Le Correcteur typographe (Brossard)/volume 2/32/02

Louis Emmanuel Brossard

Le Correcteur typographe

Imprimerie de Chatelaudren, 1934 (2, p. 886-910).

II

ALGÈBRE

L’expression algèbre a été tirée des mots arabes al djaber el mogabelah, qui signifient art des restaurations, des rétablissements et, suivant Larousse, des solutions. Dans cette dernière acception, l’algèbre est la science des grandeurs considérée d’une façon générale et, dès lors, la science des lois des nombres.

Les historiens attribuent au géomètre Diophante, d’Alexandrie, qui vivait au iv^e siècle, l’invention de la science algébrique, née de la recherche des procédés pour résoudre facilement et rapidement certains problèmes. À vrai dire, les travaux de Diophante, dont quelques livres nous sont parvenus, appartiennent plutôt à l’arithmétique qu’à l’algèbre proprement dit ; il s’occupe surtout, en effet, de questions relatives aux propriétés des nombres, comme, par exemple, le partage d’un nombre carré en deux autres nombres qui soient également des carrés. Diophante représentait l’inconnue par les lettres os, finale du mot grec arithmos (nombre) ; il n’employait ni les lettres de l’alphabet ni les signes des fonctions, sauf le signe de soustraction représenté par la lettre grecque psi renversée et légèrement modifiée.
xxxx Les Arabes empruntèrent, on le croit tout au moins, les éléments de l’algèbre aux auteurs grecs et surtout à Diophante. Leurs connaissances sur ce sujet étaient toutefois modestes, car elles se bornaient à la solution des équations du premier et du deuxième degré. D’Afrique, la science algébrique serait venue en Italie, où elle se développa, au xiii^e siècle, sous l’impulsion de Léonard de Pise. La résolution des équations du troisième degré est due aux géomètres italiens Scipion Ferreo et Tartaglia. Ce dernier communiqua sa méthode à Jérôme Cardan, qui l’étendit considérablement et la publia en 1545. Ludovico Ferrari, disciple de Cardan, découvrit, à son tour, une méthode de solution des équations du quatrième degré.
xxxx En même temps que ces progrès considérables étaient réalisés en Italie, l’Allemand Stifel, ou Stifelius, adoptait les signes + et - pour représenter l’addition et la soustraction, ainsi que le symbole ${\sqrt {\quad }}$ pour signifier l’expression radical ou racine. L’Anglais Thomas Recorde inventait le signe de l’égalité $=$, dont il fit choix parce que, disait-il, il ne peut y avoir deux choses plus égales entre elles que deux lignes parallèles.
xxxx Mais le véritable créateur de l’algèbre, telle qu’elle est pratiquée actuellement, est le Français Viète, né à Fontenay-le-Comte, en 1540. Aux nombres, toujours employés avant lui, Viète substitua les lettres qui, représentant des grandeurs quelconques, transforment le raisonnement particulier en formule générale, en loi ; et il imagina la plupart des simplifications que l’on fait subir aux égalités algébriques pour les résoudre plus rapidement. Après Viète, l’Anglais Harriot reconnut l’existence des racines négatives et imagina les signes < et > (plus petit et plus grand). À la même époque, Oughthred fit adopter le signe × pour désigner la multiplication^[1].

Le langage algébrique est d’un genre tout particulier ; il utilise deux sortes de signes : « les uns servent à représenter les grandeurs ou quantités, sans déterminer leur valeur : ce sont les lettres de l’alphabet ; les autres indiquent les rapports établis entre ces quantités, en d’autres termes, les opérations que l’arithmétique ferait subir, si elles étaient déterminées. Ainsi, d’après Condillac, les lettres sont les noms généraux de cette langue, et les chiffres, les noms particuliers ».
xxxx D’après Larousse, dans les phrases algébriques, il faut distinguer les éléments du discours, les termes et les expressions. Chaque lettre est un élément algébrique. Un ou plusieurs éléments forment un terme. Un ou plusieurs termes forment une expression. Les signes de la multiplication et de la division réunissent les éléments. Les signes de l’addition et de la soustraction lient les termes. Les signes de comparaison (égalité ou inégalité) lient les expressions. Ainsi abc est un terme dont a, b, c sont les éléments ; abc + bd est une expression dont abc et bd sont les termes ; abc + bc = ed — i est une phrase ou proposition algébrique dont abc + bc, d’un côté, et ed — i, de l’autre, sont les expressions.
xxxx On appelle termes semblables les termes qui ont les mêmes lettres avec les mêmes exposants. Ainsi

$3\,a^{2}b^{3}c\$ et $\ -\,a^{2}b^{3}c$

sont des termes semblables.

1. Les lettres minuscules utilisées en algèbre se composent en italique, lorsque le texte dans lequel elles doivent figurer est en romain, ou lorsqu’elles sont isolées dans les indications d’opérations.
xxxx Ces mêmes lettres s’écrivent en romain, si le texte est composé en italique.
xxxx Les auteurs reconnaissent, de manière générale, que la ponctuation qui pourrait suivre immédiatement ces lettres doit être du caractère du texte lui-même, c’est-à-dire romaine pour un texte composé en caractère romain, ou italique pour un texte écrit en italique.

Telle est l’opinion d’Émile Leclerc^[2], de Th. Lefevre^[3].

2. Les lettres grandes capitales se composent en caractère romain, même dans un texte italique.

3. Les signes indicatifs de l’opération à effectuer exigent avant et après eux un espacement semblable à celui qui sépare chacun des mots de la ligne où ils sont utilisés.

Certains auteurs, tel E. Leclerc^[4], s’expriment de manière différente en écrivant : « On espacera donc tous les signes à 2 points. »
xxxx Mais Th. Lefevre^[5] dit très nettement : « Les signes +, −, =, ×, etc., doivent être séparés comme les mots de la ligne où ils se trouvent. »
xxxx A. Muller^[6] est d’un avis analogue à celui de Th. Lefevre.
xxxx Mais J. Dumont^[7] est moins précis : « Les signes +, ×, −, =, etc., prennent l’espacement qu’il est possible de leur donner, sans toutefois dépasser la grosse espace. »

4. Les chiffres arabes employés soit comme coefficients, soit comme exposants ou arrangements, sont toujours composés en caractère romain, même dans un texte italique.

5. Les premières lettres de l’alphabet, a, b, c, représentent constamment les quantités connues ou données.
xxxx Les dernières lettres, x, y, z, sont des quantités inconnues ou à déterminer.

6. Le signe + indique que les nombres entre lesquels il se trouve placé sont à additionner, à ajouter les uns aux autres :

$a\;+\;b$

signifie que a doit être additionné, ajouté à b, pour obtenir un total, une somme.
xxxx Ce signe est appelé plus.
xxxx Les termes précédés ou affectés du signe +, signe de l’addition, sont dits termes additifs ou positifs.
xxxx Une quantité n’ayant devant elle aucun signe est toujours supposée positive, c’est-à-dire considérée comme si elle était précédée du signe +.

7. Si deux quantités représentées par la même lettre sont à additionner, le signe plus est généralement supprimé.
xxxx Soit à additionner

$a\;+\;a$.

Au lieu d’employer le signe +, on écrit la lettre a en la faisant précéder du chiffre 2 ; ainsi 2 a possède exactement la même valeur que a + a. Le chiffre 2 a reçu le nom de coefficient.
xxxx Dans la composition, une espace fine, 1 point ou 1 point 1/2, au plus, sépare le coefficient (qui est ici le chiffre 2) de la quantité (représentée, dans le cas actuel, par la lettre a).

8. Le signe $-$ signifie que les valeurs qui le suivent sont à soustraire, à diminuer, des valeurs qui le précèdent :

$a\;-\;b$

veut dire que la valeur de a sera, au cours de l’opération, diminuée de la valeur de b.
xxxx Ce signe est appelé moins.
xxxx Les termes précédés ou affectés du signe $-$, signe de la soustraction, sont dits termes soustractifs ou termes négatifs ; mais ils ne sont négatifs que parce qu’ils sont affectés du signe de soustraction ; ils ne sont jamais négatifs de par leur nature même.

9. Si, dans le cours d’une opération, une somme peut être indifféremment comptée ou omise pour le résultat du calcul, cette faculté est indiquée par le signe $\pm$, appelé plus ou moins.
xxxx Lorsqu’il est retourné sens dessus dessous, $\mp$, le signe est dit moins ou plus.
xxxx Ce signe est soumis aux mêmes règles d’espacement que les autres signes algébriques :

L’équation admettant ainsi les deux racines

$a\pm {\sqrt {-1}}$,

son premier membre est divisible par $(x-a)^{2}+b^{2}$…

10. Dans une opération dont les valeurs sont disposées soit pour être additionnées, soit pour être soustraites, les signes doivent s’aligner verticalement :

${\begin{aligned}5a&+3b\\9a&+2c\\9b&+3d\end{aligned}}$
${\overline {14a+12b+2c+3d}}\ \ \ \;$

Le filet du total sera de longueur suffisante pour couvrir la somme, ou total, qui se place au milieu de la justification ; l’indication d’addition se trouvera elle-même composée au milieu de la longueur donnée par le total :

Pour se familiariser avec cette règle, on étudiera l’exemple de multiplication suivant :

Multiplicande	$\qquad a+2\,ab+b^{2}$
Multiplicateur	$\qquad a+b$
Premier produit	$\quad \ \ {\overline {a^{3}+2\,a^{2}b+ab^{2}}}$
Deuxièmep —it	$\;+\,a^{2}b+2\,ab^{2}+b^{3}$
sub-Total	$\;{\overline {+\,a^{3}\;+3\,a^{2}b+3\,ab^{2}+b^{3}}}$

11. L’ordre dans lequel les quantités à additionner ou à retrancher sont inscrites est indifférent.
xxxx Ainsi, pour une addition, un auteur écrira aussi bien :

$a+b$

que

$b+a$ ;

et pour une soustraction :

$a-b$

que

$-b+a$

12. Le signe × veux dire que les nombres entre lesquels il se trouve sont à multiplier l’un par l’autre :

$a\times b$

signifie que a doit être multiplié par b.
xxxx Ce signe, dit de multiplication, est appelé multiplié par.

13. Le signe × est fréquemment remplacé par un point $\cdot$ qui occupe la même place :

$\scriptstyle {a}\textstyle \;\cdot \;\scriptstyle {b}$

veut dire a multiplié par b.
xxxx Pour le différencier du point ordinaire de la casse et éviter une confusion, le point signe de multiplication est d’œil plus accentué et ressemble à un point de caractère gras.
xxxx Le point, lorsqu’il remplace le signé × exige avant et après lui une espace semblable à celle séparant les mots de la ligne où il se rencontre ; il prend l’espace forte, si l’indication d’opération figure isolée dans une ligne.

14. Mais, de manière générale, les signes de multiplication (× et $\cdot$) ne sont pas utilisés ; on se borne à écrire les facteurs algébriques sans aucune interposition de signes :

$ab$

indique qu’il faut chercher le produit de a par b (multiplication).
xxxx Les lettres sont juxtaposées l’une l’autre, sans espace.

15. Lorsque la même quantité est à multiplier plusieurs fois,

$a\times a\times a\quad$ ou $\quad a\cdot a\cdot a\quad$ ou encore $\quad aaa$,

cette quantité est écrite une seule fois ; puis, elle est suivie d’un chiffre indiquant combien de fois elle sera employée comme facteur pour obtenir le produit.
xxxx Dans le cas ci-dessus on aura donc :

$a^{3}$,

comme, en d’autres circonstances, on pourrait avoir :

$a^{2}\,$, $a^{4}\,$, $a^{5}\,$, $a^{6}\,$, etc.

On dit que a est à la deuxième, à la troisième, à la quatrième, à la cinquième puissance.

16. Une quantité qui, pour des raisons d’exposition ou de calcul, aurait zéro comme exposant vaut simplement 1 :

$a^{0}\,$, $b^{0}\,$, $c^{0}\,$, $d^{0}$

valent

$a,\,b,\,c,\,d$.^[8]

Il est indispensable de ne pas utiliser, au lieu de l’exposant zéro (0), la lettre bas de casse o italique.

17. Le chiffre qui suit la lettre a doit être un chiffre supérieur, c’est-à-dire un chiffre écrit au haut, à l’alignement supérieur de l’œil des lettres longues et en caractère plus petit que ces lettres ; dans la composition il se colle aux lettres qu’il accompagne.
xxxx Comme le chiffre supérieur indique ou, mieux, expose aux yeux la puissance de la valeur représentée par la lettre, il est appelé exposant.
xxxx Au lieu d’un chiffre, l’exposant peut être une lettre, généralement n, qui représente la plus haute puissance de la valeur, ou encore m, p, q, r.
xxxx Ces lettres se composent en italique et occupent la place du chiffre ; elles sont de corps ou d’œil analogues à ceux des chiffres employés comme exposants :

$ax^{n}+bx^{n}+cx^{n}$

Les exposants sont parfois des valeurs ou des nombres fractionnaires :

$a^{\frac {4}{3}}b^{\frac {5}{3}}\qquad$ et $\qquad aa^{\frac {1}{3}}bb^{\frac {2}{3}}$, $\quad a^{\frac {m}{r}}b^{\frac {n}{r}}$

L’exposant dénominateur est un chiffre supérieur analogue aux autres exposants et collé à la lettre ; le filet et l’exposant numérateur sont parangonnés au-delà du corps des lettres a et b ; comme dans les autres cas, le filet indiquant la fraction ne doit pas déborder au-delà de l’œil de l’exposant le plus large.

18. Le signe : placé entre deux lettres indique la division :

$a\;:\;b$

signifie que a (dividende) doit être divisé par b (diviseur).
xxxx  Le signe : est appelé divisé par.
xxxx Ce signe prend avant et après lui une espace forte analogue à celle qui sépare chacun des mots de la ligne où il se trouve.
xxxx Pour éviter que le signe de division ne soit confondu avec le deux-points ordinaire ( : ), le divisé par est d’un œil plus accentué, se rapprochant d’un deux-points de caractère gras.

19. Outre le deux-points, l’opération de la division algébrique peut être encore indiquée par un trait séparant le dividende et le diviseur placés sur une ligne verticale :

${\frac {a}{b}}$

veut dire que a (dividende) doit être divisé par b (diviseur).
xxxx La ponctuation qui suit une telle indication d’opération s’aligne avec le filet divisé par :

${\frac {a}{b}}\cdot$

Le filet ne doit pas déborder, de côté et d’autre des lettres, au-delà de la lettre la plus large.

20. Si l’une des fractions de la division, soit la partie inférieure, soit la partie supérieure, est plus large de composition que l’autre, la partie la plus courte se compose rigoureusement au milieu de l’étendue de la partie la plus longue ; et le filet séparant les deux termes doit être de longueur suffisante pour couvrir le plus grand :

${\frac {ab}{2\,x+ab}}\cdot$

21. Lorsque, dans une division, après un certain nombre d’opérations, le même chiffre se répète indéfiniment, le signe $\infty$ indique que le quotient se continue à l’infini avec le dernier chiffre posé.

22. De deux quantités séparées par le signe 115 on dit qu’elles sont égales :

$a=b$

signifie que la valeur, la somme représentée par a est égale à la valeur, à la somme attribuée à b.
xxxx Ce signe, appelé égalité, se lit :

$a$ égale $b$.

23. Une équation dont les différents termes sont nuls est indiquée après l’égalité par un zéro ; certains compositeurs utilisent à tort une lettre o bas de casse italique.

24. Pour exprimer qu’une quantité donnée est plus petite ou plus grande qu’une autre quantité, on utilise des signes particuliers :

$a\;<\;b$

veut dire que la valeur a est plus petite que la valeur b ; au contraire,

$a\;>\;b$

signifie que la valeur a est plus grande que la valeur b.
xxxx Ces signes sont dits : <, plus petit ; >, plus grand.

25. Au fur et à mesure de l’exposé qui précède, l’espacement a été l’objet d’une mention spéciale pour les règles générales. Mais ces règles sont, suivant les auteurs, fort variables ; et les manuels techniques ne s’accordent guère sur la manière de séparer les valeurs des différents termes d’une expression. Pour cette raison, voici quelques indications complémentaires :

a) Tous les signes mathématiques indiquant une addition, une soustraction, une multiplication, une division, c’est-à-dire une opération à effectuer, sont précédés et suivis de l’espace forte ou, au moins, de l’espace séparant entre eux les mots de la ligne ;

b) Les lettres grandes capitales et bas de casse ne comportant ni accent, ni exposant, ni arrangement, se composent sans espace entre elles ;

c) Les exposants, les arrangements, les indices sont collés à la lettre ou à la valeur qu’ils accompagnent ;

d) Ces mêmes chiffres ou signes, lorsqu’ils sont composés, c’est-à-dire fractionnaires ou comportant l’indication d’une opération qui affecte la valeur de l’un ou de l’autre des termes, se composent sans espace ;

e) Les chiffres coefficients précédant un terme qu’ils ont additionné sont séparés de ce terme par une espace de 1 point ;

f) Les termes, les chiffres précédant une accolade, une parenthèse, un crochet, sont suivis d’une espace de 1 point ;

g) Le terme ou la valeur qui suit une parenthèse, une accolade ou un crochet, est précédé d’une espace de 1 point, sauf dans les cas suivants :
xxxx 1° Un exposant ou un arrangement qui suit une parenthèse, un crochet ou une accolade est collé au signe ;
xxxx 2° Un crochet qui suit une parenthèse est collé à cette parenthèse, l’approche que possèdent l’un et l’autre de ces signes faisant office du blanc régulier ;

h) Les points de suspension interrompant l’énumération de termes simples ou composés et considérés comme points de remplacement (ces points suppléent le mot etc., qui n’est jamais utilisé en algèbre) sont espacés à 1 point :

$a+b+c+d\;\ldots \;=\;l$.

Pour éviter l’espacement des points, on utilise le gros point ou point fondu sur 1/2 cadratin ;

i) Les expressions sin, cos, tg ou tang, cotg, séc, coséc, log, lim, const, sym, inv, conj ou cj, proj ou pr, mod, scal, vect et leurs analogues sont séparées du terme qui les précède par une espace forte, et du terme ou du chiffre qui les suit et auquel elles appartiennent par une espace de 1 point ; mais, lorsque ces expressions sont précédées ou suivies de coefficients, d’exposants ou d’arrangements, on suit les règles d’espacement qui sont particulières à ces derniers signes.
xxxx Ces expressions se composent en romain ;

j) D’après E. Leclerc, la lettre d, qui est un symbole et non une valeur algébrique, doit être séparée du terme ou de la valeur qui la précède par une espace de 1 point ; cette même lettre se colle au terme qui la suit ;

k) Suivant le même auteur, les lettres grecques sont suivies d’une espace de 1 point ;

l) Deux lettres grandes capitales II se suivant immédiatement sont à séparer par une espace de 1 point, afin d’éviter une confusion possible avec la lettre grecque grande capitale Π (pi) ;

m) Les termes entre parenthèses séparés l’un de l’autre par une virgule, bien que constituant une expression faisant partie d’une équation, sont séparés après la virgule par une espace de 1 point 1/2 à 2 points :

$\mathrm {B} (x,\,y,\,z)=15$.

n) D’après quelques auteurs, les termes comportant un indice, un exposant ou un arrangement sont séparés du terme suivant par une espace de 1 point placée après l’indice, l’arrangement ou l’exposant :

${\begin{aligned}a^{\prime }\,by+b^{\prime }\,ay&=35\\a^{2}\,b^{2}\,c^{2}+b^{3}\,c^{3}&=250\end{aligned}}$

mais cette règle paraît peu suivie, la composition sans espace étant, semble-t-il, plus générale ;

o) Comme dans la composition d’un texte, l’espacement des formules algébriques varie parfois suivant la forme des signes ou des lettres, si ceux-ci comportent eux-mêmes, en raison de leur forme, le blanc nécessaire, telles les intégrales, les racines, etc.

Th. Lefevre^[9] n’est pas d’accord avec les prescriptions du paragraphe n : cet auteur se borne en effet à poser la règle générale : « Toutes les lettres ou chiffres avec parenthèses ou crochets d’une formule se groupent sans espace », et il donne cet exemple qui ne paraît plus suivi :

$28a^{6}b^{5}cd^{3}x^{3}\quad 6ab(a+b)^{2}\quad [(6a^{2}bc^{3}x^{5})^{3}\;=\;216^{6}ab^{3}c^{9}x^{15}]$.

Avant Th. Lefevre, A. Frey^[10] avait posé la règle : « Toutes les lettres ou chiffres avec parenthèses ou crochets d’une équation sont réunis en un seul groupe, c’est-à-dire qu’ils forment un polynôme. On les compose sans espace. »
xxxx J. Dumont^[11] exprime la même règle : « Toutes les lettres, parenthèses, chiffres et crochets d’une formule se groupent sans espace », en faisant toutefois une exception pour les lettres grecques détachées, « au moyen d’une fine espace, des lettres italiques qui les accompagnent ».

26. Afin d’indiquer que la racine d’un nombre est à chercher, on emploie le signe

${\sqrt {\ }}$

qui est désigné sous le nom de radical.
xxxx Entre les deux branches du signe √, on place, lorsqu’il est nécessaire, le chiffre indiquant l’indice ou l’exposant du radical. Comme précédemment, au paragraphe 12, le chiffre est en caractère plus petit que le caractère du texte ; en outre, il est placé à la partie supérieure :

${\sqrt[{3}]{a}}$

racine cubique de a, représente la quantité qui, élevée à la troisième puissance, donne a.
xxxx Le chiffre supérieur 3 est placé dans la partie évidée du signe √, dit alors crènè ou creux ; le filet qui suit le signe doit s’aligner de manière parfaite avec la partie supérieure de ce dernier auquel il se colle, alors que le pied du même signe s’aligne avec la base de la lettre. Si le filet employé a deux points d’épaisseur, le signe √ doit être lui-même d’un corps de 2 points supérieur à celui du corps du texte. Soit, par exemple, le texte en-corps 9 et le filet de 2 points de corps, le signe √ doit être de 11 points de corps. Le parangonnage de l’opération s’établira donc, en ce qui concerne le blanc du début et de la fin de la ligne, sur 11 points auxquels il faudra ajouter, le cas échéant, le parangonnage du chiffre de la racine, si l’évidement pratiqué dans le signe est insuffisant et oblige l’exposant à déborder au-delà des 11 points dont il est question.

27. Il n’est pas d’usage, dans l’écriture algébrique, d’utiliser le chiffre 2 pour indiquer la racine carrée. Ainsi :

${\sqrt {a}}$

signifie racine carrée de a, au même titre que

${\sqrt[{2}]{a}}$

Le filet ne doit pas déborder au-delà de la lettre ou des lettres dont il indique la racine ; conséquemment, la ponctuation ou les signes qui suivent ces lettres sont à composer en dehors du filet.

28. Au lieu d’un chiffre, l’indice ou exposant d’une racine peut être une lettre, généralement m, n ou p.
xxxx Ces lettres se composent en italique et occupent la place du chiffre ; elles sont de corps ou d’œil analogue à ceux des chiffres employés avec les racines.

29. Les exposants sont d’ailleurs eux-mêmes l’objet d’indications d’opérations à effectuer :

$ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+dx^{n-3}$.

30. On appelle arrangements les chiffres ou lettres placés à la partie inférieure des valeurs ou des nombres composant une équation :

$\mathrm {P_{2}} =250\times x=750$ tonnes,
xxxx $\mathrm {T} _{n}+\mathrm {S} _{m}=850$ kilogrammes.

Le chiffre qui suit P est un chiffre d’œil plus petit que les chiffres du texte : il est dit inférieur ; il s’aligne avec le pied de l’œil de la lettre à laquelle il se colle.
xxxx Les lettres occupant la même place que le chiffre inférieur sont appelées lettres inférieures ; elles sont de caractère italique et d’œil analogue à celui des chiffres inférieurs ; dans la composition, elles se collent à la lettre qu’elles suivent.

31. Comme les exposants, les arrangements sont susceptibles d’indications d’opérations ; ils sont soit des nombres ou des valeurs entières, soit des expressions fractionnaires :

$a=a_{1}{\sqrt {h}}$.

L’aire du trapèze est :

${\frac {\mathrm {PO} }{n}}\,{\frac {\mathrm {Y_{n-1}+Y_{n}} }{2}}\,\cdots$

La puissance vive au commencement de l’action de la force F sera :

${\frac {1}{2}}mb_{\frac {1}{2}}$

Dans ce dernier cas, le filet diviseur de l’arrangement s’aligne avec le pied de l’œil de la lettre b.
xxxx Les exposants et les arrangements composés ne prennent pas d’espace dans la composition : les valeurs et les signes sont collés.

32. Les termes ou les valeurs comportent parfois, en même temps, et un exposant et un arrangement.
xxxx De manière générale, l’exposant et l’arrangement se superposent :

La quantité

${\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}$

étant toujours positive, les équations (1) et (2) font voir que la quantité de travail produite par une force…

Mais des raisons de matériel ne permettent pas toujours cette disposition ; dans ce cas, l’arrangement se place d’abord, près de la lettre ; l’exposant vient ensuite :

${\frac {1}{2}}mv_{0}^{\,2}$.

33. Des quantités semblables n’ont pas, quelquefois, une valeur exactement égale l’une par rapport à l’autre : elles sont distinguées entre elles par les accents prime, seconde, tierce, etc., appelés indices^[12] :

$a^{\prime },\;a^{\prime \prime },\;a^{\prime \prime \prime },\;a^{iv},\$ etc.

Il est nécessaire, au point de vue du bon aspect typographique du travail, d’utiliser des accents venus de fonte en une seule pièce et d’éviter la disparité qui résulterait, par exemple, d’un accent prime accolé à un accent seconde, pour obtenir un accent tierce :

$a^{\prime \,\prime \prime }$.

Au cas d’insuffisance de matériel, il est préférable d’employer des accents prime collés sans espace.

34. Dans une indication d’opérations comportant plusieurs racines, les signes vont en croissant de corps suivant les nécessités de la composition :

$y={\sqrt {a+{\sqrt {c-d}}}}$.

Supposant que le caractère employé soit du corps 9, la racine ${\sqrt {c-d}}$ doit être de corps 11 : en effet, $c-d$ donne 9 points, et le filet 2 points.
xxxx La deuxième racine ${\sqrt {a+\,}}$ sera du corps 14 : la lettre $a$ et le signe $+$ sont justifiés sur l’alignement de pied de $c-d$ et parangonnés d’un filet de 2 points pour l’alignement de tête avec la racine ${\sqrt {c-d}}$ ; puis une interligne de 1 point est couchée en tête de l’ensemble de l’opération $a+{\sqrt {c-d}}$ ; on obtient ainsi 12 points que le filet de la racine générale porte à 14 points.
xxxx Quelques auteurs typographiques recommandent, toutefois, dans ces circonstances et surtout lorsque le matériel fait défaut, de relever de la valeur nécessaire, par une espace ou par un filet placés en pied, la racine générale.
xxxx Dans le cas actuel, en utilisant un filet de 2 points placé sous la première racine, on pourrait dès lors employer deux racines de 11 points. L’indispensable est que l’alignement de pied des racines ne paraisse pas inégal à l’œil.

35. Les proportions sont de deux catégories différentes :

a) Les proportions par différence s’indiquent par un point ($\cdot$) et un deux-points ($\,:\,$) de la manière suivante :

$9\;\cdot \;12\;:\;10\;\cdot \;11\,$,

qui s’exprime : 9 est à 12 comme 10 est à 11.
xxxx Le point et le deux-points de proportion sont d’œil fort, c’est-à-dire gras ; ils prennent avant et après eux l’espace forte, comme les autres signes algébriques.

b) Les proportions par quotient s’expriment de deux manières différentes :

${\frac {8}{4}}={\tfrac {4}{2}}\quad$ ou $\quad 8\;:\;4\;::\;4\;:\;2$,

qui se lisent : 8 est à 4 comme 4 est à 2.
xxxx Le deux-points et le signe de proportion sont d’œil gras ; ils prennent avant et après eux l’espace forte, à l’exemple des autres signes algébriques.

36. Les progressions sont également de deux catégories, qu’elles soient croissantes ou décroissantes :

a) Le signe de progression arithmétique continue, par différence, s’indique par un signe spécial : un filet d’une longueur de 4 points environ accompagné dessus et dessous d’un point d’œil gras  ; ce signe se place au début de la progression ; chaque chiffre de la progression est séparé de celui qui le suit par un point d’œil gras :

$\ 2\;\cdot \;5\;\cdot \;8\;\cdot \;11\;\cdot \;14\;\cdot \;17\;\cdot \;20\;\cdot \;23\;\cdot \;26,\;$etc. ;

on lit : 2 est à 5, est à 8, est à 11, est à 14, etc.

b) Les signes de progression géométrique, ou par quotient, sont représentés par les figures  , qui se place avant le premier chiffre, et :, qui s’intercale entre chacun des chiffres de la progression :

$\ 2\;:\;6\;:\;18\;:\;54\;:\;162\;:\;486,\;$etc.,

qui se lit 2 est à 6, est à 18, est à 54, est à 162, est à 486, etc.
xxxx Dans l’un et l’autre cas, les signes sont précédés et suivis d’une espace forte.

37. L’opération par laquelle on cherche la racine d’une puissance donnée ou le nombre entier contenu dans un nombre fractionnaire s’indique par le signe $\varepsilon$, qui signifie extraction.

38. La somme totale d’une opération est représentée par le signe $\int$, appelé intégrale.
xxxx Les intégrales sont simples ou doubles.

La définition d’une intégrale double

$\int \int z\,dx\,dy$,

lorsque les variables dont elle dépend doivent prendre une valeur imaginaire, est sujette à des difficultés…

39. Nombre d’autres signes sont utilisés dans les calculs algébriques dont les formules sont parfois fort compliquées.

40. Une quantité composée de 1 terme est appelée monôme ; de 2 termes, binôme ; de 3 termes, trinôme ; etc.
xxxx Une quantité comprenant plusieurs termes dont on ne définit pas le nombre est dite polynôme.

41. Pour indiquer la multiplication entre deux quantités polynômes, on est dans l’usage de renfermer chacune de ces deux quantités entre deux signes de parenthèse et d’interposer entre elles l’un des signes de multiplication indiqués aux paragraphes 12 et 13 :

$(a^{2}+3\,ab+b^{2})\times (2\,a+3\,b)$,

ou

$(a^{2}+3\,ab+b^{2})\;\cdot \;(2\,a+3\,b)$,

ou encore, plus simplement,

$(a^{2}+3\,ab+b^{2})\;(2\,a+3\,b)$.

Dans ce dernier cas, une espace de 1 point à 1 point 1/2 sépare chaque quantité polynôme comprise entre les parenthèses.
xxxx Quelques auteurs, au lieu d’écrire chaque quantité entre parenthèses, couvrent chacune de ces quantités d’une barre ou d’un filet. Dans ce cas, obligatoirement un signe de multiplication doit être employé entre chaque polynôme :

${\overline {a^{2}+3\,ab+b^{2}}}\times {\overline {2\,a+3\,b}}$.

Le filet doit couvrir entièrement l’ensemble du polynôme auquel il appartient, sans déborder au-delà de la première ni de la dernière lettre.

42. Le plus petit terme d’une fraction, soit dividende, soit diviseur, se met toujours au milieu de la longueur de composition occupée par le plus long terme :

${\frac {2}{350}},\qquad {\frac {4}{6250}},\qquad a-y={\frac {b-dy}{c}}$.

Le filet diviseur ne doit jamais déborder au-delà de la valeur fractionnaire la plus longue.

43. Le crochet initial employé dans une formule algébrique se colle avec la lettre, le chiffre ou le signe qu’il précède.
xxxx Le crochet final se colle avec la lettre, le chiffre ou le signe qu’il suit immédiatement :

$[(a+b)\,(c+d)]\;=\;ac+bc+ad+bc$.

44. Mais, précédés ou suivis d’un point faisant office de signe mathématique, le crochet initial et le crochet final sont séparés de ce point par l’espace forte de la ligne :

$pn[rv+(4\,xy-2)]\;\cdot \;mn\;=\;250$.

45. Le crochet initial employé au milieu d’une expression et précédé d’une lettre ou d’un chiffre est séparé de cette lettre ou de ce chiffre par l’espace de 1 point ou 1 point 1/2 au plus.

Cette règle est en contradiction avec le principe : « Dans une formule, chimique ou algébrique, les lettres, parenthèses, crochets, etc., se groupent sans espace^[13].» Mais il semble bien que, pour la clarté, de l’opération, il vaut mieux accepter en partie l’opinion donnée par Leclerc, dans le Nouveau Manuel complet de Typographie^[14] : « On espacera à 1 point toutes les lettres affectées de coefficients, accent, indice, exposant, et aussi les parenthèses, les crochets, les accolades^[15], de préférence à la manière plus habituellement usitée consistant à coller ces dernière signes. »

46. Un crochet final est séparé, par un blanc analogue, de la lettre ou du chiffre qui suit. Toutefois, s’il s’agit d’un exposant (lettre ou chiffre supérieur) ou d’un arrangement (lettre ou chiffre inférieur), l’exposant ou l’arrangement est collé au crochet sans espace.

47. Dans les opérations mathématiques ou algébriques, la force de corps des crochets employés varie suivant les circonstances :

a) Les crochets doivent être de force de corps égale à celle des termes de la formule, si les termes de cette formule sont simples :

$[x^{2}+(px+q)]^{2}\;=\;0$ ;

b) Il en est de même si le premier et le dernier termes de l’opération sont simples^[16], bien que celle-ci contienne au milieu une fraction :

$x[b-a\left({\frac {x}{y}}-c\right)+z]\;=\;25$ ;

Cependant, dans ce cas, Th. Lefevre emploie les crochets initial et final ayant une force de corps égale à celle des parenthèses^[17].

c) Le crochet initial et le crochet final doivent être de la hauteur du diviseur, du dividende et du filet réunis auxquels ils sont accolés :

$x+\left[{\frac {y}{z}}-2(a+b+c)={\frac {a}{b}}\right]\;=\;25$ ;

d) Le crochet initial et le crochet final doivent être, l’un par rapport à l’autre, de force de corps égale, même si un seul d’entre eux est accolé à une fraction :

$\left[{\frac {1}{2}}-1++\right]2\;=\;12$.

48. Dans les formules algébriques ou mathématiques, certains auteurs emploient l’accolade pour obvier aux difficultés que présenterait la répétition fréquente et simultanée du crochet et de la parenthèse : ainsi dans une série ascendante de trois facteurs, ils utilisent l’accolade pour le premier facteur qui se rencontre ; un deuxième facteur se présentant à l’intérieur de ce premier, ils se servent des crochets ; enfin, pour un nouveau facteur intercalé dans ce deuxième, ils prennent la parenthèse :

$mz\;=\;\{2\,a[n-t(2-a)^{2}+\mathrm {B} ]^{4}-m\}^{3}$.

49. En règle générale, et à moins de nécessité absolue, aucune coupure n’est tolérée dans les parties d’un terme mathématique ou, algébrique se trouvant entre accolades.
xxxx Si le numérateur ou le dénominateur d’une fraction sont trop longs pour tenir en une seule ligne, on les coupe en deux à un signe algébrique, en dehors d’un crochet ou d’une parenthèse, on rejette sur une deuxième ligne vers la droite la partie excédante, et on embrasse les deux lignes à l’aide d’une accolade :

En achevant le calcul, on trouvera :

${\begin{aligned}a^{3}+3\,a^{2}b+3\,a^{2}c+3\,ab^{2}&+6\,abc+3\,ac^{2}+3\,b^{3}\\&+3\,b^{2}c+3\,b^{2}c+c^{3}\;=\;1550.\end{aligned}}$

50. Les parenthèses renfermant une opération contenant une racine sont de même force de corps que la racine :

$x^{2}-2\,({\sqrt {3}}+1)x+2\,({\sqrt {3}}-2)\;=\;0$ ;

dans cet exemple, le caractère employé étant supposé être de corps 9 et le filet de la racine de 2 points, cette racine sera de 11 points de corps, ainsi que la parenthèse ;

$\left({\sqrt {{\frac {x}{x}}+{\frac {a}{b}}}}\right)^{2}-(a-b){\frac {x}{x}}+{\frac {a}{b}}+ab\;=\;0$ ;

dans ce deuxième exemple le calcul donne, pour l’opération sous la racine, 20 points ; le filet de la racine ayant 2 points d’épaisseur, cette racine devra être de 22 points (ou, plutôt, de 20 ou 24 points par défaut de matériel), et les parenthèses de même corps.

51. Les opérations ou les parties d’opérations détachées du texte se composent en lignes perdues, c’est-à-dire au milieu de la justification, le blanc qui les précède et le blanc qui les suit étant l’un et l’autre rigoureusement semblables.
xxxx Ces opérations ou fractions d’opérations sont, en outre, isolées du texte qui les précède et de celui qui les suit par un blanc égal à une ligne de texte, augmenté de la valeur de l’interlignage.

52. Pour la facilité du raisonnement, lorsqu’un texte contient nombre d’équations fondamentales, ces équations reçoivent chacune un numéro d’ordre qui sert à les désigner et que l’auteur utilise exclusivement dans la suite du texte :

En effet reprenons les équations
$\;ax+by\ \ \,=\;c$,(1)

$a^{\prime }x+b^{\prime }y\;=\;c^{\prime }$,(2)

et les hypothèses
$bc^{\prime }-cb^{\prime }\ \ \,=\;0$,(3)

$ab^{\prime }-ba^{\prime }\ \ =\;0$.(4)

De l’équation (4) on tire

$ab^{\prime }\ \ =\;ba^{\prime }$.

Les numéros d’ordre (1), (2), (3) se mettent indifféremment, suivant les auteurs, soit à gauche, soit à droite de la justification, en les renfonçant de 2 à 3 cadratins sur le début ou la fin, suivant la longueur de la ligne.

53. Les chiffres numéros d’ordre des équations, placés soit au début, soit à la fin de la justification, comme il est indiqué au paragraphe 52, sont composés dans le blanc ; le typographe ne doit pas ajouter leur longueur de justification à celle des opérations.
xxxx En conséquence, lorsque ces numéros d’ordre sont reportés à la fin de la justification, la ponctuation, s’il s’en rencontre, doit être placée après le dernier terme de l’opération elle-même, et en aucun cas après le chiffre.

Contrairement à cette règle, Th. Lefevre^[18] recommande : « Les chiffres entre parenthèses ou crochets, qui renvoient à d’autres formules, se mettent au bout de la ligne, renfoncés de 1 ou 2 cadratins, s’il y a lieu, et la ponctuation après… »

54. Lorsqu’une ligne en vedette contient plusieurs opérations, pour mieux isoler celles-ci ou les distinguer l’une de l’autre d’une manière plus apparente, on les sépare entre elles, suivant la place dont on dispose, par un blanc de 2 à 3 cadratins :

$9\,x\;=\;28,\qquad 4\,x-3\,x\;=\;9,\qquad 5\,x\;=\;28-4\,x$.

55. Pour la composition de la ponctuation qui suit les opérations ainsi placées en vedette, on applique les règles de l’espacement propre à ces ponctuations : le point et la virgule, collés sans espace ; le point et virgule, espacé de 1 point à 1 point 1/2, suivant l’espacement général de la ligne ; le deux-points, espacé également avant et après lui.

Cependant, E. Leclerc^[19] écrit sans faire la distinction indiquée ici : « La ponctuation qui suit un filet, une lettre ou un diviseur sera aussi espacée. »

56. La ponctuation, quelle qu’elle soit, s’aligne toujours avec l’égalité qui commande les deux parties de l’opération, ou avec le filet diviseur général :

$x={\frac {o-by}{a}},\qquad ax+by=c,\qquad m\times {\frac {m-1}{2}}\times {\frac {m-2}{3}}.$

57. Les expressions et, ou, ou encore, et toutes autres réunissant ou séparant plusieurs opérations mises chacune en vedette, au milieu d’une ligne qui leur est particulière, se composent seules, sur une ligne, au début de la justification, sans renfoncement d’aucun blanc :

C’est ainsi qu’on obtient les équations

$7\,x-8=14-4\,x,$

et

$24\,x-25\,\left({\frac {228-8\,x}{9}}\right)=60,$

ou

$24\,x-\left({\frac {5700-200\,x}{9}}\right)=60,$

qui donne

$216\,x-5700+200\,x=540.$

58. De manière générale, les expressions ou les termes ou les parties de phrases isolés ainsi au début de la justification, avant l’opération qui suit en ligne perdue, ne prennent que la ponctuation nécessitée par le sens de la phrase.
xxxx Il n’est donc pas régulier de faire suivre, comme on le voit parfois, les mots et, ou, ou encore, etc., d’un deux-points, que le sens n’exige pas.

59. Si une indication d’opération à effectuer ne peut entrer en entier dans une ligne, l’indication est coupée avant l’un des signes algébriques, à condition que ce signe ne se trouve pas ; à l’intérieur de parenthèses, de crochets ou d’accolades :

${\begin{aligned}a^{3}+3\,a^{2}b+3\,a^{2}c+3\,ab^{2}+6\,ac+3\,ac^{2}&+\\+3\,b^{3}+3\,b^{2}c+3\,bc^{2}&+c^{3}=1550.\end{aligned}}$

Dans le cas d’une coupure semblable, la première partie de l’indication d’opération est, comme on le voit, ramenée vers la gauche, la deuxième partie est reportée vers la droite ; les blancs sont opposés, afin de simuler autant que possible la continuation de l’indication d’opération et de ne pas donner lieu, pour le lecteur, à une méprise. Il est bon, toutefois, de ne pas repousser le texte jusqu’aux deux parties extrêmes de la justification, mais d’avoir, au moins pour la première ligne, un blanc de 2 cadratins au début et, pour la deuxième ligne, un blanc égal après le dernier terme de l’opération.
xxxx La disposition en deux fractions égales, placées toutes deux au milieu de la justification, d’une indication d’opération n’entrant pas dans une seule ligne, peut, à première vue, sembler à un lecteur inattentif constituer deux opérations différentes. La répétition du signe mathématique est, en outre, recommandée.
xxxx À l’encontre de cette opinion, Th. Lefevre^[20] indique la disposition en deux lignes justifiées chacune au milieu.

60. Dans une équation qui contient des valeurs ou des nombres entiers et des valeurs ou des nombres fractionnaires, l’égalité est le signe qui règle la place des nombres entiers et celle du filet diviseur principal : les valeurs entières et le filet diviseur principal s’alignent avec le milieu de l’égalité :

$x^{2}+{\frac {b}{a}}\,x+{\frac {c}{a}}=0,$

$x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-9}}.$

61. Le filet surmontant un chiffre logarithmique ne doit pas déborder au-delà de l’œil de ce chiffre :

On n’effectue jamais cette soustraction, et on convient d’écrire :

${\overline {3}},5328.$

De même, le filet surmontant la grande capitale $\mathrm {\overline {L}}$ (pour indiquer le logarithme) ne doit pas déborder au-delà de l’œil de la lettre. Ce filet s’appelle la caractéristique.

62. Les chiffres supérieurs, ou exposants, accompagnant les abréviations cos, tang, sin et autres, sont composés sans espace entre eux et la dernière lettre des abréviations.

63. Dans les indications multiples et successives d’opérations pour lesquelles le premier terme de l’égalité est simple et commun, les auteurs ne répètent point ce terme :

On aura les valeurs correspondantes de $x$ et de $y$, comme il suit :

xxxxxxxxxxxxxxx	$x$	$=39$,	$y$	$=11$
		$=50$,		$=28$
		$=61$,		$=45$
		$=72$,		$=62$
		$=83$, etc.,xxxxxxxxxx		$=79$, etc.

64. La composition des indications d’opérations algébriques comporte nombre de dispositions auxquelles le typographe doit apporter la plus grande attention : elle nécessite en effet des calculs fort simples, mais nombreux, dont l’exactitude est la condition essentielle d’une disposition correcte des opérations.
xxxx Soit à composer, par exemple, l’équation

$x={\frac {741-19\,y-10\,z}{24}}$.

Le caractère employé pour la composition de la formule est de corps 8 ; l’ensemble de l’opération donne 16 points, plus le filet de 2 points, soit, au total, 18 points.
xxxx L’égalité et le filet diviseur principal commandent l’alignement de l’équation.
xxxx L’équation se trouvant en ligne perdue au milieu de la justification, on compose d’abord les termes et les expressions les plus longs, qui formeront une seule ligne, afin d’obtenir la justification de l’équation et le blanc à porter de chaque côté. On a dès lors, en employant les espaces nécessaires :

$x=741-19\,y-10\,z$

La ligne est justifiée, à droite et à gauche, avec les blancs correspondant à la hauteur totale que doit avoir la formule, sa composition terminée : soit 18 points.
xxxx  Le terme $x$, et l’égalité, étant une des parties de la formule qui commandent l’alignement, doivent se trouver au milieu de l’opération. Le caractère étant un corps 8, comme il a été dit, on déduit de la hauteur totale, 18 points, les 8 points donnés par $x$ et $=$ ; il reste 10 points à partager en deux parties égales, soit 5 points au-dessous et 5 points au-dessus de $x$, de l’espace qui suit et de $=$.
xxxx Après l’égalité une espace de 18 points qui viendra consolider l’ensemble du parangonnage précédent et à laquelle s’appuiera l’opération fractionnaire. La partie la plus longue de cette opération a été composée :

$741-19\,y-10\,z$ ;

le filet diviseur, de 2 points, couvre la longueur de l’expression, sans déborder au-delà du premier et du dernier terme :

${\overline {741-19\,y-10\,z}}$

le chiffre 24 est composé et justifié au milieu de la longueur du filet diviseur :

${\frac {24}{741-19\,y-10\,z}}$

le point fondu sur 18 points termine l’opération :

${\frac {24}{741-19\,y-10\,z}}\cdot$

mais, dans cet ordre, les termes dividende et diviseur sont inversés : on les rétablit dans leur position normale en transposant les lignes :

${\frac {741-19\,y-10\,z}{24}}\cdot$

Le résultat est ainsi :

$x\;=\;{\frac {741-19\,y-10\,z}{24}}\cdot$

65. L’espace qui précède ou suit une opération fractionnaire, des signes (parenthèse, crochet, intégrale, racine, etc.) correspondant à ces fractions, est toujours de force de corps égale au total des points donné par l’ensemble de l’opération ou des signes.

66. La ponctuation qui suit une opération fractionnaire est toujours, comme force de corps, égale au total des points donné par le diviseur, le dividende, le filet diviseur et, le cas échéant, les arrangements et les exposants de l’opération principale.

L’alignement de la ponctuation qui suit une opération fractionnaire s’établit sur le filet diviseur principal justifié au milieu de l’égalité :

${\frac {\sin \mathrm {C} }{\mathrm {R} }}\;=\;{\frac {\sin \left({\frac {ab}{a}}-{\frac {cd}{e}}\right)\sin \left({\frac {ac}{b}}+{\frac {cd}{a}}\right)}{\sin a\sin b}}$

ou, plus simplement, sur l’égalité elle-même, ou encore, à défaut de cette dernière, sur le signe qui commande l’opération :

Supposons, en effet, que l’on ait :

$+{\frac {p}{2}}-{\frac {{\frac {xn}{2}}+{\frac {xp}{2}}}{24}}$ :

si l’on cherche à effectuer l’opération, dans des conditions telles…

Les fondeurs ont établi des ponctuations fondues au milieu de la force du corps, de manière que ces dernières se justifient dans l’alignement des filets diviseurs ou des signes de l’opération principale ; dans le cas de l’exemple donné ici, un parangonnage de blanc supplémentaire est nécessaire en tête de la ponctuation.

Pour terminer ces lignes, on peut ajouter, d’accord avec E. Leclerc, que, de toutes les parties de la typographie, la composition de l’algèbre est une des plus difficiles, en raison des parangonnages multiples, des alignements des termes, des coupures d’opérations et des dispositions spéciales qui en sont l’essence même. Mais si le typographe est doué d’une certaine aptitude au calcul, s’il est soigneux de son travail et s’il dispose d’un matériel convenable, il est certain que le travail qui lui est confié sera exécuté dans les meilleures conditions.

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1. D’après Larousse, Grand Dictionnaire universel du XIX^e siècle.
2. Nouveau Manuel complet de Typographie, p. 479.
3. Guide pratique du Compositeur et de l’Imprimeur typographes, p. 158.
4. Nouveau Manuel complet de Typographie, p. 482.
5. Guide pratique du Compositeur et de l’Imprimeur typographes, p. 158, § 2.
6. Nouveau Manuel de Typographie, p. 103.
7. Vade-Mecum du Typographe, 4^e éd., p. 188.
8. ${\color {Green}{\text{Note du correcteur : c’est faux !}}\quad a^{1},\,b^{1},\,c^{1},\,d^{1}\ =\ a,\,b,\,c,\,d\quad {\text{mais}}\quad a^{0},\,b^{0},\,c^{0},\,d^{0}\ =1,\,1,\,1,\,1}$
9. Guide du Compositeur et de l’Imprimeur typographes, p. 159, § 5.
10. Nouveau Manuel complet de Typographie, revu par E. Bouchez, p. 26 (éd. de 1857).
11. Vade-Mecum du Typographe, 4^e éd., p. 188.
12. J. Dumont appelle indices les chiffres inférieurs, désignés, en France, de préférence, sous le nom d’arrangements.
13. Th. Lefevre : « Toutes les lettres ou chiffres avec parenthèses ou crochets d’une formule se groupent sans espace. » (Guide pratique du Compositeur et de l’Imprimeur typographes, p. 159, § 6.)
14. Nouveau Manuel complet de Typographie, p. 482 (éd. 1921).
15. Leclerc n’entend point dire, en s’exprimant de la sorte, qu’une espace de 1 point doit précéder et suivre les signes parenthèses, crochets et accolades, mais simplement — comme le prouve l’exemple donné — qu’une espace de 1 point est à « placer devant le signe parenthèse, crochet et accolade, lorsqu’il est initial, et après le même signe, lorsqu’il est final ».
16. Contrairement à l’opinion de Leclerc (Nouveau Manuel complet de Typographie, p. 489, éd. 1921), qui paraît reproduire exactement sur ce point les idées de Th. Lefevre.
17. Guide du Compositeur et de l’Imprimeur typographes, p. 162.
18. Guide pratique du Compositeur et de l’Imprimeur typographes, p. 159, § 9.
19. Nouveau Manuel complet de Typographie (1921), p. 483.
20. Guide pratique du Compositeur et de l’Imprimeur typographes, p. 161.