’écliptique,

$\alpha '=$ la longitude de l’aphélie,

$\varepsilon '=$ la longitude du nœud.

À l’éeard des constantes $h$ et $h',$ on les déterminera à l’aide des mouvements moyens de Jupiter et de Saturne ; car on aura

${\frac {h}{h'}}={\frac {\mathrm {mouv.\ moy.\ Jup.} }{\mathrm {mouv.\ moy.\ Sat.} }}$

89. Voilà toutes les quantités qu’il est nécessaire de connaître pour déterminer les perturbations de Jupiter et de Saturne, en vertu de leur action réciproque. Nous allons remettre ici sous les yeux du lecteur les principales altérations du mouvement de ces deux planètes.

Soient $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '$ les moyens mouvements de Jupiter et de Saturne comptés depuis l’époque pour laquelle on a déterminé les éléments de ces deux planètes, et on trouvera :

1^o Qu’au bout du temps qui répond au mouvement moyen $\mathrm {T} ,$ l’excentricité de Jupiter se trouvera augmentée en raison de

${\sqrt {{\frac {1+\beta ^{2}}{2}}+{\frac {1-\beta ^{2}}{2}}\cos 2i\sigma \mathrm {T} +\beta \sin \eta \sin 2i\nu \mathrm {T} }}\quad \mathrm {\grave {a}} \quad 1.$

2^o Que la tangente de l’inclinaison de l’orbite sera pareillement augmentée en raison de

${\sqrt {{\frac {1+\gamma ^{2}}{2}}+{\frac {1-\gamma ^{2}}{2}}\cos 2i\sigma \mathrm {T} +\gamma \sin \omega \sin 2i\sigma \mathrm {T} }}\quad \mathrm {\grave {a}} \quad 1.$

3^o Que le lieu de l’aphélie se trouvera moins avancé d’un arc égal à

$i\mu \mathrm {T} +\operatorname {arc} \cot \left({\frac {\cot i\nu \mathrm {T} }{\beta \cos \eta }}+\operatorname {tang} \eta \right).$

4^o Que le lieu du nœud sera aussi moins avancé d’un arc égal à

$i\rho \mathrm {T} +\operatorname {arc} \cot \left({\frac {\cot i\sigma \mathrm {T} }{\gamma \cos \eta }}+\operatorname {tang} \omega \right).$

5^o Que le mouvement de Jupiter par rapport à l’écliptique sera altéré d’une quantité égale à

${\begin{aligned}{\frac {5i\delta ^{2}}{4\nu }}&\left[{\frac {1-\beta ^{2}}{2}}\left(\sin 2i\nu \mathrm {T} -2i\nu \mathrm {T} \right)-\beta \sin \eta \left(\cos 2i\nu \mathrm {T} -1\right)\right]\\+&{\frac {i\lambda ^{2}}{4\sigma }}\left[{\frac {1-\gamma ^{2}}{2}}\left(\sin 2i\sigma \mathrm {T} -2i\sigma \mathrm {T} \right)-\gamma \cos \eta \left(\cos 2i\sigma \mathrm {T} -1\right)\right],\end{aligned}}$

c’est-à-dire qu’il faudra ajouter à sa longitude un angle égal à cette quantité.

On en dira autant de Saturne, avec cette seule différence qu’il faudra marquer les lettres d’un trait.

90. Nous verrons plus bas, dans le numéro suivant, que les coefficients $i\nu$ et $i\sigma$ sont égaux environ à ${\frac {1}{10000}}\,;$ de sorte que durant plusieurs révolutions les angles $2i\nu \mathrm {T}$ et $2i\sigma \mathrm {T}$ seront assez petits pour qu’on puisse supposer, sans erreur sensibles,

$\sin 2\nu \mathrm {T} =2i\nu \mathrm {T} ,\quad \sin 2\sigma \mathrm {T} =2i\sigma \mathrm {T} ,\quad {\text{et}}\quad \cos 2\nu \mathrm {T} =1,\quad \cos 2\sigma \mathrm {T} =1.$

Donc :

1^o L’augmentation de l’excentricité de Jupiter sera à très-peu près dans la raison de

$1+i\nu \beta \sin \eta \times \mathrm {T} \quad \mathrm {\grave {a}} \quad 1,$

c’est-à-dire de

$1+{\frac {i\mathrm {P} }{h}}\mathrm {b} \sin \mathrm {A\times T} \quad \mathrm {\grave {a}} \quad 1\,;$

de sorte que la valeur de $i\delta$ croîtra de la quantité $i\delta '{\frac {i\mathrm {P} }{h}}\sin \mathrm {A\times T} .$ Or on sait que dans les ellipses qui sont peu excentriques, la plus grande équation est à très-peu près égale au double de l’excentricité ; d’où il s’ensuit que la plus grande équation de Jupiter ira en augmentant, et que sa variation sera, au bout de $n$ révolutions à compter depuis l’époque donnée, de

$2i\delta '{\frac {i\mathrm {P} }{h}}\sin \mathrm {A} \times 360^{\circ }\times n.$

2^o La tangente de l’inclinaison de Jupiter à l’écliptique croîtra de même d’une quantité égale à $i\lambda '{\frac {i\mathrm {Q} }{h}}\sin \mathrm {E\times T} ,$ et comme cette tangente est fort petite, ainsi qu’on le verra plus bas, on aura pour la variation de l’inclinaison de Jupiter à l’écliptique pendant $n$ révolutions

$i\lambda '{\frac {i\mathrm {Q} }{h}}\sin \mathrm {E} \times 360^{\circ }\times n.$

3^o Le mouvement de l’aphélie sera représenté à très-peu près par

$-\left(i\mu +{\frac {i\nu \beta \cos \eta }{1+i\nu \beta \sin \eta \times \mathrm {T} }}\right)\mathrm {T} ,$

ou encore par

$-\left(i\mu +i\nu \beta \cos \eta \right)\mathrm {T} +\left(i^{2}\nu ^{2}\beta ^{2}\cos \eta \sin \eta \right)\mathrm {T} ^{2},$

c’est-à-dire par

$-\left({\frac {ik}{h}}+{\frac {i\mathrm {P} }{h}}\mathrm {b} \cos \mathrm {A} \right)\mathrm {T} +{\frac {i\mathrm {P} }{h}}\mathrm {b} \sin \mathrm {A} \left({\frac {ik-ik'}{2h}}+{\frac {i\mathrm {P} }{h}}\mathrm {b} \cos \mathrm {A} \right)\mathrm {T} ^{2},$

où l’on voit que le terme

$-\left({\frac {ik}{h}}+{\frac {i\mathrm {P} }{h}}\mathrm {b} \cos \mathrm {A} \right)\mathrm {T}$

exprime le mouvement moyen et uniforme de l’aphélie, et que le terme

${\frac {i\mathrm {P} }{h}}\mathrm {b} \sin \mathrm {A} \left({\frac {ik-ik'}{2h}}+{\frac {i\mathrm {P} }{h}}\mathrm {b} \cos \mathrm {A} \right)\mathrm {T} ^{2}$

donne une inégalité du mouvement de l’aphélie, laquelle augmente comme les carrés des temps.

Ainsi, le mouvement moyen de l’aphélie de Jupiter sera, pour $n$ révolutions de cette planète, de

$-\left({\frac {ik}{h}}+{\frac {i\mathrm {P} }{h}}\mathrm {b} \cos \mathrm {A} \right)\times 360^{\circ }\times n,$

et l’inégalité croissante du mouvement de cet aphélie sera de

${\frac {i\mathrm {P} }{h}}\mathrm {b} \sin \mathrm {A} \left({\frac {ik-ik'}{2h}}+{\frac {i\mathrm {P} }{h}}\mathrm {b} \cos \mathrm {A} \right)\times {\frac {360^{\circ }}{57^{\circ }17'44''}}\times 360^{\circ }\times n^{2}$

4^o Le mouvement des nœuds de Jupiter sera composé de même de deux parties, dont l’une croîtra uniformément et donnera le mouvement moyen du nœud de

$-\left({\frac {il}{h}}+{\frac {i\mathrm {Q} }{h}}\mathrm {c} \cos \mathrm {E} \right)\times 360^{\circ }\times n,$

et dont l’autre suivra la loi du carré du temps et donnera une inégalité croissante de

${\frac {i\mathrm {Q} }{h}}\mathrm {c} \sin \mathrm {E} \left({\frac {il-il'}{2h}}+{\frac {i\mathrm {Q} }{h}}\mathrm {c} \cos \mathrm {E} \right)\times {\frac {360^{\circ }}{57^{\circ }17'44''}}\times 360^{\circ }\times n^{2}.$

5^o Le mouvement de Jupiter en longitude sera sujet à une altération de

$\left({\frac {5i^{2}\delta ^{2}\nu }{2}}\beta \sin \eta +{\frac {i^{3}\lambda ^{2}\nu }{2}}\gamma \sin \omega \right)\mathrm {T} ^{2}$

à très-peu près, c’est-à-dire de

$\left({\frac {5}{2}}i\delta .i\delta '{\frac {i\mathrm {P} }{h}}\sin \mathrm {A} +{\frac {1}{2}}i\lambda .i\lambda '{\frac {i\mathrm {Q} }{h}}\sin \mathrm {E} \right)\mathrm {T} ^{2}\,;$

ce qui donne, comme on voit, dans le mouvement de cette planète, une inégalité croissante comme les carrés des temps, et qui sera au bout de $n$ révolutions de

$\left({\frac {5}{2}}i\delta .i\delta '{\frac {i\mathrm {P} }{h}}\sin \mathrm {A} +{\frac {1}{2}}i\lambda .i\lambda '{\frac {i\mathrm {Q} }{h}}\sin \mathrm {E} \right)\times {\frac {360^{\circ }}{57^{\circ }17'44''}}\times 360^{\circ }\times n^{2}.$

On trouvera de la même manière :

1^o Que, pendant $n$ révolutions de Saturne à compter depuis la même époque, la plus grande équation de cette planète variera de

$-2i\delta {\frac {i\mathrm {P} '}{h'}}\sin \mathrm {A} \times 360^{\circ }\times n.$

2^o Que l’inclinaison de son orbite à l’écliptique variera dans le même temps de

$-i\lambda {\frac {i\mathrm {Q} '}{h'}}\sin \mathrm {E} \times 360^{\circ }\times n.$

3^o Que le mouvement moyen et uniforme de l’aphélie de Saturne sera exprimé par

$-\left({\frac {ik'}{h'}}+{\frac {i\mathrm {P} '}{h'}}\mathrm {\frac {1}{b}} \cos \mathrm {A} \right)\times 360^{\circ }\times n,$

et que de plus le mouvement de cet aphélie sera sujet à une inégalité croissant comme les carrés des temps, laquelle sera, pour $n$ révolutions, de

${\frac {i\mathrm {P} '}{h'}}\mathrm {\frac {1}{b}} \sin \mathrm {A} \left({\frac {ik'-ik}{2h'}}+{\frac {i\mathrm {P} '}{h'}}\mathrm {\frac {1}{b}} \cos \mathrm {A} \right)\times {\frac {360^{\circ }}{57^{\circ }17'44''}}\times 360^{\circ }\times n^{2}.$

4^o Que le mouvement moyen des nœuds de Saturne sera de

$-\left({\frac {il'}{h'}}+{\frac {i\mathrm {Q} '}{h'}}\mathrm {\frac {1}{c}} \cos \mathrm {E} \right)\times 360^{\circ }\times n,$

et qu’il y aura aussi, dans le mouvement des nœuds de cette planète, une inégalité de la même espèce, laquelle sera représentée par

${\frac {i\mathrm {Q} '}{h'}}\mathrm {\frac {1}{c}} \sin \mathrm {E} \left({\frac {il'-il}{2h'}}+{\frac {i\mathrm {Q} '}{h'}}\mathrm {\frac {1}{c}} \cos \mathrm {E} \right)\times {\frac {360^{\circ }}{57^{\circ }17'44''}}\times 360^{\circ }\times n^{2}.$

5^o Qu’enfin le mouvement de Saturne en longitude sera sujet à une inégalité croissant comme les carrés des temps, et dont la valeur sera, au bout de $n$ révolutions, de

$-\left({\frac {5}{2}}i\delta .i\delta '{\frac {i\mathrm {P} '}{h'}}\sin \mathrm {A} +{\frac {1}{2}}i\lambda .i\lambda '{\frac {i\mathrm {Q} '}{h'}}\sin \mathrm {E} \right)\times {\frac {360^{\circ }}{57^{\circ }17'44''}}\times 360^{\circ }\times n^{2}.$

Au reste, il faut se ressouvenir que ces propositions cessent d’être exactes lorsqu’après un grand nombre de révolutions les angles $2i\nu \mathrm {T} ,2i\sigma \mathrm {T}$ et $2i\nu '\mathrm {T} ',2i\sigma '\mathrm {T} '$ commencent à devenir considérables.

91. Suivant les Tables de M. Halley, le mouvement moyen de Jupiter en $100$ années juliennes est $8^{r{\acute {e}}v}5^{s}6^{\circ }28'11'',$ c’est-à-dire $10\ 931\ 291''\,;$ d’où, retranchant la précession séculaire des équinoxes, laquelle est de $5034'',$ on a pour le mouvement séculaire de Jupiter $10\ 926\ 257''.$ Les mêmes Tables donnent le mouvement moyen de Saturne en $100$ ans de $3^{r{\acute {e}}v}4^{s}28^{\circ }6'0'',$ c’est-à-dire de $4\ 403\ 160'',$ d’où l’on trouve pour le mouvement séculaire de Saturne $4\ 398\ 126''.$

On aura donc

${\frac {h'}{h}}={\frac {4398126}{10926257}}=0{,}402528\,;$

d’où l’on tire

$a=0{,}545169.$

De là on trouvera

${\begin{alignedat}{2}{\mathfrak {A}}&=2{,}178104,\qquad &{\mathfrak {P}}&=\ \ 6{,}891711,\\{\mathfrak {B}}&=3{,}183228,&{\mathfrak {Q}}&=12{,}403290,\\{\mathfrak {C}}&=2{,}080116,&{\mathfrak {R}}&=\ \ 9{,}890764,\\{\mathfrak {D}}&=1{,}294032,&{\mathfrak {S}}&=\ \ 7{,}315770,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

et ensuite

${\begin{alignedat}{2}{\mathfrak {A}}_{2}=&-0{,}120125,&{\mathfrak {A}}'_{2}=&\ \ \ \quad 1{,}310407,\\{\mathfrak {A}}_{3}=&\ \quad 0{,}041029,&{\mathfrak {A}}'_{3}=&-\ \ 2{,}744209,\\{\mathfrak {A}}_{4}=&\ \quad 0{,}473042,&{\mathfrak {A}}'_{5}=&\ \ \ \quad 0{,}867697,\\{\mathfrak {B}}_{2}=&-0{,}143482,&{\mathfrak {B}}'_{2}=&\ \ \ \quad 4{,}793425,\\{\mathfrak {B}}_{5}=&-0{,}946083,\qquad &{\mathfrak {B}}'_{5}=&-\ \ 1{,}735395,\\\mathrm {p} \ \ \ =&\ \quad 3{,}997995,&\mathrm {p} _{1}\ =&-10{,}532304,\\\mathrm {q} \ \ \ =&\ \quad 8{,}300535,&\mathrm {q} _{1}\ =&-17{,}850234,\\\mathrm {r} \ \ \ =&\ \quad 7{,}306455,&\mathrm {r} _{1}\ =&-13{,}546971,\\{\mathfrak {P}}_{4}=&-0{,}232789,&{\mathfrak {P}}'_{4}=&-\ \ 3{,}488506,\\{\mathfrak {P}}_{7}=&-0{,}184498,&{\mathfrak {P}}'_{7}=&\ \ \ \quad 7{,}537649,\\{\mathfrak {Q}}_{5}=&\ \quad 0{,}700695,&{\mathfrak {Q}}'_{5}=&-\ \ 4{,}354384,\end{alignedat}}$

Donc, à cause de

$\mathrm {\frac {J}{I}} ={\frac {1}{1067}}=0,000\ 937\ 207$

et de

$\mathrm {\frac {J'}{I'}} ={\frac {1}{3021}}=0,000\ 331\ 016,$

on aura

${\begin{alignedat}{2}{\frac {ik}{h}}=&-0{,}0000\ 782\ 92,\qquad &{\frac {ik'}{h'}}=&-0{,}000\ 406\ 604,\\{\frac {il}{h}}=&\ \quad 0{,}000\ 078\ 293,&{\frac {il'}{h'}}=&\ \quad 0{,}000\ 406\ 606,\\{\frac {i\mathrm {P} }{h}}=&\ \quad 0{,}000\ 051\ 192,&{\frac {i\mathrm {P} '}{h'}}=&\ \quad 0{,}000\ 265\ 701,\\{\frac {i\mathrm {Q} }{h}}=&-0{,}000\ 078\ 293,&{\frac {i\mathrm {Q} '}{h'}}=&-0{,}000\ 406\ 606,\end{alignedat}}$

et l’on trouvera

${\begin{alignedat}{3}i\mu =&-0{,}000\ 120\ 981,\qquad &i\mu '=&-0{,}000\ 300\ 553,\\i\nu =&\ \quad 0{,}000\ 085\ 425,&i\nu '=&\ \quad 0{,}000\ 212\ 221,\\i\rho =&\ \quad 0{,}000\ 120\ 981,&i\rho '=&\ \quad 0{,}000\ 300\ 553,\\i\sigma =&\ \quad 0{,}000\ 120\ 981,&i\sigma '=&\ \quad 0{,}000\ 300\ 553.\end{alignedat}}$

Or, selon M. Halley, on a pour l’année 1750

${\begin{aligned}i\delta \ =&{\frac {25078}{520098}}=0{,}048218,\\i\delta '=&{\frac {54381}{954007}}=0{,}057003,\\i\lambda \ =&\operatorname {tang} 1^{\circ }19'10''=0{,}023032,\\i\lambda '=&\operatorname {tang} 2^{\circ }30'10''=0{,}043710,\\\alpha \ =&6^{s}10^{\circ }33'46'',\qquad \varepsilon \ =3^{s}\ \ 8^{\circ }15'49'',\\\alpha '=&8^{s}29^{\circ }39'58'',\qquad \varepsilon '=3^{s}21^{\circ }20'\ \ 5'',\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {b} =&1{,}182190,\qquad &\mathrm {A} =&79^{\circ }6'12'',\\\mathrm {c} =&1{,}897725,&\mathrm {E} =&13^{\circ }4'16''.\end{alignedat}}$

Si donc on substitue ces valeurs numériques dans les formules du numéro précédent, on formera la Table suivante, dans laquelle $n$ est le nombre des révolutions que Jupiter ou Saturne a achevées depuis le commencement de l’année 1750 que nous avons prise pour époque ; de sorte qu’il faudra faire $n$ positif pour les temps qui suivent cette époque, et négatif pour ceux qui la précèdent.

TABLE DE LA VARIATION DES ÉLÉMENTS DE JUPITER ET DE SATURNE,
SUIVANT LA THÉORIE.

${\begin{array}{|c|l|l|}\hline \\&\quad \mathrm {JUPITER} .&\quad \mathrm {SATURNE} .\\\\\hline \mathrm {Variation\ de\ la\ plus\ grande} \\\mathrm {{\acute {e}}quation\ du\ centre} .&+\ \ 7''{,}4254\ n&-\ \ 32''{,}6086\ n\\\hline \mathrm {Variation\ de\ l'inclinaison} \\\mathrm {{\grave {a}}\ l'{\acute {e}}cliptique} .&-\ \ 1'',0030\ n&+\quad 2'',7449\ n\\\hline \mathrm {Mouvement\ moyen\ de\ l'aph{\acute {e}}lie} \\\mathrm {par\ rapport\ aux\ {\acute {e}}toiles\ fixes} .&+86'',6311\ n&+471'',8632\ n\\\hline \mathrm {In{\acute {e}}galit{\acute {e}}\ croissante\ dans\ le} \\\mathrm {mouvement\ de\ l'aph{\acute {e}}lie} .&+\ \ 0'',0262\ n^{2}&+\quad 0'',1141\ n^{2}\\\hline \mathrm {Mouvement\ moyen\ des\ noeuds} \\\mathrm {par\ rapport\ aux\ {\acute {e}}toiles\ fixes} .&+86'',1075\ n&-256'',4655\ n\\\hline \mathrm {In{\acute {e}}galit{\acute {e}}\ croissante} \\\mathrm {dans\ le\ mouvement\ des\ noeuds} .&+\ \ 0'',0513\ n^{2}&-\quad 0'',0405\ n^{2}\\\hline \mathrm {In{\acute {e}}galit{\acute {e}}\ croissante\ dans\ le} \\\mathrm {mouvement\ en\ longitude} .&+\ \ 2'',7402\ n^{2}&-\ \ 14'',2218\ n^{2}\\\hline \end{array}}$

Addition pour les n^os 78 et 79.

Nous avons dit dans le premier de ces deux numéros que la quantité $\int \Psi dz$ contient un terme qui, par l’intégration, se trouve divisé par des quantités de l’ordre de $i,$ et nous avons, en conséquence, conservé les termes où cette quantité se trouvait multipliée par $i^{2}\mathrm {n} ,$ en rejetant toutefois ceux où la même quantité aurait été multipliée par $i^{3}\mathrm {n} .$ Mais il est facile de se convaincre, par la substitution des valeurs de $z$ et de $z'$ (n^o 84), que le diviseur du terme dont il s’agit sera réellement de l’ordre de $i\mathrm {n} \,;$ de sorte que, si l’on veut avoir égard dans les valeurs de $\mathrm {y}$ et de $\mathrm {z}$ aux quantités de l’ordre de $i^{2},$ il n’est pas permis de négliger les termes de l’ordre de $i^{3}\mathrm {n} ,$ où se trouve la quantité $\int \Psi dz,$ car l’intégration réduira à l’ordre de $i^{2}$ les coefficients de ces termes. Il en sera de même de quelques termes de l’ordre de $i$ qui se trouveront dans la quantité $n\int \Phi dy.$

Ainsi on trouve qu’il faut ajouter à la valeur de $\int {\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}dy$ le terme $-2i\mathrm {n} \int dy\int \Psi dz,$ et par conséquent à la valeur de $\int z^{2}dy$ le terme $-{\frac {4i\mathrm {n} }{3h^{2}}}\int dy\int \Psi dz\,;$ d’où il s’ensuit que le premier membre de l’équation $(o)$ doit être augmenté du terme $4i^{2}\mathrm {n} \int dy\int \Psi dz,$ et que le premier membre de l’équation $(p)$ doit être augmenté du terme $-8i^{2}n\int dy\int \Psi dz.$

De là on trouvera, après avoir achevé toutes les opérations, qu’il faudra ajouter (n^o 79) à la valeur de $Y$les termes

$8i^{3}(\beta -2\gamma )\int dy\int \Psi dz+12i^{2}\delta y\int \Phi dy+4i^{3}\left(\varepsilon -\eta h^{2}\right)y\int \Psi dz,$

et à la valeur de $Z$ les termes

$12i^{3}\pi z\int \Psi dz+4i^{2}\left(\rho -\sigma h^{2}\right)z\int \Phi dy.$

Au reste cette omission n’influe point sur le reste de nos calculs.