Mécanique analytique/Partie 2/Section 4

Joseph-Louis Lagrange

Mécanique analytique

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome XI, p. 325-344).

SECTION QUATRIÈME.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES POUR LA SOLUTION DE TOUS LES PROBLÈMES
DE DYNAMIQUE.

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1. La formule à laquelle nous avons réduit, dans la deuxième Section, toute la théorie de la Dynamique n’a besoin que d’être développée pour donner toutes les équations nécessaires à la solution de quelque problème de cette science que ce soit ; mais ce développement, qui n’est qu’une affaire de pur calcul, peut encore être simplifié à plusieurs égards par les moyens que nous allons employer dans cette Section.

Comme tout consiste à réduire les différentes variables qui entrent dans la formule dont il s’agit au plus petit nombre possible, par le moyen des équations de condition données par la nature de chaque problème, une des principales opérations est de substituer à la place de ces variables des fonctions d’autres variables. Cet objet est toujours facile à remplir par les méthodes ordinaires ; mais il y a une manière particulière d’y satisfaire relativement à la formule proposée, qui a l’avantage de conduire toujours directement à la transformée la plus simple.

2. Cette formule est composée de deux parties différentes qu’il faut considérer séparément.

La première contient les termes

_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\delta z\right),$

qui proviennent uniquement des forces résultantes de l’inertie des corps.

La seconde est composée des termes

_S$\mathrm {m} (\mathrm {P} \,\delta p+\mathrm {Q} \,\delta q+\mathrm {R} \,\delta r+\ldots ),$

dus aux forces accélératrices $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ qu’on suppose agir effectivement sur chaque corps suivant les lignes $p,\,q,\,r,\ldots$ et qui tendent à diminuer ces lignes. La somme de ces deux quantités, étant égalée à zéro, constitue la formule générale de la Dynamique (sect. II, art. 5).

3. Considérons d’abord la quantité

$d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z\,;$

il est clair que, si l’on y ajoute celle-ci

$dx\,d\,\delta x+dy\,d\,\delta y+dz\,d\,\delta z,$

la somme sera intégrable et aura pour intégrale

$dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z.$

D’où il suit que l’on a

${\begin{aligned}d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z=&d(dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z)\\&-dx\,d\,\delta x-dy\,d\,\delta y-dz\,d\,\delta z.\end{aligned}}$

Or, le double signe $d\delta$ étant équivalent à $\delta d$ par les principes connus, la quantité $dx\,d\,\delta x+dy\,d\,\delta y+dz\,d\,\delta z$ peut se réduire à la forme

$dx\,\delta \,dx+dy\,\delta \,dy+dz\,\delta \,dz,$

c’est-à-dire à

${\frac {1}{2}}\delta \left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right).$

Ainsi l’on aura cette réduction

$d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z=d(dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z)-{\frac {1}{2}}\delta \left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right),$

par laquelle on voit que, pour calculer la quantité proposée

$d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z,$

il suffit de calculer ces deux-ci, qui ne contiennent que des différences premières,

$dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z,\qquad dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

et de différentier ensuite l’une par rapport à $d$ et l’autre par rapport à $\delta .$

4. Supposons donc qu’il s’agisse de substituer à la place des variables $x,\,y,\,z$ des fonctions données d’autres variables $\xi ,\psi ,\varphi ,\ldots \,:$ différentiant ces fonctions, on aura des expressions de la forme

${\begin{aligned}dx=&\mathrm {A} \ \ d\xi +\mathrm {B} \ \ d\psi +\mathrm {C} \ \ d\varphi +\ldots ,\\dy=&\mathrm {A} '\ d\xi +\mathrm {B} '\,d\psi +\mathrm {C} '\ d\varphi +\ldots ,\\dz=&\mathrm {A} ''d\xi +\mathrm {B} ''d\psi +\mathrm {C} ''d\varphi +\ldots ,\end{aligned}}$

dans lesquelles $\mathrm {A,\,A',\,A'',\,B,\,B'} ,\ldots$ seront des fonctions connues des mêmes variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots \,;$ et les valeurs de $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ seront exprimées aussi de la même manière, en changeant seulement $d$ en $\delta .$

Faisant ces substitutions dans la quantité $dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z,$ elle deviendra de cette forme

$\mathrm {F} \,d\xi \,\delta \xi +\mathrm {G} (d\xi \,\delta \psi +d\psi \,\delta \xi )+\mathrm {H} d\psi \,\delta \psi +\mathrm {I} (d\xi \,\delta \varphi +d\varphi \,\delta \xi )+\ldots ,$

où $\mathrm {F,\,G,\,H,\,I} ,\ldots$ seront des fonctions finies de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots .$

Donc, changeant $\delta$ en $d,$ on aura aussi la valeur de

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

laquelle sera

$\mathrm {F} \,d\xi ^{2}+2\mathrm {G} \,d\xi \,d\psi +\mathrm {H} d\psi ^{2}+2\mathrm {I} \,d\xi \,d\varphi +\ldots .$

Qu’on différentie par $d$ la première de ces deux quantités, on aura la différentielle

${\begin{aligned}d&(\mathrm {F} \,d\xi )\delta \xi +\mathrm {F} \,d\xi \,d\,\delta \xi \\&+d(\mathrm {G} \,d\xi \,)\delta \psi +d(\mathrm {G} \,d\psi )\delta \xi +\mathrm {G} \,d\xi \,d\,\delta \psi +\mathrm {G} \,d\psi \,\delta \xi \\&+d(\mathrm {H} \,d\psi )\delta \psi +\mathrm {H} \,d\psi \,d\,\delta \psi +\ldots \,;\end{aligned}}$

différentiant ensuite la seconde par $\delta ,$ on aura celle-ci :

${\begin{aligned}\delta \mathrm {F} &\,d\xi ^{2}+2\mathrm {F} \,d\xi \,\delta \,d\xi \\&+2\delta \mathrm {G} \,d\xi \,d\psi +2\mathrm {G} \,d\psi \,\delta \,d\xi +2\mathrm {G} \,d\xi \,\delta \,d\psi \\&+\delta \mathrm {H} \,d\psi ^{2}+2\mathrm {H} \,d\psi \,\delta \,d\psi +\ldots .\end{aligned}}$

Si donc l’on retranche la moitié de cette dernière différentielle de la première, et qu’on observe que $d\delta$ et $\delta d$ sont la même chose, on aura

${\begin{aligned}d&(\mathrm {F} \,d\xi )\delta \xi -{\frac {1}{2}}\delta \mathrm {F} \,d\xi ^{2}\\&+d(\mathrm {G} \,d\xi )\delta \psi +d(\mathrm {G} \,d\psi )-\delta \mathrm {G} \,d\xi \,d\psi \\&+d(\mathrm {H} \,d\psi )\delta \psi -{\frac {1}{2}}\delta \mathrm {H} \,d\psi ^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

pour la valeur transformée de la quantité

$d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z.$

Or il est visible que cette valeur peut se déduire immédiatement de la dernière différentielle, en divisant tous les termes par $2,$ en changeant les signes de ceux qui ne contiennent point la double caractéristique $\delta d,$ et en effaçant dans les autres le $d$ après le $\delta ,$ pour l’appliquer aux quantités qui multiplient les doubles différences affectées de $\delta d.$ Ainsi le terme $\delta \mathrm {F} \,d\xi ^{2}$ donne $-{\frac {1}{2}}\delta \mathrm {F} \,d\xi ^{2},$ le terme $2\mathrm {F} \,d\xi \,\delta \,d\xi$ donnera $d(\mathrm {F} \,d\xi )\delta \xi ,$ le terme $2\delta \mathrm {G} \,d\xi \,d\psi$ donnera $-\delta \mathrm {G} \,d\xi \,d\psi ,$ le terme $2\mathrm {G} \,d\psi \,\delta \,d\xi$ donnera $d(\mathrm {G} \,d\psi )\delta \xi ,$ et ainsi des autres.

5. D’où il s’énsuit que, si l’on désigne par $\Phi$ la fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ et de $d\xi ,\,d\psi ,\,d\varphi ,\ldots$ dans laquelle se transforme la quantité

${\frac {1}{2}}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)$

par la substitution des valeurs de $x,\,y,\,z$ en $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots ,$ on aura, en général, cette transformée

${\begin{aligned}d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z=&+\left(-{\frac {\delta \Phi }{\delta \xi }}+d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\xi }}\right)\delta \xi \\&+\left(-{\frac {\delta \Phi }{\delta \psi }}+d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\psi }}\right)\delta \psi +\left(-{\frac {\delta \Phi }{\delta \varphi }}+d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\varphi }}\right)\delta \varphi +\ldots ,\end{aligned}}$

en dénotant, suivant l’usage, par ${\frac {\delta \Phi }{\delta \xi }}$ le coefficient de $\delta \xi$ dans la différence $\delta \Phi ,$ par ${\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\xi }}$ le coefficient de $\delta \,d\xi$ dans la même différence, et ainsi des autres.

6. Ce qu’on vient de trouver d’une manière particulière aurait pu l’être plus simplement et plus généralement par les principes de la méthode des variations.

Soit, en effet, $\Phi$ une fonction quelconque de $x,\,y,\,z,\ldots ,$ $dx,\,dy,\,dz,\ldots ,$ $d^{2}x,\,d^{2}y,\,d^{2}z,\ldots ,$ laquelle devienne une fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ $d\xi ,\,d\psi ,\,d\varphi ,\ldots ,$ $d^{2}\xi ,\,d^{2}\psi ,\,d^{2}\varphi ,\ldots ,$ par la substitution des valeurs de $x,\,y,\,z,\ldots$ exprimées en $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots \,;$ en différentiant par rapport à $\delta ,$ on aura cette équation identique

${\begin{aligned}\delta \Phi =&+{\frac {\delta \Phi }{\delta x}}\delta x+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,dx}}\delta \,dx+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}x}}\delta \,d^{2}x+\ldots \\&+{\frac {\delta \Phi }{\delta y}}\delta y\,+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,dy}}\delta \,dy\,+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}y}}\delta \,d^{2}y+\ldots \\&+{\frac {\delta \Phi }{\delta z}}\delta z\ +{\frac {\delta \Phi }{\delta \,dz}}\delta \,dz\ +{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}z}}\delta \,d^{2}z+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\=&+{\frac {\delta \Phi }{\delta \xi }}\delta \xi +{\frac {\delta \Phi }{\delta \psi }}\delta \psi +{\frac {\delta \Phi }{\delta \varphi }}\delta \varphi +\ldots \\&+\ {\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\xi }}\ \;\delta \,d\xi +\ {\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\psi }}\;\delta \,d\psi \ \ +\;{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\varphi }}\;\delta \,d\varphi \;+\ldots \\&+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\xi }}\delta \,d^{2}\xi +{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\psi }}\delta \,d^{2}\psi +{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\varphi }}\delta \,d^{2}\varphi +\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Qu’on y change les doubles signess $\delta d,\,\delta d^{2},\ldots$ en leurs équivalents $d\delta ,d^{2}\delta ,\ldots \,;$ qu’ensuite on intègre par rapport à $d$ et qu’on fasse disparaître, par des intégrations par parties, tous les doubles signes $d\delta ,d^{2}\delta ,\ldots$ sous le signe intégral $\int$ qui se rapporte au signe différentiel $d\,;$ on aura une équation de cette forme

${\begin{aligned}&\int \left(\mathrm {A} \,\delta x+\mathrm {B} \ \ \delta y+\mathrm {C} \;\delta z\,+\ldots \right)+\mathrm {Z} \\=&\int \left(\mathrm {A} '\delta \xi +\mathrm {B} '\delta \psi +\mathrm {C} '\delta \varphi +\ldots \right)+\mathrm {Z} ',\end{aligned}}$

dans laquelle

${\begin{aligned}\mathrm {A} \ &={\frac {\delta \Phi }{\delta x}}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,dx}}+d^{2}{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}x}}-\ldots ,\\\mathrm {B} \ &={\frac {\delta \Phi }{\delta y}}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,dy}}+d^{2}{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}y}}-\ldots ,\\\mathrm {C} \ &={\frac {\delta \Phi }{\delta z}}\,-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,dz}}+d^{2}{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}z}}-\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\mathrm {A} '&={\frac {\delta \Phi }{\delta \xi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\xi }}\,+d^{2}{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\xi }}-\ldots ,\\\mathrm {B} '&={\frac {\delta \Phi }{\delta \psi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\psi }}+d^{2}{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\psi }}-\ldots ,\\\mathrm {C} '&={\frac {\delta \Phi }{\delta \varphi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\varphi }}+d^{2}{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\varphi }}-\ldots ,\\\ldots &..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {Z} \ =&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \,dx}}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}x}}+\ldots \right)\delta x+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}x}}d\,\delta x+\ldots \\&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \,dy}}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}y}}\,+\ldots \right)\delta y+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}y}}d\,\delta y+\ldots \\&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \,dz}}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}z}}\,+\ldots \right)\delta z+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}z}}d\,\delta z+\ldots \\&.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\mathrm {Z} '=&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\xi }}\,-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\xi }}\,+\ldots \right)\delta \xi \,+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\xi }}d\,\delta \xi +\ldots \\&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\psi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\psi }}+\ldots \right)\delta \psi +{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\psi }}d\,\delta \psi +\ldots \\&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\varphi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\varphi }}+\ldots \right)\delta \varphi +{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\varphi }}d\,\delta \varphi +\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

Donc, redifférentiant et transposant, on aura l’équation

$\mathrm {A} \,\delta x+\mathrm {B} \,\delta y+\mathrm {C} \,\delta z+\ldots -\mathrm {A} '\delta \xi -\mathrm {B} '\delta \psi -\mathrm {C} '\delta \varphi -\ldots =d\mathrm {Z} '-d\mathrm {Z} ,$

laquelle doit être identique et avoir lieu quelles que soient les variations ou différences marquées par la lettre $\delta .$

Ainsi, puisque le second membre de cette équation est une différentielle exacte par rapport à la caractéristique $d,$ il faudra que le premier membre en soit une aussi par rapport à la même caractéristique, et indépendamment de la caractéristique $\delta \,;$ or c’est ce qui ne se peut, parce que les termes de ce premier membre contiennent simplement les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,\ldots ,$ $\delta \xi ,\,\delta \psi ,\,\delta \varphi ,\ldots ,$ et nullement les différentielles de ces variations.

D’où il suit que, pour que l’équation puisse subsister, il faudra nécessairement que les deux membres soient nuls chacun en particulier ce qui donnera ces deux équations identiques

$\mathrm {A} \,\delta x+\mathrm {B} \,\delta y+\mathrm {C} \,\delta z+\ldots =\mathrm {A} '\delta \xi +\mathrm {B} '\delta \psi +\mathrm {C} '\delta \varphi +\ldots ,$

$d\mathrm {Z} =d\mathrm {Z} ',$

lesquelles peuvent être utiles dans différentes occasions.

Soit, par exemple,

$\Phi ={\frac {1}{2}}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right),$

on aura

${\frac {\delta \Phi }{\delta x}}=0,\qquad {\frac {\delta \Phi }{\delta \,dx}}=dx,\qquad {\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}x}}=0,\qquad \ldots ,$

et ainsi des autres quantités semblables ; donc

$\mathrm {A} =-d^{2}x,\qquad \mathrm {B} =-d^{2}y,\qquad \mathrm {C} =-d^{2}z\,;$

ensuite, comme $\Phi$ ne contient que des différences du premier ordre, on aura simplement

${\begin{aligned}\mathrm {A} '&={\frac {\delta \Phi }{\delta \xi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\xi }},\\\mathrm {B} '&={\frac {\delta \Phi }{\delta \psi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\psi }},\\\mathrm {C} '&={\frac {\delta \Phi }{\delta \varphi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\varphi }},\\\ldots &..\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc on aura l’équation identique

${\begin{aligned}-d^{2}x\,\delta x-d^{2}y\,\delta y-d^{2}z\,\delta z=&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \xi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\xi }}\right)\delta \xi \\&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \psi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\psi }}\right)\delta \psi +\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \varphi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\varphi }}\right)\delta \varphi +\ldots ,\end{aligned}}$

qui s’accorde avec celle de l’article 5.

7. Il résulte de là que, pour avoir la valeur de la quantité

_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\delta z\right)$

en fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ il suffira de chercher la valeur de la quantité

${\frac {1}{2}}$_S$\mathrm {m} \left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)$

en fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ et de leurs différentielles ; car, nommant $\mathrm {T}$ cette fonction, on aura sur-le-champ la transformée

$\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}\right)\delta \xi +\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}\right)\delta \psi +\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\varphi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}\right)\delta \varphi +\ldots .$

Et cette transformation aura lieu également quand même, parmi les nouvelles variables, il se trouverait le temps $t,$ pourvu qu’on le regarde comme constant, c’est-à-dire qu’on fasse $\delta t=0.$

De plus, il est facile de voir qu’une pareille transformation aura lieu aussi dans le cas où les variations $\delta \xi ,\,\delta \psi ,\,\delta \varphi ,\ldots$ ne seraient pas des différentielles exactes, pourvu qu’elles représentent des quantités indéterminées et que la variation $\delta \mathrm {T}$ soit de la forme

$\delta \mathrm {T} ={\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}\delta \xi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{d\,\delta \xi }}d\,\delta \xi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}\delta \psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{d\,\delta \psi }}d\,\delta \psi +\ldots ,$

quelles que soient d’ailleurs les coefficients ${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }},\ {\frac {\delta \mathrm {T} }{d\,\delta \xi }},\ {\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }},\ldots .$

8. Au reste, il est bon de remarquer que, si l’expression de $\mathrm {T}$ renferme un terme $d\mathrm {A} ,$ qui soit la différentielle complète d’une fonction $\mathrm {A}$ dans laquelle une des variables, comme $\xi ,$ n’entre que sous la forme finie, ce terme ne donnera rien dans la transformée précédente, relativement à cette variable. Car, faisant

$\mathrm {T} =d\mathrm {A} ={\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \xi }}d\xi +{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \psi }}d\psi +\ldots ,$

on a

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}={\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \xi }},$

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}={\frac {\delta {\dfrac {\partial \mathrm {A} }{\partial \xi }}}{\delta \xi }}d\xi +{\frac {\delta {\dfrac {\partial \mathrm {A} }{\partial \psi }}}{\delta \xi }}d\psi +\ldots ={\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} }{\partial \xi ^{2}}}d\xi +{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} }{\partial \xi \partial \psi }}d\psi +\ldots =d{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \xi }}.$

Donc $d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }},$ coefficients de $\delta \xi ,$ deviendra

$d{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \xi }}-d{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \xi }}=0.$

Il s’ensuit de là que, si l’expression de $\mathrm {T}$ contenait un terme de la forme $\mathrm {B} d\mathrm {A} ,$ $\mathrm {A}$ étant fonction de $\xi ,\,\psi ,\ldots ,$ sans $d\xi ,$ et $\mathrm {B}$ une fonction quelconque sans $\xi ,$ ce terme donnerait simplement, relativement à la variation de $\xi ,$ le terme ${\frac {\delta \mathrm {A} }{\delta \xi }}d\mathrm {B} .$

Car, donnant au terme $\mathrm {B} d\mathrm {A}$ la forme $d(\mathrm {BA} )-\mathrm {A} d\mathrm {B} ,$ on voit d’abord que le terme $d(\mathrm {BA} )$ ne donnerait rien relativement à la variation de $\xi ,$ puisque $\mathrm {AB}$ contient $\xi$ sans $d\xi \,;$ ensuite, comme $d\mathrm {B}$ ne contient point $\xi$ ni $d\xi \,;$ et que $\mathrm {A}$ contient $\xi$ sans $d\xi ,$ on voit qu’en faisant $\mathrm {T} =-\mathrm {A} d\mathrm {B} ,$ on aura

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}=-{\frac {\delta \mathrm {A} }{\delta \xi }}d\mathrm {B} \,;$

de sorte que le coefficient de $\delta \xi$ se réduira à ${\frac {\delta \mathrm {A} }{\delta \xi }}d\mathrm {B} .$

9. À l’égard de la quantité $\mathrm {P} \,\delta p+\mathrm {Q} \,\delta q+\mathrm {R} \,\delta r+\ldots ,$ elle est toujours facile à réduire en fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ puisqu’il ne s’agit que d’y réduire séparément les expressions des distances $p,\,q,\,r,\ldots$ et des forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots .$ Mais cette opération devient encore plus facile, lorsque les forces sont telles que la somme des moments, c’est-à-dire la quantité

$\mathrm {P} \,\delta p+\mathrm {Q} \,\delta q+\mathrm {R} \,\delta r+\ldots ,$

est intégrable, ce qui, comme nous l’avons déjà observé, est proprement le cas de la nature.

Car supposant, comme dans l’article 34 de la Section III,

$d\Pi =\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots ,$

on aura $\Pi$ exprimé par une fonction finie de $p,\,q,\,r,\ldots \,;$ par conséquent, on aura aussi

$\delta \Pi =\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots .$

Multipliant par $\mathrm {m}$ et prenant la somme pour tous les corps du système, on aura

_S$\mathrm {m} (\mathrm {P} \,\delta p+\mathrm {Q} \,\delta q+\mathrm {R} \,\delta r+\ldots )=$_S$\mathrm {m} \,\delta \Pi =\delta$_S$\mathrm {m} \Pi ,$

puisque le signe _S est indépendant du signe $\delta .$

Il n’y aura ainsi qu’à chercher la valeur de la quantité _S$\mathrm {m} \Pi$ en fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots \,;$ ce qui ne demande que la substitution des valeurs de $x,\,y,\,z,\ldots$ en $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ dans les expressions de $p,\,q,\,\ldots$ (I^re Partie, sect. II, art. 1) ; et cette valeur de _S$\mathrm {m} \Pi$ étant nommée $\mathrm {V} ,$ on aura immédiatement

$\delta \mathrm {V} =\mathrm {{\frac {\partial V}{\partial \xi }}\delta \xi +{\frac {\partial V}{\partial \psi }}\delta \psi +{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}\delta \varphi +\ldots .}$

10. De cette manière, la formule générale de la Dynamique (art. 2) sera transformée en celle-ci

$\Xi \,\delta \xi +\Psi \,\delta \psi +\Phi \,\delta \varphi +\ldots =0,$

dans laquelle on aura

${\begin{aligned}\Xi &=d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }},\\\Psi &=d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }},\\\Phi &=d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\varphi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

en supposant

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}$_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right),\qquad \mathrm {V} =$_S$\mathrm {m} \Pi$

et

$d\Pi =\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots .$

Si les corps $\mathrm {m}$ et $\mathrm {m} '$ du système, regardés comme des points dont la distance mutuelle est $p,$ s’attiraient avec une force accélératrice représentée par $\mathrm {P}$ fonction de $p,$ il est facile de voir que le moment de cette force serait exprimé par $\mathrm {mm} '\mathrm {P} dp,$ et il faudrait ajouter à la valeur de $\mathrm {V}$ la quantité $\mathrm {mm} '\int \mathrm {P} dp\,;$ et ainsi s’il y avait dans le système d’autres forces d’attraction mutuelle.

En général, si le système renfermait des forces quelconques $\mathrm {F,\,G} ,\ldots ,$ tendantes à diminuer la valeur des quantités $f,\,g,\ldots ,$ on aurait $\mathrm {F} \delta f,\,\mathrm {G} \delta g,\ldots ,$ pour les moments de ces forces (I^re Partie, sect. II, art. 9) ; et en regardant $\mathrm {F}$ comme fonction de $f,$ $\mathrm {G}$ comme fonction de $g,$ etc., il faudrait ajouter à la valeur de $\mathrm {V}$ autant de termes de la forme $\int \mathrm {F} df,\,\int \mathrm {G} dg,\ldots$ qu’il y aurait de pareilles forces.

Or, si dans le choix des nouvelles variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ on a eu égard aux équations de condition données par la nature du système proposé, en sorte que ces variables soient maintenant tout à fait indépendantes les unes des autres, et que, par conséquent, leurs variations $\delta \xi ,\,\delta \psi ,\,\delta \varphi ,\ldots$ demeurent absolument indéterminées, on aura sur-le-champ les équations particulières

$\Xi =0,\qquad \Psi =0,\qquad \Phi =0,\qquad \ldots ,$

lesquelles serviront à déterminer le mouvement du système, puisque ces équations sont en même nombre que les variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ d’où dépend la position du système à chaque instant.

11. Mais, quoiqu’on puisse toujours ramener la question à cet état, puisqu’il ne s’agit que d’éliminer, par les’équations de condition, autant de variables qu’elles permettent de le faire, et de prendre ensuite pour $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ les variables restantes, il peut néanmoins y avoir des cas où cette voie soit trop pénible et où il soit à propos, pour ne pas trop compliquer le calcul, de conserver un plus grand nombre de variables. Alors les équations de condition auxquelles on n’aura pas encore satisfait devront être employées à éliminer, dans la formule générale, quelques-unes des variations $\delta \xi ,\,\delta \psi ,\ldots \,;$ mais, au lieu de l’élimination actuelle, on pourra aussi faire usage de la méthode des multiplicateurs, exposée dans la I^re Partie (sect. IV).

Soient

$\mathrm {L} =0,\qquad \mathrm {M} =0,\qquad \mathrm {N} =0,\quad \ldots$

les équations dont il s’agit, réduites en fonctions de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ en sorte que $\mathrm {L,\,M,\,N} ,\ldots$ soient des fonctions données de ces variables. On ajoutera au premier membre de la formule générale (article précédent) la quantité

$\lambda \,\delta \mathrm {L} +\mu \,\delta \mathrm {M} +\nu \,\delta \mathrm {N} +\ldots ,$

dans laquelle $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\ldots$ sont des coefficients indéterminés ; et l’on pourra regarder alors les variations $\delta \xi ,\,\delta \psi ,\,\delta \varphi ,\ldots$ comme indépendantes et arbitraires.

On aura ainsi l’équation générale

$\Xi \delta \xi +\Psi \delta \psi +\Phi \delta \varphi +\ldots +\lambda \,\delta \mathrm {L} +\mu \,\delta \mathrm {M} +\nu \,\delta \mathrm {N} +\ldots =0,$

laquelle, devant être vérifiée indépendamment des variations $\delta \xi ,\,\delta \psi ,\,\delta \varphi ,\ldots ,$ donnera ces équations particulières pour le mouvement du système

${\begin{aligned}&\Xi +\lambda \mathrm {{\frac {\delta L}{\delta \xi }}+\mu {\frac {\delta M}{\delta \xi }}+\nu {\frac {\delta N}{\delta \xi }}} +\ldots =0,\\&\Psi +\lambda \mathrm {{\frac {\delta L}{\delta \psi }}+\mu {\frac {\delta M}{\delta \psi }}+\nu {\frac {\delta N}{\delta \psi }}} +\ldots =0,\\&\Phi \,+\lambda \mathrm {{\frac {\delta L}{\delta \varphi }}+\mu {\frac {\delta M}{\delta \varphi }}+\nu {\frac {\delta N}{\delta \varphi }}} +\ldots =0,\\&.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où il faudra ensuite éliminer les inconnues $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\ldots ,$ ce qui diminuera d’autant le nombre des équations ; mais, en y ajoutant les équations de condition qui doivent nécessairement avoir lieu, on aura toujours autant d’équations que de variables.

12. Comme ces équations peuvent avoir différentes formes plus ou moins simples, et surtout plus ou moins propres pour l’intégration, il n’est pas indifférent sous quelle forme elles se présentent d’abord ; et c’est peut-être un des principaux avantages de notre méthode, de fournir toujours les équations de chaque problème, sous la forme la plus simple relativement aux variables qu’on y emploie, et de mettre en état de juger d’avance quelles sont les variables dont l’emploi peut en faciliter le plus l’intégration. Voici, pour cet objet, quelques principes généraux, dont on verra ensuite l’application dans la solution de différents problèmes.

Il est clair, par les formules que nous venons de donner, que les termes différentiels des équations pour le mouvement d’un système quelconque de corps viennent uniquement de la quantité $\mathrm {T}$ qui exprime la somme de toutes les quantités ${\frac {1}{2}}\mathrm {m} \left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)$ relativement aux différents corps ; chaque variable finie, comme $\xi ,$ qui entrera dans l’expression de $\mathrm {T}$ donnant le terme $-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }},$ et chaque variable différentielle, comme $d\xi ,$ donnant le terme $d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}.$ D’où l’on voit d’abord que les termes dont il s’agit ne pourront contenir d’autres fonctions des variables que celles qui se trouveront dans l’expression même de $\mathrm {T} \,;$ par conséquent, si, en employant des sinus et cosinus d’angles, ce qui se présente naturellement dans la solution de plusieurs problèmes, il arrive que les sinus et cosinus disparaissent de la fonction $\mathrm {T} ,$ elle ne contiendra alors que les différentielles de ces angles, et les termes en question ne contiendront aussi que ces mêmes différentielles. Ainsi il y aura toujours à gagner, pour la simplicité des équations du problème, à employer ces sortes de substitutions.

Par exemple, si, à la place des deux coordonnées $x,\,y,$ on emploie le rayon vecteur $r,$ mené du centre des mêmes coordonnées et faisant avec l’axe des $x$ l’angle $\varphi ,$ on aura

$x=r\cos \varphi ,\qquad y=r\sin \varphi$

et, différentiant,

$dx=\cos \varphi \,dr-r\sin \varphi ,d\varphi ,\qquad dy=\sin \varphi \,dr+r\cos \varphi \,d\varphi \,;$

donc

$dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2},$

expression fort simple, qui ne contient ni sinus ni cosinus de $\varphi ,$ mais seulement sa différentielle $d\varphi .$ De cette manière, la quantité $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ se trouvera changée en $r^{2}d\varphi ^{2}+dr^{2}+dz^{2}.$

On pourrait encore substituer, au lieu de $r$ et $z,$ un nouveau rayon vecteur $\rho$ avec l’angle $\psi$ que ce rayon fait avec $r,$ qui en est la projection ce qui donnerait

$r=\rho \cos \varphi ,\quad z=\rho \sin \psi$

et, par conséquent,

$dr^{2}+dz^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\psi ^{2}\,;$

de sorte que la quantité

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

serait transformée en celle-ci

$\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\psi \,d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+d\rho ^{2}.$

Ici il est clair que $\rho$ sera le rayon mené du centre des coordonnées au point de l’espace où est le corps $\mathrm {m} ,$ $\psi$ sera l’inclinaison de ce rayon sur le plan des $xy$, et $\varphi$ l’angle de la projection de ce rayon sur le même plan avec l’axe des $x\,;$ et l’on aura, comme dans l’article 4 de la Section II, I^re Partie,

$x=\rho \cos \psi \cos \varphi ,\qquad y=\cos \psi \sin \varphi ,\qquad z=\rho \sin \psi .$

Enfin, on pourra employer à volonté d’autres substitutions, et, lorsque le système est composé de plusieurs corps, on pourra les rapporter immédiatement les uns aux autres par des coordonnées relatives les circonstances de chaque problème indiqueront toujours celles qui seront le plus propres. On pourra même, après avoir trouvé, d’après une substitution, une ou quelques-unes des équations du problème, déduire les autres d’autres substitutions ; ce qui fournira de nouveaux moyens de diversifier ces équations, et de trouver les plus simples et les plus faciles à intégrer.

13. Les autres termes des équations dont il s’agit dépendent des forces accélératrices qu’on suppose agir sur les corps et des équations de condition qui doivent subsister entre les variables relatives à la position des corps dans l’espace.

Lorsque les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ tendent à des centrés fixes ou à des corps du même système et sont proportionnelles à des fonctions quelconques des distances, comme cela a lieu dans la nature, la quantité $\mathrm {V} ,$ qui exprime la somme des quantités

$\mathrm {m} \int (\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )$

pour tous les corps $\mathrm {m}$ du système, sera une fonction algébrique des distances et fournira, pour chaque variable $\xi$ dont elle se trouvera composée, un terme fini de la forme ${\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }}.$

De même, les équations de condition

$\mathrm {L} =0,\qquad \mathrm {M} =0,\qquad \ldots$

fourniront pour la même variable $\xi$ les termes $\lambda {\frac {\delta \mathrm {L} }{\delta \xi }},\,{\frac {\delta \mathrm {M} }{\delta \xi }},\ldots ,$ et ainsi des autres ; de sorte qu’il n’y aura qu’à ajouter à la valeur de $\mathrm {V}$ les quantités $\lambda \mathrm {L} ,\,\mu \mathrm {M} ,\ldots ,$ en regardant ensuite $\lambda ,\,\mu ,\,\ldots$ comme constantes dans les différentiations en $\delta .$

Si donc quelques-unes des variables qui entrent dans la fonction $\mathrm {T}$ n’entrent point dans $\mathrm {V} ,$ ni dans $\mathrm {L,\,M} ,\ldots ,$ les équations relatives à ces variables ne contiendront que des termes différentiels, et l’intégration n’en sera que plus facile, surtout si ces variables ne se trouvent dans $\mathrm {T}$ que sous la forme différentielle. C’est ce qui aura lieu lorsque, les corps étant attirés vers des centres, on prendra, pour coordonnées, les distances à ces centres et les angles décrits autour d’eux.

14. Une intégration qui a toujours lieu, lorsque les forces sont des fonctions de distances et que les fonctions $\mathrm {T,\,V,\,L,\,M} ,\ldots$ ne contiennent point la variable finie $t,$ est celle qui donne le principe de la conservation des forces vives. Quoique nous ayons déjà montré comment ce principe résulte de notre formule générale de la Dynamique (sect. III, art. 34), il ne sera pas inutile de faire voir que les équations particulières déduites de cette formule fournissent toujours une équation intégrable, qui est celle de la conservation des forces vives.

Ces équations, considérées dans toute leur généralité, étant chacune de la forme (art. 11)

$d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }}+\lambda {\frac {\delta \mathrm {L} }{\delta \xi }}+\mu {\frac {\delta \mathrm {M} }{\delta \xi }}+\ldots =0,$

si on les ajoute ensemble après les avoir multipliées par les différentielles respectives $d\xi ,\,d\psi ,\ldots$ et qu’on fasse attention que les quantités $\mathrm {V,\,L,\,M} ,\ldots$ sont par l’hypothèse des fonctions algébriques des variables $\xi ,\,\psi ,\ldots$ sans $t,$ il est clair qu’on aura l’équation

$\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}\right)d\xi +\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}\right)d\psi +\ldots +d\mathrm {V} +\lambda \,d\mathrm {L} +\mu \,d\mathrm {M} +\ldots =0\,;$

mais

$\mathrm {L} =0,\qquad \mathrm {M} =0,\qquad \ldots$

étant les équations de condition, on aura généralement

$d\mathrm {L} =0,\qquad d\mathrm {M} =0,\qquad \ldots \,;$

par conséquent, l’équation précédente se réduira à

$\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}\right)d\xi +\ldots +d\mathrm {V} =0.$

Or on a

$d\xi \,d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}=d\left({\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}d\xi \right)-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}d^{2}\xi \,;$

et comme $\mathrm {T}$ est une fonction algébrique des variables $\xi ,\,\psi ,\ldots$ et de leurs différentielles $d\xi ,\,d\psi ,\,\ldots$ sans $t,$ on aura

$d\mathrm {T} ={\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}d\xi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}d^{2}\xi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}d^{2}\psi +\ldots \,;$

donc l’équation deviendra

$d\left({\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}d\xi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}d\psi +\ldots \right)-d\mathrm {T} +d\mathrm {V} =0,$

laquelle est évidemment intégrale et dont l’intégrale est

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}d\xi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}d\psi +\ldots -\mathrm {\mathrm {T} +\mathrm {V} =const.}$

Maintenant, puisque

$\mathrm {T} =$_S${\frac {1}{2}}\mathrm {m} \left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right),$

il est évident que, quelques variables qu’on substitue pour $x,\,y,\,z,$ la fonction résultante sera nécessairement homogène et de deux dimensions relativement aux différences de ces variables ; donc, par le théorème connu, on aura

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}d\xi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}d\psi +\ldots =2\mathrm {T} .$

Donc l’intégrale trouvée sera simplement

$\mathrm {T+V=const.} ,$

laquelle contient le principe de la conservation des forces vives (sect. III, art. 34).

Si la quantité $\mathrm {V}$ n’était pas une fonction algébrique^[1], on n’aurait pas

${\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }}d\xi +\ldots =d\mathrm {V} ,$

et si les quantités $\mathrm {T,\,L,\,M} ,\ldots$ contenaient aussi la variable $t,$ alors

leurs différentielles $d\mathrm {T} ,\,d\mathrm {L} ,\,d\mathrm {M} ,\,\ldots$ contiendraient aussi les termes ${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta t}}dt,$ ${\frac {\delta \mathrm {L} }{\delta t}}dt,\,{\frac {\delta \mathrm {M} }{\delta t}}dt,\,\ldots \,;$ donc les réductions qui ont rendu l’équation intégrale n’auraient plus lieu, ni par conséquent le principe de la conservation des forces vives.

15. Quoique le théorème sur les fonctions homogènes dont nous venons de parler soit démontré dans différents ouvrages, et qu’on puisse, par conséquent, le supposer comme connu, la démonstration que voici est si simple que je ne crois pas devoir la supprimer. Si $\operatorname {F}$ est une fonction homogène de différentes variables $x,\,y,\,\ldots ,$ et qu’elle soit de la dimension $n,$ il est clair qu’en y mettant $ax,\,ay,\,\ldots$ à la place de $x,\,y,\,\ldots ,$ elle deviendra nécessairement $a^{n}\operatorname {F} ,$ quelle que soit la quantité $a.$ Donc, faisant $a=1+\alpha ,$ et regardant $\alpha$ comme une quantité infiniment petite, l’accroissement infiniment petit de $\operatorname {F} ,$ dû aux accroissements infiniment petits $\alpha x,\,\alpha y,\,\ldots$ de $x,\,y,\,\ldots ,$ sera $n\alpha \operatorname {F} .$ Mais, en faisant varier $x,\,y,\,\ldots$ de $\alpha x,\,\alpha y,\,\ldots ,$ on a, en général, pour la variation de $\operatorname {F} ,$

${\frac {\delta \operatorname {F} }{\delta x}}\alpha x+{\frac {\delta \operatorname {F} }{\delta y}}\alpha y+\ldots .$

Donc, égalant ces deux expressions de l’accroissement de $\operatorname {F}$ et divisant par $\alpha ,$ on aura

$n\operatorname {F} ={\frac {\delta \operatorname {F} }{\delta x}}x+{\frac {\delta \operatorname {F} }{\delta y}}y+\ldots .$

16. L’intégrale relative à la conservation des forces vives est d’une grande utilité dans la solution des problèmes de Mécanique, surtout lorsque la fonction $\mathrm {T}$ ne contient que la différentielle d’une variable qui ne se trouve point dans la fonction $\mathrm {V} \,;$ car cette intégrale servira alors à déterminer cette même variable et à éliminer des équations différentielles.

À l’égard des intégrales qui se rapportent à la conservation du mouvement du centre de gravité et au principe des aires, et que nous avons déjà trouvées d’une manière générale dans la Section III, elles se présenteront d’elles-mêmes dans la solution de chaque problème, pourvu qu’on ait soin, dans le choix des variables, de séparer le mouvement absolu du système des mouvements relatifs des corps entre eux, ainsi que nous l’avons fait dans la Section citée.

Les autres intégrales dépendront de la nature des équations différentielles de chaque problème, et l’on ne saurait donner de règle générale pour les trouver. Il y a cependant un cas très étendu qui est toujours susceptible d’une solution complète en termes finis c’est celui où le système ne fait que de très petites oscillations autour de sa situation d’équilibre. Nous destinons une Section particulière à ce problème, à cause de son importance.

17. Lorsque le système dont on cherche le mouvement est composé d’une infinité de particules ou éléments dont l’assemblage forme une masse finie de figure variable, il faut employer une analyse semblable à celle que nous avons exposée dans le § II de la Section IV de la I^re Partie ; mais à la place de la caractéristique $d,$ que nous y avons employée (art. 11 et suiv.) pour désigner les différences des variables relatives aux différents éléments du système, il faudra substituer la caractéristique $\mathrm {D} ,$ qui répond à la caractéristique intégrale _S, relative à tout le système, afin de pouvoir conserver l’autre caractéristique $d$ pour les différences relatives au temps, auxquelles nous l’avons destinée dans la Section II de la II^e Partie, article 7.

Ainsi, en nommant $\mathrm {m}$ la masse entière et $\operatorname {D} \mathrm {m}$ un de ses éléments, il faudra mettre $\operatorname {D} \mathrm {m}$ au lieu de $\mathrm {m}$ dans les expressions de $\mathrm {T}$ et de $\mathrm {V}$ de l’article 10.

S’il y a pour chaque élément du corps des forces $\mathrm {F,\,G} ,\,\ldots$ qui tendent à diminuer les quantités $f,\,g,\,\ldots$ dont ces forces sont fonctions, il faudra ajouter à la valeur de $\mathrm {V}$ les expressions _S$\int \operatorname {F} df,$ _S$\int \operatorname {G} dg,\ldots .$

Et s’il y a des équations de condition

$\mathrm {L} =0,\qquad \mathrm {M} =0,\qquad \ldots$

qui doivent avoir lieu à chaque point de la masse $\mathrm {m} ,$ il faudra mettre _S$\lambda \,\delta \mathrm {L} ,$ _S$\mu \,\delta \mathrm {M} ,\,\ldots$ à la place de $\lambda \,\delta \mathrm {L} ,\,\mu \,\delta \mathrm {M} ,\,\ldots ,$ dans les formules de l’article 11.

Les quantités $f,\,g,\,\ldots ,$ ainsi que $\mathrm {L,\,M} ,\,\ldots ,$ pouvant renfermer des différences des variables relatives à la caractéristique $\operatorname {D} ,$ il faudra alors faire disparaître les doubles signes $\delta \operatorname {D} ,\,\delta \operatorname {D} ^{2},\,\ldots$ par l’opération connue des intégrations par parties, de manière qu’il ne reste sous le signe _S que les variations simples marquées par $\delta \,;$ et les termes hors du signe _S se rapporteront uniquement aux extrémités des intégrales.

Il faudra enfin avoir égard aussi aux forces et aux équations de condition relatives à des points déterminés de la masse $m,$ et en tenir compte dans la formule générale ; mais elles ne donneront que des termes indépendants du signe _S.

Les variations qui resteront sous le signe _S donneront, en égalant leurs coefficients à zéro, autant d’équations indéfinies pour le mouvement de chaque élément du système ; et les variations hors du signe donneront des équations déterminées pour certains points du système.

1. Il faut, pour comprendre ce passage, se rappeler la définition de la fonction $\mathrm {V} .$ On a posé (art. 9)
   $d\Pi =\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots ,$

   puis ensuite

   $\mathrm {V} =$_S$\mathrm {m} \Pi .$

   Pour que $\mathrm {V}$ soit, suivant l’expression de Lagrange, une fonction algébrique, il faut et il suffit que $\Pi$ en soit une, c’est-à-dire que

   $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots$

   soit une différentielle exacte ; si cela n’a pas lieu, la fonction $\Pi$ n’existe plus, et il en est de même de $\mathrm {V} \,:$ fonction algébrique signifie simplement ici fonction, et cette expression ne doit, en aucune façon, être regardée comme opposée à celle de fonction non algébrique. (J. Bertrand.)