Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin/Application de la méthode exposée dans le Mémoire précédent à la solution de différents Problèmes de Dynamique

Joseph-Louis Lagrange

Application de la méthode exposée dans le Mémoire précédent à la solution de différents Problèmes de Dynamique

Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin, Gauthier-Villars, 1867, Œuvres de Lagrange. Tome I (p. 365-468).

APPLICATION DE LA MÉTHODE
EXPOSÉE DANS LE MÉMOIRE PRÉCÉDENT
À LA SOLUTION DE
DIFFÉRENTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE.

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(Miscellanea Taurinensia, t. II, 1760-1761.)

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M. Euler, dans une Addition à son excellent ouvrage qui a pour titre : Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes : sive solutio Problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, a démontré ce principe que, dans les trajectoires que des corps décrivent par des forces centrales, l’intégrale de la vitesse, multipliée par l’élément de la courbe, fait toujours un maximum ou un minimum.

Je me propose ici de généraliser ce même principe, et d’en faire voir l’usage pour résoudre avec facilité toutes les questions de Dynamique.

Principe général. — Soient tant de corps qu’on voudra $\mathrm {M,M',M''} \ldots$ qui agissent les uns sur les autres d’une manière quelconque, et qui soient de plus, si l’on veut, animés par des forces centrales proportionnelles à des jonctions quelconques des distances ; que $s,s',s'',\ldots ,$ dénotent les espaces parcourus par ces corps dans le temps $t,$ et que $u,u',u'',\ldots$ soient leurs vitesses à la fin de ce temps ; la formule

$\mathrm {M} \int uds+\mathrm {M} '\int u'ds'+\mathrm {M} ''\int u''ds''+\ldots$

sera toujours un maximum ou un minimum.

I.

Problème I. — Trouver le mouvement d’un corps $\mathrm {M}$ attiré vers tant de centres fixes qu’on voudra par des forces $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots ,$ exprimées par des fonctions quelconques des distances.

Solution. — Comme il n’y a ici qu’un seul corps $\mathrm {M} ,$ la formule qui doit être un maximum ou un minimum sera simplement $\mathrm {M} \int uds\,;$ on aura donc, suivant la méthode expliquée dans le Mémoire précédent, l’équation

$\delta \left(\mathrm {M} \int uds\right)=0,$

ou, en divisant par $\mathrm {M}$ qui est constante,

$\delta \left(\int uds\right)=0.$

Or,

$\delta (uds)=u\delta ds+\delta uds\,;$

donc, changeant l’expression $\delta (\int uds)$ en son équivalente $\int \delta (uds),$ comme on l’a enseigné (Article I, Mémoire précédent), on aura l’équation

$\int (u\delta ds+\delta uds)=0.$

Soient $p,q,r,\ldots$ les distances du corps $\mathrm {M}$ aux centres des forces $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots ,$ on aura, comme tous les Géomètres le savent,

${\frac {u^{2}}{2}}=\mathrm {const} -\int \left(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots \right)\,;$

donc

${\begin{aligned}u\delta u&=-\delta \int \left(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots \right)\\&=-\int \left(d\mathrm {P} dp+\mathrm {P} \delta dp+\delta \mathrm {Q} dq+\mathrm {Q} \delta dq+\delta \mathrm {R} dr+\mathrm {R} \delta dr+\ldots \right)\end{aligned}}$

ou en changeant $\delta dp,\delta dq,\delta dr,\ldots$ en $d\delta p,d\delta q,d\delta r,\ldots ,$ et intégrant

par parties les termes $\mathrm {P} d\delta p,\mathrm {Q} d\delta q,\mathrm {R} d\delta r,\ldots ,$

${\begin{aligned}u\delta u=&-\mathrm {P} \delta p-\mathrm {Q} \delta q-\mathrm {R} \delta r-\ldots \\&+\int \left(\delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p+\delta \mathrm {Q} dq-d\mathrm {Q} \delta q+\delta \mathrm {R} dr-d\mathrm {R} \delta r+\ldots \right).\end{aligned}}$

Or, par hypothèse,

$\mathrm {P=fonct} .p,\quad \mathrm {Q=fonct} .q,\quad \mathrm {R=fonct} .r,\ldots \,;$

on trouvera donc, en différentiant,

${\frac {\delta \mathrm {P} }{\delta p}}={\frac {d\mathrm {P} }{dp}},\quad {\frac {\delta \mathrm {Q} }{\delta r}}={\frac {d\mathrm {Q} }{dq}},\quad {\frac {\delta \mathrm {R} }{\delta r}}={\frac {d\mathrm {R} }{dr}},\ldots ,$

et par conséquent

$\delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p=0,\qquad \delta \mathrm {Q} dq-d\mathrm {Q} \delta q=0,\qquad \delta \mathrm {R} dr-d\mathrm {R} \delta r=0,\ldots \,;$

donc

$u\delta u=-\mathrm {P} \delta p-\mathrm {Q} \delta q-\mathrm {R} \delta r-\ldots \ \ {\text{et}}\ \ \delta uds=-\mathrm {P} dt\delta p-\mathrm {Q} dt\delta q-\mathrm {R} dt\delta r-\ldots ,$

en mettant au lieu de ${\frac {ds}{u}}$ son égale $dt\,;$ donc l’équation ci-dessus se changera en celle-ci

(A)

$\int \left(u\delta ds-Pdt\delta p-Qdt\delta q-Rdt\delta r-\ldots \right)=0.$

Il faut maintenant chercher le rapport que les différences $\delta p,\delta q,\delta r,\ldots ,$$\delta ds$ ont entre elles, ce qui se fera différemment selon les différentes sortes de coordonnées qu’on emploiera pour représenter la trajectoire. Et, premièrement, soient prises trois coordonnées rectangles $x,y,z\,;$ on aura

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\,;$

par conséquent,

$\delta ds={\frac {dx\delta dx+dy\delta dy+dz\delta dz}{ds}}={\frac {dxd\delta x+dyd\delta y+dzd\delta z}{ds}},$

en changeant $\delta dx,\ldots$ en $d\delta x,\ldots \,;$

donc

$\int u\delta ds=\int \left({\frac {udx}{ds}}d\delta x+{\frac {udy}{ds}}d\delta y+{\frac {udz}{ds}}d\delta z\right).$

Qu’on fasse disparaître dans cette expression les différentielles de

\delta x,\delta y,\delta z par la méthode des intégrations par parties, pratiquée dans le Mémoire précédent, on aura la transformée suivante :

${\begin{aligned}\int u\delta ds=&-\int \left(d{\frac {udx}{ds}}\delta x+d{\frac {udy}{ds}}\delta y+d{\frac {udz}{ds}}\delta z\right)\\&+{\frac {udx}{ds}}\delta x+{\frac {udy}{ds}}\delta y+{\frac {udz}{ds}}\delta z.\end{aligned}}$

Il ne s’agit plus que d’exprimer les différences $\delta p,\delta q,\delta r\ldots$ par les $\delta x,\delta y,\delta z.$ Pour cela, on cherchera les valeurs analytiques des lignes $p,q,r,\ldots ,$ rapportées aux coordonnées $x,y,z,$ et on prendra leurs différentielles en mettant $\delta$ pour $d.$ Soit supposé, en général,

${\begin{aligned}dp=&\mathrm {L} \ dx+l\,\ \ dy+\lambda dz,\\dq=&\mathrm {M} dx+mdy+\mu dz,\\dr=&\mathrm {N} \,dx+n\ dy+\nu dz\,;\end{aligned}}$

il est clair qu’on aura aussi

${\begin{aligned}\delta p=&\mathrm {L} \ \delta x+l\,\ \ \delta y+\lambda \delta z,\\\delta q=&\mathrm {M} \delta x+m\delta y+\mu \delta z,\\\delta r=&\mathrm {N} \,\delta x+n\ \delta y+\nu \delta z\,;\end{aligned}}$

Donc, si on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {PL+QM+RN} =&\Pi ,\\\mathrm {P} l\ +\mathrm {Q} m\,+\mathrm {R} n=&\varpi ,\\\mathrm {P} \lambda +\mathrm {Q} \ \mu \ +\mathrm {R} \nu =&\Psi ,\end{aligned}}$

on aura

$\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots =\Pi \delta x+\varpi \delta y+\Psi \delta z.$

Faisant toutes ces différentes substitutions dans l’équation (A), elle deviendra

(B)

$\left\{{\begin{aligned}-\int \left[\left(d{\frac {udx}{ds}}+\Pi dt\right)\delta x+\left(d{\frac {udy}{ds}}+\varpi dt\right)\delta y+\left(d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt\right)\delta z\right]&\\+{\frac {udx}{ds}}\delta x+{\frac {udy}{ds}}\delta y+{\frac {udz}{ds}}\delta z=0,&\end{aligned}}\right.$

équation qui doit avoir lieu, quelques valeurs qu’on suppose aux différences $\delta x,\delta y,\delta zi\,;$ c’est pourquoi l’on fera les trois équations suivantes :

${\begin{aligned}d{\frac {udx}{ds}}+\Pi dt=&0,\\d{\frac {udy}{ds}}+\varpi dt=&0,\\d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt=&0.\end{aligned}}$

Ce sont ces équations qui serviront à déterminer la courbe décrite par le corps $\mathrm {M}$ et sa vitesse à chaque instant.

Si on met $dt$ au lieu de ${\frac {ds}{u}},$ qu’on multiplie la première équation par ${\frac {dx}{dt}},$ la seconde par ${\frac {dy}{dt}},$ la troisième par ${\frac {dz}{dt}},$ et qu’ensuite on les intègre, on aura

${\frac {d^{2}x}{2dt^{2}}}=a^{2}-\int \Pi dx,\quad {\frac {d^{2}y}{2dt^{2}}}=b^{2}-\int \varpi dy,\quad {\frac {d^{2}z}{2dt^{2}}}=c^{2}-\int \Psi dz\,;$

d’où l’on tire, en chassant $dt$ et extrayant la racine carrée,

${\begin{aligned}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-\int \Pi dx}}}=&{\frac {dy}{\sqrt {b^{2}-\int \varpi dy}}},\\{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-\int \Pi dx}}}=&{\frac {dz}{\sqrt {c^{2}-\int \Psi dz}}},\end{aligned}}$

équations où les indéterminées seront séparées si $\Pi =\mathrm {fonct} .x,$$\varpi =\mathrm {fonct} .y,\ \Psi =\mathrm {fonct} .z.$

II.

Remarque. — Quant aux termes

${\frac {udx}{ds}}\delta x+{\frac {udy}{ds}}\delta y+{\frac {udz}{ds}}\delta z,$

on pourra se dispenser d’y avoir égard, en supposant que les deux extrémités de la trajectoire soient données de position, car cette supposition

fera évanouir les premiers et les derniers

\delta x,\delta y,\delta z, et par conséquent aussi tous les termes en question. (Voyez l’Article IV du Mémoire précédent.)

III.

Corollaire. — Imaginons que le mobile $\mathrm {M}$ sollicité par les mêmes forces $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ soit contraint de se mouvoir sur une surface courbe donnée par l’équation $dz=pdx+qdy,$ en changeant $d$ en $\delta ,$ on aura $\delta z=p\delta x+q\delta y,$ substituant cette valeur de $\delta z$ dans l’équation (B), et faisant les deux coefficients de $\delta x$ et de $\delta y$ chacun égal à zéro, on aura deux équations

${\begin{aligned}d{\frac {udx}{ds}}+\Pi dt+\left[d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt\right]p=&0,\\d{\frac {udy}{ds}}+\varpi dt+\left[d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt\right]q=&0,\end{aligned}}$

qui, avec l’équation donnée

$dz=pdx+qdy,$

suffiront pour résoudre le Problème.

IV.

Autre solution. — Qu’on prenne, à la place des deux coordonnées rectangles $x,y,$ un rayon variable $x$ qui tourne autour d’un point fixe dans le même plan des $x$ et des $y,$ et dont la position à chaque instant soit déterminée par un angle $\varphi .$ Conservant la troisième coordonnée $z.$ qu’on imaginera élevée de l’extrémité du rayon $x$ perpendiculairement au plan de l’angle $\varphi ,$ il est facile de trouver que l’élément $ds$ de la courbe sera

${\sqrt {x^{2}d\varphi ^{2}+dx^{2}+dz^{2}}}\,;$

ainsi on aura, en différenciant,

${\begin{aligned}\delta ds=&{\frac {x^{2}d\varphi \delta d\varphi +xd\varphi ^{2}\delta x+dx\delta dx+dz\delta dz}{ds}}\\=&{\frac {x^{2}d\varphi d\delta \varphi +xd\varphi ^{2}\delta x+dxd\delta x+dzd\delta z}{ds}}.\end{aligned}}$

Mettant donc cette valeur dans la formule intégrale $\int u\delta ds,$ et faisant disparaître les différentielles de $\delta \varphi ,\delta x,\delta z$ par la voie ordinaire des intégrations par parties, on aura

${\begin{aligned}\int u\delta ds=&-\int \left[d{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}\delta \varphi +\left(d{\frac {udx}{ds}}-{\frac {uxd\varphi ^{2}}{ds}}\right)\delta x+d{\frac {udz}{ds}}\delta z\right]\\&+{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}\delta \varphi +{\frac {udx}{ds}})\delta x+{\frac {udz}{ds}}\delta z.\end{aligned}}$

Après la substitution de cette valeur de $\int u\delta ds$ dans l’équation (A) de l’Article I, il n’y aura plus qu’à réduire les différences $\delta p,\delta q,\delta r,\ldots$ aux différence $\delta x,\delta y,\delta z.$ Pour cela soit supposé, en général,

${\begin{aligned}dp=&\mathrm {L} dx\ +l\,\ \ d\varphi +\lambda dz,\\dq=&\mathrm {M} dx+md\varphi +\mu dz,\\dr=&\mathrm {N} dx\,+n\ d\varphi +\nu dz.\end{aligned}}$

on aura de même

${\begin{aligned}dp=&\mathrm {L} dx\,+l\ \ \,d\varphi +\lambda dz,\\dq=&\mathrm {M} dx+md\varphi +\mu dz,\\dr=&\mathrm {N} dx\,+n\ d\varphi +\nu dz.\end{aligned}}$

Donc, si on fait les mêmes suppositions que dans la solution précédente, on aura aussi

$\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots =w\mathrm {P} \delta x+\varpi \delta \varphi +\psi \delta z,$

et l’équation (A) deviendra enfin

(C)

$\left\{{\begin{aligned}-\int \left[\left(d{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}+\varpi dt\right)\delta \varphi +\left(d{\frac {udx}{ds}}-{\frac {uxd\varphi ^{2}}{ds}}+\Pi dt\right)\delta x\right.&\\+\left.\left(d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt\right)\delta z\right]&\\+{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}\delta \varphi +{\frac {udx}{ds}}\delta x+{\frac {udz}{ds}}\delta z=&0,\end{aligned}}\right.$

Maintenant, si on suppose, comme dans l’Article II, que le premier et le dernier point de la trajectoire sont donnés, il est clair que les $\delta \varphi ,\delta x,\delta z$ qui y répondent seront nulles d’elles-mêmes, et que par conséquent

les trois premiers termes de cette équation le seront aussi. Donc, pour satisfaire au reste de l’équation, indépendamment des différences indéterminées

\delta\varphi,\delta x,\delta z, on fera chacun de leurs coefficients égal à zéro, et l’on aura pour les équations générales du mouvement du corps

${\begin{aligned}&d{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}+\varpi dt=0,\\&d{\frac {udx}{ds}}-{\frac {uxd\varphi ^{2}}{ds}}+\Pi dt=0,\\&d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt=0.\end{aligned}}$

Qu’on mette dans ces équations $dt$ pour ${\frac {ds}{u}},$ et qu’on intègre la première, après l’avoir multipliée par ${\frac {x^{2}d\varphi }{dt}},$ on aura

${\frac {1}{2}}\left({\frac {x^{2}d\varphi }{dt}}\right)^{2}=a^{2}-\int \varpi x^{2}d\varphi ,$

d’où l’on tire

$dt={\frac {x^{2}d\varphi }{\sqrt {2a^{2}-2\int \varpi x^{2}d\varphi }}}\,;$

substituant cette valeur dans la seconde équation et faisant, pour abréger,

${\sqrt {2a^{2}-2\int \varpi x^{2}d\varphi }}=\mathrm {U} ,$

on aura

$d{\frac {\mathrm {U} dx}{x^{2}d\varphi }}-{\frac {\mathrm {U} d\varphi }{x}}+{\frac {\Pi x^{2}d\varphi }{\mathrm {U} }}=0,$

ou, en mettant $y$ pour ${\frac {1}{x}},$

$-d{\frac {\mathrm {U} dy}{d\varphi }}-\mathrm {U} yd\varphi +{\frac {\Pi d\varphi }{\mathrm {U} y^{2}}}=0,$

ce qui donnera par la différentiation, en regardant $d\varphi$ comme constante et multipliant par ${\frac {d\varphi }{\mathrm {U} }},$

$-d^{2}y-{\frac {d\mathrm {U} }{\mathrm {U} }}dy-yd\varphi ^{2}+{\frac {\Pi d\varphi ^{2}}{\mathrm {U} ^{2}y^{2}}}=0,$

savoir, à cause de ${\frac {d\mathrm {U} }{\mathrm {U} }}=-{\frac {\varpi x^{2}d\varphi }{\mathrm {U} ^{2}}}=-{\frac {\varpi d\varphi }{\mathrm {U} ^{2}y^{2}}},$

équation constructible dans plusieurs cas particuliers.

Enfin, la troisième équation étant multipliée par ${\frac {dz}{dt}},$ et ensuite intégrée, deviendra

${\frac {2dz^{2}}{dt^{2}}}=b^{2}-\int \Psi dz,$

d’où l’on tirera la valeur de $dt,$ laquelle étant comparée à celle qu’on a trouvée plus haut fournira l’équation

${\frac {dz}{\sqrt {2b^{2}-2\int \Psi dz}}}={\frac {d\varphi }{\mathrm {U} y^{2}}}.$

V.

Corollaire. — Si le corps était obligé de se mouvoir sur une surface courbe donnée, alors rapportant cette surface aux trois variables $x,\varphi ,z,$ et la supposant exprimée par l’équation

$dz=pd\varphi +qdx,$

on mettrait dans l’équation (C) $p\delta \varphi +q\delta x$ au lieu de $\delta z,$ ensuite on égalerait à zéro les coefficients de $\delta x$ et de $\delta \varphi ,$ et l’on aurait

${\begin{aligned}&d{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}+\varpi dt+\left(d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt\right)p=0,\\&d{\frac {udx}{ds}}-{\frac {uxd\varphi ^{2}}{ds}}+\Pi dt+\left(d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt\right)q=0.\end{aligned}}$

VI.

Remarque I. — Nous avons supposé que les forces $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ étaient comme des fonctions quelconques des distances $p,q,r,\ldots \,;$ cependant il est facile de démontrer, par les principes de Dynamique, que les équations trouvées sont générales pour toutes sortes de forces accélératrices, et l’on peut d’ailleurs s’en convaincre par cette seule raison que les équations dont il s’agit ne renferment point la loi suivant laquelle les forces $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ croissent ou décroissent, mais seulement les quantités et les directions instantanées de ces forces, comme il est aisé de le voir en substituant pour $\Pi ,\varpi$ et $\Psi$ leurs valeurs. Au reste, à examiner les solutions précédentes, il est évident que l’hypothèse de

$\mathrm {P=fonct} .p,\quad \mathrm {Q=fonct} .q,\quad \mathrm {R=fonct.} r,\ldots$

ne sert qu’à rendre égale à zéro la formule intégrale

$\int (\delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p+\delta \mathrm {Q} dq-d\mathrm {Q} \delta q+\delta \mathrm {R} dr-d\mathrm {R} \delta r+\ldots =0\,;$

Or, pour cela, il suffirait que les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ eussent entre elles un rapport tel que

$\delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p+\delta \mathrm {Q} dq-d\mathrm {Q} \delta q+\delta \mathrm {R} dr-d\mathrm {R} \delta r+\ldots =0\,;$

soient donc $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ des fonctions quelconques de $p,q,r,\ldots ,$ de sorte que l’on ait par la différentiation

${\begin{aligned}d\mathrm {P} =&\mathrm {A} dp+\mathrm {B} dq+\mathrm {C} dr+\ldots ,\\d\mathrm {Q} =&\mathrm {D} dp+\mathrm {E} dq+\mathrm {F} dr+\ldots ,\\d\mathrm {R} =&\mathrm {G} dp+\mathrm {H} dq+\mathrm {I} dr+\ldots \,;\end{aligned}}$

il est clair qu’on aura également

${\begin{aligned}\delta \mathrm {P} =&\mathrm {A} \delta p+\mathrm {B} \delta q+\mathrm {C} \delta r+\ldots ,\\\delta \mathrm {Q} =&\mathrm {D} \delta p+\mathrm {E} \delta q+\mathrm {F} \delta r+\ldots ,\\\delta \mathrm {R} =&\mathrm {G} \delta p+\mathrm {H} \delta q+\mathrm {I} \delta r+\ldots \,;\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs dans l’équation de condition et réduisant, on aura

$(\mathrm {B-D} )(dp\delta q-dq\delta p)+(\mathrm {C-G} )(dp\delta r-dr\delta p)+(\mathrm {F-H} )(dq\delta r-dr\delta q)=0,$

donc

$\mathrm {B-D=0,\qquad C-G=0,\qquad F-H=0} ,$

savoir

${\frac {d\mathrm {P} }{dq}}={\frac {d\mathrm {Q} }{dp}},\qquad {\frac {d\mathrm {P} }{dr}}={\frac {d\mathrm {R} }{dp}},\qquad {\frac {d\mathrm {Q} }{dr}}={\frac {d\mathrm {R} }{dq}},$

c’est-à-dire que $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots$ devra être une différentielle complète. Si cette condition a lieu, la valeur de $u\delta u$ sera simplement

$-\mathrm {P} \delta p-\mathrm {Q} \delta q-\mathrm {R} \delta r-\ldots \,;$

autrement, il faudra encore tenir compte de l’intégrale

$\int (\delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p+\ldots )$

pour rendre la formule $\int uds$ un vrai maximum ou minimum ; mais les équations qu’on trouverait alors ne seraient plus les véritables équations du mouvement du corps.

VII.

Remarque II. — Ce Problème est le seul auquel M. Euler ait appliqué son principe. Il l’a aussi résolu pour les deux cas des coordonnées rectangles et des rayons partant d’un centre fixe. Mais pour pouvoir comparer ses solutions avec les nôtres, il faut remarquer :

1^o Que M. Euler n’a considéré que des courbes à simple courbure ;

2^o Qu’il n’a cherché le maximum ou le minimum de la formule $\int uds$ qu’eu égard à la variabilité de l’ordonnée $y$ dans le premier cas, et à celle de l’angle que nous avons nommé $\varphi$ dans le second. (Voyez l’Addition citée au commencement de ce Mémoire.)

Au reste, il est clair que par notre méthode on pourra encore varier la solution de ce Problème en plusieurs autres manières, selon les différentes sortes de coordonnées qu’on choisira pour représenter la trajectoire cherchée.

VIII.

Problème II général. — Soit un système quelconque de plusieurs corps, $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,$ qui soient sollicités par tant de forces centrales qu’on voudra, savoir : $\mathrm {M}$ par les forces $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots \,;$ $\mathrm {M} '$ par les forces $\mathrm {P',Q',R'} ,\ldots \,;$ $\mathrm {M} ''$ par les forces $\mathrm {P'',Q'',R''} ,\ldots ,$ et qui agissent de plus les uns sur les autres par des forces quelconques d’attraction mutuelle ; trouver le mouvement de chacun de ces corps.

Solution. — Tout se réduit à rendre la formule

$\mathrm {M} \int uds+\mathrm {M} '\int u'ds'+\mathrm {M} ''\int u''ds''+\ldots$

un maximum ou un minimum. On fera donc, suivant notre méthode,

$\delta \left(\mathrm {M} \int uds\right)+\delta \left(\mathrm {M} '\int u'ds'\right)+\delta \left(\mathrm {M} ''\int u''ds''\right)+\ldots =0.$

Or, à cause que $\mathrm {M}$ est constant (Article I),

$\delta \left(\mathrm {M} \int uds\right)=\mathrm {M} \delta \int uds=\mathrm {M} \int (u\delta ds+u\delta udt)=\int \mathrm {M} (u\delta uds+u\delta udt).$

On trouvera de même, en substituant toujours $dt$ pour ${\frac {ds'}{u'}},{\frac {ds''}{u''}},\ldots ,$

${\begin{aligned}\delta \left(\mathrm {M} '\ \int u'\ ds'\ \right)=&\int \mathrm {M} '\ (u'\ \delta u'\ ds+u'\ \delta u'\ dt),\\\delta \left(\mathrm {M} ''\int u''ds''\right)=&\int \mathrm {M} ''(u''\delta u''ds+u''\delta u''dt),\\\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; on aura donc l’équation

(D)

$\left\{{\begin{aligned}\int &\left[\mathrm {M} u\delta ds+\mathrm {M} 'u'\delta ds'+\mathrm {M} ''u''\delta ds''+\ldots \right.\\&\qquad +\left.(Mu\delta u+M'u'\delta u'+M''u''\delta u''+\ldots )dt\right]=0.\end{aligned}}\right.$

Maintenant, soient $p,q,r,\ldots$ les distances du corps $\mathrm {M}$ aux centres des forces $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots ,$ et $p',q',r',\ldots$ $p'',q'',r'',\ldots$ celles des autres corps $\mathrm {M',M''} ,\ldots$ aux centres de leurs forces $\mathrm {P',Q',R'} ,\ldots$ $\mathrm {P'',Q'',R''} ,\ldots$ Soient, outre cela, $f$ la distance entre le corps $\mathrm {M}$ et le corps $\mathrm {M} ',$ et $\mathrm {F}$ la force avec laquelle chaque point de l’un attire chaque point de l’autre ; de même $f'$ la distance entre les corps $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} '',$ et $\mathrm {F} '$ leur force d’attraction, et ainsi de suite. Soient encore $g$ la distance entre le corps $\mathrm {M} '$ et le corps $\mathrm {M} '',$ et $\mathrm {G}$ leur attraction, et ainsi pour tous les autres corps ; on aura, par le principe général de la conservation des forces vives, l’équation

${\begin{aligned}\mathrm {M} u^{2}&+\mathrm {M} 'u'^{2}+\mathrm {M} ''u''^{2}+\ldots =\mathrm {MU^{2}+M'U'^{2}+M''U''^{2}} +\ldots \\&-2\mathrm {M} \ \ \int \left(\mathrm {P} \ \ dp\ \ +\mathrm {Q} \ \ dq\ \ +\mathrm {R} \ \ dr\ \ +\ldots \right)\\&-2\mathrm {M} '\ \int \left(\mathrm {P} '\,dp'\ +\mathrm {Q} 'dq'\ +\mathrm {R} '\,dr'\ +\ldots \right)\\&-2\mathrm {M} ''\int \left(\mathrm {P} ''dp''+\mathrm {Q} ''dq''+\mathrm {R} ''dr''+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&-2\mathrm {MM'} \int \mathrm {F} df\\&-2\mathrm {MM''} \int \mathrm {F} 'df'-2\mathrm {M'M''} \int \mathrm {G} dg-\ldots .\end{aligned}}$

$\mathrm {U,U',U''} ,\ldots$ étant les vitesses primitives des corps $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots .$

Or, soient supposés

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {P} \ =&\mathrm {fonct} .p\ ,&\mathrm {Q} \ =&\mathrm {fonct} .q\ ,&\mathrm {R} \ =&\mathrm {fonct} .r\ ,\ldots ,\\\mathrm {P} '=&\mathrm {fonct} .p',\qquad &\mathrm {Q} '=&\mathrm {fonct} .q',\qquad &\mathrm {R} '=&\mathrm {fonct} .r',\ldots ,\end{alignedat}}$

$\mathrm {F\,\ =fonct} .f,\ldots ,\qquad \mathrm {G=fonct} .g,\ldots ,$

on trouvera, par un calcul analogue à celui qu’on a fait dans le Problème I, l’équation différentielle

(U)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {M} u\delta &u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots \\=&-\mathrm {M} \ \ \left(\mathrm {P} \ \ \delta p\ \ +\mathrm {Q} \ \ \delta q\ \ +\mathrm {R} \ \ \delta r\ \ +\ldots \right)\\&-\mathrm {M} '\ \left(\mathrm {P} '\delta p'\ +\mathrm {Q} '\,\delta q'\ +\mathrm {R} '\,\delta r'\ +\ldots \right)\\&-\mathrm {M} ''\left(\mathrm {P} ''\delta p''+\mathrm {Q} ''\delta q''+\mathrm {R} ''\delta r''+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-\mathrm {MM'F} \delta f-\mathrm {MM''F'} \delta f'-\ldots \\&-\mathrm {M'M''G} \delta g+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Il faut maintenant trouver les valeurs des différences $\delta ds,\delta ds',$$\delta ds'',\ldots ,$ et cette recherche dépend, comme on le voit, de la nature des coordonnées qu’on emploie pour représenter les courbes décrites par chaque corps.

IX.

Premier cas. — Soient, comme dans l’Article I, $x,y,z$ trois coordonnées rectangles qui déterminent la position du corps $\mathrm {M}$ dans un temps quelconque, et soient de même $x',y',z',$ $x'',y'',z'',\ldots ,$ d’autres coordonnées rectangles et parallèles à celles-là pour la position des autres corps $\mathrm {M',M''} ,\ldots ,$ dans le même temps ; on aura, comme dans l’Article cité,

$\delta ds={\frac {dxd\delta x+dyd\delta y+dzd\delta z}{ds}},$

et de même

${\begin{aligned}\delta ds'\ =&{\frac {dxd\delta x'+dy'd\delta y'+dz'd\delta z'}{ds'}},\\\delta ds''=&{\frac {dxd\delta x''+dy''d\delta y''+dz''d\delta z''}{ds''}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Qu’on substitue ces valeurs dans l’équation (D), et qu’on fasse disparaître, comme à l’ordinaire, les différentielles de $\delta x,\delta y,\delta z,\delta x',\delta y',\ldots ,$ on aura, en négligeant tous les termes hors du signe $\int$ qui peuvent être supposés nuls par la remarque de l’Article II,

(E)

$\left\{{\begin{aligned}\int &\left[\mathrm {M} d{\frac {u\ \ dx\ \ }{ds}}\delta x\,\ +\mathrm {M} \ \ d{\frac {u\ \ dy\ \ }{ds}}\delta y\ \,+\mathrm {M} \ \ d{\frac {u\ \ dz\ \ }{ds}}\delta z\right.\\+&\mathrm {M} '\,d{\frac {u'\ dx'\ }{ds'}}\delta x'\,+\mathrm {M} '\ d{\frac {u'\ dy'\ }{ds'}}\delta y'+\mathrm {M} '\ d{\frac {u'\ dz'\ }{ds'}}\delta z'\\+&\mathrm {M} ''d{\frac {u''dx''}{ds''}}\delta x''+\mathrm {M} ''d{\frac {u''dy''}{ds''}}\delta y''+\mathrm {M} ''d{\frac {u''dz''}{ds''}}\delta z''\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\qquad \qquad \left.-\left(\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} '\delta u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots \right)dt{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right]=0.\end{aligned}}\right.$

Il ne s’agira plus maintenant que de substituer dans cette équation, au lieu de

$\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} '\delta u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots ,$

sa valeur tirée de l’équation (U), et de réduire ensuite les différences

$\delta p,\delta q,\delta r,\ldots ,\delta p',\delta q',\ldots ,\delta f,\delta f',\ldots ,\delta g,\ldots ,$

aux différences

$\delta x,\delta y,\delta z,\delta x',\delta y',\ldots ,$

par une méthode analogue à celle que l’on a pratiquée dans le Problème précédent ; après quoi, si chaque corps est entièrement libre, en sorte que toutes les différences $\delta x,\delta y,\delta z,\delta x',\delta y',\ldots ,$ demeurent indéterminées, on fera chacun de leurs coefficients égal à zéro, et l’on aura trois fois autant d’équations qu’il y a de corps, lesquelles, prises ensemble, suffiront pour déterminer toutes les vitesses et les courbes cherchées ; mais si un ou plusieurs de ces corps sont forcés de se mouvoir sur des courbes ou des surfaces données, et qu’ils agissent de plus les uns sur les autres, soit en se poussant, soit en se tirant par des fils ou des verges inflexibles, ou de quelque autre manière que ce soit, alors on cherchera les rapports qui devront nécessairement se trouver entre les différences $\delta x,\delta y,\delta z,\delta x',\delta y',\ldots .$ On réduira par là ces différences au plus petit nombre possible, et on fera ensuite chacun de leurs coefficients égal à zéro, ce qui donnera toutes les équations nécessaires pour la solution du Problème.

X.

Corollaire. — Supposons le système entièrement libre, et que les corps agissent les uns sur les autres d’une manière quelconque ; supposons outre cela que tous les corps soient sollicités par trois forces $\mathrm {P,Q,R}$ dirigées parallèlement aux coordonnées $x,y,z$ et qui soient les mêmes pour chacun d’eux ; on mettra dans l’équation (U) $x,y,z$ à la place de $p,q,r,$ et l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {M} &u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots \\=&-\mathrm {M} (\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z)-\mathrm {M} '\left(\mathrm {P} \delta x'+\mathrm {Q} \delta y'+\mathrm {R} \delta z\right)\\&-\mathrm {M} ''\left(\mathrm {P} \delta x''+\mathrm {Q} \delta y''+\mathrm {R} \delta z''\right)-\ldots \\&-\mathrm {MM'F} \delta f-\mathrm {MM''F'} \delta f'-\ldots -\mathrm {M'M''G} \delta g-\ldots .\end{aligned}}$

Cette valeur de $\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\ldots$ étant substituée dans l’équation (E), soit fait

${\begin{alignedat}{3}x'\ =&x+\mathrm {X} ,&y'\ =&y+\mathrm {Y} ,&z'\ =&z+\mathrm {Z} ,\\x''=&x+\mathrm {X} ',\qquad &y''=&y+\mathrm {Y} ',\qquad &z''=&z+\mathrm {Z} ',\\\end{alignedat}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et par conséquent

${\begin{alignedat}{3}\delta x'\ =&\delta x+\delta \mathrm {X} ,&\delta y'\ =&\delta y+\delta \mathrm {Y} ,&\delta z'\ =&\delta z+\delta \mathrm {Z} ,\\\delta x''=&\delta x+\delta \mathrm {X} ',\qquad &\delta y''=&\delta y+\delta \mathrm {Y} ',\qquad &\delta z''=&\delta z+\delta \mathrm {Z} ',\\\end{alignedat}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

il est clair que les lignes $f,f',g,\ldots ,$ qui marquent les distances des corps entre eux, dépendront uniquement des lignes $\mathrm {X,Y,Z,X',Y',Z'} ,\ldots ,$ qui déterminent leur position respective, et qu’ainsi les expressions des différences $\delta f,\delta f',\delta g,\ldots$ ne renfermeront aucunement les différences $\delta x,\delta y,\delta z\,;$ on remarquera de plus que ces mêmes différences $\delta x,\delta y,\delta z$ seront absolument indépendantes de toutes les autres différences $\delta \mathrm {X} ,\delta \mathrm {Y} ,\ldots .$ Car il est évident que, l’action mutuelle des corps ne dépendant que de leur position respective, savoir des lignes $\mathrm {X,Y,Z,X',Y',Z',X''} ,\ldots ,$ il n’y aura que les seules différences $\mathrm {\delta X,\delta Y,\delta Z,\delta X',\delta Y',\delta Z'} ,\ldots$ de ces mêmes lignes qui soient liées entre elles par des rapports donnés par la nature du Problème ; d’où il suit que les termes affectés des différences $\delta x,\delta y,\delta z$ dans l’équation (E) devront être chacun en particulier égal à zéro ; ce qui donnera les trois équations générales

${\begin{aligned}\mathrm {M} d{\frac {udx}{ds}}+\mathrm {M} 'd{\frac {u'dx'}{ds'}}+\mathrm {M} ''d{\frac {u''dx''}{ds''}}+\ldots +\mathrm {(M+M'+M''+\ldots )P} dt=&0,\\\mathrm {M} d{\frac {udy}{ds}}+\mathrm {M} 'd{\frac {u'dy'}{ds'}}+\mathrm {M} ''d{\frac {u''dy''}{ds''}}+\ldots +\mathrm {(M+M'+M''+\ldots )Q} dt=&0,\\\mathrm {M} d{\frac {udz}{ds}}+\mathrm {M} 'd{\frac {u'dz'}{ds'}}+\mathrm {M} ''d{\frac {u''dz''}{ds''}}+\ldots +\mathrm {(M+M'+M''+\ldots )R} dt=&0,\\\end{aligned}}$

Or,

${\frac {ds}{u}}={\frac {ds'}{u'}}={\frac {ds''}{u''}}=\ldots =dt.$

donc, ces équations deviendront celles-ci :

${\begin{aligned}d{\frac {\mathrm {M} dx+\mathrm {M} 'dx'+\mathrm {M} ''dx''+\ldots }{dt}}+\mathrm {(M+M'+M''+\ldots )P} dt=&0,\\d{\frac {\mathrm {M} dy+\mathrm {M} 'dy'+\mathrm {M} ''dy''}{dt}}+\ldots +\mathrm {(M+M'+M''+\ldots )Q} dt=&0,\\d{\frac {\mathrm {M} dz+\mathrm {M} 'dz'+\mathrm {M} ''dz''}{dt}}+\ldots +\mathrm {(M+M'+M''+\ldots )R} dt=&0\,;\end{aligned}}$

d’où l’on voit que si l’on prend à chaque instant dans le système un point tel que sa position soit déterminée par trois coordonnées, l’une parallèle à $x$ et égale à

${\frac {\mathrm {M} x+\mathrm {M} 'x'+\mathrm {M} ''x''+\ldots }{\mathrm {M+M'+M''} +\ldots }},$

l’autre parallèle à $y$ et égale à

${\frac {\mathrm {M} y+\mathrm {M} 'y'+\mathrm {M} ''y''+\ldots }{\mathrm {M+M'+M''} +\ldots }},$

et la troisième parallèle à $s$ et égale à

${\frac {\mathrm {M} z+\mathrm {M} 'z'+\mathrm {M} ''z''+\ldots }{\mathrm {M+M'+M''} +\ldots }},$

ce point se mouvra comme ferait un corps sollicité simplement par les trois forces $\mathrm {P,Q,R} .$ Or il est évident que ce point ne sera autre chose que le centre de gravité du système, savoir, de tous les corps $\mathrm {M,M'} ,\ldots ,$ qui le composent.

XI.

Second cas. — Soit pris, comme dans l’Article IV, au lieu des deux coordonnées rectangles $x$ et $y,$ un rayon vecteur $x$ avec un angle $\varphi ,$ et soient de même substitués aux autres coordonnées $x',y',x'',y'',\ldots ,$ les rayons vecteurs $x',x'',\ldots ,$ partant du même point fixe que le rayon $x,$ avec les angles correspondants $\varphi ',\varphi '',\ldots ,$ pris dans le même plan de l’angle $\varphi \,;$ on trouvera, comme dans l’Article cité,

$\delta ds={\frac {x^{2}d\varphi d\delta \varphi +xd\varphi ^{2}\delta x+dxd\delta x+dzd\delta z}{ds}},$

et de même

${\begin{aligned}\delta ds'\ =&{\frac {x'^{2}d\varphi 'd\delta \varphi '+x'd\varphi '^{2}\delta x'+dx'd\delta x'+dz'd\delta z'}{ds'}},\\\delta ds''=&{\frac {x''^{2}d\varphi ''d\delta \varphi ''+x''d\varphi ''^{2}\delta x''+dx''d\delta x''+dz''d\delta z''}{ds''}},\end{aligned}}$

et ainsi des autres. On substituera ces valeurs dans l’équation (D) de l’Article VIII et pratiquant les mêmes réductions que dans l’Article IV, elle deviendra

(F)

$\left\{{\begin{aligned}&\int \left[\mathrm {M} d{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}\delta \varphi \quad \ \ \ +\mathrm {M} \ \left(d{\frac {udx}{ds}}\quad -{\frac {uxd\varphi ^{2}}{ds}}\quad \ \right)\delta x\quad +\mathrm {M} d{\frac {udz}{ds}}\delta z\right.\\&+\mathrm {M} 'd{\frac {u'x'^{2}d\varphi '}{ds'}}\delta \varphi '\quad +\mathrm {M} '\left(d{\frac {u'dx'}{ds'}}\ \,-{\frac {u'x'd\varphi '^{2}}{ds'}}\ \ \right)\delta x'\ \,+\mathrm {M} 'd{\frac {u'dz'}{ds'}}\delta z'\\&+\mathrm {M} ''d{\frac {u''x''^{2}d\varphi ''}{ds''}}\delta \varphi ''+\mathrm {M} ''\left(d{\frac {u''dx''}{ds''}}-{\frac {u''x''d\varphi ''^{2}}{ds''}}\right)\delta x''+\mathrm {M} ''d{\frac {u''dz''}{ds''}}\delta z''\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+\left(\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots \right)dt{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right]=0,\end{aligned}}\right.$

équation dans laquelle j’ai rejeté tous les termes qui sont hors du signe $\int ,$ parce que ces termes deviennent évidemment nuls dans la supposition que le premier et le dernier point de chaque trajectoire soient donnés. Or, cette équation étant analogue à l’équation (E) de l’Article VIII ne demandera plus que des opérations semblables pour trouver le mouvement de chaque corps. On en verra des exemples dans les Problèmes suivants.

XII.

Corollaire. — Si le système est entièrement libre ou qu’il soit simplement assujetti à se mouvoir autour d’un point fixe, et que toutes les forces sollicitatrices des corps concourent à ce point, prenant ce point pour le centre des rayons vecteurs $x,x',x'',\ldots ,$ et faisant,

$\varphi '=\varphi +\Phi ,\qquad \varphi ''=\varphi +\Phi '\ldots ,$

il est facile de voir que $\delta \varphi$ sera absolument indépendante des autres

différences $\delta \Phi ,\delta \Phi ',\ldots ,\delta x,\delta x',\delta x'',\ldots ,$ quelle que soit l’action réciproque des corps les uns sur les autres ; il est de plus évident que toutes les différences $\delta p,\delta q,\delta f,\ldots ,$ qui entrent dans la valeur de $\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u',\ldots ,$ seront aussi indépendantes de la différence $\delta \varphi \,;$ d’où il suit que tous les termes de l’équation (F) qui se trouveront affectés de la différence $\delta \varphi$ après les substitutions de $\delta \varphi +\delta \Phi ,\ \delta \varphi +\delta \Phi ',\ldots ,$ à la place de $\delta \varphi ',\delta \varphi '',\ldots ,$ devront être égaux à zéro séparément du reste de l’équation ; on aura donc en général, après avoir effacé le $\delta \varphi ,$ l’équation

$\mathrm {M} d{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}+\mathrm {M} 'd{\frac {u'x'^{2}d\varphi '}{ds'}}+\mathrm {M} ''d{\frac {u''x''^{2}d\varphi ''}{ds''}}+\ldots =0,$

dont l’intégrale est

(G)

${\frac {\mathrm {M} ux^{2}d\varphi }{ds}}+{\frac {\mathrm {M} 'u'x'^{2}d\varphi '}{ds'}}+{\frac {\mathrm {M} ''u''x''^{2}d\varphi ''}{ds''}}+\ldots =\mathrm {const} .,$

ou, en mettant $dt$ pour ${\frac {u}{ds}},{\frac {u'}{ds'}},{\frac {u''}{ds''}},\ldots$ et en nommant $\mathrm {H}$ la constante,

$\mathrm {M} x^{2}d\varphi +\mathrm {M} 'x'^{2}d\varphi '+\mathrm {M} ''x''^{2}d\varphi ''+\ldots =\mathrm {H} dt,$

et intégrant de nouveau, il vient

$\mathrm {M} \int x^{2}d\varphi +\mathrm {M} '\int x'^{2}d\varphi '+\mathrm {M} ''\int x''^{2}d\varphi ''+\ldots =\mathrm {H} t,$

Il est visible que l’intégrale

$\int x^{2}d\varphi$

exprime l’aire que la projection du corps $\mathrm {M}$ décrit autour du centre des forces, et que les autres intégrales

$\int x'^{2}d\varphi ',\qquad \int x''^{2}d\varphi '',\ldots ,$

expriment de même les aires décrites par les projections des autres corps $\mathrm {M',M''} ,\ldots ,$ autour du même centre ; donc la somme de chacune de

ces aires, multipliée par la masse du corps qui la décrit, est toujours proportionnelle au temps.

Le lecteur qui sera curieux de voir une démonstration de ce théorème tirée des principes de Mécanique, la trouvera dans un Mémoire de M. le chevalier d’Arcy, imprimé parmi ceux de l’Académie royale des Sciences de Paris, année 1747 ; il y trouvera aussi l’usage de ce même théorème pour résoudre plusieurs questions de Dynamique.

Au reste, nous remarquerons que l’équation (G) renferme le principe que MM. Daniel Bernoulli et Euler ont appelé la conservation du moment du mouvement circulatoire, et qui consiste en ce que la somme des produits de chaque corps $\mathrm {M}$ par sa vitesse circulatoire \frac{uxd\varphi}{ds} et par sa distance au centre de $x$ est constante pendant le mouvement du système. (Voyez les Mémoires de l’Académie royale des Sciences de Berlin, année 1745, et les Opuscules de M. Euler imprimés à Berlin en 1746.)

La même équation (G) renferme aussi le principe de M. le chevalier d’Arcy, que la somme des produits de chaque corps $\mathrm {M}$ par sa vitesse $u,$ et par la perpendiculaire ${\frac {x^{2}d\varphi }{ds}}$ menée du centre sur la direction du corps, fait toujours une quantité constante. (Voyez les Mémoires de l’Académie de Paris, années 1749, 1752.)

XIII.

Remarque. — Il est aisé de trouver, par la méthode que j’ai donnée dans la Remarque de l’Article VI que l’équation (U) sera exacte en général toutes les fois que la formule

$-\mathrm {M} (\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )-\mathrm {M} '\left(\mathrm {P} 'dp'+\mathrm {Q} 'dq'+\mathrm {R} 'dr'+\ldots \right)-\ldots ,$

qui exprime la valeur de

$\mathrm {M} udu+\mathrm {M} 'u'du'+\mathrm {M} ''u''du''+\ldots ,$

sera une différentielle complète. Dans tous les autres cas, cette équation ne pourra plus servir à trouver les conditions de la maximité ou de la

minimité de la formule intégrale

$\mathrm {M} \int uds+\mathrm {M} '\int u'ds'+\mathrm {M} ''\int u''ds''+\ldots ,$

mais elle servira toujours également pour trouver les mouvements des corps $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,$ quelles que soient les forces dont ils sont animés. Ainsi, sans s’embarrasser que la formule dont nous parlons soit réellement un maximum ou un minimum, on pourra toujours employer l’équation (U) dans quelque hypothèse de forces que ce soit.

XIV.

Problème III. — Trois corps $\mathrm {M,M',M''}$ s’attirent mutuellement par des forces d’attraction $\mathrm {F,F',G} \,;$ trouver les orbites des corps $\mathrm {M',M''}$ par rapport au corps $\mathrm {M}$ regardé comme en repos.

Solution. — Les mêmes noms étant conservés que dans l’Article IX on fera de plus, comme dans l’Article X,

$x'=x+\mathrm {X} ,\qquad y'=y+\mathrm {Y} ,\ldots ,$

et l’on aura

${\begin{aligned}ds\ \ =&{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}},\\ds'\ =&{\sqrt {(dx+d\mathrm {X} \ )^{2}+(dy+d\mathrm {Y} \ )^{2}+(dz+d\mathrm {Z} \ )^{2}}},\\ds''=&{\sqrt {\left(dx+d\mathrm {X} '\right)^{2}+\left(dy+d\mathrm {Y} '\right)^{2}+\left(dz+d\mathrm {Z} '\right)^{2}}},\end{aligned}}$

d’où l’on tirera, par la différentiation, les valeurs de $\delta ds,\delta ds',\delta ds'',$ qu’il faudra substituer dans l’équation (D) de l’Article VIII.

Mais pour mieux représenter les orbites relatives des corps $\mathrm {M',M''} ,$ soient pris, au lieu des coordonnées rectangles $\mathrm {X,Y,X',Y'} ,$ deux rayons vecteurs $r,r',$ avec deux angles correspondants $\varphi ,\varphi ',$ tels que l’on ait

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {X} \ =&r\ \cos \varphi ,&\mathrm {Y} \ =&r\ \sin \varphi ,\\\mathrm {X} '=&r'\cos \varphi ',\qquad &\mathrm {Y} '=&r'\sin \varphi '\,;\end{alignedat}}$

ayant fait ces substitutions dans les valeurs de $ds',ds'',$ on aura

${\begin{aligned}ds'\ =&{\sqrt {ds^{2}+2dxd(r\ \cos \varphi \ \ )+2dyd(r\ \sin \varphi \ \ )+r^{2}\ d\varphi ^{2}\,+dr^{2}\,+2dzd\mathrm {\mathrm {Z} } \ +d\mathrm {\mathrm {Z} } ^{2}}},\\ds''=&{\sqrt {ds^{2}+2dxd\left(r'\cos \varphi '\right)+2dyd\left(r'\sin \varphi '\right)+r'^{2}d\varphi '^{2}+dr'^{2}+2dzd\mathrm {Z} '+d\mathrm {Z} '^{2}}}.\end{aligned}}$

Maintenant, si l’on veut regarder l’orbite du corps $\mathrm {M}$ comme connue, on prendra les différences $\delta ds,\delta ds',\delta ds'',$ en supposant $dx,dy,dz$ constantes ; on aura

$\delta ds\ \ =0,$

$\delta ds'\ =-{\frac {1}{ds'}}\left[dx\delta d(r\cos \varphi )+dy\delta d(r\sin \varphi )+r^{2}d\varphi \delta \right.d\varphi +rd\varphi ^{2}\delta r$

$+\left.dr\delta dr+(dz+d\mathrm {Z} )\delta d\mathrm {Z} \right],$

$\delta ds''=-{\frac {1}{ds''}}\left[dx\delta d(r'\cos \varphi ')+dy\delta d(r'\sin \varphi ')+r'^{2}d\varphi '\delta \right.d\varphi '+r'd\varphi '^{2}\delta r'$

$+\left.dr'\delta dr'+(dz+d\mathrm {Z} ')\delta d\mathrm {Z} '\right].$

Avant que de faire ces substitutions dans l’équation (D) de l’Article VIII je remarque que les corps $\mathrm {M',M''}$ dont on cherche le mouvement étant entièrement libres par l’hypothèse du Problème, les différences de leurs coordonnées $\delta r,\delta \varphi ,\delta \mathrm {Z} ,\delta r',\delta \varphi ',\delta \mathrm {Z} '$ sont nécessairement indépendantes entre elles ; d’où il suit qu’on peut faire pour chacun de ces corps un calcul à part, en ne considérant à la fois que les variations des trois coordonnées $r,\varphi ,\mathrm {Z}$ ou $r',\varphi ',\mathrm {Z} '.$

Qu’on ne prenne d’abord que les trois premières $r,\varphi ,\mathrm {Z}$ pour variables, il est clair qu’on aura $\delta ds''=0\,;$ par conséquent l’équation mentionnée deviendra simplement

$\int \left[\mathrm {M} 'u'\delta ds'+\left(\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots \right)dt\right]=0.$

Pour appliquer cette équation au Problème présent, on commencera par substituer, à la place des $\delta ds',$ sa valeur trouvée ci-dessus, en y mettant, pour plus de simplicité, au lieu de ${\frac {u'}{ds}}$ son égale ${\frac {1}{dt}}\,;$ ensuite on intégrera par parties tous les termes qui renfermeront des différences affectées du double signe $\delta d,$ après avoir changé ce signe dans son équivalent $d\delta \,;$ cette opération donnera les transformées suivantes :

${\begin{aligned}\int &{\frac {dxd\delta (r\cos \varphi )}{dt}}\\&={\frac {dx\delta (r\cos \varphi )}{dt}}-\int (d\left({\frac {dx}{dt}}\right)\delta (r\cos \varphi )\\&={\frac {dx}{dt}}(\cos \varphi \delta r-r\sin \varphi \delta \varphi )-\int d\left({\frac {dx}{dt}}\right)(\cos \varphi \delta r-r\sin \varphi \delta \varphi )\\&=-\int d\left({\frac {dx}{dt}}\right)(\cos \varphi \delta r-r\sin \varphi \delta \varphi )\end{aligned}}$

(en rejetant les termes qui sont hors du signe d’intégration et qui s’évanouissent toujours dans l’hypothèse de l’Article II), et de même

${\begin{aligned}&\int {\frac {dyd\delta (r\sin \varphi )}{dt}}=-\int d\left({\frac {dy}{dt}}\right)(\sin \varphi \delta r+r\cos \varphi \delta \varphi ).\\&\int {\frac {r^{2}d\varphi d\delta \varphi )}{dt}}=-\int d\left({\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}\right)\delta \varphi ,\quad \int {\frac {dr\delta dr}{dt}}=-\int d\left({\frac {dr}{dt}}\right)\delta r,\\&{\frac {(dz+d\mathrm {Z} )d\delta \mathrm {Z} }{dt}}=-\int d{\frac {(dz+d\mathrm {Z} )}{dt}}\delta \mathrm {Z} .\end{aligned}}$

En joignant ensemble toutes ces transformées, et y ajoutant le terme $\int {\frac {rd\varphi ^{2}}{dt}}\delta r,$ on aura la valeur de $\int u'\delta ds'$ exprimée par la formule suivante :

$\int \left[\left(r\sin \varphi d{\frac {dx}{dt}}-r\cos \varphi d{\frac {dy}{dt}}-d{\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}\right)\delta \varphi \right.$

$\left.-\left(\cos \varphi d{\frac {dx}{dt}}+\sin \varphi d{\frac {dy}{dt}}+d{\frac {dr}{dt}}-{\frac {r^{2}d\varphi ^{2}}{dt}}\right)\delta r-d{\frac {dz+d\mathrm {Z} }{dt}}\delta \mathrm {Z} \right].$

À présent, pour avoir la valeur de

$\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u'',$

on fera dans l’équation (U) de l’Article VIII toutes les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,$ $\mathrm {P',Q'} ,\ldots ,$ qui représentent des forces étrangères égales à zéro, et l’on aura

$\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''=-\mathrm {MM'F} \delta f-\mathrm {MM''F'} \delta f'-\mathrm {M'M''G} \delta g.$

Or il est facile de trouver que

${\begin{aligned}f\ =&{\sqrt {\mathrm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} }}={\sqrt {r^{2}+\mathrm {Z} ^{2}}},\\f'=&{\sqrt {\mathrm {X'^{2}+Y'^{2}+Z'^{2}} }}={\sqrt {r'^{2}+\mathrm {Z} '^{2}}},\\g\ =&{\sqrt {\mathrm {(X'-X)^{2}2+(Y'-Y)^{2}+(Z'-Z)^{2}} }}\\&\qquad \qquad \qquad ={\sqrt {r'^{2}+r^{2}-2r'r\cos(\varphi '-\varphi )+(\mathrm {Z'-Z} )^{2}}}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tirera, en regardant toujours $\varphi ',r'$ et $\mathrm {Z} '$ comme constantes,

${\begin{aligned}\delta f=&{\frac {r\delta r+\mathrm {Z\delta Z} }{f}},\qquad \delta f'=0,\\\delta g=&{\frac {r-r'\cos(\varphi '-\varphi )}{g}}\delta r-{\frac {r'r\sin(\varphi '-\varphi )}{g}}\delta \varphi -{\frac {\mathrm {Z'-Z} }{g}}\delta \mathrm {Z} .\end{aligned}}$

Ayant fait ces substitutions, on ajoutera ensemble les valeurs de $\mathrm {M} '\int u'\delta ds'$ et de $\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u'',$ et l’on aura une formule intégrale, dont chaque terme contiendra une des différences $\delta \varphi ,\delta r,\delta \mathrm {Z} ,$ et qui devra être égale à zéro, quelles que soient les valeurs de ces différences. On trouvera donc, en faisant séparément égal à zéro chacun de leurs coefficients, et divisant par $M',$

${\begin{aligned}&-d{\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}+r\sin \varphi d{\frac {dx}{dt}}-r\cos \varphi d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {r'r\sin(\varphi '-\varphi )}{g}}\mathrm {M''G} dt=0,\\&d{\frac {dr}{dt}}-{\frac {rd\varphi ^{2}}{dt}}+\cos \varphi d{\frac {dx}{dt}}+\sin \varphi d{\frac {dy}{dt}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {r}{f}}\mathrm {MF} dt+{\frac {r'-r\cos(\varphi '-\varphi )}{g}}\mathrm {M''G} dt=0,\\&d{\frac {dz+d\mathrm {Z} }{dt}}-{\frac {\mathrm {Z'-Z} }{g}}\mathrm {M''G} dt=0,\end{aligned}}$

équations qui se réduisent à la forme de celles de l’Article IV en supposant

${\begin{aligned}&r\sin \varphi d{\frac {dx}{dt}}-r\cos \varphi d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {r'r\sin(\varphi '-\varphi )}{g}}\mathrm {M''G} dt=-\varpi dt,\\&\cos \varphi d{\frac {dx}{dt}}+\sin \varphi d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {r}{f}}\mathrm {MF} dt+{\frac {r'-r\cos(\varphi '-\varphi )}{g}}\mathrm {M''G} dt=\Pi dt,\\&d{\frac {dz}{dt}}-{\frac {\mathrm {Z'-Z} }{g}}\mathrm {M''G} dt=\Psi dt.\end{aligned}}$

Et ces équations suffiront pour déterminer l’orbite du corps $\mathrm {M} ',$ en supposant connues les orbites des deux autres corps $\mathrm {M,M''} .$

Qu’on fasse maintenant, dans les expressions de $\delta ds',\delta ds'',\delta f',\delta g,$ les changeantes $r',\varphi ',\mathrm {Z} '$ variables au lieu des $r,\varphi ,\mathrm {Z} \,;$ on trouvera, par des raisonnements et des opérations semblables aux précédentes, trois autres équations, qui ne différeront des équations ci-dessus que parce qu’il y aura $r',\varphi ',\mathrm {Z} '$ à la place de $r,\varphi ,\mathrm {Z}$ et réciproquement, et ces équations seront celles de l’orbite du corps $\mathrm {M} ''.$

XV.

Corollaire I — Si l’on ne connaissait pas l’orbite absolue du corps $\mathrm {M} ,$ alors, pour déterminer les valeurs des quantités ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ il faudrait aussi faire varier les trois changeantes $x,y,z$ dans les valeurs de $ds,ds',ds'',$ ce qui donnerait

${\begin{aligned}\delta ds\ \ =&{\frac {1}{ds}}\left(dx\delta dx+dy\delta dy+dz\delta dz\right),\\\delta ds'\ =&{\frac {1}{ds'}}\left[dx+d(r\cos \varphi )\delta dx\right]+\left[dy+d(r\sin \varphi )\right]\delta dy+(dz+d\mathrm {Z} )\delta dz,\\\delta ds''=&{\frac {1}{ds''}}\left[dx+d(r'\cos \varphi ')\right]\delta dx+\left[dy+d(r'\sin \varphi ')\right]\delta dy+(dz+d\mathrm {Z} ')\delta dz.\end{aligned}}$

On substituerait ces valeurs dans l’équation générale (D) de l’Article VIII et faisant après les réductions ordinaires les trois coefficients de $\delta x,\delta y,\delta z$ chacun égal à zéro, on aurait trois équations, par lesquelles on pourrait déterminer les valeurs de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}.$ Au reste, ces équations reviendraient au même que celles de l’Article X, en y faisant $\mathrm {P,Q,R}$ chacun égal à zéro.

XVI.

Corollaire II. — Les équations qu’on trouverait par la méthode du Corollaire précédent ne renfermeraient point les forces $\mathrm {F,F',G} ,$ mais seulement les changeantes $r,\varphi ,r',\varphi '$ avec leurs différences ; mais, pour ne pas trop charger de différentielles les équations du mouvement des corps $\mathrm {M',M''} ,$ il sera mieux de chercher les valeurs de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ en considérant directement les orbites absolues de ces deux corps.

Que $x',y',z',x'',y'',z''$ soient les ordonnées rectangles des orbites dont nous parlons : on parviendra à une équation qui sera la même que l’équation (E) du Problème II, et dans laquelle, à cause que les corps sont libres, il faudra faire les coefficients de $\delta x,\delta y,\delta z,\delta x',\delta y',\ldots ,$ chacun égal à zéro. Or il est facile de trouver que

${\begin{aligned}f\ =&{\sqrt {(x'\ -x\ )^{2}+(y'\ -y\ )^{2}+(z'\ -z\ )^{2}}},\\f''=&{\sqrt {(x''-x\ )^{2}+(y''-y\ )^{2}+(z''-z\ )^{2}}},\\g\ =&{\sqrt {(x''-x')^{2}+(y''-y')^{2}+(z''-z')^{2}}}\,;\end{aligned}}$

pour notre cas, il suffit de faire varier $x,y,z$ seulement ; on aura donc

${\begin{aligned}\delta f\ =&-{\frac {x'\ -x}{f}}\delta x-{\frac {y'\ -y}{f}}\delta y-{\frac {z'\ -z}{f}}\delta z,\\\delta f'=&-{\frac {x''-x}{f}}\delta x-{\frac {y''-y}{f}}\delta y-{\frac {z''-z}{f}}\delta z,\\\delta g\ =&0.\end{aligned}}$

On substituera ces valeurs dans l’expression

$-\mathrm {MM'F} \delta f-\mathrm {MM''F'} \delta f'-\mathrm {M'M''G} \delta g,$

et à cause de

${\begin{alignedat}{3}x'\ -x=&\mathrm {X} \ =r\ \cos \varphi ,&y'\ -y=&\mathrm {Y} \ =r\ \sin \varphi ,&z'\ -z=&\mathrm {Z} ,\\x''-x=&\mathrm {X} '=r'\cos \varphi ',\qquad &y''-y=&\mathrm {Y} '=r'\sin \varphi ',&\qquad z''-z=&\mathrm {Z} ',\end{alignedat}}$

on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''\\&=\mathrm {M} \left({\frac {\mathrm {M'F} r\cos \varphi }{f}}+{\frac {\mathrm {M''F'} r'\cos \varphi '}{f'}}\right)\delta x+\mathrm {M} \left({\frac {\mathrm {M'F} r\sin \varphi }{f}}+{\frac {\mathrm {M''F'} r'\sin \varphi '}{f'}}\right)\delta y\\&\quad +\mathrm {M} \left({\frac {\mathrm {M'FZ} }{f}}+{\frac {\mathrm {M''F'Z'} }{f'}}\right)\delta z.\end{aligned}}$

Mettant cette valeur de

$\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''$

dans l’équation (E), et faisant égal à zéro séparément chacun des trois coefficients de $\delta x,\delta y,\delta z,$ il viendra, après avoir divisé le tout par $\mathrm {M} ,$ et mis $dt$ à la place de ${\frac {ds}{u}},$

${\begin{aligned}&d{\frac {dx}{dt}}-\left({\frac {\mathrm {M'F} r\cos \varphi }{f}}+{\frac {\mathrm {M''F'} r'\cos \varphi '}{f'}}\right)dt=0,\\&d{\frac {dy}{dt}}-\left({\frac {\mathrm {M'\ F} r\sin \varphi }{f}}+{\frac {\mathrm {M''F'} r'\sin \varphi '}{f'}}\right)dt=0,\\&d{\frac {dz}{dt}}-\left({\frac {\mathrm {M'FZ} }{f}}+{\frac {\mathrm {M''F'Z'} }{f'}}\right)dt=0,\end{aligned}}$

Par là, les valeurs de $\varpi ,\Pi ,\Psi$ de l’Article XIV deviendront, après quelques réductions fort simples,

${\begin{aligned}&\mathrm {M} ''\left({\frac {\mathrm {G} }{g}}-{\frac {\mathrm {F} '}{f'}}\right)rr'\sin(\varphi '-\varphi )=\varpi ,\\&(\mathrm {M+M'} ){\frac {\mathrm {F} r}{f}}+\mathrm {M} ''\left\{{\frac {\mathrm {G} }{g}}\left[r-r'\cos(\varphi '-\varphi )\right]+{\frac {\mathrm {F} '}{f'}}r'\cos(\varphi '-\varphi )\right\}=\Pi .\\&\mathrm {M} '{\frac {\mathrm {FZ} }{f}}+\mathrm {M} ''\left[{\frac {\mathrm {F'Z'} }{f'}}-{\frac {\mathrm {G(Z'-Z)} }{g}}\right]=\Psi .\end{aligned}}$

XVII.

Problème IV. — Un corps $\mathrm {M}$ étant sollicité par tant de forces qu’on voudra $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots ,$ et tirant après lui deux autres corps $\mathrm {M',M''}$ par le moyen de deux fils de longueurs données, trouver le mouvement de chacun de ces trois corps. On suppose, pour plus de simplicité, qu’ils se meuvent tous trois dans le même plan.

Solution. — Soient $f,f'$ les longueurs données des fils, c’est-à-dire les distances invariables des corps $\mathrm {M',M''}$ au corps $\mathrm {M} \,;$ $x,y$ les coordonnées rectangles de la courbe décrite par le corps $\mathrm {M} ,$ et $\varphi ,\varphi '$ les angles que les lignes $f,f'$ forment à chaque instant avec l’axe des $x\,;$ prenant $x',y',$ $x'',y''$ pour les coordonnées rectangles des autres corps $\mathrm {M',M''} ,$ on aura

${\begin{alignedat}{2}x'\ =&x-f\cos \varphi ,&y'\ =&y-f\sin \varphi ,\\x''=&x-f'\cos \varphi '',\qquad &y''=&y-f'\sin \varphi ',\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}ds^{2}\ \ =&dx^{2}\ \ +dy^{2},\\ds'2\ =&dx'2\ +dy'2\,=dx^{2}+dy^{2}+2f\ (\sin \varphi \ dx-\cos \varphi \ dy)d\varphi +f^{2}\ d\varphi ^{2},\\ds''2=&dx''2+dy''2=dx^{2}+dy^{2}+2f'\left(\sin \varphi 'dx-\cos \varphi 'dy\right)d\varphi '+f'^{2}d\varphi '^{2},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\delta ds\ \ =&{\frac {1}{ds}}(dx\delta dx+dy\delta dy),\\\delta ds'\ =&{\frac {1}{ds'}}\left[(dx+f\sin \varphi d\varphi )\delta dx+(dy-f\cos \varphi d\varphi )\delta dy\right.\\&\qquad \left.+fd\varphi (\cos \varphi dx+\sin \varphi dy)\delta \varphi +f\left(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy+fd\varphi \right)\delta d\varphi \right],\\\delta ds''=&{\frac {1}{ds''}}\left[\left(dx+f'\sin \varphi 'd\varphi '\right)\delta dx+\left(dy-f'\cos \varphi 'd\varphi '\right)\delta dy\right.\\&\left.+f'd\varphi '(\cos \varphi 'dx+\sin \varphi 'dy)\delta \varphi '+f'\left(\sin \varphi 'dx-\cos \varphi 'dy+f'd\varphi '\right)\delta d\varphi '\right],\\\end{aligned}}$

On substituera ces valeurs dans les intégrales

$\int u\delta ds,\qquad \int u'\delta ds',\qquad \int u''\delta ds''$

de l’équation (D) de l’Article VIII et faisant les transformations et les réductions ordinaires, on trouvera

${\begin{aligned}\int u\ \delta ds\ =&-\int \left(d{\frac {dx}{dt}}\delta x+d{\frac {dy}{dt}}\delta y\right),\\\int u'\delta ds'=&-\int \left[d{\frac {dx+f\sin \varphi d\varphi }{dt}}\delta x+d{\frac {dy-f\cos \varphi d\varphi }{dt}}\delta y\right.\\&\left.-\left({\frac {\cos \varphi dx+\sin \varphi dy}{dt}}fd\varphi -d{\frac {\sin \varphi dx-\cos \varphi dy-fd\varphi }{dt}}f\right)\delta \varphi \right].\end{aligned}}$

Et l’on aura pour $\int u''\delta ds''$ la même expression que pour $\int u'\delta ds',$ en marquant seulement d’un trait les lettres $\varphi$ et $f,$ comme il est aisé de s’en assurer par le calcul.

Pour avoir maintenant la valeur de

$\mathrm {M} udu+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u'',$

on aura recours à l’équation générale (U) de l’Article VIII laquelle donnera pour le cas présent

$\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''=-\mathrm {M} (\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r)=-\mathrm {M} (w\mathrm {P} \delta x+\varpi \delta y),$

en faisant les mêmes suppositions que dans l’Article I.

Il n’y a plus qu’à mettre ces différentes transformées dans l’équation (D) ; or, si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {M} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)+\mathrm {M} 'd\left[{\frac {1}{dt}}(dx+f\sin \varphi d\varphi )\right]+\mathrm {M} ''d\left[{\frac {1}{dt}}(dx+f'\sin \varphi 'd\varphi ')\right]=[x],\\&\mathrm {M} \left(d{\frac {dy}{dt}}+\varphi dt\right)+\mathrm {M} 'd\left[{\frac {1}{dt}}(dy-f\sin \varphi d\varphi )\right]+\mathrm {M} ''d\left[{\frac {1}{dt}}(dy-f'\cos \varphi 'd\varphi ')\right]=[y],\\&{\frac {\mathrm {M} 'fd\varphi }{dt}}(\cos \varphi dx+\sin \varphi dy)-\mathrm {M} 'd\left[{\frac {f}{dt}}(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy+fd\varphi )\right]=[\varphi ],\\&{\frac {\mathrm {M} ''f'd\varphi '}{dt}}(\cos \varphi 'dx+\sin \varphi 'dy)-\mathrm {M} ''d\left[{\frac {f'}{dt}}\left(\sin \varphi 'dx-\cos \varphi 'dy+f'd\varphi '\right)\right]=[\varphi '],\\\end{aligned}}$

on trouve

(H)

$-\int \left([x]\delta x+[y]\delta y-[\varphi ]\delta \varphi -[\varphi ']\delta \varphi '\right)=0,$

d’où l’on tire par notre méthode

$[x]=0,\quad [y]=0,\quad [\varphi ]=0,\quad [\varphi '.].=0,$

quatre équations qui suffiront pour déterminer le rapport des indéterminées $x,y,\varphi ,\varphi '$ au temps $t,$ et par conséquent le mouvement de chacun des trois corps $\mathrm {M,M',M''} .$

XVIII.

Corollaire I. — Si le corps $\mathrm {M}$ était mù dans une rainure courbe représentée par l’équation

$dy=mdx,$

alors il n’y aurait qu’à mettre, dans l’équation (H), $m\delta x$ pour $\delta y,$ et

faire ensuite chacun des trois coefficients de $\delta x,\delta \varphi ,\delta \varphi '$ égal à zéro ; ce qui donnerait pour les équations du mouvement des corps

$[x]+m[y]=0,\qquad [\varphi ]=0,\qquad [\varphi ']=0.$

Si le corps $\mathrm {M}$ était, outre cela, obligé de se mouvoir avec une vitesse dont la loi à chaque point de la courbe fût donnée, alors, comme le mouvement de ce corps serait entièrement donné, on aurait $\delta x=0$ et $\delta y=0\,;$ c’est pourquoi il faudrait supprimer les équations $[x]=0$ et $[y]=0,$ et mettre dans les deux autres $[\varphi ]=0,$ $[\varphi ']=0,$ au lieu de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},$ leurs valeurs données.

XIX.

Corollaire II. — Supposons que les trois corps $\mathrm {M,M',M''} ,$ au lieu de se tenir par des fils, soient attachés à une verge inflexible, en sorte que l’angle des lignes $f,f'$ soit constant et égal à $\alpha \,;$ on aura donc en ce cas

$\varphi '=\varphi +\alpha \quad {\text{et}}\quad \delta \varphi '=\delta \varphi \,;$

ainsi, il ne faudra qu’écrire, dans l’équation (H), $\varphi +\alpha$ pour $\varphi '$ et $\delta \varphi$ pour $\delta \varphi ',$ et faisant ensuite les coefficients de $\delta x,\delta y,\delta \varphi$ chacun en particulier égal à zéro, on aura

$[x]=0,\qquad [y]=0,\qquad [\varphi ]+[\varphi ']=0.$

XX.

Corollaire III. — Si l’on veut de plus, dans le cas du Corollaire précédent, que le corps $\mathrm {M}$ se meuve dans une rainure courbe dont l’équation soit $dy=mdx,$ mettant, comme dans l’Article XVIII $m\delta x$ au lieu de $\delta y,$ et faisant chacun égal à zéro les coefficients de $\delta x$ et $\delta \varphi ,$ on aura simplement les deux équations

$[x]+m[y]=0,\quad {\text{et}}\quad [\varphi ]+[\varphi ']=0.$

Mais si la vitesse du corps $\mathrm {M}$ est aussi donnée, en ce cas, $\delta x$ et $\delta y$ étant nuls, il ne restera que l’équation

$[\varphi ]+[\varphi ']=0,$

dans laquelle il faudra mettre, au lieu de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},$ leurs valeurs données.

XXI.

Corollaire IV — Si les corps $\mathrm {M',M''}$ étaient liés par un même fil, de longueur donnée, le long duquel l’autre corps $\mathrm {M}$ pût couler librement par le moyen d’un anneau, on pourrait résoudre le Problème de la même manière en faisant les quantités $f,f'$ variables dans les expressions de $ds',ds''$ et de leurs différences $\delta ds',\delta ds''.$

Pour cela, il n’y aurait qu’à augmenter la valeur de $ds'^{2}$ trouvée ci-dessus (Article XVII) de la quantité

$-2(\cos \varphi dx+\sin \varphi dy)df+df^{2},$

et ensuite celle des $\delta ds'$ de la quantité

$(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy+fd\varphi )d\varphi \delta f-(\cos \varphi dx+\sin \varphi dy-df)\delta df$

$+(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy)df\delta \varphi -\cos \varphi df\delta dx-\sin \varphi df\delta dy$

divisée par $ds'\,:$ c’est pourquoi la valeur de la formule intégrale $\int u'\delta ds'$ serait augmentée de

$\int \left\{d{\frac {\cos \varphi df}{dt}}\delta x+d{\frac {\sin \varphi df}{dt}}\delta y+{\frac {df}{dt}}(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy)\delta \varphi \right.$

$\left.+\left[{\frac {d\varphi }{dt}}(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy+fd\varphi )+d{\frac {1}{dt}}(\cos \varphi dx+\sin \varphi dy-fd\varphi )\right]\delta \varphi \right\}$

Et l’autre formule intégrale $\int u''\delta ds''$ serait aussi augmentée de la même quantité, en marquant seulement d’un trait les deux lettres $\varphi$ et $f.$ Par là, l’équation (H) deviendrait de cette forme :

(I)

$-\int \left[(x)dx+(y)dy-(\varphi )\delta \varphi -(\varphi ')\delta \varphi '+(f)\delta f+\left(f'\right)\delta f'\right]=0.$

dans laquelle

${\begin{aligned}(x)=&[x]-\mathrm {M} 'd{\frac {\cos \varphi df}{dt}}-\mathrm {M} ''d{\frac {\cos \varphi 'df}{dt}},\\(y)=&[y]-\mathrm {M} 'd{\frac {\sin \varphi df}{dt}}-\mathrm {M} ''d{\frac {\sin \varphi 'df'}{dt}},\\(\varphi \ )=&[\varphi \ ]+\mathrm {M} '\ {\frac {df\ }{dt}}(\sin \varphi \ dx-\cos \varphi \ dy),\\(\varphi ')=&[\varphi ']+\mathrm {M} ''{\frac {df'}{dt}}(\sin \varphi 'dx-\cos \varphi 'dy),\\(f\ )=&\mathrm {M} '\ {\frac {d\varphi \ }{dt}}(\sin \varphi \ dx-\cos \varphi \ dy-f\ d\varphi \ )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\mathrm {M} '\ d\left[{\frac {1}{dt}}\left(\cos \varphi \ dx+\sin \varphi 'dy-df\ \right)\right],\\(f')=&\mathrm {M} ''{\frac {d\varphi '}{dt}}(\sin \varphi 'dx-\cos \varphi 'dy-f'd\varphi ')\end{aligned}}$

$+\mathrm {M} ''d\left[{\frac {1}{dt}}\left(\cos \varphi 'dx+\sin \varphi 'dy-df'\right)\right].$^[1]

Maintenant, les deux corps $\mathrm {M',M''}$ étant attachés fixement aux extrémités du fil qui est supposé inextensible, il faut que la somme des lignes $f$ et $f'$ soit constante ; soit cette somme, c’est-à-dire la longueur totale du fil, égale à $a,$ on aura

$f'=a-f\quad {\text{et}}\quad \delta f'=-\delta f\,;$

on fera donc ces substitutions dans l’équation (I), et mettant ensuite chacun égal à zéro les coefficients des différences restantes $\delta x,\delta y,\delta \varphi ,$$\delta \varphi ',\delta f,$ on aura les cinq équations

$(x)=0,\quad (j)=0,\quad (\varphi )=0,\quad (\varphi ')=0,\quad (f)-(f')=0,$

lesquelles donneront le rapport des cinq indéterminées $x,y,\varphi ,\varphi ',f$ au temps $t.$

XXII.

Corollaire V. — Si le corps $\mathrm {M}$ était fixe, ou, ce qui revient au même, si le fil qui joint les deux corps $\mathrm {M',M''}$ passait à travers un anneau immobile, on aurait pour lors $dx,dy$ et $\delta x,\delta y$ chacun égal à zéro, et les équations du mouvement des deux corps seraient

$(\varphi )=0,\quad (\varphi ')=0\quad {\text{et}}\quad (f)-(f')=0,$

savoir, à cause que $dx=0,\ dy=0$ et $f'=a-f,$

$d{\frac {f^{2}d\varphi }{dt}}=0,\qquad {\frac {(a-f)^{2}d\varphi '}{dt}}=0,$

et

${\frac {f\left(d\varphi ^{2}+d\varphi '^{2}\right)}{dt}}+2d{\frac {df}{dt}}=0$^[2].

Les deux premières équations, étant intégrées, donneront

$d\varphi ^{2}={\frac {\mathrm {A} dt^{2}}{f^{4}}},\qquad d\varphi '^{2}={\frac {\mathrm {B} dt^{2}}{(a-f)^{4}}},$

et, ces valeurs substituées dans la troisième, on aura

${\frac {\mathrm {A} dt}{f^{3}}}-{\frac {\mathrm {B} dt}{(a-f)^{3}}}+2d{\frac {df}{dt}}=0,$

laquelle étant multipliée par ${\frac {df}{dt}},$ et ensuite intégrée, devient

$-{\frac {\mathrm {A} }{2f^{2}}}+{\frac {\mathrm {B} }{2(a-f)^{2}}}+{\frac {df^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {C} ,$

d’où l’on tire

$dt={\frac {df}{\sqrt {\mathrm {C} +{\cfrac {\mathrm {A} }{2f^{2}}}-{\cfrac {\mathrm {B} }{2(a-f)^{2}}}}}}.$

XXIII.

Corollaire VI — Si dans le cas du Corollaire précédent les deux corps $\mathrm {M',M''}$ étaient attachés à une verge droite et inflexible, alors on aurait $\varphi '=\varphi$ et $\delta \varphi '=\delta \varphi ,$ et les équations $(\varphi )=0,\ (\varphi ')=0$ n’en feraient plus qu’une seule, savoir $(\varphi )+(\varphi ')=0\,;$ on aurait donc simplement les deux équations

$(\varphi )+(\varphi ')=0\quad {\text{et}}\quad (f)-(f'')=0,$

c’est-à-dire

$d{\frac {\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)}{dt}}=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {(2f-a)d\varphi ^{2}}{dt}}+2d{\frac {df}{dt}}=0,$

lesquelles donnent, en chassant $dt,$

${\frac {(2f-a)d\varphi }{a^{2}-2af+2f^{2}}}+2d{\frac {df}{\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)d\varphi }}=0.$

Cette équation étant multipliée par ${\frac {df}{a^{2}-2af+2f^{2}}},$ et ensuite intégrée, en regardant $d\varphi$ comme constante, deviendra celle-ci

${\frac {d\varphi }{2\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)}}+{\frac {df^{2}}{\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)^{2}d\varphi }}={\frac {d\varphi }{\mathrm {A} ^{2}}},$

qui se réduit à

$d\varphi ={\frac {\mathrm {A} df{\sqrt {2}}}{\sqrt {2\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)^{2}-\mathrm {A} ^{2}\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)}}}.$

XXIV.

Problème V — Trouver le mouvement d’un fil fixe en une de ses extrémités, et chargé de tant de corps pesants qu’on voudra $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots .$

Solution. — Ayant pris, comme dans l’Article IX $x,y,z,x',y',z',$$x'',y'',z'',\ldots$ pour les coordonnées rectangles des corps $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,$ on a d’abord l’équation (E). Soit maintenant $f$ la portion du fil interceptée entre l’extrémité fixe et le corps $M\,;$ soient aussi $f',f'',\ldots$ les portions du même fil interceptées entre les corps $\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} ',$ $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} '',$ et ainsi de suite ; on aura les équations

${\begin{aligned}f\ \ =&{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\f'\ =&{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}},\\f''=&{\sqrt {(x''-x')^{2}+(y''-y')^{2}+(z''-z')^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

l’origine des abscisses $x,x',x'',\ldots$ étant à l’extrémité fixe du fil. On lire de là

${\begin{aligned}x\ \ =&{\sqrt {f^{2}-y^{2}-z^{2}}},\\x'\ =&x\ +{\sqrt {f'^{2}\ -(y'\ -y\ )^{2}-(z'\ -z\ )^{2}}},\\x''=&x'+{\sqrt {f''^{2}-(y''-y')^{2}-(z''-z')^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et par conséquent

${\begin{aligned}\delta x\ \ =&-{\frac {1}{x}}(y\delta y+z\delta z),\\\delta x'\ =&\delta x-{\frac {1}{x'-x}}\left[(y'-y)(\delta y'-\delta y)+(z'-z)(\delta z'-\delta z)\right]\\=&\left({\frac {y'-y}{x'-x}}-{\frac {y}{x}}\right)\delta y-{\frac {y'-y}{x'-x}}\delta y'+\left({\frac {z'-z}{x'-x}}-{\frac {z}{x}}\right)\delta z-{\frac {z'-z}{x'-x}}\delta z',\\\delta x''=&\delta x'-{\frac {1}{x''-x'}}\left[(y''-y')(\delta y''-\delta y')+(z''-z')(\delta z''-\delta z')\right]\\=&\left({\frac {y'-y}{x'-x}}-{\frac {y}{x}}\right)\delta y+\left({\frac {y''-y'}{x''-x'}}-{\frac {y'-y}{x'-x}}\right)\delta y'-{\frac {y''-y'}{x''-x'}}\delta y''\\=&\left({\frac {z'-z}{x'-x}}-{\frac {z}{x}}\right)\delta z+\left({\frac {z''-z'}{x''-x'}}\,-{\frac {z'-z}{x'-x}}\right)\delta z'-{\frac {z''-z'}{x''-x'}}\delta z'',\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Maintenant, si on suppose, ce qui est absolument arbitraire, l’axe des $x,x',x'',\ldots$ vertical, et que $\mathrm {P}$ exprime la pesanteur absolue des corps, il faudra mettre dans l’équation (U) de l’Article VIII $\delta x,\delta x',\delta x'',\ldots$ au lieu de $\delta p,\delta p',\delta p'',\ldots ,$ $-\mathrm {P}$ au lieu de $\mathrm {P,P',P''} ,\ldots$ et toutes les autres forces $\mathrm {Q,R,Q'} ,\ldots$ égales à zéro ; on aura donc

$\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u''+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots =\mathrm {P} \left(\mathrm {M} \delta x+\mathrm {M} '\delta x'+\mathrm {M} ''\delta x''+\ldots \right).$

Faisant ces substitutions dans l’équation (E) citée ci-devant, et ordonnant les termes, elle deviendra de la forme suivante :

$\int \left([y]\delta y+[y']\delta y''+[y'']\delta y''+\ldots +[z]\delta z+[z']\delta z'+[z'']\delta z''+\ldots \right)=0,$

dans laquelle on aura, après avoir mis au lieu de ${\frac {ds}{u}},{\frac {ds'}{u}},{\frac {ds''}{u}},\ldots$ leur

valeur commune $dt,$

$[y]\ \ =\mathrm {M} \left[d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {y}{x}}\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\right]$

$-\left[{\frac {y'-y}{x'-x}}-{\frac {y}{x}}\right]\left[\mathrm {M} '\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx'}{dt}}\right)+\mathrm {M} ''\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx''}{dt}}\right)\right.$

$+\left.\mathrm {M} '''\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx'''}{dt}}\right)+\ldots \right],$

$[y']\ =\mathrm {M} '\left[d{\frac {dy'}{dt}}+{\frac {y'-y}{x'-x}}\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx'}{dt}}\right)\right]$

$-\left[{\frac {y''-y'}{x''-x'}}-{\frac {y'-y}{x'-x}}\right]\left[\mathrm {M} ''\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx''}{dt}}\right)+\mathrm {M} '''\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx'''}{dt}}\right)+\ldots \right],$

$[y'']=\mathrm {M} ''\left[d{\frac {dy''}{dt}}+{\frac {y''-y'}{x''-x'}}\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx''}{dt}}\right)\right]$

$-\left[{\frac {y'''-y''}{x'''-x''}}-{\frac {y''-y'}{x''-x'}}\right]\left[\mathrm {M} '''\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx'''}{dt}}\right)+\ldots \right],$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

et les valeurs de $[z],[z'],[z''],\ldots$ seront les mêmes que celles de $[y],$$[y'],[y''],\ldots ,$ en y mettant simplement $z,z',z'',\ldots$ au lieu de $y,y',y'',\ldots .$

On fera donc, suivant notre méthode,

${\begin{alignedat}{3}[y]=&0,\qquad &[y']=&0,\qquad &[y'']=&0,\ldots ,\\\ [z]=&0,\qquad &[z']=&0,\qquad &[z'']=&0,\ldots ,\end{alignedat}}$

équations qui, avec celles qu’on a trouvées plus haut, suffiront pour résoudre le Problème.

XXV.

Corollaire. — Soient les corps $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots$ infiniment petits, et placés à des distances égales les uns des autres ; marquant par la lettre $d$ la différence de deux coordonnées consécutives quelconques, on aura en général

${\frac {y'-y}{x'-x}}={\frac {dy}{dx}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {y''-y'}{x''-x'}}-{\frac {y'-y}{x'-x}}=d{\frac {dy}{dx}}.$

gnée par $\mathrm {T} dt$ la somme des valeurs de $dm\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)$ pour toute la longueur du fil, et la somme indéfinie des mêmes valeurs prise relativement à l’abscisse $x,$ marquée par la lettre $\mathrm {S} ,$ de cette manière

$\mathrm {S} dm\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\,;$

il est facile de voir que les équations $[y]=0,\ [y']=0,\ [y'']=0,\ldots$ se réduiront toujours à celle-ci générale :

$dm\left[d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {dy}{dx}}\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\right]-d{\frac {dy}{dx}}\left[\mathrm {T} dt-\mathrm {S} dm\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\right]=0\,;$

que de même les équations $[z]=0,\ [z']=0,\ [z'']=0,\ldots$ se changeront en

$dm\left[d{\frac {dz}{dt}}+{\frac {dz}{dx}}\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\right]-d{\frac {dz}{dx}}\left[\mathrm {T} dt-\mathrm {S} dm\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\right]=0.$

Ce seront donc ces deux équations qui serviront à déterminer le mouvement du fil ; mais il y faudra encore ajouter une troisième équation qui se déduira de ce que chaque élément du fil, dont l’expression générale est ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}},$ doit demeurer constant, pendant que le fil varie de courbe. Cette équation sera donc

${\frac {d{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}{dt}}=0,$

Dans le cas des oscillations infiniment petites on a ${\frac {dx}{dt}}=0,$ parce qu’alors chaque point du fil répond toujours à très-peu près au même point de l’axe ; de plus, si on regarde le fil comme uniformément épais, et que l’élément de sa courbe ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}$ soit dénoté par $ds,$ on aura $dm=ds,$ et la formule intégrale $\mathrm {S} dm\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)$ se réduira à $\mathrm {SP} dsdt=\mathrm {P} sdt,$ à cause de $\mathrm {P} dt$ constant, $s$ étant la longueur de la partie du fil qui répond à l’abscisse $x\,;$ par conséquent, si la longueur totale du fil est $l,$ on aura $\mathrm {T=P} l,$ et les deux premières équations deviendront celles-ci, beaucoup plus simples,

${\begin{aligned}ds\left(d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {dy}{dx}}\mathrm {P} dt\right)-\mathrm {P} dtd{\frac {dy}{dx}}(l-s)=&0,\\ds\left(d{\frac {dz}{dt}}+{\frac {dz}{dx}}\mathrm {P} dt\right)-\mathrm {P} dtd{\frac {dz}{dx}}(l-s)=&0\,;\end{aligned}}$

la troisième sera inutile.

XXVI.

Scolie. — Si les fils $f,f',f'',\ldots ,$ qui joignent les corps $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots ,$ étaient extensibles et élastiques, on aurait alors les équations

${\begin{aligned}f\ \ \delta f\ \ =&x\delta x+y\delta y+z\delta z,\\f'\ \delta f'\ =&(x'-x)(\delta x'-\delta x)+(y'-y)(\delta y'-\delta y)+(z'-z)(\delta z'-\delta z),\\f''\delta f''=&(x''-x')(\delta x''-\delta x')+(y''-y')(\delta y''-\delta y')+(z''-z')(\delta z''-\delta z'),\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

On trouvera de plus, en appelant $\mathrm {F,F',F''} ,\ldots$ les forces d’élasticité ou de contraction des fils $f,f',f'',\ldots ,$ que l’équation (U) deviendra

$\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots$

$=\mathrm {P} \left(\mathrm {M} \delta x+\mathrm {M} '\delta x'+\mathrm {M} ''\delta x''+\ldots \right)-\mathrm {F} \delta f-\mathrm {F} '\delta f'-\mathrm {F} '''\delta f''-\ldots ,$

comme il est facile de s’en assurer en appliquant le principe de la conservation des forces vives au cas dont il s’agit ici.

On mettra donc, dans cette expression de

$\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots$

au lieu de $\delta f,\delta f',\delta f'',\ldots ,$ les valeurs qu’on vient de trouver, et on la substituera ensuite dans l’équation (E) de l’Article IX ; ce qui donnera, après avoir ordonné les termes et mis $dt$ à la place de ${\frac {ds}{u}},{\frac {ds'}{u}},{\frac {ds''}{u}},\ldots .$

une équation de cette forme :

$\int \left[(x)\delta x+(x')\delta x'+(x'')\delta x''+\ldots +(y)\delta y+(y')\delta y'+(y'')\delta y''+\ldots \right.$

$\left.+(z)\delta z+(z')\delta z'+(z'')\delta z''+\ldots \right]=0,$

dans laquelle

${\begin{aligned}(x)\ \ &=\mathrm {M} \ \,\left(d{\frac {dx}{dt}}\ \ -\mathrm {P} dt\right)+\left({\frac {x}{f}}\mathrm {F} -{\frac {x'-x}{f'}}\mathrm {F} '\right)dt,\\(x')\ &=\mathrm {M} '\,\left(d{\frac {dx'}{dt}}\ -\mathrm {P} dt\right)+\left({\frac {x'\ -x\ }{f'}}\mathrm {F} '\,-{\frac {x''\ -x'\ }{f''}}\mathrm {F} ''\ \right)dt,\\(x'')&=\mathrm {M} ''\left(d{\frac {dx''}{dt}}-\mathrm {P} dt\right)+\left({\frac {x''-x'}{f''}}\mathrm {F} ''-{\frac {x'''-x''}{f'''}}\mathrm {F} '''\right)dt,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\(y)\ \ &=\mathrm {M} \ \ d{\frac {dy}{dt}}\ \,+\left({\frac {y}{f}}\mathrm {F} -{\frac {y'-y}{f'}}\mathrm {F} '\right)dt,\\(y')\ &=\mathrm {M} '\ d{\frac {dy'}{dt}}\,+\left({\frac {y'\ -y\ }{f'}}\mathrm {F} '\,-{\frac {y''\ -y'\ }{f''}}\mathrm {F} ''\ \right)dt,\\(y'')&=\mathrm {M} ''d{\frac {dy''}{dt}}+\left({\frac {y''-y'}{f''}}\mathrm {F} ''-{\frac {y'''-y''}{f'''}}\mathrm {F} '''\right)dt,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

et les autres expressions $(z),(z'),(z'')$ seront les mêmes que les $(y),(y'),$$(y''),\ldots ,$ en changeant seulement $y$ en $z,$ $y'$ en $z',$ $y''$ en $z'',\ldots .$

De cette équation on tirera donc, suivant notre méthode, les équations particulières

${\begin{alignedat}{3}(x)=&0,\qquad &(x')=&0,\qquad &(x'')=&0,\ldots ,\\(y)=&0,\qquad &(y')=&0,\qquad &(y'')=&0,\ldots ,\\(z)=&0,\qquad &(z')=&0,\qquad &(z'')=&0,\ldots ,\end{alignedat}}$

qui seront celles du mouvement des corps $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots .$

XXVII.

Corollaire. — Si l’on veut que les masses $\mathrm {M,M',M''} ,\ldots$ soient infiniment petites et placées à des distances infiniment petites les unes des autres, conservant les suppositions faites dans l’Article XXV on aura en général $\mathrm {M} =dm,\ f=ds,\ x'-x=dx,\ y'-y=dy,\ z'-z=dz,$ et l’on trouvera que les équations ci-dessus se changeront dans les trois suivantes :

${\begin{aligned}dm&\left(d{\frac {dx}{dt}}-\mathrm {P} dt\right)-d{\frac {\mathrm {F} dx}{ds}}dt=0,\\dm&d{\frac {dy}{dt}}-d{\frac {\mathrm {F} dy}{ds}}dt=0,\\dm&d{\frac {dz}{dt}}-d{\frac {\mathrm {F} dz}{ds}}dt=0,\end{aligned}}$

où la quantité $\mathrm {F}$ marque l’élasticité variable de chaque élément du fil.

Si l’on fait abstraction de la pesanteur $\mathrm {P} ,$ et qu’on suppose, outre cela, les oscillations du fil infiniment petites, en sorte que l’abscisse $x$ demeure toujours la même pour chaque élément $ds,$ la première équation se réduira à

$-d{\frac {\mathrm {F} dx}{ds}}dt=0,$

dont l’intégrale est ${\frac {\mathrm {F} dx}{ds}}=k,$ ce qui donne

${\frac {\mathrm {F} }{ds}}={\frac {k}{dx}},$

et cette valeur étant substituée dans les deux autres équations, on aura, à cause de $k$ constant,

$dmd{\frac {dy}{dt}}=d{\frac {dy}{dx}}kdt,\qquad dmd{\frac {dz}{dt}}=d{\frac {dz}{dx}}kdt.$

Soit $\mathrm {X}$ l’épaisseur du fil, en sorte que $dm=\mathrm {X} dx,$ (il faudrait mettre à la rigueur $dm=\mathrm {X} ds,$ mais comme on suppose les vibrations infiniment petites, il est clair que $dy$ et $dz$ seront aussi infiniment petites par rapport à $dx,$ et qu’ainsi $ds$ sera à très-peu près égal à $dx$), on trouvera en différentiant et prenant $dt$ et $dx$ pour constantes, ce qui est permis,

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {k}{\mathrm {X} }}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\qquad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {k}{\mathrm {X} }}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},$

équations connues.

XXVIII.

Remarque. — Les équations trouvées pour le mouvement d’un fil vibrant, élastique ou non, peuvent encore l’être d’une autre manière plus directe, en regardant d’abord le fil comme un assemblage d’une infinité de points mobiles ; c’est ce qu’il est bon de faire voir pour développer davantage l’application de notre principe général à ces sortes de questions.

XXIX.

Problème VI. — Trouver le mouvement d’un fil inextensible, dont tous les points sont sollicités par des forces quelconques $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots .$

Solution. — En conservant les noms donnés dans l’Article XXV soient, de plus, $u$ la vitesse de chaque élément du fil, et $ds$ le petit espace qu’il parcourt dans le temps $dt\,;$ il est facile de voir que la formule du principe général deviendra

$\mathrm {S} dm\int uds.$

On fera donc, suivant notre méthode, l’équation

$\delta \mathrm {S} dm\int uds=0,$

qui se réduira d’abord, à cause que $dm$ est constant pendant que le fil varie de courbe, à

$\mathrm {S} dm\delta \int uds=0,$

savoir à

$\mathrm {S} dm\int (u\delta ds+\delta uds)=\mathrm {S} dm\int u\delta ds+\mathrm {S} dm\int u\delta udt=0,$

en mettant $dt$ pour ${\frac {ds}{u}}.$

Maintenant, si on prend pour chaque élément du fil trois coordonnées rectangles $x,y,z,$ comme dans le Problème I, on aura aussi

$\delta ds={\frac {1}{ds}}(dxd\delta x+dyd\delta y+dzd\delta z)$

et

$\int u\delta ds=-\int \left(d{\frac {dx}{dt}}\delta x+d{\frac {dy}{dt}}\delta y+d{\frac {dz}{dt}}\delta z\right),$

en mettant $dt$ pour ${\frac {ds}{u}}\,;$ donc l’intégrale $\mathrm {S} dm\int u\delta ds$ deviendra

$-\int \mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}\delta x+d{\frac {dy}{dt}}\delta y+d{\frac {dz}{dt}}\delta z\right),$

en transposant les signes $\mathrm {S} ,\ \int ,$ ce qui est évidemment permis.

On changera aussi par la même transposition des signes la formule $\mathrm {S} dm\int u\delta u\,dt$ en $\int \mathrm {S} dm\,u\delta u\,dt,$ et l’on aura l’équation

(K)

$\int \mathrm {S} dm\left(u\delta u\,dt-d{\frac {dx}{dt}}\delta x-d{\frac {dy}{dt}}\delta y-d{\frac {dz}{dt}}\delta z\right)=0.$

Il s’agit maintenant de trouver la valeur de $\mathrm {S} dm\,u\delta u\,dt.$ Or il n’est pas difficile de voir que l’équation (U) de l’Article VIII appliquée à la question présente donne

$\mathrm {S} dm\,u\delta u=-\mathrm {S} dm(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ).$

On aura donc, en multipliant par $dt$ dont la valeur est la même pour tous les éléments du fil,

$\mathrm {S} dm\,u\delta u\,dt=-\mathrm {S} dm(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )dt,$

ou bien en mettant, selon les suppositions de l’Art. I, $\Pi \delta x+\varpi \delta y+\Psi \delta z$ au lieu de $\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ,$

(X)

$\mathrm {S} dm\,u\delta u\,dt=-\mathrm {S} dm(\Pi dt\delta x+\varpi dt\delta y+\Psi dt\delta z).$

Cette valeur substituée dans l’équation (K), il viendra

(L)

$-\int \mathrm {S} dm\left[\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x+\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\delta y+\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\delta z\right]=0.$

Présentement, comme chaque élément du fil, $\operatorname {d} s={\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}}},$ est supposé inextensible, on a, comme dans l’Article XXV, l’équation

$\operatorname {d} x{\frac {d\operatorname {d} x}{dt}}+\operatorname {d} y{\frac {d\operatorname {d} y}{dt}}+\operatorname {d} z{\frac {d\operatorname {d} z}{dt}}=0.$

On a de plus, par la même raison,

$\delta {\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}}}=0,$

ce qui donne

$\operatorname {d} x\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} y\delta \operatorname {d} y+\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} z=0,$

savoir, en transposant les deux caractéristiques $\delta ,\operatorname {d} ,$

$\operatorname {d} x\operatorname {d} \delta x+\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta z=0\,;$

d’où l’on tire

$\operatorname {d} \delta x=-{\frac {\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} x}},$

et, en intégrant,

$S\operatorname {d} \delta x=\delta x=\delta {\grave {\,}}\!x-S{\frac {\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} x}}\,;$

$\delta {\grave {\,}}\!x$ dénote la valeur de $\delta x$ lorsque l’intégrale marquée par $\mathrm {S}$ est zéro, savoir la valeur du $\delta x$ à la première extrémité du fil. La substitution de cette valeur de $\delta x$ dans l’équation (L) changera l’expression intégrale

$\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x$

en celle-ci

$\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} dm\left[\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta y+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta z\right)\right].$

Or la différence $\delta \,{\grave {\,}}\!x,$ étant constante, peut être dégagée du signe d’intégration ; donc si $\mathrm {T} dt$ exprime la valeur totale de l’intégrale

$\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),$

l’expression $\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x$ se réduira à celle-ci plus simple, $Tdt\delta \,{\grave {\,}}\!x.$ Il s’agit maintenant de faire disparaître les différences de $\delta y$ et

$\delta z$ dans l’autre expression $\left[\mathrm {S} dm\left(d{\tfrac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \left({\tfrac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta y+{\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta z\right)\right]$ c’est de quoi l’on viendra aisément à bout par la méthode de l’Article IX du Mémoire précédent. Suivant cette méthode, on trouvera que, si $\mathrm {T} dt$ représente, comme ci-devant, la valeur totale de l’intégrale

$\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),$

et qu’on fasse, pour abréger,

$\mathrm {T} dt-\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)=\mathrm {U} dt,$

on aura

$\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta y={\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y-\mathrm {S} \operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y,$

et de même

$\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta z={\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z-\mathrm {S} \operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z,$

où les termes qui se trouvent hors du signe d’intégration $\mathrm {S}$ doivent être pris avec les conditions énoncées à la fin de l’Article I du Mémoire précédent ; or la valeur de $\mathrm {U} dt$ qui répond au dernier point du fil est nulle, parce que $\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)$ devient alors égal à $\mathrm {T} dt,$ et, pour le premier point, cette valeur est égale à $\mathrm {T} dt,$ parce que $\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)$ est égal à zéro ; donc, si l’on marque par ${\grave {\,}}\!x,{\grave {\,}}\!y,{\grave {\,}}\!z$ les coordonnées qui répondent à ce point, on aura $-{\frac {\mathrm {T} dt\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta y,$ pour la valeur exacte du terme ${\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y,$ et $-{\frac {\mathrm {T} dt\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta z$ pour celle de l’autre terme ${\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z.$ Par ces substitutions, on aura donc

$\left[\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta y+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta z\right)\right]$

$=-\mathrm {T} dt\left(\delta \,{\grave {\,}}\!x+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z\right)-\mathrm {S} \left(d{\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right),$

et l’équation (L) se changera en celle-ci :

(M)

$\left\{{\begin{aligned}&-\int \left(\delta {\grave {\,}}\!x+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z\right)\mathrm {T} dt\\&-\int \mathrm {S} \left[\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+dm\,d{\frac {dy}{dt}}+dm\,\varpi \,dt\right)\delta y\right.\\&\qquad \qquad \left.+\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+dm\,d{\frac {dz}{dt}}+dm\,\Psi \,dt\right)\delta z\right]=0,\end{aligned}}\right.$

d’où l’on tire pour tous les points du fil en général

${\begin{aligned}\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+dm\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)=&0,\\\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+dm\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)=&0,\end{aligned}}$

et ces équations, avec celle qui a été trouvée précédemment

$\operatorname {d} x\left(d{\frac {\operatorname {d} x}{dt}}\right)+\operatorname {d} y\left({\frac {d\operatorname {d} y}{dt}}\right)+\operatorname {d} z\left({\frac {d\operatorname {d} z}{dt}}\right)=0,$

serviront pour déterminer le mouvement du fil.

Si l’on fait dans ces équations $\Pi =-P,\ \varpi =0,\ \Psi =0,$ elles reviendront au même que celles de l’Article XXV comme il est facile de s’en assurer par un calcul fort simple.

XXX.

Scolie I — Maintenant, pour satisfaire au reste de l’équation (M), on fera encore

$\left(\delta {\grave {\,}}\!x+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z\right)\mathrm {T} dt=0.$

équation qui appartient uniquement au premier point du fil.

Supposons d’abord ce point absolument fixe : il est clair qu’on aura $\delta {\grave {\,}}\!x=0,\ \delta {\grave {\,}}\!y=0,\ \delta {\grave {\,}}\!z=0,$ ce qui rendra nuls tous les termes de l’équation dont il s’agit ; donc les équations trouvées à la fin de l’Article précédent suffiront dans ce cas pour résoudre le Problème.

Mais si l’autre bout du fil est aussi fixe, il faudra faire alors quelques changements à ces équations. Pour cela soit reprise l’équation,

$\delta x=\delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta y+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta z\right),$

on trouvera, en intégrant par parties avec l’addition des constantes nécessaires,

$\delta x=\delta {\grave {\,}}\!x-{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y-{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z+\mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right).$

Désignons par $x',y',z'$ les valeurs de $x,y,z$ qui répondent à l’extrémité du fil, et rapportons l’équation qu’on vient de trouver à ce point, on aura, en transposant,

${\begin{aligned}\delta x'+{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}\delta y'+{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}\delta z'-\delta {\grave {\,}}\!x&-{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y-{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z\\&-\mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right)=0.\end{aligned}}$

l’intégrale

$\mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right)$

étant prise pour toute la longueur du fil. Cette équation étant vraie pour tous les instants du mouvement du fil, on peut la multiplier par $dt,$ et en prendre l’intégrale relativement au temps $t$ on aura donc, en affectant tous les termes du signe $\int ,$

(N)

$\left\{{\begin{aligned}\int \left(\delta x'+{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}\delta y'+{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}\delta z'-\delta {\grave {\,}}\!x-{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y-{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z\right)&dt\\-\int \mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right)&dt=0,\end{aligned}}\right.$

équation qui doit avoir lieu en même temps que l’équation générale (M) en faisant $\delta x',\delta y',\delta z',\delta {\grave {\,}}\!x,\delta {\grave {\,}}\!y,\delta {\grave {\,}}\!z$ égaux à zéro conformément à l’hypothèse, ce qui la réduit à

$-\int \mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right)dt=0\,;$

je multiplie donc cette équation par un coefficient indéterminé $k,$ et je l’ajoute à l’équation (M) ; j’ai, à cause de $\delta {\grave {\,}}\!x,\delta {\grave {\,}}\!y,\delta {\grave {\,}}\!z$ égaux à zéro,

${\begin{aligned}-\int \mathrm {S} &\left[\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+dm\,d{\frac {dy}{dt}}+dm\,\varpi \,dt+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}kdt\right)\delta y\right.\\&\left.+\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+dm\,d{\frac {dz}{dt}}+dm\,\Psi \,dt+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}kdt\right)\delta z\right]=0,\end{aligned}}$

d’où je tire pour le mouvement du fil

${\begin{aligned}&\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+dm\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi \,dt\right)+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}kdt=0,\\&\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+dm\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi \,dt\right)+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}kdt=0,\end{aligned}}$

et la troisième équation sera la même que dans l’Article précédent.

XXXI.

Scolie II. — L’équation (N) étant multipliée par un coefficient indéterminé $k,$ et ensuite ajoutée à l’équation (M), on a en général

$\int \left[\left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right)kdt\operatorname {d} x'-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {\mathrm {T} +k}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}dt\right]$

$-\int \mathrm {S} \left[\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}kdt+dm\,d{\frac {dy}{dt}}+dm\,\varpi \,dt\right)\delta y\right.$

$\left.+\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}kdt+dm\,d{\frac {dz}{dt}}+dm\,\Psi \,dt\right)\delta z\right]=0.$

Les termes affectés du double signe $\int \mathrm {S}$ fourniront d’abord pour le mouvement général du fil les mêmes équations que dans l’Article précédent ; ensuite les autres termes affectés simplement du signe $\int$ donneront l’équation

$\left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right){\frac {kdt}{\operatorname {d} x'}}-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {\mathrm {T} +k}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}dt=0,$

d’où l’on tire les conclusions suivantes :

1^o Si le fil est fixement arrêté à ses deux extrémités, les différences $\delta {\grave {\,}}\!x,\delta {\grave {\,}}\!y,\delta {\grave {\,}}\!z,\delta x',\delta y',\delta z',$ sont nulles par elles-mêmes, et l’équation dont il s’agit ne fournit aucune condition nouvelle ; c’est le cas de l’Article précédent.

2^o S’il n’y a qu’une des extrémités du fil qui soit fixe, alors on aura simplement $\delta {\grave {\,}}\!x,\delta {\grave {\,}}\!y,\delta {\grave {\,}}\!z$ ou $\delta x',\delta y',\delta z'$ égaux à zéro ; dans le premier cas, il restera l’équation

$\left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right){\frac {kdt}{\operatorname {d} x'}}=0,$

à laquelle on ne peut satisfaire qu’en mettant $k=0\,;$ dans le second, l’équation restante sera

$-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {k+\mathrm {T} }{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}=0,$

laquelle donnera nécessairement

$k+\mathrm {T} =0,\quad {\text{savoir}}\quad \mathrm {T} =-k,$

3^o Si le fil est attaché d’un côté à une verge fixe le long de laquelle il puisse couler par le moyen d’un anneau, et que l’équation de la verge soit en général

$dz=mdx+ndy,$

alors on supposera

$\delta {\grave {\,}}\!z={\grave {\,}}\!m\delta {\grave {\,}}\!x+{\grave {\,}}\!n\delta {\grave {\,}}\!y,\quad {\text{ou}}\quad \delta z'=m'\delta x'+n'\delta y',$

selon que ce sera le premier ou le dernier point du fil qui décrira la courbe donnée ; et substituant dans l’équation ci-dessus la valeur de $\delta {\grave {\,}}\!z$ ou de $dz'$ on en tirera pour le premier cas les deux conditions

$\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x+{\grave {\,}}\!m\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z=0,\qquad \operatorname {d} {\grave {\,}}\!y+{\grave {\,}}\!n\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z=0,$

et de plus $k=0,$ si l’autre bout du fil est libre, et pour le second cas on trouvera de même

$\operatorname {d} x'+m'\operatorname {d} z'=0,\qquad \operatorname {d} y'+n'\operatorname {d} z'=0,$

et de plus $\mathrm {T} +k=0,$ si le premier point du fil est libre.

4^o Si les deux bouts du fil coulent le long de deux courbes représentées par les équations

$d{\grave {\,}}\!z={\grave {\,}}\!md{\grave {\,}}\!x+{\grave {\,}}\!nd{\grave {\,}}\!y,\quad {\text{ou}}\quad dz'=m'dx'+n'dy',$

on mettra ${\grave {\,}}\!m\delta {\grave {\,}}\!x+{\grave {\,}}\!n\delta {\grave {\,}}\!y$ pour $\delta {\grave {\,}}\!z,$ et $m'\delta x'+n'\delta y'$ pour $\delta z',$ et l’on fera en conséquence

$\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x+{\grave {\,}}\!m\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z=0,\ \ \operatorname {d} {\grave {\,}}\!y+{\grave {\,}}\!n\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z=0,\ \ \operatorname {d} x'+m'\operatorname {d} z'=0,\ \ \operatorname {d} y'+n'\operatorname {d} z'=0.$

5^o Si les deux bouts du fil sont attachés l’un à l’autre, en sorte qu’il en résulte une courbe rentrant en elle-même, on aura dans ce cas $x'={\grave {\,}}\!x,\ y'={\grave {\,}}\!y,\ z'={\grave {\,}}\!z,$ et l’équation générale se réduira à

$-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!xy\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {\mathrm {T} dt}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}=0\,;$

d’où $\mathrm {T} =0$ comme dans le premier cas du n^o I.

Toutes ces équations, au reste, devront se vérifier au moyen des constantes qui se trouveront dans les équations générales de l’Article précédent après leur intégration.

XXXII.

Scolie III — Imaginons que le fil soit emporté par un corps de masse finie $\mathrm {M} '$ attaché à son extrémité et animé par des puissances quelconques $\mathrm {P',Q',R'} ,\ldots .$ Il est clair que dans ce cas la formule, qui doit être un maximum ou un minimum, ne sera plus simplement $\mathrm {S} dm\int uds,$ mais

$\mathrm {S} dm\int uds+\mathrm {M} '\int u'ds',$

en nommant $u'$ la vitesse du corps $\mathrm {M} '$ et $ds'$ l’élément de la courbe qu’il décrit. Or cette dernière formule, étant traitée comme celle du Problème I, donnera pour sa différentielle

$-\mathrm {M} '\int \left[\left(d{\frac {dx'}{dt}}+\Pi 'dt\right)\delta x'+\left(d{\frac {dy'}{dt}}+\varpi 'dt\right)\delta y'+\left(d{\frac {dz'}{dt}}+\Psi 'dt\right)\delta z'\right]\,;$

on ajoutera donc cette quantité au premier membre de l’équation générale de l’Article précédent, et l’on aura celle-ci :

(P)

$\left\{{\begin{aligned}&-\int \left[\,\left(\mathrm {M} 'd{\frac {dx'}{dt}}+\mathrm {M} '\Pi 'dt-kdt\right)\delta x'\right.\\&\qquad +\left(\mathrm {M} 'd{\frac {dy'}{dt}}+\mathrm {M} '\varpi 'dt-{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}kdt\right)\delta y'\\&\qquad +\left(\mathrm {M} 'd{\frac {dz'}{dt}}+\mathrm {M} '\Psi 'dt-{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}kdt\right)\delta z'\\&\left.\qquad \qquad +\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {\mathrm {T} +k}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}dt\right]\\&-\int \mathrm {S} \left[\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}kdt+dm\,d{\frac {dy}{dt}}+dm\varpi dt\right)\delta y\right.\\&\qquad \,\ \ \left.-\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}kdt+dm\,d{\frac {dz}{dt}}+dm\Psi dt\right)\delta z\right]=0.\end{aligned}}\right.$

Les termes affectés du double signe $\int \mathrm {S}$ donneront pour le mouvement du fil en général les mêmes équations de l’Article XXX qu’il est inutile de répéter. Les autres termes fourniront l’équation

${\begin{aligned}&\left(\mathrm {M} 'd{\frac {dx'}{dt}}+\mathrm {M} '\Pi 'dt-kdt\right)\delta x'\\+&\left(\mathrm {M} 'd{\frac {dy'}{dt}}+\mathrm {M} '\varpi 'dt-{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}kdt\right)\delta y'\\+&\left(\mathrm {M} 'd{\frac {dz'}{dt}}+\mathrm {M} '\Psi 'dt-{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}kdt\right)\delta z'\\+&\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {\mathrm {T} +k}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}dt=0\end{aligned}}$

Or, si le corps $\mathrm {M} '$ est libre, en sorte que les différentiations $\delta x',\delta y',\delta z'$ demeurent indéterminées, on fera

${\begin{aligned}&\mathrm {M} '\left(d{\frac {dx'}{dt}}+\Pi 'dt\right)-kdt=0,\\&\mathrm {M} '\left(d{\frac {dy'}{dt}}+\varpi 'dt\right)-{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}kdt=0,\\&\mathrm {M} '\left(d{\frac {dz'}{dt}}+\Psi 'dt\right)-{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}kdt=0.\end{aligned}}$

Ce sont les équations qui serviront à déterminer le mouvement du corps $\mathrm {M} '.$

Si ce corps était contraint de se mouvoir sur une surface donnée par l’équation

$dz'=m'dx'+n'dy',$

on mettrait, comme à l’ordinaire, $m'\delta x'+n'\delta y'$ au lieu de $\delta z',$ et l’on en tirerait les équations

${\begin{aligned}&\mathrm {M} '\left(d{\frac {dx'}{dt}}+\Pi 'dt\right)-kdt+\left[\mathrm {M} '\left(d{\frac {dz'}{dt}}+\Psi 'dt\right)-{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}kdt\right]m'=0,\\&\mathrm {M} '\left(d{\frac {dy'}{dt}}+\varpi 'dt\right)-{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}kdt+\left[\mathrm {M} '\left(d{\frac {dz'}{dt}}+\Psi 'dt\right)-{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}kdt\right]n'=0.\end{aligned}}$

À l’égard des termes

$\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {\mathrm {T} +k}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}dt,$

qui appartiennent au premier point du fil, ils fourniront les mêmes conditions que dans l’Article précédent, selon les différentes circonstances du mouvement de ce point. Mais si l’on imaginait de plus en ce point un autre corps ${\grave {\,}}\!\mathrm {M}$ animé des puissances $\mathrm {{\grave {\,}}\!P,{\grave {\,}}\!Q,{\grave {\,}}\!R} ,\ldots ,$ en sorte que le fil fût emporté par deux corps $\mathrm {{\grave {\,}}\!M,M'}$ fixement attachés à ses extrémités, alors on aurait, pour la formule du maximum ou du minimum,

$\mathrm {S} dm\int uds+\mathrm {M} '\int u'ds'+{\grave {\,}}\!\mathrm {M} \int {\grave {\,}}\!ud{\grave {\,}}\!s,$

et l’on trouverait, en faisant le calcul de la même manière que ci-dessus, que le premier membre de l’équation (P) serait augmenté des termes

$-\mathrm {M} \int \left[\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!x}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!y}{dt}}+{\grave {\,}}\!\varpi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!y+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!z}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Psi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!z\right],$

ce qui ne changerait rien aux formules trouvées pour le mouvement du

fil et de l’autre corps $\mathrm {M} \,;$ mais on aurait de plus l’équation

${\begin{aligned}&\left[{\grave {\,}}\!\mathrm {M} d{\frac {d{\grave {\,}}\!x}{dt}}+{\grave {\,}}\!\mathrm {M} {\grave {\,}}\!\Pi dt+(\mathrm {T} +k)dt\right]\delta {\grave {\,}}\!x\\&\left[{\grave {\,}}\!\mathrm {M} d{\frac {d{\grave {\,}}\!y}{dt}}+{\grave {\,}}\!\mathrm {M} {\grave {\,}}\!\Pi dt+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}(\mathrm {T} +k)dt\right]\delta {\grave {\,}}\!y\\&\left[{\grave {\,}}\!\mathrm {M} d{\frac {d{\grave {\,}}\!z}{dt}}+{\grave {\,}}\!\mathrm {M} {\grave {\,}}\!\Pi dt+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}(\mathrm {T} +k)dt\right]\delta {\grave {\,}}\!z=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tirerait pour le mouvement du corps ${\grave {\,}}\!\mathrm {M} ,$ des formules analogues à celles qu’on a trouvées pour le corps $\mathrm {M} '.$

XXXIII.

Problème VII. — Résoudre le Problème précédent, en supposant que le fil soit extensible et élastique.

Solution. — Soit $\mathrm {F}$ le ressort, c’est-à-dire la force de contraction de chaque élément du fil, on aura, en général, par l’équation (U) de l’Article VIII

$\mathrm {S} dm\,u\,\delta u=-\mathrm {S} dm(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )-\mathrm {SF} \delta f\,;$

ce qui donne, en multipliant par $dt,$ et mettant $\Pi \delta x+\varpi \delta y+\Psi \delta z$ au lieu de $\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ,$ et $ds$ au lieu de $f,$

(Y)

$\mathrm {S} dm\,u\,\delta u=-\mathrm {S} dm\left(\Pi dt\delta x+\varpi dt\delta y+\Psi dt\delta z\right)-\mathrm {SF} dt\delta ds$

Or

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+}}.$

donc

$\delta ds={\frac {\operatorname {d} x\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} y\delta \operatorname {d} y+\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}={\frac {\operatorname {d} x\operatorname {d} \delta x+\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} s}},$

donc, mettant cette valeur dans $\mathrm {SF} dt\delta \operatorname {d} s,$ et intégrant par parties avec les constantes nécessaires, on aura

$\mathrm {SF} dt\delta \operatorname {d} s={\frac {\mathrm {F} 'dt}{\operatorname {d} s'}}\left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right)-{\frac {{\grave {\,}}\!\mathrm {F} dt}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!s}}\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right)$

$-\mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\delta x+\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\delta z\right)dt.$

Maintenant, pour résoudre le Problème, il n’y a plus qu’à mettre dans l’équation (K) de l’Article XXIX au lieu de $\mathrm {S} dm\,u\delta u\,dt,$ la valeur qu’on vient de trouver, et l’on aura, en ordonnant les termes,

${\begin{aligned}&-\int \left[\left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right){\frac {\mathrm {F} 'dt}{\operatorname {d} s'}}-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta x{\grave {\,}}\!+\operatorname {d} y{\grave {\,}}\!\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {{\grave {\,}}\!\mathrm {F} dt}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!s}}\right]\\&+\int \mathrm {S} \left[\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}dt-dm\Pi dt-dm\,d{\frac {dx}{dt}}\right)\delta x\right.\\&\qquad +\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}dt-dm\varpi dt-dm\,d{\frac {dy}{dt}}\right)\delta y\\&\qquad +\left.\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}dt-dm\Psi dt-dm\,d{\frac {dz}{dt}}\right)\delta z\right]=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire, pour les équations générales du mouvement du fil,

${\begin{aligned}&\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}dt-dm\left(\Pi dt+d{\frac {dx}{dt}}\right)=0,\\&\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}dt-dm\left(\varpi dt+d{\frac {dy}{dt}}\right)=0,\\&\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}dt\,-dm\left(\Psi dt+d{\frac {dz}{dt}}\right)=0,\end{aligned}}$

ce qui s’accorde avec ce qu’on a trouvé dans l’Article XXVII en mettant $\varpi$ et $\mathrm {\Psi } =0,$ et $-\mathrm {P}$ au lieu de $\Pi .$

On aura de plus l’équation

$\left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right){\frac {\mathrm {F} 'dt}{\operatorname {d} s'}}-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta x{\grave {\,}}\!+\operatorname {d} y{\grave {\,}}\!\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {{\grave {\,}}\!\mathrm {F} dt}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!s}}=0,$

qu’on traitera ainsi qu’on a fait ci-devant l’équation (P), et qui donnera par conséquent des conclusions semblables sur le mouvement des deux extrémités du fil. J’en laisse le détail au lecteur.

XXXIV.

Problème VIII. — Trouver le mouvement d’un corps de figure quelconque animé par des forces quelconques.

Solution — Soient nommées $dm$ chaque particule du corps, $u$ sa vitesse et $ds$ l’espace qu’elle parcourt dans le temps $dt\,:$ on aura, comme dans l’Article XXIX, $\mathrm {S} dm\int uds$ pour la formule qui doit être un maximum ou un minimum.

En suivant la méthode expliquée dans cet Article, on parviendra de même à l’équation (L)

$-\int \mathrm {S} dm\left[\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x+\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\delta y+\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\delta z\right]=0,$

et il n’y aura plus qu’à substituer dans cette équation les valeurs de $dx,dy,dz$ et $\delta x,\delta y,\delta z$ convenables à chaque particule du corps donné.

Pour trouver ces valeurs, je prends dans l’intérieur du corps un point quelconque fixe que j’appelle le centre de rotation et dont je suppose que la position soit représentée par les coordonnées rectangles $\mathrm {X,Y,Z} \,;$ je rapporte à ce centre chacun des autres points du corps par le moyen de trois nouvelles coordonnées $p,q,r$ prises dans les mêmes axes que les $\mathrm {X,Y,Z} \,;$ j’ai ainsi

$x=\mathrm {X} +p,\qquad y=\mathrm {Y} +q,\qquad z=\mathrm {Z} +r\,;$

par conséquent

$dx=d\mathrm {X} +dp,\qquad dy=d\mathrm {Y} +dq,\qquad dz=d\mathrm {Z} +dr,$

et de même

$\delta x=\delta \mathrm {X} +\delta p,\qquad \delta y=\delta \mathrm {X} +\delta q,\qquad \delta z=\delta \mathrm {Z} +\delta r.$

Il s’agit maintenant de trouver les valeurs des différences de $p,q,r$ pour chaque point du corps ; pour cela il faut considérer le mouvement du corps autour de son centre et déterminer les variations qui en résultent dans chacune des lignes $p,q,r.$ Or il est facile de voir que, quel que soit ce mouvement, il peut toujours être regardé comme formé de trois mouvements de rotation autour de trois axes perpendiculaires entre eux, et passant par le centre dont nous parlons ; donc, si l’on prend pour les axes de rotation ceux des coordonnées $p,q,r,$ on trouvera par un calcul très-simple que, tandis que le corps tourne autour de l’axe des $r$ d’un mouvement angulaire $d\mathrm {R} ,$ la ligne $p$ croîtra de la quantité $qd\mathrm {R} ,$ et la ligne $q$ décroîtra de la quantité $pd\mathrm {R} \,;$ que de même, en nommant $d\mathrm {Q}$ l’angle de rotation autour de l’axe des $q,$ les lignes $p$ et $r$ deviendront par ce mouvement $p+rd\mathrm {Q} ,\ r-pd\mathrm {Q} \,;$ et qu’enfin l’angle de rotation autour de l’axe des $p$ étant $d\mathrm {P} ,$ il en résultera dans la ligne $q$ un accroissement égal à $rd\mathrm {P} ,$ et dans la ligne $r$ un décroissement égal à $qd\mathrm {P} .$ Donc, en ajoutant ensemble toutes ces différentes variations des lignes $p,q,r,$ et exprimant les variations totales par $dp,dq,dr,$ on aura, en général,

(Q)

$dp=rd\mathrm {Q} +qd\mathrm {R} ,\qquad dq=rd\mathrm {P} -pd\mathrm {R} ,\qquad dr=-qd\mathrm {P} -pd\mathrm {Q} ,$

et par conséquent aussi, en changeant $d$ en $\delta ,$

$\delta p=r\delta \mathrm {Q} +q\delta \mathrm {R} ,\qquad \delta q=r\delta \mathrm {P} -p\delta \mathrm {R} ,\qquad \delta r=-q\delta \mathrm {P} -p\delta \mathrm {Q} .$

On aura donc par là

${\begin{aligned}\delta x\ =&\delta \mathrm {X} +r\delta \mathrm {Q} +q\delta \mathrm {R} ,\\\delta y\ =&\delta \mathrm {Y} +r\delta \mathrm {P} -p\delta \mathrm {R} ,\\\delta z\ =&\delta \mathrm {Z} -q\delta \mathrm {P} -p\delta \mathrm {Q} \,;\\{\frac {dx}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+r{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+q{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},\\{\frac {dy}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+r{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-p{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},\\{\frac {dz}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}-q{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-p{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$d{\frac {dx}{dt}}=d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+rd{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+dr{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+qd{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+dq{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},$

savoir, en mettant pour $dq,dr$ leurs valeurs,

$d{\frac {dx}{dt}}=d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+rd{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+qd{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}-q{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}-p{\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dt}}+r{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}-p{\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt}}\,;$

on aura de la même manière

${\begin{aligned}d{\frac {dy}{dt}}=&d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+rd{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-pd{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\,-q{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}-p{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}-r{\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt}}-q{\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt}},\\d{\frac {dz}{dt}}=&d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\,-qd{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\,-pd{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-r{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}+p{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}-r{\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dt}}-q{\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt}}.\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs dans l’équation (L) ci-dessus, et faisant sortir hors du signe $\mathrm {S}$ les quantités $d\mathrm {X} ,d\mathrm {Y} ,d\mathrm {Z} ,\delta \mathrm {X} ,\delta \mathrm {Y} ,\delta \mathrm {Z} ,d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R} ,$$\delta \mathrm {P} ,\delta \mathrm {Q} ,\delta \mathrm {R}$ qui sont les mêmes pour chaque point du corps, enfin ordonnant les termes par rapport à $\delta \mathrm {X} ,\delta \mathrm {Y} ,\delta \mathrm {Z} ,\delta \mathrm {P} ,\delta \mathrm {Q} ,\delta \mathrm {R} ,$ on aura une équation de la forme suivante :

(S)

$\int \left([\mathrm {X} ]\delta \mathrm {X} +[\mathrm {Y} ]\delta \mathrm {Y} +[\mathrm {Z} ]\delta \mathrm {Z} +[\mathrm {P} ]\delta \mathrm {P} +[\mathrm {Q} ]\delta \mathrm {Q} +[\mathrm {R} ]\delta \mathrm {R} \right)=0,$

dans laquelle

${\begin{aligned}&[\mathrm {X} ]=\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+\mathrm {S} rdm\left(d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}\right)+\mathrm {S} qdm\left(d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}-{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}\right)\\&\qquad -\mathrm {S} pdm{\frac {d\mathrm {Q} ^{2}+d\mathrm {R} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} \Pi dm\,dt,\\&[\mathrm {Y} ]=\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+\mathrm {S} rdm\left(d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt}}\right)+\mathrm {S} qdm{\frac {d\mathrm {P} ^{2}+d\mathrm {R} ^{2}}{dt}}\\&\qquad -\mathrm {S} pdm\left(d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}\right)+\mathrm {S} \varpi dm\,dt,\\&[\mathrm {Z} ]=\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}-\mathrm {S} rdm{\frac {d\mathrm {P} ^{2}+d\mathrm {Q} ^{2}}{dt}}-\mathrm {S} qdm\left(d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}\right)\\&\qquad -\mathrm {S} pdm\left(d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}\right)+\mathrm {S} \Psi dm\,dt.\\&[\mathrm {P} ]=\mathrm {S} rdm\,d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}-\mathrm {S} qdm\,d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\\&+\mathrm {S} pq\,dm\,d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-\mathrm {S} pr\,dm\,d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+\mathrm {S} qr\,dm\,{\frac {d\mathrm {Q} ^{2}-d\mathrm {R} ^{2}}{dt}}-\mathrm {S} pr\,dm{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}\\&-\mathrm {S} pq\,dm{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}+\left(\mathrm {S} q^{2}dm-\mathrm {S} r^{2}dm\right){\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt}}+\mathrm {S} \varpi rdm\,dt-\mathrm {S} \Psi qdm\,dt.\\&[\mathrm {Q} ]=\mathrm {S} rdm\,d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}-\mathrm {S} qdm\,d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} p^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}\\&+\mathrm {S} pq\,dm\,d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\mathrm {S} qr\,dm\,d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+\mathrm {S} pr\,dm\,{\frac {d\mathrm {P} ^{2}-d\mathrm {R} ^{2}}{dt}}-\mathrm {S} qr\,dm{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}\\&+\mathrm {S} pq\,dm{\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt}}+\left(\mathrm {S} r^{2}dm-\mathrm {S} p^{2}dm\right){\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}+\mathrm {S} \Pi rdm\,dt-\mathrm {S} \Psi pdm\,dt.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&[\mathrm {R} ]=\mathrm {S} qdm\,d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}-\mathrm {S} pdm\,d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+\left(\mathrm {S} p^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\\&+\mathrm {S} qr\,dm\,d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-\mathrm {S} pr\,dm\,d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\mathrm {S} pq\,dm\,{\frac {d\mathrm {P} ^{2}-d\mathrm {Q} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} qr\,dm{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}\\&+\mathrm {S} pr\,dm{\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt}}+\left(\mathrm {S} p^{2}dm-\mathrm {S} q^{2}dm\right){\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}+\mathrm {S} \Pi qdm\,dt-\mathrm {S} \varpi pdm\,dt\,;\end{aligned}}$

$\mathrm {M}$ exprime la valeur de $\mathrm {S} dm,$ savoir la masse entière du corps.

Cette équation donnera la solution du Problème en faisant, comme à l’ordinaire, les coefficients des différences marquées par $\delta ,$ chacun en particulier égal à zéro, comme on va le voir dans les Corollaires suivants.

XXXV.

Remarque. — On peut simplifier les expressions de $\mathrm {[X],[Y],[Z]} ,$$\mathrm {[P],[Q],[R]}$ en faisant tomber le centre de rotation dans le centre de gravité du corps. Car alors les intégrales $\mathrm {S} pdm,\mathrm {S} qdm,\mathrm {S} rdm,$ qui expriment la somme des moments de toutes les particules du corps par rapport à ses trois axes de rotation, deviendront nécessairement égales à zéro, par la propriété connue de ce centre.

À l’égard des autres intégrales $\mathrm {S} p^{2}dm,\mathrm {S} q^{2}dm,\ldots ,$ il faut observer que leur valeur dépend de la position instantanée du corps, et qu’elle varie par conséquent avec le temps $t.$

En effet,

$d(\mathrm {S} p^{2}dm)=\mathrm {S} d(p^{2}dm)=2\mathrm {S} p\,dp\,dm=2\mathrm {S} pr\,dm\,d\mathrm {Q} +2\mathrm {S} pq\,dm\,d\mathrm {R} ,$

en mettant au lieu de $dp$ sa valeur $rd\mathrm {Q} +qd\mathrm {R} \,;$ on trouvera de la même manière

${\begin{aligned}d\left(\mathrm {S} q^{2}dm\right)\,=&2(\mathrm {S} qr\,dm)d\mathrm {P} -2(\mathrm {S} pq\,dm)d\mathrm {R} ,\\d\left(\mathrm {S} r^{2}dm\right)\,=&-2(\mathrm {S} qr\,dm)d\mathrm {P} -2(\mathrm {S} pr\,dm)d\mathrm {Q} ,\\d(Spq\,dm)=&(\mathrm {S} pr\,dm)d\mathrm {P} +(\mathrm {S} qr\,dm)d\mathrm {Q} +\left(\mathrm {S} q^{2}dm-\mathrm {S} p^{2}dm\right)d\mathrm {R} ,\\d(Spr\,dm)=&-(\mathrm {S} pq\,dm)d\mathrm {P} +\left(\mathrm {S} r^{2}dm-\mathrm {S} p^{2}dm\right)d\mathrm {Q} +\left(\mathrm {S} q^{2}\,dm\right)d\mathrm {R} ,\\d(Sqr\,dm)=&\left(\mathrm {S} r^{2}dm-\mathrm {S} q^{2}dm\right)d\mathrm {P} -(\mathrm {S} pq\,dm)d\mathrm {Q} +(\mathrm {S} pr\,dm)d\mathrm {R} .\end{aligned}}$

Ce sont ces équations qui serviront à déterminer les valeurs générales des quantités $\mathrm {S} p^{2}dm,\mathrm {S} q^{2}dm,\mathrm {S} r^{2}dm,\mathrm {S} pqdm,\mathrm {S} prdm,\mathrm {S} qrdm$ qui entrent dans les expressions $\mathrm {[X],[Y]} ,\ldots$ de l’équation (S) ; mais c’est de quoi il ne paraît pas facile de venir à bout, à cause de la difficulté d’intégrer ces sortes d’équations.

XXXVI.

Corollaire I. — Or, si le corps est entièrement libre, en sorte que les différences $\delta x,\delta y,\delta z,\delta \mathrm {P} ,\delta \mathrm {Q} ,\delta \mathrm {R}$ n’aient entre elles aucun rapport déterminé, il faut, pour vérifier l’équation (S), faire les coefficients de ces différences chacun en particulier égal à zéro, ce qui donne les six équations $\mathrm {[X]=0,[Y]=0} ,$$\mathrm {[Z]=0,[P]=0,[Q]=0,[R]} =0,$ par où l’on peut connaître le mouvement du corps à chaque instant. Si l’on fait dans ces équations $\mathrm {S} pdm=0,$$\mathrm {S} qdm=0,\ \mathrm {S} rdm=0,$ selon l’hypothèse de l’Article précédent, les trois premières deviendront celles-ci :

${\begin{aligned}\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+\mathrm {S} \Pi dm\,dt=&0,\\\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+\mathrm {S} \varpi dm\,dt=&0,\\\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+\mathrm {S} \Psi dm\,dt=&0,\\\end{aligned}}$

lesquelles montrent que le centre de gravité du corps se meut de la même manière que si toute la masse du corps était réunie dans ce centre.

Les trois autres équations ne contiendront que les variables $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R}$ d’où dépend le mouvement de rotation du corps autour du centre de gravité ; ainsi ce mouvement sera tout à fait indépendant de celui du centre de gravité.

Imaginons que le corps ne tourne qu’autour d’un seul axe, on supposera, dans les équations $\mathrm {[P]=0,[Q]=0,[R]=0} ,$ deux quelconques des trois variables $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R}$ égales à zéro. Soient d’abord $d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R}$ égales à zéro, on aura

${\begin{aligned}&\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\mathrm {S} \varpi r\,dm\,dt-\mathrm {S} \Psi qdm\,dt=0,\\&(\mathrm {S} pq\,dm)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {S} pr\,dm){\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} \Pi rdm\,dt-\mathrm {S} \Psi pdm\,dt=0,\\-&(\mathrm {S} pr\,dm)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {S} pq\,dm){\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} \Pi qdm\,dt-\mathrm {S} \varpi pdm\,dt=0.\end{aligned}}$

On trouvera, de plus, par les formules données à la fin de l’Article précédent,

${\begin{aligned}d\left(\mathrm {S} r^{2}dm\right)+&d(\mathrm {S} q^{2}dm)=0,\\d(\mathrm {S} pq\,dm)=&(\mathrm {S} pr\,dm)d\mathrm {P} ,\\d(\mathrm {S} pr\,dm)=&-(\mathrm {S} pq\,dm)d\mathrm {P} ,\end{aligned}}$

d’où

1^o$\qquad \qquad \qquad \mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm=\mathrm {const} .,$

constante que j’appellerai $\mathrm {A} \,;$

2^o$\qquad \qquad \qquad {\frac {d(\mathrm {S} pq\,dm)}{\mathrm {S} pr\,dm}}={\frac {d(\mathrm {S} pr\,dm)}{\mathrm {S} pq\,dm}},$

savoir :

$(\mathrm {S} pq\,dm)d(\mathrm {S} pq\,dm)=-(\mathrm {S} pr\,dm)d(\mathrm {S} pr\,dm),$

ce qui donne, en intégrant et réduisant,

$(\mathrm {S} pqdm)^{2}+(\mathrm {S} prdm)^{2}=\mathrm {const} .;$

soit cette constante égale à $\mathrm {B} ^{2},$ on aura

$\mathrm {S} pr\,dm={\sqrt {\mathrm {B} ^{2}-(\mathrm {S} pq\,dm)^{2}}},$

donc

${\frac {d(\mathrm {S} pq\,dm)}{\sqrt {\mathrm {B} ^{2}-(\mathrm {S} pq\,dm)^{2}}}}=d\mathrm {P} ,$

d’où

$\mathrm {S} pq\,dm=\mathrm {B} \sin(\alpha +\mathrm {P} ),$

$\alpha$ étant un angle constant tel, que $\mathrm {B} \sin \alpha =\mathrm {S} pq\,dm,$ au commencement

de la rotation du corps ; par conséquent,

$\mathrm {S} pr\,dm=\mathrm {B} \cos(a+\mathrm {P} )\,;$

donc, si l’on substitue ces valeurs dans les trois équations ci-dessus, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {\mathrm {A} } d{\frac {d\mathrm {\mathrm {P} } }{dt}}+\mathrm {\mathrm {S} } \varpi rdm\,dt-\mathrm {\mathrm {S} } \Psi qdm\,dt=0,\\&\mathrm {B} \sin(\alpha +\mathrm {P} )d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\mathrm {B} \cos(\alpha +\mathrm {P} )d{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} \Pi rdm\,dt-\mathrm {S} \Psi pdm\,dt=0,\\-&\mathrm {B} \cos(\alpha +\mathrm {P} )d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\mathrm {B} \sin(\alpha +\mathrm {P} )d{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} \Pi qdm\,dt-\mathrm {S} \varpi pdm\,dt=0.\end{aligned}}$

La première de ces équations étant multipliée par ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}},$ et ensuite intégrée, donne

${\frac {\mathrm {A} d\mathrm {P} ^{2}}{2dt^{2}}}+\int (\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm)d\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {A} c^{2}}{2}},$

$c$ étant la valeur de ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}}$ lorsque $\mathrm {P} =0,$ c’est-à-dire la vitesse primitive de rotation ; donc, substituant dans la seconde et dans la troisième équation, au lieu de $d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}$ et de $d{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}},$ leurs valeurs, on aura, après avoir divisé par $dt,$

${\begin{aligned}-\mathrm {\frac {B}{A}} &\sin(\alpha +\mathrm {P} )(\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm)\\&-\mathrm {\frac {2B}{A}} \cos(\alpha +\mathrm {P} )\int (\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm)d\mathrm {P} \\&\qquad +\mathrm {B} c^{2}\cos(\alpha +\mathrm {P} )+\mathrm {S} \Pi rdm-\mathrm {S} \Psi pdm)=0,\\\\\mathrm {\frac {B}{A}} &\cos(\alpha +\mathrm {P} )(\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm)\\&-\mathrm {\frac {2B}{A}} \sin(\alpha +\mathrm {P} )\int (\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm)d\mathrm {P} \\&\qquad +\mathrm {B} c^{2}\sin(\alpha +\mathrm {P} )+\mathrm {S} \Pi qdm-\mathrm {S} \varpi pdm)=0,\end{aligned}}$

et ces équations renfermeront les conditions nécessaires pour que le corps tourne librement autour d’un axe immobile.

Si les forces $\Pi ,\varpi \Psi$ sont nulles, ou constantes, ou bien si elles sont proportionnelles à $p,q,r,$ on a

$\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm=0,\ \ \mathrm {S} \Pi rdm-\mathrm {S} \Psi pdm=0,\ \ \mathrm {S} \Pi qdm-\mathrm {S} \varpi pdm=0\,;$

par conséquent,

${\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt^{2}}}=c^{2},$

c’est-à-dire que le mouvement de rotation est uniforme, et les équations précédentes se réduisent à

$\mathrm {B} c^{2}\cos(\alpha +\mathrm {P} )=0,\qquad \mathrm {B} c^{2}\sin(\alpha +\mathrm {P} )=0,$

ce qui donne $\mathrm {B} =0\,;$ on aura donc

${\sqrt {(\mathrm {S} pq\,dm)^{2}+(\mathrm {S} pr\,dm)^{2}}}=0,$

ce qui ne peut arriver, à moins que l’on n’ait $\mathrm {S} pq\,dm=0,\ \mathrm {S} pr\,dm=0.$ Voilà donc les conditions par lesquelles on déterminera la position de l’axe de rotation au dedans du corps. Il est clair que ces conditions sont suffisantes pour une telle détermination, puisqu’on sait que la position d’une droite qui passe par un point donné ne dépend que de deux variables.

Soient maintenant

$d\mathrm {P} =0,\quad d\mathrm {R} =0\quad {\text{ou}}\quad d\mathrm {P} =0,\quad d\mathrm {Q} =0,$

dans les équations

$\mathrm {[P]=0,\quad [Q]=0,\quad [R]=0} \,;$

on trouvera, par des procédés semblables à ceux que nous venons de pratiquer, les conditions de la rotation du corps autour de deux autres axes.

Dans la supposition de

$\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm=0,\ \ \mathrm {S} \Pi rdm-\mathrm {S} \Psi pdm=0,\ \ \mathrm {S} \Pi qdm-\mathrm {S} \varpi pdm=0,$

les équations dont il s’agit seront

${\begin{aligned}&(\mathrm {S} pq\,dm)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mathrm {S} qr\,dm){\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dt}}=0,\\&\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} p^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}=0,\\&(\mathrm {S} qr\,dm)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-(\mathrm {S} pq\,dm){\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dt}}=0.\end{aligned}}$

pour le cas où $d\mathrm {P} =0,\ d\mathrm {R} =0,$ et

${\begin{aligned}-&(\mathrm {S} pr\,dm)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}-(\mathrm {S} qr\,dm){\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt}}=0,\\&(\mathrm {S} qr\,dm)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}-(\mathrm {S} pr\,dm){\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt}}=0,\\&\left(\mathrm {S} p^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=0,\end{aligned}}$

pour le cas où $d\mathrm {P} =0,\ d\mathrm {Q} =0,.$

Dans le premier cas on aura donc $d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}=0,$ c’est-à-dire que la rotation sera uniforme, et de plus $\mathrm {S} qr\,dm=0,\ \mathrm {S} pq\,dm=0$ pour la détermination de l’axe de rotation.

Le second cas donnera pareillement $d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=0,$ savoir la rotation uniforme, et $\mathrm {S} pr\,dm=0,\ \mathrm {S} qr\,dm=0$ pour la détermination de son axe.

On trouvera donc trois axes fixes autour de chacun desquels le corps $\mathrm {M}$ pourra tourner librement et uniformément, en cherchant dans ce corps la position de trois droites, qui passent par son centre de gravité, et qui soient telles que

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {S} pq\,dm=&0,\qquad &\mathrm {S} pr\,dm=&0,\\\mathrm {S} qr\,dm=&0,&\mathrm {S} pq\,dm=&0,\\\mathrm {S} qr\,dm=&0,&\mathrm {S} pr\,dm=&0,\end{alignedat}}$

savoir :

$\mathrm {S} pq\,dm=0,\quad \mathrm {S} pr\,dm=0,\quad \mathrm {S} qr\,dm=0,$

$p,q,r$ étant les coordonnées rectangles qui déterminent la position de chaque particule du corps par rapport à chacune de ces droites ; d’où il

est aisé de conclure que les trois axes de rotation dont il s’agit sont nécessairement perpendiculaires entre eux.

Au reste, quel que soit le mouvement du corps autour de son centre de gravité, il y aura toujours un axe instantané de rotation qui passera par ce centre, et qui sera facile à déterminer dès qu’on connaîtra les mouvements angulaires $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R} .$ Soient $p',q',r'$ les coordonnées qui répondent à chacun des points placés dans l’axe dont nous parlons : il est clair que ces points devant être immobiles pour un instant, on doit avoir

${\begin{aligned}dp'=&r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} =0,\\dq'=&r'd\mathrm {P} \ -p'd\mathrm {R} =0,\\dr'=&-q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {Q} =0,\end{aligned}}$

équations dont la troisième est, comme on le voit, une suite nécessaire des deux premières ; c’est pourquoi on fera simplement

$r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} =0,\qquad r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} =0\,;$

ce qui, en regardant $p',q',r'$ comme variables, et $d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R}$ comme constantes, donne une droite dont la position est aisée à déterminer par rapport aux axes des coordonnées $p',q',r'.$

Dans le premier instant du mouvement on a, en faisant $d\mathrm {P} =0,\ d\mathrm {Q} =0,$$d\mathrm {R} =0$ dans les équations $\mathrm {[P]=0,[Q]=0,[R]=0} ,$

${\begin{aligned}\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {S} pq\,dm)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-(\mathrm {S} pr\,dm)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}&\\+\mathrm {S} \varpi r\,dm\,dt-\mathrm {S} \Psi q\,dm\,dt&=0,\\\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} p^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mathrm {S} pq\,dm)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-(\mathrm {S} qr\,dm)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}&\\+\mathrm {S} \Pi r\,dm\,dt-\mathrm {S} \Psi p\,dm\,dt&=0,\\\left(\mathrm {S} p^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+(\mathrm {S} qr\,dm)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-(\mathrm {S} pr\,dm)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}&\\+\mathrm {S} \Pi q\,dm\,dt-\mathrm {S} \varpi p\,dm\,dt&=0\,;\end{aligned}}$

de plus, les équations

$r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} =0,\qquad r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} =0,$

étant divisées par $dt$ et ensuite différentiées, donnent, à cause de $d\mathrm {P} =0,$$d\mathrm {Q} =0,d\mathrm {R} =0,$

$r'd{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+q'd{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=0,\qquad r'd{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-p'd{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=0\,;$

d’où l’on tire

$d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}=-{\frac {q'}{r'}}d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},\qquad d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}={\frac {p'}{r'}}d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\,;$

ces valeurs substituées dans les équations ci-devant, on a

${\begin{aligned}\left[\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right){\frac {p'}{r'}}+(\mathrm {S} pq\,dm){\frac {q'}{r'}}-\mathrm {S} pr\,dm\right]d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\quad &\\+\mathrm {S} \varpi r\,dm\,dt-\mathrm {S} \Psi q\,dm&dt=0,\\\left[-\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} p^{2}dm\right){\frac {q'}{r'}}+(\mathrm {S} pq\,dm){\frac {p'}{r'}}-\mathrm {S} qr\,dm\right]d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}&\\+\mathrm {S} \Pi r\,dm\,dt-\mathrm {S} \Psi p\,dm&dt=0,\\\left[\mathrm {S} p^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm-(\mathrm {S} qr\,dm){\frac {q'}{r'}}-(\mathrm {S} pr\,dm){\frac {p'}{r'}}\right]d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\quad &\\+\mathrm {S} \Pi q\,dm\,dt-\mathrm {S} \varpi p\,dm&dt=0,\end{aligned}}$

et, en éliminant $d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},$ dt

${\begin{aligned}&{\frac {\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)p'-(\mathrm {S} pq\,dm)q'-(\mathrm {S} pr\,dm)r'}{(\mathrm {S} pq\,dm)p'-\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} p^{2}dm\right)q'+(\mathrm {S} qr\,dm)r'}}={\frac {\mathrm {S} \Psi q\,dm-\mathrm {S} \varpi r\,dm}{\mathrm {S} \Psi p\,dm-\mathrm {S} \Pi r\,dm}},\\&{\frac {\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)p'-(\mathrm {S} pq\,dm)q'-(\mathrm {S} pr\,dm)r'}{-(\mathrm {S} pr\,dm)p'-\left(\mathrm {S} r'dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)q'+(\mathrm {S} qr\,dm)r'}}={\frac {\mathrm {S} \Psi q\,dm-\mathrm {S} \varpi r\,dm}{\mathrm {S} \varpi p\,dm-\mathrm {S} \Pi q\,dm}},\end{aligned}}$

équations qui donnent le rapport des coordonnées $p',q',r'$ entre elles, et par conséquent la position de l’axe de rotation au commencement du mouvement.

XXXVII.

Corollaire II. — Si le corps n’est pas absolument libre, mais qu’un de ses points quelconque soit obligé de se mouvoir sur une surface donnée, alors, prenant ce point pour le centre de rotation, et supposant la surface exprimée par l’équation

$d\mathrm {Z} =md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} ,$

on ne fera que mettre, dans l’équation (S), $m\delta \mathrm {X} +n\delta \mathrm {Y}$ pour $\delta \mathrm {Z} ,$ et l’on aura, au lieu des trois équations $\mathrm {[X]=0,\ [Y]=0,\ [Z]=0} ,$ ces deux-ci :

$\mathrm {[X]+m[Z]=0,\qquad [Y]+n[Z]=0} ,$

les trois autres ne recevant aucun changement. Mais si, pour simplifier les expressions de $\mathrm {[X],[Y]} ,\ldots ,$ on veut que le centre de rotation soit le centre de même de gravité du corps, suivant la Remarque de l’Article XXXV alors on ne doit plus prendre $\mathrm {X,Y,Z}$ pour les coordonnées de la surface proposée, mais $\mathrm {X} +p',\mathrm {Y} +q',\mathrm {Z} +r',p',q',r'$ étant les coordonnées qui déterminent la position du point qui se meut sur cette surface par rapport au centre de gravité ; on aura donc

$d\mathrm {Z} +dr'=m(d\mathrm {X} +dp')+n(d\mathrm {Y} +dq'),$

et mettant au lieu de $dp',dq',dr'$ leurs valeurs

$r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} ,\qquad r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} ,\qquad -q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {Q} ,$

et ordonnant les termes,

$d\mathrm {Z} =md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} +(q'+nr')d\mathrm {P} +(p'+mr')d\mathrm {Q} +(mr'-np')d\mathrm {R} \,;$

on trouvera par un raisonnement semblable

$\delta \mathrm {Z} =m\delta \mathrm {X} +n\delta \mathrm {Y} +(q'+nr')\delta \mathrm {P} +(p'+mr')\delta \mathrm {Q} +(mq'-np')\delta \mathrm {R} \,:$

donc, substituant cette valeur de $\delta \mathrm {Z}$ dans l’équation (S), et faisant les coefficients des différences restantes chacun égal à zéro, on aura les cinq équations

$[\mathrm {X} ]+m[\mathrm {Z} ]=0,\qquad [\mathrm {Y} ]+n[\mathrm {Z} ]=0,$

$[\mathrm {P} ]+(q'+nr')-[\mathrm {Z} ]=0,\ \ [\mathrm {Q} ]+(p'+mr')[\mathrm {Z} ]=0,\ \ [\mathrm {R} ]+[mr'-np')[\mathrm {Z} ]=0,$

et pour la sixième équation on prendra celle qu’on a trouvée ci-dessus.

savoir

$d\mathrm {Z} =md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} +(q'+nr')d\mathrm {P} +\ldots$

Mais si l’on supposait que le point qui répond aux coordonnées $p',q',r'$ fût fixement attaché, alors on ferait

$\delta \mathrm {X} +dp'=0,\qquad d\mathrm {Y} +dq'=0,\qquad d\mathrm {Z} +dr'=0,$

ce qui donnerait, en mettant au lieu de $dp',dq',dr'$ leurs valeurs,

$d\mathrm {X} =-r'd\mathrm {Q} -q'd\mathrm {R} ,\qquad d\mathrm {Y} =-r'd\mathrm {P} +p'd\mathrm {R} ,\qquad d\mathrm {Z} =q'd\mathrm {P} +p'd\mathrm {Q} \,;$

on aurait par la même raison

$\delta \mathrm {X} =-r'\delta \mathrm {Q} -q'\delta \mathrm {R} ,\qquad \delta \mathrm {Y} =-r'\delta \mathrm {P} +p'\delta \mathrm {R} ,\qquad \delta \mathrm {Z} =q'\delta \mathrm {P} +p'\delta \mathrm {Q} ,$

et, ces valeurs substituées dans l’équation (S), on trouverait, en faisant les coefficients de $\delta \mathrm {P} ,\delta \mathrm {Q} ,\delta \mathrm {R}$ chacun égal à zéro, les trois équations

${\begin{aligned}-r'[\mathrm {Y} ]+q'\mathrm {[Z]+[P]} =0,\\-r'[\mathrm {X} ]+q'\mathrm {[Z]+[Q]} =0,-q'[\mathrm {X} ]+p'\mathrm {[Y]+[R]} =0.\end{aligned}}$

XXXVIII.

Corollaire III. — Imaginons que le corps soit posé sur un plan ou sur une surface quelconque le long de laquelle il puisse glisser librement, en tournant sur lui-même d’une manière quelconque ; soient $p',q',r'$ les coordonnées de la superficie du corps, et

$dr'=\mathrm {M} dp'+\mathrm {N} dq'$

son équation différentielle, il est clair :

1^o Que tandis que le corps a ses divers mouvements $d\mathrm {X} ,d\mathrm {Y} ,d\mathrm {Z} ,$$d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R} ,$ chaque point de sa surface parcourt les espaces

$d\mathrm {X} +r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} ,\qquad d\mathrm {Y} +r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} ,\qquad d\mathrm {Z} -q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {Q}$

dans la direction des coordonnées $\mathrm {X,Y,Z} \,;$

Que le point d’attouchement, étant mobile sur cette surface, parcourra de plus dans les mêmes directions les espaces $dp',dq',dr',$ savoir $dp',dq',$$\mathrm {M} dp'+\mathrm {N} dq',$ d’où il suit que les espaces entiers parcourus par le point touchant seront

${\begin{aligned}d\mathrm {X} &+r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} +dp',\\d\mathrm {Y} &+r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} +dq',\\d\mathrm {Z} &-q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {Q} +\mathrm {M} dp'+\mathrm {N} dq'.\end{aligned}}$

Or, ce point devant aussi se mouvoir sur une surface représentée par l’équation

$d\mathrm {Z} =md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} ,$

ou bien

$dz=mdx+ndy,$

en appelant $x,y,z$ les coordonnées de cette surface pour les distinguer des $\mathrm {X,Y,Z}$ qui appartiennent au centre de gravité du corps, il faudra mettre dans cette équation, au lieu de $dx,dy,dz,$ les quantités qu’on vient de trouver, ce qui donnera après les réductions

${\begin{aligned}d\mathrm {Z} =&md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} +-(q'+nr')d\mathrm {P} +(p'+mr')d\mathrm {Q} +(mq'-np')d\mathrm {R} \\&+(m-\mathrm {M} )dp'+(n-\mathrm {N} )dq'.\end{aligned}}$

Cette équation appartiendrait en général à tous les points dans lesquels la superficie du corps pourrait rencontrer la surface proposée ; mais dans notre cas, où l’on veut que les deux surfaces se touchent, il faudra de plus supposer qu’elles aient les mêmes tangentes dans leurs points de rencontre, c’est-à-dire que $m=\mathrm {M} ,\ n=\mathrm {N} \,;$ donc l’équation trouvée se réduira à

$d\mathrm {Z} =md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} +(q'+nr')d\mathrm {P} +(p'+mr')d\mathrm {Q} +(mq'-np')d\mathrm {R} ,$

Par les mêmes raisonnements, on trouvera, en considérant les différences marquées par $\delta ,$

$\delta \mathrm {Z} =m\delta \mathrm {X} +n\delta \mathrm {Y} +(q'+nr')\delta \mathrm {P} +(p'+mr')\delta \mathrm {Q} +(mq'-np')\delta \mathrm {R} .$

Il n’y aura donc plus qu’à substituer cette valeur de $\delta \mathrm {Z}$ dans l’équation (S), et à égaler ensuite à zéro chacun des coefficients des différences $\delta \mathrm {X} ,\delta \mathrm {Y} ,\delta \mathrm {P} ,$$\delta \mathrm {Q} ,\delta \mathrm {R} ,$ ce qui donnera les cinq équations

$[\mathrm {X} ]+m[\mathrm {Z} ]=0,\qquad [\mathrm {Y} ]+n[\mathrm {Z} ]=0,$

$[\mathrm {P} ]+(q'+nr')[\mathrm {Z} ]=0,\ \ [\mathrm {Q} ]+(p'+mr')[\mathrm {Z} ]=0,\ \ [\mathrm {R} ]+(mq'-np')[\mathrm {Z} ]=0,$

lesquelles étant jointes avec l’équation ci-dessus,

$d\mathrm {Z} =md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} +(q'+nr')d\mathrm {P} +\ldots ,$

serviront à déterminer le mouvement du corps.

Si l’on voulait que le corps n’eût à chaque instant qu’un mouvement autour du point touchant, c’est-à-dire qu’il n’eût aucun mouvement pour glisser le long de la surface sur laquelle il se meut, alors il est clair que les espaces parcourus par le point d’attouchement sur la surface dont nous parlons et sur celle du corps devraient être exactement les mêmes ; il faudrait donc que

${\begin{aligned}d\mathrm {X} &+r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} +dp'=dp',\\d\mathrm {Y} &+r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} +dq'=dq',\\d\mathrm {Z} &-q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} +dr'=dr',\end{aligned}}$

savoir

$d\mathrm {X} +r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} =0,\ \ d\mathrm {Y} +r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} =0,\ \ d\mathrm {Z} -q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} =0,$

et pareillement

$\delta \mathrm {X} +r'\delta \mathrm {Q} +q'\delta \mathrm {R} =0,\ \ \delta \mathrm {Y} +r'\delta \mathrm {P} -p'\delta \mathrm {R} =0,\ \ \delta \mathrm {Z} -q'\delta \mathrm {P} -p'\delta \mathrm {R} =0,$

d’où l’on aurait pour $\delta \mathrm {X} ,\delta \mathrm {Y} ,\delta \mathrm {Z}$ les mêmes valeurs que dans le second cas de l’Article XXXVII et ces valeurs substituées dans l’équation (S) donneraient par conséquent aussi les mêmes équations pour le mouvement du corps, mais avec cette différence que les coordonnées $p',q',r'$ répondraient ici non plus à un point fixe, mais à un point mobile qui change continuellement de place tant sur la surface du corps que sur celle le long de laquelle le corps se meut.

XXXIX.

Scolie. — Les expressions $\mathrm {[X],[Y]} ,\ldots ,$ sont en général

${\begin{aligned}&[\mathrm {X} ]=\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+\mathrm {S} (d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt)dm,\\&[\mathrm {Y} ]=\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+\mathrm {S} (d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt)dm,\\&[\mathrm {Z} ]=\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+\mathrm {S} (d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt)dm,\\\\&[\mathrm {P} ]=(\mathrm {S} rdm){\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}-(\mathrm {S} qdm)d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left(d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt\right)rdm-\mathrm {S} \left(d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt\right)qdm.\\&[\mathrm {Q} ]=(\mathrm {S} rdm){\frac {d\mathrm {X} }{dt}}-(\mathrm {S} pdm)d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left(d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt\right)rdm-\mathrm {S} \left(d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt\right)pdm.\\&[\mathrm {R} ]=(\mathrm {S} qdm){\frac {d\mathrm {X} }{dt}}-(\mathrm {S} pdm)d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left(d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt\right)qdm-\mathrm {S} \left(d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt\right)pdm.\end{aligned}}$

Dans les formules de l’Article XXXIV nous avons mis à la place de $p,q,r$ leurs valeurs tirées de l’équation (Q), et cette substitution a introduit les quantités $\mathrm {S} p^{2}dm,\mathrm {S} q^{2}dm,\mathrm {S} r^{2}dm,\mathrm {S} pqdm.\mathrm {S} prdm,\mathrm {S} qrdm$ qui ne peuvent être déterminées que par l’intégration des équations données dans l’Article XXXV. Or, pour éviter cet embarras, il n’y aura qu’à exprimer les coordonnées $p,q,r$ par d’autres variables, dont les unes dépendent uniquement de la situation du corps et soient par conséquent les mêmes pour chacun de ses points, et les autres au contraire soient différentes pour tous les points du corps et demeurent toujours les mêmes pendant qu’il change de situation. Pour cela, ayant imaginé deux axes perpendiculaires l’un à l’autre, qui passent par le centre de rotation et qui demeurent toujours fixes au dedans du corps, on remarquera : 1^o que la position de ces deux axes relativement à un plan fixe quelconque ne dépend que de trois variables qu’on peut nommer $\mathrm {P,Q,R} \,;$ 2^o que la position de chaque point du corps, relativement à ces axes, dépend encore de trois autres variables que j’appellerai $\xi ,\varphi ,\zeta$ d’où il suit que la position de chaque point du corps par rapport à un plan fixe quelconque dépendra en tout de six variables $\mathrm {P,Q,R} ,\xi ,\varphi ,\zeta ,$ et qu’ainsi les quantités $p,q,r$ ne seront que des fonctions de ces mêmes variables, fonctions toujours faciles à déterminer par les éléments de Géométrie. Ayant donc trouvé les valeurs de $p,q,r$ en $\mathrm {P,Q,R} ,\xi ,\varphi ,\zeta ,$ on en tirera aisément celles de $d{\frac {dp}{dt}},d{\frac {dq}{dt}},d{\frac {dr}{dt}},$ en faisant varier $\mathrm {P,Q,R} \,;$ on substituera ensuite toutes ces valeurs dans les expressions ci-dessus, et l’on intégrera les termes affectés du signe $\mathrm {S} ,$ en regardant $\xi ,\varphi ,\zeta$ comme variables, après quoi il ne restera plus de variables que les $\mathrm {P,Q,R}$ qui représentent la position du corps à chaque instant.

Au reste les expressions de $p,q,r$ dont nous venons de parler peuvent servir aussi à trouver les valeurs des différences $\delta p,\delta q,\delta r.$ Soient en général pour chaque point du corps, c’est-à-dire en regardant $\xi ,\varphi ,\zeta$ comme constantes,

${\begin{aligned}dp=&\mathrm {A} d\mathrm {P+B} d\mathrm {Q+C} d\mathrm {R} ,\\dq=&\mathrm {D} d\mathrm {P+E} d\mathrm {Q+F} d\mathrm {R} ,\\dr=&\mathrm {G} d\mathrm {P+H} d\mathrm {Q+I} d\mathrm {R} ,\end{aligned}}$

on aura également

${\begin{aligned}\delta p=&\mathrm {A} \delta \mathrm {P+B} \delta \mathrm {Q+C} \delta \mathrm {R} ,\\\delta q=&\mathrm {D} \delta \mathrm {P+E} \delta \mathrm {Q+F} \delta \mathrm {R} ,\\\delta r=&\mathrm {G} \delta \mathrm {P+H} \delta \mathrm {Q+I} \delta \mathrm {R} ,\end{aligned}}$

et par conséquent

${\begin{aligned}\delta x=\delta \mathrm {X} +&\delta p=\delta \mathrm {X+A} \delta \mathrm {P+B} \delta \mathrm {Q+C} \delta \mathrm {R} ,\\\delta y=\delta \mathrm {Y} +&\delta q=\delta \mathrm {Y+D} \delta \mathrm {P+E} \delta \mathrm {Q+F} \delta \mathrm {R} ,\\\delta z=\delta \mathrm {Z} +&\delta r\,=\delta \mathrm {Z+G} \delta \mathrm {P+H} \delta \mathrm {Q+I} \delta \mathrm {R} .\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs dans l’équation (L), on aura une équation de la même forme que (S), dans laquelle les quantités $\mathrm {[X],[Y],[Z]}$ seront exprimées comme ci-dessus, et les $\mathrm {[P],[Q],[R]}$ auront les valeurs suivantes :

${\begin{aligned}&[\mathrm {P} ]=(\mathrm {SA} dm)d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+(\mathrm {SD} dm)d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+(\mathrm {SG} dm)d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left[\left(d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {A} +\left(d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt\right)\mathrm {D} +\left(d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt\right)\mathrm {G} \right]dm.\\&[\mathrm {Q} ]=(\mathrm {SB} dm)d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+(\mathrm {SE} dm)d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+(\mathrm {SH} dm)d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left[\left(d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {B} +\left(d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt\right)\mathrm {E} +\left(d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt\right)\mathrm {H} \right]dm.\\&[\mathrm {R} ]=(\mathrm {SC} dm)d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+(\mathrm {SF} dm)d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+(\mathrm {SI} dm)d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left[\left(d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {C} +\left(d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt\right)\mathrm {F} +\left(d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt\right)\mathrm {I} \right]dm.\\\end{aligned}}$

Je laisse au lecteur le détail de l’application de cette équation, qui n’aura aucune difficulté, après ce que nous avons dit dans les Corollaires précédents.

XL.

Problème IX. — Trouver les lois du mouvement des fluides non élastiques.

Solution. — Il est visible que l’équation (L), qui a servi pour résoudre le Problème précédent, a encore lieu ici, cette équation étant générale pour un système quelconque de corpuscules $dm,$ agités par des forces quelconques $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots .$

Soit $\mathrm {D}$ la densité de chaque particule du fluide $dm,$ on aura

$dm=\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z.$

et l’équation dont il s’agit sera

$(a)\quad \left\{{\begin{aligned}\int \mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left[\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x+\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\delta y\ \ \right.&\\\left.+\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\delta z\right]&=0.\end{aligned}}\right.$

Je mets l’exposant $^{3}$ au signe $\mathrm {S} ,$ pour exprimer les trois intégrations que ce signe renferme, relativement aux trois variables $x,y,z,$ intégrations que nous aurons souvent occasion dans la suite de considérer chacune en particulier.

Maintenant, comme le fluide est supposé incompressible, il faut que le volume de chaque particule $dm,$ lequel est exprimé par $\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z$ reste toujours le même ; on aura donc

$\operatorname {d} y\operatorname {d} zd\operatorname {d} x+\operatorname {d} x\operatorname {d} zd\operatorname {d} y+\operatorname {d} x\operatorname {d} yd\operatorname {d} z=0,$

savoir

${\frac {d\operatorname {d} x}{\operatorname {d} x}}+{\frac {d\operatorname {d} y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {d\operatorname {d} z}{\operatorname {d} z}}=0,$

ou, en mettant $\operatorname {d} d$ au lieu de $d\operatorname {d} ,$

$(b)\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\operatorname {d} dx}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} dy}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} dz}{\operatorname {d} z}}=0.$

On aura par la même raison

$\operatorname {d} y\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} x\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} y+\operatorname {d} x\operatorname {d} y\delta \operatorname {d} z=0,$

ou bien

$\operatorname {d} y\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta x+\operatorname {d} x\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta z=0,$

ce qui donne

$\operatorname {d} \delta x=-\operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right),$

et par conséquent

$(c)\quad \qquad \qquad \mathrm {S} \operatorname {d} \delta x=\delta x=\delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} \operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right),$

$\delta {\grave {\,}}\!x$ est la valeur de $\delta x,$ quand l’intégrale $\mathrm {S} \operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right)$ est nulle ; or, comme cette intégrale doit être prise en variant seulement $x,$ il s’ensuit que la quantité $\delta {\grave {\,}}\!x$ sera constante par rapport à $x,$ mais variable par rapport à $y$ et $z,$ c’est-à-dire que cette quantité sera une fonction de $y$ et $z.$

Donc, mettant dans l’équation $(a)$, à la place de $\delta x,$ la valeur qu’on vient de trouver, l’expression intégrale

$\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x$

se changera en celle-ci :

${\begin{aligned}&\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x\\-&\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left[\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right)\right]\end{aligned}}$

J’écris d’abord le premier membre transformé ainsi :

$\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x,$

expression qu’on voit bien être équivalente à la proposée. Or, soit la valeur totale de

$\mathrm {S} dx\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)$

exprimée par $\mathrm {T} dt,$ il est clair qu’on aura, à cause que $\delta {\grave {\,}}\!x$ est constant par rapport à $x,$

$\mathrm {S} dx\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x=\delta {\grave {\,}}\!x\mathrm {S} dx\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)=\delta {\grave {\,}}\!x\mathrm {T} dt\,;$

donc

$\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x=\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!x.$

Je mets de même le second membre sous la forme suivante :

$\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} x\left[\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right)\right]\,;$

j’opère sur l’intégrale

$\mathrm {S} \operatorname {d} x\left[\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right)\right]$

suivant la méthode de l’Article IX Mémoire précédent : j’aurai, en sup-

posant, pour abréger,

$\mathrm {U} dt=\mathrm {T} dt-\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),$

la transformée

$\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {U} dt\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right),$

où il n’y a plus qu’un seul signe d’intégration ; la formule proposée deviendra donc

$\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {U} dt\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right),$

ou, ce qui est la même chose,

$\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {U} dt\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right),$

dans laquelle il ne s’agit plus que de faire disparaître les différences de $\delta y$ et $\delta z.$

Pour cela il est nécessaire de distinguer d’abord les intégrations relatives à la variabilité de $y$ et de $z,$ en mettant cette intégrale sous la forme suivante :

$\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} \operatorname {y} \mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}.$

Or, par la méthode ordinaire des intégrations par parties, on trouve

$\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}=\mathrm {U} dt\delta y-\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}\delta y.$

J’écris $\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}\delta y$ au lieu de $\mathrm {S} \operatorname {d} (\mathrm {U} dt)\delta y$ qui lui est égal, pour dénoter que cette intégrale, de même que la différentielle $\operatorname {d} \mathrm {U} dt,$ doit être prise en ne considérant que la variabilité de $y$ seul. Soient maintenant ${\grave {\,}}\!y$ la valeur de $y$ lorsque l’intégrale $\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}\delta y$ commence, et $y'$ sa valeur lorsque cette intégrale finit ; et soit exprimé par ${\grave {\,}}\!U$ ce que devient $\mathrm {U}$ en y mettant ${\grave {\,}}\!y$ à la place de $y,$ et par $\mathrm {U} '$ ce que la même quantité devient en faisant $y=y'\,;$ on trouvera, par la Remarque faite à la fin

de l’Article I du Mémoire précédent, que la valeur complète du terme $\mathrm {U} dt\delta y$ sera $\mathrm {U} 'dt\delta y'-{\grave {\,}}\!\mathrm {U} dt\delta {\grave {\,}}\!y.$

Mais pour peu qu’on réfléchisse sur la nature de nos formules, il est aisé de voir que quand $\mathrm {U} ={\grave {\,}}\!\mathrm {U}$ l’intégrale $\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi \delta t\right)$ est nulle, et que quand $\mathrm {U=U'} ,$ cette intégrale est précisément égale à $\mathrm {T} dt\,;$ c’est pourquoi l’on aura ${\grave {\,}}\!\mathrm {U=T}$ et $\mathrm {U} '=0$ donc enfin

$\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}=-\mathrm {T} \delta {\grave {\,}}\!y-\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}\delta y.$

On trouvera par des opérations et des raisonnements semblables

$\mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {-\mathrm {U} dt\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}=-\mathrm {T} \delta {\grave {\,}}\!z-\mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} z}}\delta z\,;$

donc

$\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {U} dt\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right)$

se changera en

${\begin{aligned}&-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!y-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}\delta y\\&-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!z-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} z}}\delta z,\end{aligned}}$

ou, en réduisant,

$-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!y-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {T} dts\delta {\grave {\,}}\!z-\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left({\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} z}}\delta z\right)\,;$

donc

$\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x=\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!y$

$-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!z+\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left({\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} z}}\delta z\right),$

donc l’équation $(a)$ deviendra

$(d)\quad \left\{{\begin{aligned}\int &\left(\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!x+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!y+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!z\right)\\&+\int \mathrm {\mathrm {S} } ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left\{\left[{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {\mathrm {U} } dt)}{\operatorname {d} y}}+\mathrm {D} \left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\right]\delta y\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+\left[{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {\mathrm {U} } dt)}{\operatorname {d} z}}+\mathrm {D} \left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\right]\delta z\right\}=0\,;\end{aligned}}\right.$

d’où l’on tire pour le mouvement de chaque particule du fluide en général

$(e)\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}+\mathrm {D} \left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)=&0,\\{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} z}}+\mathrm {D} \left(d{\frac {dz}{dt}}+\Pi dt\right)=&0.\end{aligned}}\right.$

Ensuite, pour satisfaire au reste de l’équation, on fera

$(f)\qquad \mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!x+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!y+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!z=0.$

XLI.

Corollaire I. — La valeur de $\mathrm {U} dt$ est

$\mathrm {T} dt-\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),$

l’intégrale étant prise en variant seulement $x\,;$ on substituera donc cette valeur dans les équations $(e)\,;$ mais, pour pouvoir faire disparaître le signe $\mathrm {S} ,$ on prendra les différentielles de ces deux équations en supposant $x$ seul variable, ce qui donnera, en mettant pour ${\frac {\operatorname {d} (Udt)}{\operatorname {d} x}}$ sa valeur $-\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),$ deux équations

$(g)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} \left[\mathrm {D} \left(d{\cfrac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\right]}{\operatorname {d} y}}=&{\frac {\operatorname {d} \left[\mathrm {D} \left(d{\cfrac {dx}{dt}}+\varpi dt\right)\right]}{\operatorname {d} x}},\\{\frac {\operatorname {d} \left[\mathrm {D} \left(d{\cfrac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\right]}{\operatorname {d} z}}=&{\frac {\operatorname {d} \left[\mathrm {D} \left(d{\cfrac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\right]}{\operatorname {d} x}},\\\end{aligned}}\right.$

qui jointes à l’équation $(b)$ trouvée ci-dessus feront connaître les valeurs de $x,y,z$ pour un temps quelconque.

XLII.

Corollaire II. — Telles sont les équations par lesquelles on peut déterminer en général le mouvement d’un fluide non élastique sollicité par des forces quelconques $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots ,$ qui agissent suivant des directions quelconques, ou bien par des forces $\Pi ,\varpi ,\Psi$ dirigées suivant les lignes $x,y,z\,;$ comme il est aisé de le voir en examinant les valeurs de ces quantités $\Pi ,\varpi ,\Psi$ (Article I).

Pour mieux connaître les équations dont il s’agit, exprimons par $\alpha ,\beta ,\gamma$ les vitesses de chaque particule du fluide parallèlement aux coordonnées $x,y,z,$ c’est-à-dire les valeurs de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\,:$ on aura, en divisant par $dt.$

$(h)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\operatorname {d} {\frac {\left(\mathrm {D} {\cfrac {d\alpha }{dt}}\right)}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}=&\operatorname {d} {\frac {\left(\mathrm {D} {\cfrac {d\beta }{dt}}\right)}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\\\operatorname {d} {\frac {\left(\mathrm {D} {\cfrac {d\alpha }{dt}}\right)}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}=&\operatorname {d} {\frac {\left(\mathrm {D} {\cfrac {d\gamma }{dt}}\right)}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}},\end{aligned}}\right.$

$(i)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}}=0.$

On voit par ces équations que les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont nécessairement des fonctions des variables $x,y,z$ qui déterminent la position des particules à chaque instant, et du temps écoulé depuis le commencement du mouvement ; or, dans l’instant $dt,$ il est clair que les variables $x,y,z$ deviennent $x+\alpha dt,$$y+\beta dt,\ z+\gamma dt\,;$ donc les variations des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ dans cet instant ne seront pas seulement ${\frac {d\alpha }{dt}}dt,{\frac {d\beta }{dt}}dt,{\frac {d\gamma }{dt}}dt,$ mais

${\begin{aligned}{\frac {d\alpha }{dt}}dt+{\frac {d\alpha }{dx}}\alpha dt+&{\frac {d\alpha }{dy}}\beta dt+{\frac {d\alpha }{dz}}\gamma dt,\\{\frac {d\beta }{dt}}dt+{\frac {d\beta }{dx}}\alpha dt+&{\frac {d\beta }{dy}}\beta dt+{\frac {d\beta }{dz}}\gamma dt,\\{\frac {d\gamma }{dt}}dt+{\frac {d\gamma }{dx}}\alpha dt+&{\frac {d\gamma }{dy}}\beta dt+{\frac {d\gamma }{dz}}\gamma dt,\end{aligned}}$

et telles seront les valeurs de $d\alpha ,d\beta ,d\gamma \,;$ donc, si on substitue ces valeurs dans les équations $(h),$ et qu’on suppose pour plus de simplicité les forces $\Pi ,\varpi ,\Psi$ nulles ou telles que

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}},$

et de plus la densité $\mathrm {D}$ constante, on aura, en divisant par $\mathrm {D}$ et marquant toutes les différences par $d,$ ce qui est absolument indifférent ici,

${\frac {d^{2}\alpha }{dtdy}}+\alpha {\frac {d^{2}\alpha }{dxdy}}+\beta {\frac {d^{2}\alpha }{dy^{2}}}+\gamma {\frac {d^{2}\alpha }{dydz}}+{\frac {d\alpha }{dx}}{\frac {d\alpha }{dy}}+{\frac {d\alpha }{dy}}{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\alpha }{dz}}{\frac {d\gamma }{dy}}$

$={\frac {d^{2}\beta }{dtdx}}+\alpha {\frac {d^{2}\beta }{dx^{2}}}+\beta {\frac {d^{2}\beta }{dxdy}}+\gamma {\frac {d^{2}\beta }{dxdz}}+{\frac {d\beta }{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}{\frac {d\beta }{dx}}+{\frac {d\beta }{dz}}{\frac {d\gamma }{dx}},$

${\frac {d^{2}\alpha }{dtdz}}+\alpha {\frac {d^{2}\alpha }{dxdz}}+\beta {\frac {d^{2}\alpha }{dydz}}+\gamma {\frac {d^{2}\alpha }{dz^{2}}}+{\frac {d\alpha }{dx}}{\frac {d\alpha }{dz}}+{\frac {d\alpha }{dy}}{\frac {d\beta }{dz}}+{\frac {d\alpha }{dz}}{\frac {d\gamma }{dz}}$

$={\frac {d^{2}\gamma }{dtdx}}+\alpha {\frac {d^{2}\gamma }{dx^{2}}}+\beta {\frac {d^{2}\gamma }{dxdy}}+\gamma {\frac {d^{2}\gamma }{dxdz}}+{\frac {d\gamma }{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\gamma }{dy}}{\frac {d\beta }{dx}}+{\frac {d\gamma }{dz}}{\frac {d\gamma }{dx}},$

Ces équations peuvent s’abréger en supposant

${\frac {d\alpha }{dy}}-{\frac {d\beta }{dx}}=\mu ,\qquad {\frac {d\alpha }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dx}}=\nu .$

ce qui les réduira à

$(h)\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\mu }{dt}}+\alpha {\frac {d\mu }{dx}}+\beta {\frac {d\mu }{dy}}+\gamma {\frac {d\mu }{dz}}+\mu \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}\right)+{\frac {d\alpha }{dz}}{\frac {d\gamma }{dy}}-{\frac {d\beta }{dz}}{\frac {d\gamma }{dx}}=&0.\\{\frac {d\nu }{dt}}+\alpha {\frac {d\nu }{dx}}+\beta {\frac {d\nu }{dy}}+\gamma {\frac {d\nu }{dz}}+\nu \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}\right)+{\frac {d\alpha }{dy}}{\frac {d\beta }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dy}}{\frac {d\beta }{dx}}=&0.\\\end{aligned}}\right.$

On peut satisfaire à ces deux équations, en faisant

$\mu ={\frac {d\alpha }{dy}}-{\frac {d\beta }{dx}}=0,\qquad \nu ={\frac {d\alpha }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dx}}=0,\qquad {\frac {d\beta }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dy}}=0,$

comme il est facile de s’en assurer ; or la troisième de ces conditions est évidemment une suite nécessaire des deux premières ; donc on n’aura réellement que deux conditions à remplir, lesquelles pourront s’exprimer plus simplement en disant que $\alpha dx+\beta dy+\gamma dz$ doit être une différentielle complète ; et ces conditions jointes avec celle que donne l’équation $(i),$ savoir, en changeant $\operatorname {d}$ en $d,$

${\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d^{2}\beta }{dy^{2}}}+{\frac {d\gamma }{dz}}=0.$

serviront à déterminer les mouvements du fluide dans plusieurs cas particuliers.

Ces cas se réduisent à ceux où l’on suppose que les particules du fluide décrivent des courbes invariables, ce qui arrive quand les rapports des vitesses $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont indépendants du temps $t,$ c’est-à-dire quand les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont simplement des fonctions de $x,y,z$ multipliées par une même fonction de $t.$ Car, soit mis dans les équations générales $(h)$ $\theta \alpha ,\theta \beta ,\theta \gamma$ à la place de $\alpha ,\beta ,\gamma$ ( $\theta$ étant une fonction quelconque de $t,$ et $\alpha ,\beta ,\gamma$ étant maintenant regardées comme des fonctions indéterminées de $x,y,z$ sans $t$), on trouvera, après avoir divisé par $\theta ^{2},$

${\begin{aligned}{\frac {\mu }{\theta ^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}+\alpha {\frac {d\mu }{dx}}+\beta {\frac {d\mu }{dy}}+\gamma {\frac {d\mu }{dz}}+\mu \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}\right)+{\frac {d\alpha }{dz}}{\frac {d\gamma }{dy}}-{\frac {d\beta }{dz}}{\frac {d\gamma }{dx}}=&0,\\{\frac {\nu }{\theta ^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}+\alpha {\frac {d\nu }{dx}}+\beta {\frac {d\nu }{dy}}+\gamma {\frac {d\nu }{dz}}+\nu \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}\right)+{\frac {d\alpha }{dy}}{\frac {d\beta }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dy}}{\frac {d\beta }{dx}}=&0.\end{aligned}}$

Or, comme les termes ${\frac {\mu }{\theta ^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}},\ {\frac {\nu }{\theta ^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}$ sont les seuls qui renferment $t,$ il faut nécessairement qu’ils soient égaux à zéro séparément de tous les autres, pour que les équations soient possibles ; on aura donc $\mu =0,\ \nu =0,$ ce qui satisfait encore au reste de l’une et de l’autre équation, comme on l’a vu plus haut.

Il y a pourtant un cas où les équations précédentes peuvent être vérifiées sans supposer $\mu =0$ et $\nu =0\,;$ c’est celui où l’on aura

${\frac {1}{\theta ^{2}A}}{\frac {d\theta }{dt}}=\mathrm {const} .,$

c’est-à-dire où

${\frac {1}{\theta }}=a-bt\quad {\text{et}}\quad \theta ={\frac {1}{a-bt}},$

$a$ et $b$ étant deux constantes quelconques ; car alors les termes ${\frac {\mu }{\theta ^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}},$${\frac {\nu }{\theta ^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}$ se trouveront entièrement indépendants du temps $t,$ ainsi que tous les autres.

Au reste, en combinant les équations $\mu =0,$ $\nu =0$ avec l’équation $(i),$

. on peut séparer les indéterminées $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ et l’on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\alpha }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\alpha }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\alpha }{dz^{2}}}=0,\\{\frac {d^{2}\beta }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\beta }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\beta }{dz^{2}}}=0,\\{\frac {d^{2}\gamma }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\gamma }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\gamma }{dz^{2}}}=0.\end{aligned}}$

XLIII.

Remarque. — Quand on aura trouvé, par le moyen des équations de l’Article précédent, les valeurs générales de $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ il faudra de plus déterminer ces valeurs, en sorte que les particules contigués aux parois du vase dans lequel le fluide se meut puissent couler le long de ces parois ; soient $x',y',z'$ leurs coordonnées, et

$dz'=pdx'+qdy'$

l’équation qui représente la figure du vase donné, en mettant, au lieu de $dx',dy',dz',$ leurs valeurs $\alpha 'dt,\beta 'dt,\gamma 'dt\,;$ $\alpha ',\beta ',\gamma '$ dénotant les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma$ lorsque $x,y,z$ deviennent $x',y',z',$ on aura l’équation

$\gamma '=p\alpha '+q\beta ',$

qui devra être vraie indépendamment de $t.$

Dans le cas où le temps $t$ n’entre point dans le rapport des vitesses $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ il est clair qu’il n’entrera pas non plus dans l’équation

$\gamma '=p\alpha '+q\beta '\,;$

mais alors les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma$ étant beaucoup moins générales, il pourra arriver que cette équation ne se vérifie qu’en supposant que les quantités $p,q$ aient certaines conditions, c’est-à-dire que le vase ait une certaine figure ; c’est ce que M. d’Alembert a déjà remarqué dans un excellent Mémoire sur les lois du mouvement des fluides, imprimé dans le premier volume de ses Opuscules mathématiques. Mais ce savant Géo-

mètre prétend de plus que, lorsque le vase aura une autre figure quelconque, le mouvement du fluide ne pourra plus être soumis au calcul : c’est de quoi je ne saurais tomber d’accord avec lui ; car il me semble que tout ce qu’il faudrait conclure alors, c’est que la supposition particulière de $\mu =0$ et $\nu =0$ cesserait d’être exacte, et que par conséquent les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma$ dépendraient de la résolution générale des équations $(k).$

Il est vrai que M. d’Alembert prétend que les équations $\mu =0,\ \nu =0$ sont les seules vraiment exactes pour déterminer les lois du mouvement des fluides ; il se fonde sur ce que le rapport des vitesses $\alpha ,\beta ,\gamma$ doit être indépendant du temps $t$ dans les particules qui coulent le long des parois du vase ; d’où il infère qu’il doit l’être aussi en général dans toutes les particules du fluide ; mais cette conséquence, si j’ose le dire, ne me paraît point assez juste. En effet, on peut très-bien imaginer, ce me semble, des fonctions de $x,y,z$ telles, que la variable $t$ ne disparaisse de l’expression de leur rapport que lorsque $x,y,z$ deviennent $x',y',z',$ et sont liées par l’équation

$dz'=pdx'+qdy'.$

En général, il me paraît certain qu’en résolvant les équations $(h),$ $(i)$ par des méthodes analogues à celles que j’ai expliquées dans les Recherches sur le Son, imprimées ci-devant, on aura une solution applicable à tous les cas possibles, et par laquelle on pourra déterminer le mouvement des fluides qui se meuvent dans des vases de figure quelconque, et qui ont reçu au commencement des impulsions quelconques.

Il ne pourra y avoir de difficulté que dans les seuls cas où le fluide se divisera en se mouvant et cessera de former une masse continue ; mais alors, ayant trouvé par le calcul, ce qui est toujours possible, les endroits où le fluide doit se diviser en plusieurs portions, on considérera ensuite chaque portion à part, et on en déterminera le mouvement en la regardant comme une masse isolée.

Nous avons observé dans l’Article précédent qu’il y a un cas où les équations $\mu =0,$ $\nu =0$ ne sont pas indispensables dans l’hypothèse que les rapports des vitesses \alpha,\beta,\gamma soient indépendants du temps $t.$ M. d’Alembert a fait aussi cette remarque dans l’Article X de son Mémoire cité ci-dessus ; mais il trouve, par ses formules, que le cas dont il s’agit est celui où

$\theta =ac',$

au lieu que, suivant les nôtres, ce cas est celui où

$\theta ={\frac {1}{a-bt}}.$

Or cette différence vient d’une légère méprise qui s’est glissée dans les calculs de M. d’Alembert, mais qui n’influe d’ailleurs en rien sur le reste de ses ingénieuses recherches.

Pour faire sentir la vérité de ce que nous avançons ici, examinons les équations que M. d’Alembert donne dans l’Article I du Mémoire cité pour les fluides pesants qui se meuvent dans un plan. Ces équations sont :

1^o$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {dp}{dz}}=-{\frac {dq}{dx}},$

2^o$\qquad \qquad {\frac {d(g-\mathrm {B} \theta p-\mathrm {A} \theta q-q\mathrm {T} )}{dz}}={\frac {d(-\theta q\mathrm {A} -\theta p\mathrm {B} '-p\mathrm {T} )}{dx}}$

$g$ est la gravité, $\theta$ est une fonction quelconque de $t$ comme ci-dessus ; $\theta q,\theta p$ expriment les vitesses que nous avons nommées $\alpha$ et $\gamma ,$ et les quantités $\mathrm {A,B,A',B',T}$ sont telles, que

$d(\theta q)=q\mathrm {T} dt+\theta \mathrm {A} dx+\theta \mathrm {B} dz,\qquad d(\theta p)=p\mathrm {T} dt+\theta \mathrm {A} 'dx+\theta \mathrm {B} 'dz.$

La première de ces équations résulte de l’incompressibilité des particules du fluide, et revient par conséquent au même que l’équation $(i)$ ci-dessus en y faisant $\beta =0.$ À l’égard de la seconde, l’Auteur la tire de cette considération, que les forces verticales et horizontales, perdues à chaque instant par les particules du fluide, doivent se faire équilibre ; ces forces sont, selon lui,

$g-\mathrm {B} \theta p-\mathrm {A} \theta q-q\mathrm {T} ,\qquad -\theta q\mathrm {A} '-\theta p\mathrm {B} '-p\mathrm {T} ,$

ce qui donne, par les lois générales de l’équilibre des fluides, l’équation dont nous parlons. Or je dis que, suivant les hypothèses de M. d’Alembert, il faut écrire $\theta ^{2}$ au lieu de $\theta$ dans les expressions des forces en question. Car il est facile de voir que ces forces sont en général

$g-{\frac {d\alpha }{dt}},\qquad -{\frac {d\gamma }{dt}},$

savoir :

$g-{\frac {d(\theta q)}{dt}},\qquad {\frac {d(\theta p}{dt}},$

c’est-à-dire

$g-q\mathrm {T} -{\frac {\theta \mathrm {A} dx}{dt}}-{\frac {\theta \mathrm {B} dx}{dt}},\qquad -p\mathrm {T} -{\frac {\theta \mathrm {A} 'dx}{dt}}-{\frac {\theta \mathrm {B} 'dz}{dt}}\,;$

mais

$dx=\alpha dt=\theta qdt,\qquad dz=\gamma dt=\theta pdt\,;$

donc ces quantités deviendront

$g-q\mathrm {T} -\theta ^{2}\mathrm {A} q-\theta ^{2}\mathrm {B} p,\qquad -p\mathrm {T} -\theta ^{2}\mathrm {A} 'q-\theta ^{2}\mathrm {B} 'p.$

Ainsi l’on aura à la rigueur l’équation

${\frac {d\left(g-\mathrm {B} \theta ^{2}p-\mathrm {A} \theta ^{2}q-q\mathrm {T} \right)}{dz}}={\frac {d\left(-\theta ^{2}q\mathrm {A} '-\theta ^{2}p\mathrm {B} '-p\mathrm {T} \right)}{dx}},$

de laquelle le temps $t$ ne disparaît que quand $\theta ^{2}$ est proportionnel à $\mathrm {T} ,$ c’est-à-dire

${\frac {\mathrm {T} dt}{\theta ^{2}}}={\frac {d\theta }{\theta ^{2}}}=\mathrm {const} .\,;$

d’où l’on tire, comme ci-dessus,

$\theta ={\frac {1}{a-bt}}\,;$

au lieu que, selon l’équation de M. d’Alembert, cela doit arriver lorsque

${\frac {\mathrm {T} }{\theta }}=\mathrm {const} .,$

ce qui donne, en intégrant,

$\theta =ac',$

comme cet Auteur l’a trouvé.

XLIV.

Corollaire III. — Si, au lieu de considérer les vitesses $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ on veut considérer les variables $x,y,z$ elles-mêmes, on remarquera que ces variables ne peuvent être que des fonctions du temps $t$ et des valeurs qu’elles avaient au commencement du mouvement quand $t=0,$ valeurs qui doivent être entièrement arbitraires, pour que la solution du problème ait toute la généralité possible.

Dénotons ces valeurs par $\mathrm {X,Y,Z} ,$ c’est-à-dire supposons que les variables $x,y,z,$ qui représentent la position de chaque particule du fluide, après un temps quelconque $t,$ soient au commencement du mouvement $\mathrm {X,Y,Z} \,;$ les différences de $x,y,z$ s’exprimeront en général de la manière suivante :

${\begin{aligned}\mathrm {diff{\acute {e}}r} .x=&\mathrm {L} d\mathrm {X+M} d\mathrm {Y+N} d\mathrm {Z} +\alpha dt,\\\mathrm {diff{\acute {e}}r} .y=&\mathrm {P} d\mathrm {X+Q} d\mathrm {Y+R} d\mathrm {Z} +\beta dt,\\\mathrm {diff{\acute {e}}r} .z=&\mathrm {S} d\mathrm {X\,+T} d\mathrm {Y+U} d\mathrm {Z} +\gamma dt,\end{aligned}}$

de sorte que

$dx=\alpha dt,\qquad dy=\beta dt,\qquad dz=\gamma dt,$

et

${\begin{aligned}\operatorname {d} x=&\mathrm {L} d\mathrm {X+M} d\mathrm {Y+N} d\mathrm {Z} ,\\\operatorname {d} y=&\mathrm {P} d\mathrm {X+Q} d\mathrm {Y+R} d\mathrm {Z} ,\\\operatorname {d} z=&\mathrm {S} d\mathrm {X\,+T} d\mathrm {Y+U} d\mathrm {Z} .\end{aligned}}$

Substituant dans les équations $(g),$ $(b),$ $\alpha ,\beta ,\gamma$ au lieu de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ et supposant d’ailleurs, pour simplifier le calcul, $\mathrm {D}$ constant, et

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}},$

on trouvera, après avoir divisé les deux premières par $\mathrm {D} dt,$ et la troisième par $dt,$

$(l)\qquad \qquad \qquad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\beta }{dt}}}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\gamma }{dt}}}{\operatorname {d} x}},$

$(m)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}}=0.$

Or ${\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} y}}$ exprime, comme on sait, le coefficient qu’aurait $y$ dans la différentiation de ${\frac {d\alpha }{dt}},$ supposé que $\alpha$ fût exprimée par une fonction de $x,y,z,t\,;$ et ainsi des autres expressions semblables. Donc, puisque les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont, par hypothèse, des fonctions de $\mathrm {X,Y,Z} ,$ il faudra substituer dans $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ à la place des variables $\mathrm {X,Y,Z} ,$ leurs valeurs en $x,y,z,$ et différentier ensuite en prenant $x,y,z$ pour variables, ou bien, ce qui revient au même, différentier d’abord les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ en faisant varier $\mathrm {X,Y,Z} ,$ et substituer ensuite au lieu de $d\mathrm {X} ,d\mathrm {Y} ,d\mathrm {Z}$ leurs valeurs en $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z.$

Des expressions de $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,$ données ci-dessus, on tire par les règles communes de l’Algèbre

${\begin{aligned}d\mathrm {X} =&{\frac {(\mathrm {QU-RT} )\operatorname {d} x+(\mathrm {NT-MU} )\operatorname {d} y+(\mathrm {MR-NQ} )\operatorname {d} z}{\mathrm {K} }},\\d\mathrm {Y} =&{\frac {(\mathrm {RS-PU} )\operatorname {d} x+(\mathrm {LU-NS} )\operatorname {d} y+(\mathrm {NP-LR} )\operatorname {d} z}{\mathrm {K} }},\\d\mathrm {Z} =&{\frac {(\mathrm {PT-QS} )\operatorname {d} x+(\mathrm {MS-LT} )\operatorname {d} y+(\mathrm {LQ-MP} )\operatorname {d} z}{\mathrm {K} }},\end{aligned}}$

$\mathrm {K}$ étant mis, pour abréger, au lieu de

$\mathrm {LQU-MPU+MRS-NQS+NPT-LRT} .$

Or $d\alpha$ est la différence de $\alpha ,$ qui nait des différences $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,$ ou bien des différences $d\mathrm {X} ,d\mathrm {Y} ,d\mathrm {Z} \,;$ donc on aura en général

$\operatorname {d} \alpha ={\frac {d\alpha }{d\mathrm {X} }}d\mathrm {X} +{\frac {d\alpha }{d\mathrm {Y} }}d\mathrm {Y} +{\frac {d\alpha }{d\mathrm {Z} }}d\mathrm {Z} \,;$

on aura de plus, à cause que la différence de $x$ est une différentielle complète,

${\frac {d\alpha }{d\mathrm {X} }}={\frac {d\mathrm {L} }{dt}},\qquad {\frac {d\alpha }{d\mathrm {Y} }}={\frac {d\mathrm {M} }{dt}},\qquad {\frac {d\alpha }{d\mathrm {Z} }}={\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\,;$

donc

$\operatorname {d} \alpha ={\frac {d\mathrm {L} }{dt}}d\mathrm {X} +{\frac {d\mathrm {M} }{dt}}d\mathrm {Y} +{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}d\mathrm {Z} \,;$

on trouvera de même

${\begin{aligned}\operatorname {d} \beta =&{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}d\mathrm {X} +{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}d\mathrm {Y} +{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}d\mathrm {Z} ,\\\operatorname {d} \gamma =&{\frac {d\mathrm {S} }{dt}}d\mathrm {X} +{\frac {d\mathrm {T} }{dt}}d\mathrm {Y} +{\frac {d\mathrm {U} }{dt}}d\mathrm {Z} \,;\end{aligned}}$

substituant, au lieu de $d\mathrm {X} ,d\mathrm {Y} ,d\mathrm {Z} ,$ les valeurs trouvées ci-devant, il viendra

${\begin{aligned}\operatorname {d} \alpha =&{\frac {(\mathrm {QU-RT} ){\cfrac {d\mathrm {L} }{dt}}+(\mathrm {RS-PU} ){\cfrac {d\mathrm {M} }{dt}}+(\mathrm {PT-QS} ){\cfrac {d\mathrm {N} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} x\\+&{\frac {(\mathrm {NT-MU} ){\cfrac {d\mathrm {L} }{dt}}+(\mathrm {LU-NS} ){\cfrac {d\mathrm {M} }{dt}}+(\mathrm {MS-LT} ){\cfrac {d\mathrm {N} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} y\\+&{\frac {(\mathrm {MR-NQ} ){\cfrac {d\mathrm {L} }{dt}}+(\mathrm {NP-LR} ){\cfrac {d\mathrm {M} }{dt}}+(\mathrm {LQ-MP} ){\cfrac {d\mathrm {N} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} z,\\\operatorname {d} \beta =&{\frac {(\mathrm {QU-RT} ){\cfrac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {RS-PU} ){\cfrac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mathrm {PT-QS} ){\cfrac {d\mathrm {R} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} x\\+&{\frac {(\mathrm {NT-MU} ){\cfrac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {LU-NS} ){\cfrac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mathrm {MS-LT} ){\cfrac {d\mathrm {R} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} y\\+&{\frac {(\mathrm {MR-NQ} ){\cfrac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {NP-LR} ){\cfrac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mathrm {LQ-MP} ){\cfrac {d\mathrm {R} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} z,\\\operatorname {d} \gamma =&{\frac {(\mathrm {QU-RT} ){\cfrac {d\mathrm {S} }{dt}}+(\mathrm {RS-PU} ){\cfrac {d\mathrm {T} }{dt}}+(\mathrm {PT-QS} ){\cfrac {d\mathrm {U} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} x\\+&{\frac {(\mathrm {NT-MU} ){\cfrac {d\mathrm {S} }{dt}}+(\mathrm {LU-NS} ){\cfrac {d\mathrm {T} }{dt}}+(\mathrm {MS-LT} ){\cfrac {d\mathrm {U} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} y\\+&{\frac {(\mathrm {MR-NQ} ){\cfrac {d\mathrm {S} }{dt}}+(\mathrm {NP-LR} ){\cfrac {d\mathrm {T} }{dt}}+(\mathrm {LQ-MP} ){\cfrac {d\mathrm {U} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} z.\end{aligned}}$

Donc prenant, dans l’expression de $\operatorname {d} \alpha ,$ le coefficient de $\operatorname {d} x,$ dans celle de $\operatorname {d} \beta$ le coefficient de $\operatorname {d} y,$ et dans celle de $\operatorname {d} \gamma$ le coefficient de $\operatorname {d} z,$ on aura les valeurs de ${\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}},{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}},{\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}},$ et l’équation $(m)$ deviendra

${\begin{aligned}&(\mathrm {QU-RT} ){\frac {d\mathrm {L} }{dt}}+(\mathrm {RS-PU} ){\frac {d\mathrm {M} }{dt}}+(\mathrm {PT-QS} ){\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\\+&(\mathrm {NT-MU} ){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {LU-NS} ){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mathrm {MS-LT} ){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\\+&(\mathrm {MR-NQ} ){\frac {d\mathrm {S} }{dt}}+(\mathrm {NP-LR} ){\frac {d\mathrm {T} }{dt}}+(\mathrm {LQ-NP} ){\frac {d\mathrm {U} }{dt}}=0,\end{aligned}}$

ou, ce qui est la même chose,

${\frac {d\mathrm {K} }{dt}}=0,$

d’où l’on tirera $\mathrm {K=const} .,$ savoir :

$\mathrm {LQU-MPU+MRS-NQS+NPT-LRT=H} ,$

$\mathrm {H}$ étant une fonction de $mathrm{X,Y,Z},$ sans $t,$ savoir la valeur de $K,$ lorsque $t=0.$

À l’égard des deux équations $(l),$ on remarquera que $\operatorname {d} {\frac {d\alpha }{dt}}$ est la même chose que ${\frac {d\operatorname {d} \alpha }{dt}}\,;$ c’est pourquoi il n’y aura qu’à différentier la valeur de $\operatorname {d} \alpha$ trouvée ci-dessus, en ne faisant varier que $t,$ et l’on aura

$\operatorname {d} {\frac {d\alpha }{dt}}={\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dt^{2}}}d\mathrm {X} +{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dt^{2}}}d\mathrm {Y} +{\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dt^{2}}}d\mathrm {Z} \,;$

de la même manière on trouvera

${\begin{aligned}\operatorname {d} {\frac {d\beta }{dt}}=&{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}d\mathrm {X} +{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}d\mathrm {Y} +{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}d\mathrm {Z} ,\\\operatorname {d} {\frac {d\gamma }{dt}}=&{\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dt^{2}}}d\mathrm {X} +{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}d\mathrm {Y} +{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dt^{2}}}d\mathrm {Z} .\end{aligned}}$

On substituera donc dans ces expressions, comme on a fait ci-dessus dans celles de $\operatorname {d} \alpha ,\operatorname {d} \beta ,\operatorname {d} \gamma ,$ les valeurs de $d\mathrm {X} ,d\mathrm {Y} ,d\mathrm {Z}$ en $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z,$ et prenant les coefficients de $\operatorname {d} y$ et de $\operatorname {d} z$ dans la différentielle $\operatorname {d} {\frac {d\alpha }{dt}},$ et ceux de $\operatorname {d} x$ dans les deux différentielles $\operatorname {d} {\frac {d\beta }{dt}},\operatorname {d} {\frac {d\gamma }{dt}},$ on aura les valeurs de

${\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} y}},\quad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} z}},\quad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\beta }{dt}}}{\operatorname {d} x}},\quad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\gamma }{dt}}}{\operatorname {d} x}},$

lesquelles étant mises à la place de ces quantités dans les équations $(l),$ il nous viendra, en ôtant le dénominateur commun $\mathrm {K} ,$ les deux équations

${\begin{aligned}(\mathrm {NT-MU} ){\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dt^{2}}}+&(\mathrm {LU-NS} ){\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dt^{2}}}+(\mathrm {MS-LT} ){\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dt^{2}}}\\=(\mathrm {QU-RT} ){\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dr^{2}}}+&(\mathrm {RS-PU} ){\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}\,+(\mathrm {PT-QS} ){\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}},\\(\mathrm {MR-NQ} ){\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dt^{2}}}+&(\mathrm {NP-LR} ){\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dt^{2}}}+(\mathrm {LQ-MP} ){\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dt^{2}}}\\=(\mathrm {QU-RT} ){\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dt^{2}}}+&(\mathrm {RS-PU} ){\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}\ +(\mathrm {PT-QS} ){\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dt^{2}}}.\end{aligned}}$

Si l’on met dans ces deux équations, aussi bien que dans celle qui a été trouvée précédemment pour $\mathrm {L,M,N,P,Q,R,S,T,U} ,$ leurs valeurs ${\frac {dx}{d\mathrm {X} }},$${\frac {dx}{d\mathrm {Y} }},{\frac {dx}{d\mathrm {Z} }},{\frac {dy}{d\mathrm {X} }},{\frac {dy}{d\mathrm {Y} }},{\frac {dy}{d\mathrm {Z} }},{\frac {dz}{d\mathrm {X} }},{\frac {dz}{d\mathrm {Y} }},{\frac {dz}{d\mathrm {Z} }},$ on aura trois équations générales qui ne renfermeront que les changeantes $x,y,z$ avec leurs différences relatives à $\mathrm {X,Y,Z} ,t,$ et par lesquelles on pourra déterminer la position de chaque particule du fluide à chaque instant de son mouvement.

XLV.

Scolie. — Les équations

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}},$

que nous avons supposées dans l’Article XLII pour simplifier les formules $(h),$ ont lieu quand toutes les forces $\Pi ,\varpi ,\Psi$ sont telles que leurs actions sur les particules du fluide se détruisent mutuellement, c’est-à-dire que les particules du fluide animées par ces forces se font équilibre.

En effet, si le fluide est en repos, les vitesses $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont nulles, et les équations $(h)$ se réduisent à celles que nous venons de rapporter.

Au reste, pour pouvoir faire usage des équations dont il s’agit, il n’est pas nécessaire que les quantités $\mathrm {D} ,\Pi ,\varpi ,\Psi$ soient uniquement des fonctions de $x,y,z$ comme il semble qu’on pourrait le conclure de la forme même de ces équations.

Supposons, par exemple, que les quantités $\mathrm {D} ,\Pi ,\varpi ,\Psi$ renferment outre les variables $x,y,z$ encore une quatrième variable $s$ représentée par une ligne quelconque, il est clair que, quelles que soient la nature et la position de cette ligne, on pourra toujours exprimer sa différentielle $\operatorname {d} s$ de cette manière : $\mathrm {A} \operatorname {d} x+\mathrm {B} \operatorname {d} y+\mathrm {C} \operatorname {d} z\,;$ par conséquent, la valeur complète de l’expression ${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}},$ qui n’est autre chose que le coefficient de $\operatorname {d} y$ dans la différentiation de $\mathrm {D} \Pi ,$ sera

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}+\mathrm {B} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} s}}\,;$

on trouvera de même

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}+\mathrm {C} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} s}},\quad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}}+\mathrm {A} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} s}},\quad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}}+\mathrm {A} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} s}},$

pour les valeurs complètes des expressions ${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}},{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}}\,;$ substituant ces valeurs dans les équations ci-dessus, elles deviendront

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}+\mathrm {B} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} s}}=&{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}}+\mathrm {A} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} s}},\\{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}+\mathrm {C} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} s}}=&{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}}+\mathrm {A} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} s}},\end{aligned}}$

équations dans lesquelles les différentielles qui dépendent de chacune des variables $x,y,z,s$ se trouvent séparées.

Je fais cette remarque relativement à un endroit de l’excellent Traité de la résistance des Fluides (Article 164).

Si la densité $\mathrm {D}$ est constante, les équations

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}}$

deviennent, en divisant par $\mathrm {D} ,$

${\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} \varpi }{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} \Psi }{\operatorname {d} x}},$

lesquelles renferment les conditions de l’équilibre des fluides homogènes.

Supposons que le fluide soit composé de différentes couches, dont, chacune soit d’une densité uniforme, et qu’on en cherche l’équation ; soient $x,y,z$ les coordonnées de chacune de ces couches, on aura par hypothèse

${\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} y+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} z}}\operatorname {d} z=0.$

Or les équations

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}}$

donnent

${\begin{aligned}\Pi {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} y}}+\mathrm {D} {\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} y}}=&\varpi {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}+\mathrm {D} {\frac {\operatorname {d} \varpi }{\operatorname {d} x}}\\\Pi {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} z}}+\mathrm {D} {\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} z}}=&\Psi {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}+\mathrm {D} {\frac {\operatorname {d} \Psi }{\operatorname {d} x}}\,;\end{aligned}}$

substituant dans l’équation ci-dessus les valeurs de ${\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} y}},{\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} z}}$ tirées de celles-ci, et ordonnant les termes, il viendra

${\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}\left(\operatorname {d} x+{\frac {\varpi }{\Pi }}\operatorname {d} y+{\frac {\Psi }{\Pi }}\operatorname {d} z\right)+{\frac {\mathrm {D} }{\Pi }}\left[\left({\frac {\operatorname {d} \varpi }{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} y}}\right)\operatorname {d} y+\left({\frac {\operatorname {d} \Psi }{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} z}}\right)\operatorname {d} z\right]=0,$

savoir, en multipliant par ${\frac {\Pi }{\mathrm {D} }},$

${\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}\left(\Pi \operatorname {d} x+\varpi \operatorname {d} y+\Psi \operatorname {d} z\right)+\left({\frac {\operatorname {d} \varpi }{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} y}}\right)\operatorname {d} y+\left({\frac {\operatorname {d} \Psi }{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} z}}\right)\operatorname {d} z=0,$

équation qui exprimera la figure de chaque couche où la densité est uniforme.

Si l’on a

${\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} \varpi }{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} \Psi }{\operatorname {d} x}},$

c’est-à-dire si les forces $\Pi ,\varpi ,\Psi$ sont par leur nature telles, qu’elles puissent tenir en équilibre une masse fluide homogène, alors l’équation précédente se réduit à

${\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}\left(\Pi \operatorname {d} x+\varpi \operatorname {d} y+\Psi \operatorname {d} z\right)=0,$

ce qui donne

$\Pi \operatorname {d} x+\varpi \operatorname {d} y+\Psi \operatorname {d} z=0,$

équation générale des couches de niveau, comme il est aisé de le voir, d’où il s’ensuit que, dans ce cas, chaque couche de niveau sera nécessairement d’une densité uniforme dans toute son étendue.

Tel devrait donc être l’arrangement de différentes parties de la terre si elle avait été primitivement fluide ; car il est aisé de prouver par le calcul, et M. Clairaut l’a démontré à l’Article LIV de sa Théorie de la figure de la Terre, que les forces $\Pi ,\varpi ,\Psi ,$ résultantes de toutes les attractions que les particules exercent les unes sur les autres, ont d’elles-mêmes les conditions

${\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} \varpi }{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} \Psi }{\operatorname {d} x}}.$

Cependant un grand Géomètre a cru qu’il n’était pas toujours nécessaire que les surfaces des différentes couches fussent de niveau, et il a donné un autre principe pour connaître la figure de ces surfaces^[3]. Mais les équations que son principe fournit ne sont elles-mêmes dans le fond que celles des couches de niveau. Pour le démontrer d’une manière générale, soit un sphéroïde composé de couches de différentes densités, et dont le rayon soit exprimé généralement par $r+\alpha \mathrm {Z} ,$ $r$ étant une quantité constante dans la même couche, $\mathrm {Z}$ étant une fonction quelconque de $r$ et d’un angle $z$ variable pour tous les points de chaque couche, et a marquant une petite quantité constante. Qu’on réduise l’attraction totale que ce sphéroïde exerce sur chaque particule d’une couche quelconque, à deux forces, l’une verticale, c’est-à-dire perpendiculaire à la couche, et qui pourra sans erreur sensible être supposée égale à la pesanteur qui tend au centre du sphéroïde ; l’autre horizontale, savoir dans la direction même de la couche, laquelle est à peu près perpendiculaire au rayon ; et soit nommée la première $\Pi ,$ et la seconde $\varpi .$ Par le principe de l’illustre Auteur dont nous venons de parler, il faudra multiplier la force horizontale $\varpi$ par $\Delta rdz,$ $\Delta$ marquant la densité du fluide qu’on suppose être une fonction de $r$ seulement, ensuite la différentier en ne faisant varier que $r\,;$ de même il faudra multiplier la force verticale $\Pi$ par $w\mathrm {D} \left(dr+\alpha {\frac {d\mathrm {Z} }{dr}}dr\right)$ et différentier ensuite en ne faisant varier que $z\,;$ après quoi on égalera les deux différentielles, ce qui donnera l’équation

${\frac {d\Delta r\varpi }{dr}}drdz={\frac {d\left(\Delta \Pi +\Delta \alpha \Pi {\cfrac {d\mathrm {Z} }{dr}}\right)}{dz}}dzdr,$

savoir

${\frac {d\Delta }{dr}}r\varpi +{\frac {dr\varpi }{dr}}\Delta ={\frac {d\left(\Pi +\alpha \Pi {\cfrac {d\mathrm {Z} }{dr}}\right)}{dz}}\Delta .$

Or, en faisant le calcul, on trouvera toujours que les quantités $\Pi ,\varpi ,\mathrm {Z}$ seront telles que

${\frac {d\left(\Pi +\alpha \Pi {\cfrac {d\mathrm {Z} }{dr}}\right)}{dz}}={\frac {r\varpi }{r}}\,;$

donc il ne restera que l’équation

${\frac {d\Delta }{dr}}r\varpi =0.$

qui donne $\varpi =0,$ savoir la force horizontale nulle, et par conséquent chaque couche de niveau.

XLVI.

Corollaire IV. — Je viens maintenant à l’équation $(f).$ Par la nature des expressions dont cette équation est composée, il est manifeste qu’elle appartient uniquement à la surface postérieure du fluide. Or, si l’on suppose qu’il n’y ait point de parois qui soutiennent le fluide, les valeurs de $\delta {\grave {\,}}\!x,\delta {\grave {\,}}\!y,\delta {\grave {\,}}\!z$ demeureront absolument arbitraires, et l’équation $(f)$ ne pourra se vérifier qu’en faisant généralement $\mathrm {T} =0,$ savoir la valeur totale de l’intégrale $\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)$ nulle.

Soient rapportées les équations $(e)$ à la surface postérieure du fluide, en y mettant ${\grave {\,}}\!x,{\grave {\,}}\!y,{\grave {\,}}\!z$ au lieu de $x,y,z,$ et supposant l’intégrale $\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)$ nulle, ce qui rend $\mathrm {U=T} ,$ on aura

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {T} dt)}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}}={\grave {\,}}\!\mathrm {D} \left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!y}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Pi dt\right),\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {T} dt)}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}}={\grave {\,}}\!\mathrm {D} \left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!z}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Psi dt\right)\,;$

donc

$\operatorname {d} \mathrm {T} ={\frac {\operatorname {d} \mathrm {T} }{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {T} }{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}}\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {T} }{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}}\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z$

$={\grave {\,}}\!\mathrm {D} \left[\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!x}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Pi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!y}{dt}}+{\grave {\,}}\!\varpi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!z}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Psi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\right].$

C’est la valeur de la différentielle de $\mathrm {T}$ prise dans la surface dont nous parlons ; donc, puisque la quantité $\mathrm {T}$ y doit être généralement égale à zéro, sa différentielle le sera aussi, et l’on aura par conséquent l’équation

$\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!x}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Pi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!y}{dt}}+{\grave {\,}}\!\varpi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!z}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Psi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z=0,$

qui sera celle que la surface postérieure du fluide doit avoir.

On trouvera une équation semblable pour la surface antérieure du fluide ; car nommant $x',y',z'$ les coordonnées pour cette surface, et $\mathrm {U} '$ ce que devient $\mathrm {U}$ quand $x,y,z$ deviennent $x',y',z',$ on aura en général, comme on l’a déjà remarqué, Article XL, $\mathrm {U} '=0\,;$ donc aussi

$\operatorname {d} \mathrm {U} '={\frac {\operatorname {d} \mathrm {U} '}{\operatorname {d} x'}}\operatorname {d} x'+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {U} '}{\operatorname {d} y'}}\operatorname {d} y'+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {U} '}{\operatorname {d} z'}}\operatorname {d} z'=0.$

Or

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x=-\mathrm {D} \operatorname {d} x\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),$

et

${\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}=-\mathrm {D} \left(d{\frac {dy}{dt}}+\pi dt\right),\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} z}}=-\mathrm {D} \left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\,;$

donc

${\begin{aligned}\operatorname {d} \mathrm {U} '=-{\frac {\mathrm {D} '}{dt}}\left[\left(d{\frac {dx'}{dt}}+\Pi 'dt\right)\operatorname {d} x'+\left(d{\frac {dy'}{dt}}+\varpi 'dt\right)\operatorname {d} y'\right.\quad &\\\left.+\left(d{\frac {dz'}{dt}}+\Psi 'dt\right)\operatorname {d} z'\right]&=0.\end{aligned}}$

Donc, en général, quand le fluide est libre de tous côtés, sa surface extérieure doit être déterminée par l’équation

$\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\operatorname {d} x+\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\operatorname {d} y+\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\operatorname {d} z=0.$

Supposons maintenant que le fluide soit soutenu par des parois fixes de figure quelconque, et dont l’équation soit

$\operatorname {d} z=m\operatorname {d} x+n\operatorname {d} y.$

Si l’on considère les trois expressions intégrales de l’équation $(f),$ on voit qu’elles renferment chacune deux intégrations qui se rapportent à $y$ et $z$ dans la première, à $x$ et $z$ dans la seconde, à $x$ et $y$ dans la troisième. Or, puisque la relation des trois variables $x,y,z$ est donnée par l’équation $\operatorname {d} z=m\operatorname {d} x+n\operatorname {d} y,$ ces différentes intégrales pourront être ramenées toutes à la même forme, c’est-à-dire être rapportées à deux seules changeantes $x$ et $y\,;$ il n’y aura pour cela qu’à mettre dans la première, au lieu de $\operatorname {d} z,$ sa valeur en $x,$ $m\operatorname {d} x,$ et dans la seconde sa valeur en $y,$ $n\operatorname {d} y\,;$ par là l’équation $(f)$ deviendra celle-ci

$\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y(m\delta x+n\delta y+\delta z)\mathrm {T} dt=0.$

Mais puisque

$dz=m\operatorname {d} x+n\operatorname {d} y,$

on doit avoir aussi

$\delta z=m\delta x+n\delta y\,;$

donc l’équation sera identique et ne fournira aucune condition ; ainsi

tout se réduira à faire en sorte que les équations générales $(b),$ $(e)$ satisfassent, après leur intégration, à l’équation donnée

$\operatorname {d} z=m\operatorname {d} x+n\operatorname {d} y.$

XLVII.

Remarque. — Je ne m’étends pas davantage sur cette matière, pour ne point passer les bornes que je me suis prescrites dans le présent Mémoire. Au reste, par les formules et les méthodes données dans ce Problème et dans les précédents, on pourrait encore trouver la solution de plusieurs questions qui concernent les fluides : comme le mouvement d’un fluide enfermé dans un vase mobile, les oscillations d’un corps qui flotte sur un fluide, la résistance qu’un fluide fait à un corps qui s’y meut, et d’autres Problèmes de cette espèce.

XLVIII.

Problème X — Trouver les lois du mouvement des fluides élastiques.

Solution. — Par notre principe général, il faut que la quantité $\mathrm {S} ^{3}dm\int uds$ soit un maximum ou un minimum ; donc, en faisant les mêmes raisonnements que dans le Problème VI, on trouvera l’équation

$\int \mathrm {S} ^{3}dm\left(u\delta udt-d{\frac {dx}{dt}}\delta x-d{\frac {dy}{dt}}\delta y-d{\frac {dz}{dt}}\delta z\right)=0.$

Or, si aucune force n’agissait entre les corpuscules $dm,$ on aurait, conformément à la formule (X) du même Problème,

$\mathrm {S} ^{3}dm\,u\delta u\,dt=\mathrm {S} ^{3}dm\left(\Pi dt\delta x+\varpi dt\delta y+\Psi dt\delta z\right)\,;$

mais le fluide étant supposé élastique, on doit regarder chaque particule comme un ressort qui agit de tous côtés sur les particules contiguës. Nommant $\mathrm {F}$ la force du ressort, et $f$ l’espace par lequel il tend à se

dilater, on trouvera, en appliquant ici la formule (U) de l’Article VIII,

$\mathrm {S} ^{3}dmu\delta u=-\mathrm {S} ^{3}dm(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )-\mathrm {S^{3}F} \delta f,$

ou, en mettant $\Pi \delta x+s\varpi \delta y+\Psi \delta z$ au lieu de $\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ,$ et prenant $\mathrm {F}$ négativement à cause que cette force tend ici à éloigner les particules,

$\mathrm {S} ^{3}dm\,u\delta u=-\mathrm {S} ^{3}dm(\Pi \delta x+\varpi \delta y+\Psi \delta z)+\mathrm {S^{3}F} \delta f.$

Substituant cette valeur dans l’équation ci-dessus, et mettant au lieu de $dm$ sa valeur $\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z,$ on aura donc

$(n)\left\{{\begin{aligned}-\int \mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left[\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x+\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\delta y\right.&\\\left.+\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\delta z\right]+\int \mathrm {S^{3}F} \delta fdt&=0.\end{aligned}}\right.$

Or, comme l’action du ressort $\mathrm {F}$ consiste à augmenter le volume de chaque particule $dm,$ il est clair qu’il faudra prendre ce volume même pour la valeur de l’espace $f\,;$ donc $f=\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\,;$ par conséquent,

${\begin{aligned}\delta f=&\operatorname {d} y\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} x\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} y+\operatorname {d} x\operatorname {d} y\delta \operatorname {d} z,\\=&\operatorname {d} y\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta x+\operatorname {d} x\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta z,\end{aligned}}$

en transposant les signes $\delta ,\operatorname {d} \,;$ donc

${\begin{aligned}\mathrm {S} ^{3}\mathrm {F} \delta f=&\mathrm {S} ^{3}(\mathrm {F} \operatorname {d} y\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta x+\mathrm {F} \operatorname {d} x\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta y+\mathrm {F} \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta z)\\=&\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left({\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta x+{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} \delta y+{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\operatorname {d} \delta z\right),\end{aligned}}$

formule qu’on peut mettre sous cette forme :

$\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} x{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta x+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} \delta y+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\operatorname {d} \delta z.$

Or $\mathrm {S} \operatorname {d} x{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta x$ se réduit, en intégrant par parties, à

$\mathrm {F} \delta x-\mathrm {S} \operatorname {d} x{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\delta x$

(j’écris $\operatorname {d} x{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}$ au lieu de $\operatorname {d} \mathrm {F} ,$ pour dénoter que cette différentielle doit être prise en ne variant que $x$), et à

$\mathrm {F} '\delta x'-{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} \operatorname {d} x{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\delta x$

en complétant l’intégrale, suivant la remarque que nous avons faite à la fin de l’Article I du Mémoire précédent ; on changera de même

$\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\delta y\quad {\text{en}}\quad \mathrm {F} '\delta y'-{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!y-\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\delta y,$

et

$\mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\delta z\quad {\text{en}}\quad \mathrm {F} '\delta z'-{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!z-\mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\delta z\,;$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {S^{2}F} \delta f=&\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left(\mathrm {F} '\delta x'-{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!x\right)+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\left(\mathrm {F} '\delta y'-{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!y\right)\\&+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y(\mathrm {F} '\delta z'-{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!z-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} x{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\delta x\\&-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\delta y-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\delta z\\=&\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta x'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta y'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {F} '\delta z'\\&-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!y-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!z\\&-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left({\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\delta z\right)\,;\end{aligned}}$

donc, substituant dans l’équation $(n),$ au lieu de $\mathrm {S^{2}F} \delta f,$ l’expression qu’on vient de trouver, on aura enfin

${\begin{aligned}\int &\left[\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta x'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta y'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {F} '\delta z'\right.\\&\left.-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!y-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!z\right]dt\\\end{aligned}}$

$-\int \mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left[\left(\mathrm {D} d{\frac {dx}{dt}}+\mathrm {D} \Pi dt+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}dt\right)\delta x\right.$

${\begin{aligned}&+\left(\mathrm {D} d{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {D} \varpi dt+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}dt\right)\delta y\\&+\left.\left(\mathrm {D} d{\frac {dz}{dt}}+\mathrm {D} \Psi dt+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}dt\right)\delta z\right]=0,\end{aligned}}$

équation réduite à l’état qu’exige notre méthode. Supposant donc les coefficients des différences $\delta x,\delta y,\delta z$ chacun égal à zéro, on aura

$(p)\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {D} (d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt)+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}dt=&0,\\\mathrm {D} (d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt)+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}dt=&0,\\\mathrm {D} (d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt)+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}dt=&0,\end{aligned}}\right.$

et le reste de l’équation donnera

$(q)\qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {S} ^{2}&\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta x'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta y'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {F} '\delta z'\\&-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!y-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!z=0.\end{aligned}}\right.$

XLIX.

Corollaire I. — Les trois équations $(p)$ renferment les lois générales du mouvement des fluides élastiques. Pour faire usage de ces équations on supposera, comme dans l’Article XLII,

${\frac {dx}{dt}}=\alpha ,\qquad {\frac {dy}{dt}}=\beta ,\qquad {\frac {dz}{dt}}=\gamma \,;$

on mettra au lieu de $d\alpha ,d\beta ,d\gamma$ leurs valeurs trouvées dans le même Article, et marquant, pour plus de simplicité, toutes les différences par $d,$ on trouvera, après avoir divisé par $\mathrm {D} dt$ les trois équations

$(r)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d\alpha }{dt}}+\alpha {\frac {d\alpha }{dx}}+\beta {\frac {d\alpha }{dy}}+\gamma {\frac {d\alpha }{dz}}+\Pi =&-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {F} }{dx}},\\{\frac {d\beta }{dt}}+\alpha {\frac {d\beta }{dx}}+\beta {\frac {d\beta }{dy}}+\gamma {\frac {d\beta }{dz}}+\varpi =&-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {F} }{dy}},\\{\frac {d\gamma }{dt}}+\alpha {\frac {d\gamma }{dx}}+\beta {\frac {d\gamma }{dy}}+\gamma {\frac {d\gamma }{dz}}+\Psi =&-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {F} }{dz}},\end{aligned}}\right.$

dans lesquelles il ne faudra plus que substituer, au lieu de $\mathrm {F}$ et de $\mathrm {D} ,$ leurs valeurs en $x,y,z,t.$

Voici comment on trouvera ces valeurs : $\mathrm {F}$ exprime la force du ressort de chaque particule du fluide, laquelle est ordinairement proportionnelle à la densité ; supposons donc, pour plus de généralité, que cette force soit comme une fonction quelconque donnée de la densité, en sorte que $d\mathrm {F=E} d\mathrm {D} \,;$ on aura

${\frac {d\mathrm {F} }{dx}}=\mathrm {E} {\frac {d\mathrm {D} }{dx}},\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{dy}}=\mathrm {E} {\frac {d\mathrm {D} }{dy}},\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{dz}}=\mathrm {E} {\frac {d\mathrm {D} }{dz}}.$

Ensuite, pour trouver $\mathrm {D} ,$ on observera que la masse $dm$ de chaque particule du fluide est $\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z,$ et que cette masse reste toujours la même quelque mouvement que le fluide reçoive ; donc sa différentielle, en faisant varier $t,$ doit être nulle, ce qui donne

${\frac {d(\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z)}{dt}}=0,$

savoir :

${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z+{\frac {d\operatorname {d} x}{dt}}\mathrm {D} \operatorname {d} y\operatorname {d} z+{\frac {d\operatorname {d} y}{dt}}\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} z+{\frac {d\operatorname {d} z}{dt}}\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} y=0,$

ou

$(s)\qquad \qquad \qquad {\frac {\cfrac {d\mathrm {D} }{dt}}{\mathrm {D} }}+{\frac {\cfrac {d\operatorname {d} x}{dt}}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\cfrac {d\operatorname {d} y}{dt}}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\cfrac {d\operatorname {d} z}{dt}}{\operatorname {d} z}}=0.$

Or

${\frac {d\operatorname {d} x}{dt}}=\operatorname {d} {\frac {dx}{dt}}=\operatorname {d} \alpha \,;$

donc

${\frac {\cfrac {d\operatorname {d} x}{dt}}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}}\,;$

on trouve de même

${\frac {\cfrac {d\operatorname {d} y}{dt}}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\cfrac {d\operatorname {d} z}{dt}}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}}\,;$

de plus, ${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}dt$ exprime la variation de $\mathrm {D}$ dans l’instant $dt\,;$ donc, si l’on suppose que $\mathrm {D}$ soit représenté par une fonction quelconque de $x,y,z,t,$ on trouvera que la valeur complète de ${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}dt$ sera

${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}dt+{\frac {d\mathrm {D} }{dx}}\alpha dt+{\frac {d\mathrm {D} }{dy}}\beta dt+{\frac {d\mathrm {D} }{dz}}\gamma dt\,;$

on mettra ces valeurs dans l’équation ci-dessus, et changeant les lettres $\operatorname {d}$ en $d$ et multipliant le tout par $\mathrm {D} ,$ on aura

${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}+\alpha {\frac {d\mathrm {D} }{dx}}+\beta {\frac {d\mathrm {D} }{dy}}+\gamma {\frac {d\mathrm {D} }{dz}}+\mathrm {D} \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}\right)=0,$

ou

${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}+{\frac {d(\mathrm {D} \alpha )}{dx}}+{\frac {d(\mathrm {D} \beta )}{dy}}+{\frac {d(\mathrm {D} \gamma )}{dz}}=0,$

équation par laquelle on connaîtra $\mathrm {D} ,$ et par conséquent $\mathrm {F} .$

L.

Corollaire II. — Soit, suivant l’hypothèse ordinaire, $\mathrm {F=D} ,$ par conséquent $\mathrm {E} =1,$ et qu’on mette les équations $(r)$ sous cette forme :

$\mathrm {L} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {F} }{dx}},\qquad \mathrm {M} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {F} }{dy}},\qquad \mathrm {N} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {F} }{dz}},$

on aura

$\mathrm {L} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {D} }{dx}},\qquad \mathrm {M} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {D} }{dy}},\qquad \mathrm {N} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {D} }{dz}}.$

Supposons encore

${\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}=\mathrm {U} ,$

on aura (Article précédent) l’équation

${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}+\alpha {\frac {d\mathrm {D} }{dx}}+\beta {\frac {d\mathrm {D} }{dy}}+\gamma {\frac {d\mathrm {D} }{dz}}+\mathrm {DU} =0\,;$

donc, chassant les quantités ${\frac {d\mathrm {D} }{dx}},{\frac {d\mathrm {D} }{dy}},{\frac {d\mathrm {D} }{dz}}$ par le moyen des équations précédentes, divisant par $\mathrm {D} ,$ et transposant, on aura

${\frac {\cfrac {d\mathrm {D} }{dt}}{\mathrm {D} }}={\frac {d\log \mathrm {D} }{dt}}=\alpha \mathrm {L} +b\mathrm {M} +\gamma \mathrm {N} -\mathrm {U} ,$

ou, pour abréger,

${\frac {d\log \mathrm {D} }{dt}}=\mathrm {T} .$

Or les équations ci-dessus se réduisent à

$\mathrm {L} =-{\frac {d\log \mathrm {D} }{dx}},\qquad \mathrm {M} =-{\frac {d\log \mathrm {D} }{dy}},\qquad \mathrm {N} =-{\frac {d\log \mathrm {D} }{dz}},$

donc, comparant ces équations avec celle qu’on vient de trouver, on aura

${\frac {d\mathrm {L} }{dt}}=-{\frac {d\mathrm {T} }{dx}},\qquad {\frac {d\mathrm {M} }{dt}}=-{\frac {d\mathrm {T} }{dy}},\qquad {\frac {d\mathrm {N} }{dt}}=-{\frac {d\mathrm {T} }{dz}},$

équations où la lettre $\mathrm {D}$ ne se trouve plus. On trouvera encore, en combinant ensemble les équations ci-devant,

${\frac {d\mathrm {L} }{dy}}={\frac {d\mathrm {M} }{dx}},\qquad {\frac {d\mathrm {L} }{dz}}={\frac {d\mathrm {N} }{dx}},$

deux équations qui reviennent au même que les équations $(k)$ de l’Article XLII. On aura donc cinq équations toutes délivrées de la lettre $\mathrm {D} ,$ dont trois prises à volonté suffiront pour résoudre le Problème.

Si l’on suppose que le mouvement du fluide soit parvenu à un état permanent, alors on aura ${\frac {d\mathrm {D} }{dt}}=0,$ et par conséquent $\mathrm {T} =0.$

LI.

Corollaire III — On peut encore représenter le mouvement du fluide par les variables $\mathrm {X,Y,Z} ,t,$ comme dans l’Article XLIV. Pour cela on cherchera d’abord la valeur de $\mathrm {D}$ au moyen de l’équation $(s),$ laquelle, en introduisant les lettres $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ devient celle-ci :

${\frac {\cfrac {d\mathrm {D} }{dt}}{\mathrm {D} }}+{\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}}=0.$

Or, par les formules de l’Article cité, on trouve

${\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}}={\frac {\cfrac {d\mathrm {K} }{dt}}{\mathrm {K} }}\,;$

par conséquent,

${\frac {\cfrac {d\mathrm {D} }{dt}}{\mathrm {D} }}+{\frac {\cfrac {d\mathrm {K} }{dt}}{\mathrm {K} }}=0,$

d’où l’on tire

$\log \mathrm {D} +\log \mathrm {K} =\mathrm {const} .,$

savoir :

$\mathrm {DK} =h\quad {\text{et}}\quad \mathrm {D} ={\frac {h}{\mathrm {K} }}.$

Pour déterminer la constante $h,$ on remarquera qu’au commencement du mouvement

$dx=d\mathrm {X} ,\qquad dy=d\mathrm {Y} ,\qquad dz=d\mathrm {Z} \,;$

donc

$\mathrm {L=1,\ M=0,\ N=0,\ P=0,\ Q=1,\ R=0,\ S=0,\ T=0,\ U=1} ,$

ce qui donne $K=1$ ; d’où il s’ensuit que $h$ doit être égale à la densité $\mathrm {D}$ que le fluide a au premier instant de son mouvement.

Ayant trouvé l’expression de $\mathrm {D} ,$ il n’y aura plus qu’à la substituer dans les équations $(p)\,;$ or, $\mathrm {D}$ étant une fonction de $\mathrm {X,Y,Z} ,t,$ sa différentielle, en prenant $t$ constant, sera représentée par

$\mathrm {E} d\mathrm {X+Y} d\mathrm {Y+G} d\mathrm {Z} \,;$

ainsi, pour avoir les valeurs de ${\frac {d\mathrm {D} }{dx}},{\frac {d\mathrm {D} }{dy}},{\frac {d\mathrm {D} }{dz}},$ il faudra encore substituer au lieu de $d\mathrm {X} ,d\mathrm {Y} ,d\mathrm {Z}$ leurs expressions en $\operatorname {d} x,\operatorname {d} y,\operatorname {d} z$ trouvées dans l’Article XLIV ce qui, en supposant

${\begin{aligned}&\mathrm {E(QU-RT)\,+F(RS-PU)+G(PT-QS)\ =A} ,\\&\mathrm {E(NT-MU)+F(LU-NS)+G(MS-LT)\ =B} ,\\&\mathrm {E(MR-NQ)+F(NP-LR)+G(LQ-MP)=C} ,\end{aligned}}$

donnera

$d\mathrm {D} ={\frac {\mathrm {A} \operatorname {d} x+\mathrm {B} \operatorname {d} y+\mathrm {C} \operatorname {d} z}{\mathrm {K} }},$

d’où l’on tire

${\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}=\mathrm {\frac {A}{K}} ,\qquad {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} y}}=\mathrm {\frac {B}{K}} ,\qquad {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} z}}=\mathrm {\frac {C}{K}} ,$

et par conséquent, suivant l’hypothèse de l’Article XLIX,

${\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}=\mathrm {\frac {EA}{K}} ,\qquad {\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}=\mathrm {\frac {EB}{K}} ,\qquad {\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}=\mathrm {\frac {EC}{K}} .$

On substituera donc ces-valeurs dans les équations $(p),$ et l’on aura, en divisant par $\mathrm {D}$ qui est égal à ${\frac {h}{\mathrm {K} }},$

${\begin{aligned}d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt+{\frac {\mathrm {EA} }{b}}dt=&0,\\d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt+{\frac {\mathrm {EB} }{b}}dt=&0,\\d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt+{\frac {\mathrm {EC} }{b}}dt=&0.\end{aligned}}$

Si l’on suppose dans ces équations

$\Pi =0,\qquad \varpi =0,\qquad \Psi =0,{\frac {\mathrm {E} }{b}}=2g,$

elles reviennent au même que celles que M. Euler a trouvées par une voie différente (Recherches sur la propagation des ébranlements dans un milieu élastique, Miscellanea Taurinensia, t. II, p. 6).

LII.

Scolie. — À l’égard de l’équation $(q)$ qui reste encore à examiner, on prouvera, par un raisonnement semblable à celui de l’Article XLVI que si le fluide appuie contre des parois fixes, les trois termes

$\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!x+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!y+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!z$

sont toujours égaux à zéro aussi bien que les trois autres

$\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta x'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta y'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {F} '\delta z'.$

Mais si l’on suppose le fluide libre de toutes parts, ou seulement de quelque côté, alors la quantité $\mathrm {F}$ devra être nulle à la surface extérieure du

fluide dans les endroits où il est libre ; on aura donc, pour cette surface, l’équation $\operatorname {d} \mathrm {F} =0,$ savoir :

${\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} y+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\operatorname {d} z=0,$

ou, en mettant au lieu de ${\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}},{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}},{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}$ leurs valeurs tirées des équations $(p),$

$\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\operatorname {d} x+\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\operatorname {d} y+\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\operatorname {d} z=0.$

précisément comme on a trouvé dans l’Article cité, pour les fluides non élastiques.

1. On a rétabli, dans ces formules, les masses $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} ''$ qui sont omises dans le texte primitif.$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur.)
2. Dans cet Article et dans le suivant. Lagrange ne tient pas compte des masses ; il en résulte que les formules obtenues se rapportent au seul cas où les masses $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} ''$ sont égales entre elles. $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur.)
3. Voyez l’Appendice qui est à la fin de l’Essai sur la résistance, des Fluides cité ci-dessus, et la troisième Partie des Recherches sur le système du Monde, p. 226 et suiv.