LEÇON VINGT-DEUXIÈME.
(Continuation de la Leçon précédente.)
Méthode des variations, déduite de la considération des fonctions.
La méthode des variations, fondée sur l’emploi et la combinaison des caractéristiques
et
qui répondent à des différentiations différentes, ne laissait rien à désirer ; mais cette méthode ayant, comme le Calcul différentiel, la supposition des infiniment petits pour base, il était nécessaire de la présenter sous un autre point de vue pour la lier au Calcul des fonctions c’est ce que j’ai déjà fait dans la Théorie des Fonctions ; mais je vais reprendre ici cet objet, pour le traiter d’une manière plus directe et plus complète.
Lorsqu’une fonction donnée de plusieurs variables et de leurs dérivées ne satisfait pas aux conditions que nous avons trouvées dans la Leçon précédente, elle ne peut pas avoir une fonction primitive, à moins qu’il n’y ait des relations établies entre ces variables, de manière qu’il n’y reste qu’une seule variable indéterminée ; et les questions de maximis et de minimis dont il s’agit ici consistent à trouver des relations telles que la fonction primitive qui en résultera soit un maximum ou un minimum entre des limites données, c’est-à-dire entre des valeurs données de la variable qui demeurera indéterminée.
On voit d’abord que cette question dépend nécessairement de ce que la fonction primitive ne puisse avoir lieu sans une relation entre les variables ; car si elle pouvait être une fonction déterminée des différentes variables et de leurs dérivées, elle ne serait plus susceptible que des maxima ou minima du genre ordinaire, relativement à chacune des variables et de leurs dérivées considérées comme des variables particulières.
Considérons donc une fonction quelconque de
que nous désignerons par
et que nous supposerons n’avoir point de fonction primitive dans l’état où elle est ; pour qu’elle en ait une, il faudra supposer
et, pour que la fonction primitive qui en résulte, et que nous dénoterons par
soit un maximum ou un minimum entre des limites données qui répondent à des valeurs données de
il faudra qu’en faisant varier tant soit peu la fonction
la valeur de
a fonction
prise entre ces limites diminue dans le cas du maximum, et augmente dans le cas du minimum.
Supposons que l’expression de
soit, en général, une fonction de
et
que nous représenterons par
et qui soit telle qu’elle devienne
lorsque
La fonction
deviendra aussi une fonction de
et
et, pour qu’elle soit un maximum ou un minimum, il faudra qu’en donnant à
une valeur quelconque très petite, et supposant d’ailleurs la composition de la fonction
arbitraire par rapport à
elle ait une valeur moindre dans le cas du maximum, et plus grande dans le cas du minimum que lorsque
Si l’on développe cette fonction suivant les puissances de
elle deviendra

en indiquant par des points les fonctions, dérivées par rapport à
dans lesquelles il faut faire, après la dérivation,
comme on l’a vu dans la Leçon IX.
Ainsi l’accroissement de
à raison de la quantité
sera exprimé par les termes

et il faudra pour le maximum que la somme de ces termes ait une valeur négative, et pour le minimum que sa valeur soit positive,
étant une quantité quelconque très petite et indépendante de 
On a prouvé dans la Leçon citée qu’on peut toujours donner à
une valeur assez petite pour que le premier terme
surpasse la somme de tous les suivants ; d’où il suit qu’alors l’accroissement de
aura le même signe que le terme
mais il est visible que ce terme change de signe avec la quantité
qui n’y est qu’à la première dimension ; donc il est impossible que l’accroissement de
soit constamment positif ou négatif en donnant à
des valeurs quelconques très petites, à moins que le premier terme
du développement de
ne disparaisse, ce qui donne d’abord la condition
qui est, comme l’on voit, commune aux maxima et aux minima.
Cette condition étant remplie, l’accroissement de
se réduira à

et, par un raisonnement semblable à celui que nous venons de faire, on pourra prouver aussi que le premier terme
devra être positif ou négatif pour que la variation soit positive ou négative ; mais, ce terme étant multiplié par le carré de
il est clair que son signe sera indépendant de
et ne dépendra que de celui de la quantité
laquelle devra donc être toujours négative dans le cas du maximum, et positive dans le cas du minimum ; ce qui contient le caractère qui distingue les maxima des minima.
Telle est la théorie générale des maxima et minima que nous avons cru devoir rappeler ici pour ne rien laisser à désirer.
Dans les questions ordinaires, la quantité
qui doit être un maximum ou un minimum, est une fonction donnée de
et les dérivées
sont prises par rapport à
alors l’équation
devient
et donne la valeur de
ensuite le signe de
distingue le maximum du minimum.
Dans les questions dont il s’agit ici, la fonction
n’est donnée que par sa fonction dérivée
la fonction
est l’inconnue, et les dérivées
sont censées prises par rapport à la quantité
qu’on suppose contenue dans la fonction
Ainsi la difficulté consiste à déduire ces dérivées de la fonction donnée
Or,
étant
lorsque
devient
deviendra

en dénotant, comme plus haut, par des points les fonctions dérivées par rapport à
dans lesquelles on fait ensuite
de sorte que ces fonctions deviennent de simples fonctions de
qui peuvent même avoir une valeur quelconque, parce que la composition de la fonction
est supposée arbitraire par rapport à 
Ainsi, en prenant les fonctions dérivées par rapport à
il est clair que
deviendra pareillement

et
deviendra de même

et ainsi de suite.
Faisant ces substitutions à la place des quantités
dans la fonction donnée
et développant ensuite les puissances de
cette fonction deviendra

et, par la théorie des fonctions dérivées exposée dans les premières Leçons, il est facile de conclure que la quantité
qui, étant multipliée par
forme le premier terme du développement, sera la fonction dérivée de
en supposant
constant et
des variables indépendantes, dont les fonctions dérivées soient respectivement
De même
sera sa fonction dérivée du second ordre, prise relativement aux mêmes variables, et en supposant que
soient les fonctions secondes de
et ainsi de suite.
Nous appellerons en général variations du premier ordre, du second, etc., ces dérivées marquées par des points et relatives à la quantité
dans lesquelles cette quantité est supposée nulle. Ainsi
sera la variation du premier ordre de
sera la dérivée ordinaire de cette variation,
sera la variation du second ordre de
et ainsi de suite. De même,
seront les variations du premier ordre, du second ordre, etc., de
et
seront aussi les variations du premier ordre, du second ordre, etc., de
Et pour former ces variations, on suivra les mêmes règles que pour les fonctions dérivées ordinaires.
Ainsi, en faisant

on aura, suivant la notation employée dans ces Leçons,

Il est visible que cette fonction
est la même chose que celle que nous avons désignée par
au commencement de la Leçon précédente, en changeant seulement
en
parce que nous avons supposé alors que l’accroissement de
était représenté simplement par
Maintenant, puisque
est supposé la fonction primitive de
en
faisant
quelle que soit la fonction
elle le sera aussi en faisant
Dans ce cas, nous avons vu que
devient

et
devient

de sorte que, comme
peut être une quantité quelconque, il faudra que les variations
soient respectivement aussi les fonctions primitives des variations
ainsi on aura

La condition du maximum ou minimum consiste donc en ce que la fonction primitive de
soit nulle, quelle que soit la valeur de
Or si, pour plus de simplicité, on représente la valeur de
par la formule

et qu’on emploie relativement aux dérivées de

les transformations qu’on a enseignées au commencementde la Leçon précédente, relativement aux dérivées de

dans l’expression de

et dont l’objet est de réduire à des fonctions dérivées exactes tous les termes qui contiennent des dérivées de

on aura cette transformée

où l’on voit que tous les termes, à l’exception de ceux qui forment la première ligne, sont des fonctions dérivées exactes, de sorte que leurs fonctions primitives sont connues et déterminées, quelle que soit la quantité
au contraire, les termes de la première ligne étant tous multipliés par
ne peuvent avoir de fonction primitive, à moins qu’on ne donne à la variation
des valeurs particulières. Donc, comme cette variation doit demeurer indéterminée, il sera impossible que la fonction primitive de
devienne nulle, à moins que la première ligne de l’expression de
ne disparaisse, ce qui donnera l’équation indépendante de 

C’est l’équation qui contient la relation nécessaire entre les variables
et
pour l’existence du maximum ou minimum, et que nous appellerons équation générale du maximum ou minimum. En Géométrie, c’est l’équation de la courbe qui jouit de la propriété de maximum ou minimum. Il est facile de voir que cette équation sera en général de l’ordre
si la fonction proposée
est de l’ordre
c’est-à-dire si elle contient la dérivée
de sorte que son équation primitive en
et
contiendra
constantes arbitraires.
La première ligne de la valeur de
ayant disparu, on aura, en prenant la fonction primitive de

la quantité
étant une constante arbitraire.
Cette fonction ayant maintenant une valeur déterminée, pour que cette valeur soit nulle entre les limites données, il faudra que la différence des valeurs qui répondent à ces limites soit nulle.
Désignons par
et
les valeurs de
qui répondent à la première et à la seconde limite, dans lesquelles
aura des valeurs données, et représentons de la même manière les valeurs des autres quantités dans ces limites ; on aura cette équation particulière aux limites
savoir

à laquelle on devra satisfaire comme aux équations pour les maxima et minima du genre ordinaire ; et les conditions qui en résulteront serviront à déterminer les constantes arbitraires que la valeur de
en
pourra admettre.
Si les valeurs de
étaient supposées données aux deux limites, alors il est visible que les variations
et
seraient nulles à la fois ; par conséquent l’équation, ayant lieu d’elle-même, ne donnerait aucune condition à remptir.
Si au contraire aucune de ces valeurs n’était donnée, alors il faudrait égaler séparément à zéro tous les coefficients de ces mêmes variations, ce qui donnerait autant d’équations relatives à chacune des deux limites.
Mais il arrive le plus souvent que les valeurs de
et de ses dérivées aux deux limites ne sont ni toutes données ni toutes arbitraires, mais qu’il y a entre elles des relations données par la nature du problème. Alors il faudra, par le moyen de ces relations, réduire les variations
dans les deux limites au plus petit nombre possible, et égaler à zéro les coefficients de celles qui demeureront indéterminées.
L’équation générale

que nous venons de trouver pour le maximum ou minimum de la fonction primitive de
est, comme l’on voit, la même que celle que nous avons trouvée dans la Leçon précédente pour l’existence de cette fonction, indépendamment d’aucune relation entre les variables.
On voit maintenant la raison de cette identité des formules par la conformité des opérations analytiques dans les deux cas.
Il est d’ailleurs évident que, lorsque la fonction
est d’elle-même une dérivée exacte, sa fonction primitive est une fonction déterminée de
qui doit alors être rapportée aux deux limites, de manière que l’équation

ne doit plus donner de relation entre
et
et par conséquent doit se vérifier d’elle-même.
C’est par cette considération qu’Euler a trouvé le premier cette même équation, ou plutôt l’équation équivalente

pour la condition de l’intégrabilité de la formule
Condorcet a observé ensuite que, si la formule
était intégrable, il fallait que la variation
le fût aussi ; et de là il a conclu que les équations
de condition pour l’intégrabilité devaient être les mêmes que les équations entre les variables pour les maxima et minima. Notre analyse ne doit rien laisser à désirer sur cet objet.
Nous avons supposé jusqu’ici que la variation de
était nulle ; c’est ce qui a toujours lieu lorsque les limites sont fixes ; mais, comme dans la plupart des cas les limites sont variables, il est bon de voir ce que doit donner la variation de
Pour cela, il suffit de considérer que, la fonction
étant censée une fonction de
si l’on fait croître
de
l’accroissement de
sera, comme on l’a vu dans les premières Leçons,

Or
par l’hypothèse ; donc

et ainsi de suite.
Donc, pour avoir l’accroissement de
dans ce cas, il suffira d’ajouter respectivement aux variations
les termes
Ainsi, comme
il faudra ajouter à la valeur de
trouvée dans l’hypothèse où
ne varie pas le terme
Mais, comme la variation de
influe aussi sur celle de
en tant que cette quantité est fonction de
il faudra, dans ce cas, retrancher de celle-ci ce qui est dû à la variation de
dont nous venons de déterminer l’effet total sur les variations de
En effet, on a vu ci-dessus que,
étant
lorsque
devient
devient
Or,
devenant en même temps
devient par là

De la même manière,
qui est aussi fonction de
deviendra

et

deviendra

Donc l’accroissement total de
sera exprimé par

où l’on voit que
sont les variations totales de
dans le cas où l’on a égard à la variation
de 
Désignant, pour un moment, ces variations par
pour les distinguer des variations
qui ont lieu lorsque
est nul, on aura

donc

et, prenant les dérivées par rapport à 
![{\displaystyle {\overset {.}{y}}\,'=\left[\left({\overset {.}{y}}\right)-{\overset {.}{x}}y'\right]',\quad {\overset {.}{y}}\,''=\left[\left({\overset {.}{y}}\right)-{\overset {.}{x}}y'\right]'',\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ea57afb4f6315e2bf168076d2bc2718869c8a3)
Ce sont les valeurs qu’il faudra substituer à la place de
\overset{.}{y},\overset{.}{y}\,',\overset{.}{y}\,,\ldots
dans la variation
prise en regardant
comme invariable. Donc, si l’on a égard à la variation de
l’expression de
trouvée ci-dessus deviendra, en mettant simplement
au lieu de

Ainsi les termes de la transformée, qui seront multipliés par les variations
et
sans être des dérivées exactes, seront simplement

d’où l’on voit que l’équation générale

trouvée d’après la seule variation de
satisfait en même temps à la variation de
Donc cette variation n’influera que sur l’équation aux
limites

dans laquelle il faudra ajouter à la valeur de

le terme

et y changer

en
On peut parvenir au même résultat d’une manière moins simple, mais plus directe, en considérant immédiatement les variations de
et de ses dérivées.
Pour cela, il faut d’abord dépouiller la fonction
de la supposition de
pour pouvoir tenir compte des variations de
ce qui se fait en substituant, comme on l’a vu dans les Leçons précédentes,
au lieu de
au lieu de
et ainsi de suite, en multipliant la fonction
par
pour qu’elle puisse être la fonction dérivée de
Soit, pour abréger,

il faudra dans
substituer
à la place de
moyennant quoi cette quantité deviendra fonction de
et l’on aura la dérivée

qui se réduit à

et la variation

Ainsi tout consiste à trouver les valeurs des variations
Or,
étant
on aura

à cause de 
On peut faire ici

et l’on aura simplement

De même,
étant
on aura

Mais la valeur de
donne

donc, faisant cette substitution, et supposant
ce qui est permis ici, il viendra

On trouvera de la même manière et ainsi de suite.

et ainsi de suite.
Par ces substitutions, la variation
deviendra


Or on a trouvé ci-dessus

d’ailleurs
donc, faisant ces substitutions et supposant ici
on aura simplement

C’est la valeur complète de la variation de
déduite des variations de
et de
et de leurs dérivées.
Mais on a vu qu’il faut mettre
à la place de
donc on aura
à substituer à la place de
dans les formules données plus haut ; donc, mettant ici la valeur de
qu’on vient de trouver, et oloservant que

on aura, en faisant
le même résultat auquel on est parvenu ci-dessus par une autre voie.
Au reste, en regardant la quantité
comme une fonction de
et de leurs dérivées
on pourra traiter les variations de
comme on a fait celles de
Dans ce cas, la fonction
étant représentée par

on trouverait les termes

à ajouter à la variation
et, en désignant ces termes par la formules

on parviendrait, par des opérations relatives à la variation
et analogues à celles qu’on
employées pour la variation
à la transformée

De sorte que la partie de la valeur de
qui ne serait pas une dérivée exacte serait

Lorsque
est censée une fonction de
et qu’on peut par conséquent faire
nous venons de voir que la variation simultanée de
et de
donne, pour la partie de
qui n’est pas une dérivée exacte, la formule

Il faut donc alors que la formule précédente coïncide avec celle-ci, et que l’on ait par conséquent

D’où l’on voit que l’équation

que donnerait la variation de
est toujours équivalente à l’équation

qui provient de la variation de 
En effet, nous avons déjà trouvé par une, autre voie, dans la Leçon précédente, que ces équations ont toujours lieu à la fois.
Un des avantages du calcul des variations est de pouvoir faire varier indistinctement les indéterminées
ou
et leurs différentielles ; et l’identité des équations du maximum ou minimum, déduites de l’une et de l’autre de ces variations, a été un des premiers résultats de ce calcul auquel les anciennes méthodes n’auraient pu conduire. Mais les démonstrations qu’on en a données dans le second et le quatrième Volume des Mémoires de Turin[1] sont moins directes que celle qui se déduit des formules qui représentent cette double variation, et que nous venons d’exposer d’après Euler. Voyez le Tome III de son Calcul intégral.
Considérons maintenant le problème dans toute sa généralité, et d’abord, soit, comme ci-dessus,

on aura

Soit, de plus, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {Y} =f'(y)\ \ \ -\left[f'(y')\,\right]'+\left[f'(y'')\,\right]''-\left[f'(y''')\right]'''+\ldots ,\\&{\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}=f'(y')\ \ -\left[f'(y'')\right]'+\left[f'(y''')\right]''-\ldots ,\\&{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}=f'(y'')\ -\left[f'(y''')\right]'+\ldots ,\\&{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}=f'(y''')-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39dc96b2258c270a7051195f0ca70f218f5e3e85)
La variation
dans le cas où
ne varie pas, sera

où les termes qui ne sont pas sous la forme de fonctions dérivées doivent s’évanouir, ce qui donne d’abord, comme on l’a vu, l’équation générale 
Ensuite, à cause de
on aura la variation de

et l’équation aux limites sera

Si l’on veut que
varie en même temps que
on changera
en
et l’on ajoutera à
le terme
Supposons, en second lieu, que la fonction proposée contienne une troisième variable
avec ses fonctions dérivées
on fera, relativement à cette variable, des opérations analogues à celles qu’on a employées pour la variable
et la valeur de
en supposant
invariable, se trouvera composée de deux parties semblables, l’une relative à
l’autre relative à
Ainsi, en supposant

et conservant les expressions de
on fera, de plus,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {Z} =f'(z)\quad -\left[f'(z')\,\right]'+\left[f'(z'')\,\right]''-\left[f'(z''')\right]'''+\ldots ,\\&{\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\,=f'(z')\ \ -\left[f'(z'')\right]'+\left[f'(z''')\right]''-\ldots ,\\&{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\ =f'(z'')\ -\left[f'(z''')\right]'+\ldots ,\\&{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}=f'(z''')-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d335f4fbccc0535c34a123f3831478cb2fffe8c8)
et l’on aura sur-le-champ


Les termes

qui ne sauraient être des fonctions dérivées exactes, tant que

et

ont des valeurs arbitraires, doivent être détruits, ce qui donnera d’abord l’équation générale

à laquelle on satisfera de différentes manières, suivant que les variables
et
seront indépendantes l’une de l’autre, ou qu’elles seront liées entre elles par des relations données.
On aura ensuite, en prenant les fonctions primitives, à cause de
l’équation

c’est la valeur qu’il faudra substituer dans l’équation aux limites

Si l’on veut que
varie aussi, on changera
et
en
et l’on ajoutera à
le terme
Reprenons l’équation
S’il n’y a aucune relation donnée par les conditions du problème entre
et
leurs variations seront indépendantes l’une de l’autre, et l’on ne pourra vérifier l’équation dont il s’agit qu’en faisant séparément

deux équations qui serviront à déterminer
et
en fonctions de 
Mais, si les variables
et
étaient liées par une équation de condition entre
que nous représenterons par

il faudrait tirer de cette équation la valeur de
en
et
et la substituer dans l’expression de
mais, pour faire usage de l’équation
il suffit d’avoir le rapport entre les variations
et
et pour cela, il n’y a qu’à considérer que, la relation entre les quantités
devant subsister aussi dans l’état varié, l’équation

devra avoir lieu aussi en y mettant

au lieu de

et

au lieu de

et

quelle que soit la quantité

D’où et de ce qui a été démontré dans les premières Leçons, il est facile de conclure que les dérivées de cette équation, relatives aux variations de

devront avoir lieu aussi. De sorte que l’équation de condition

donnera les équations variées

Or, en regardant
comme invariable, on a

puisque l’algorithme des variations est le même que celui des dérivées.
Ainsi on aura l’équation

d’où l’on tire le rapport de
à
lequel, étant ensuite substitué dans l’équation
du maximum ou minimum, donnera celle-ci

qui, étant combinée avec l’équation de condition
servira à déterminer les valeurs de
et
en 
Nous avons supposé dans le calcul précédent que
ne variait pas. Si l’on voulait tenir compte des variations de
on aurait, à la place de l’équation
celle-ci

Or l’équation de condition
donnerait d’un côté l’équation dérivée

et de l’autre l’équation variée

substituant dans celle-ci la valeur de

tirée de la précédente, on aura

Et cette équation, combinée avec l’équation ci-dessus, donnera également l’équation

On voit par là, en général, que la variation de
n’influe que sur l’équation aux limites, et nullement sur l’équation générale du maximum ou minimum.
Supposons maintenant, pour embrasser le problème dans toute son étendue, que l’équation de condition entre
contienne aussi les dérivées de
et de
et soit en général de la forme

on tirera de là l’équation variée

laquelle, en n’ayant égard qu’aux variations de
se développera ainsi :

Comme les dérivées de
ne paraissent dans cette équation que sous la forme linéaire, il est possible d’en déduire l’expression de
en employant la méthode des multiplicateurs et prenant successivement les fonctions primitives ; mais de cette manière on entre dans des calculs longs et compliqués, et il est beaucoup plus simple d’employer les multiplicateurs, de la manière dont on a usé dans la Mécanique analytique, qui est toute fondée sur le calcul des variations.
On se contentera donc de multiplier le premier membre de cette équation par un coefficient indéterminé
et de l’ajouter à l’expression précédente de la variation
en ayant soin en même temps de transformer tous les nouveaux termes de manière que les fonctions dérivées des variations
et
ne se trouvent que dans des fonctions dérivées exactes, comme on l’a pratiqué à l’égard des termes de la valeur de
On aura ainsi une nouvelle expression de
dans laquelle on pourra maintenant traiter les variations de
et de
comme indépendantes, à raison de l’indéterminée
Soient, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\ (\mathrm {Y} )\,\ =\lambda \operatorname {F} '(y)\,\ -\left[\lambda \operatorname {F} '(y')\,\right]'+\left[\lambda \operatorname {F} '(y'')\,\right]''-\ldots ,\\&\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)=\lambda \operatorname {F} '(y')\,-\left[\lambda \operatorname {F} '(y'')\right]'+\ldots ,\\&\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)=\lambda \operatorname {F} '(y'')-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\ (\mathrm {Z} )\,\ =\lambda \operatorname {F} '(z)\,\ -\left[\lambda \operatorname {F} '(z')\,\right]'+\left[\lambda \operatorname {F} '(z'')\,\right]''-\ldots ,\\&\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)=\lambda \operatorname {F} '(z')\,-\left[\lambda \operatorname {F} '(z'')\right]'+\ldots ,\\&\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)=\lambda \operatorname {F} '(z'')-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8b37f617b0a7f0ad279a0fff6a3dcb09241a53)
Les termes à ajouter à l’expression de la variation
seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\quad (\mathrm {Y} ){\overset {.}{y}}+(\mathrm {Z} ){\overset {.}{z}}\\+&\left[\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right){\overset {.}{y}}\right]'+\left[\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}\right){\overset {.}{y}}\,'\right]'+\ldots \\+&\left[\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\,\right){\overset {.}{z}}\right]'+\left[\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\,\right){\overset {.}{z}}\,'\right]'+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1dd037f8402ae4659eff158eabb838583aa0399)
Donc, puisqu’on peut maintenant regarder les variations
et
comme indépendantes, on aura d’abord, par les principes posés ci-dessus, les deux équations générales du maximum ou minimum

entre lesquelles il faudrait éliminer l’indéterminée
et l’équation résultante, combinée avec l’équation de condition, donnera les valeurs de
et
en 
Ensuite la variation
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {\overset {.}{U}} &=\mathrm {\left[{\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)\right]} {\overset {.}{y}}+\mathrm {\left[{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)\right]} {\overset {.}{y}}\,'+\ldots \\&+\mathrm {\left[{\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\,+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\,\right)\right]} {\overset {.}{z}}\,+\mathrm {\left[{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\,+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\,\right)\right]} {\overset {.}{z}}\,'+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e7d1b3d0688d3644b9d2b0b71917754ec1cc454)
valeur qu’on substituera dans l’équation aux limites

Si l’on veut avoir égard en même temps à la variation de
on ajoutera à
le terme
et l’on changera les quantités
et leurs dérivées en
et dans les dérivées de celles-ci.
Il faudrait, à la rigueur, dans ce cas, ajouter à la valeur de
le terme
d’après les formules trouvées plus haut pour la valeur complète de la variation de
Ce terme se transforme en
mais il disparaît ici en vertu de l’équation
Il faudrait néanmoins le conserver si l’équation de condition n’était donnée que par l’équation variée
Dans l’équation aux limites, on pourra regarder aussi les variations
et
ainsi que leurs dérivées, comme indépendantes, à moins que la nature du problème ne donne aussi des conditions particulières aux limites.
Supposons, par exemple, que l’on ait une ou plusieurs équations de condition entre les quantités
rapportées aux deux limites, c’est-à-dire entre les quantités
et que le maximum ou minimum ne doive avoir lieu que parmi les fonctions qui, prises entre les limites données, satisfont à ces conditions ; il faudra que les mêmes équations subsistent dans l’état varié, c’est-à-dire en y mettant
à la place de
par conséquent on aura aussi les variations de ces équations, comme nous l’avons déjà vu plus haut.
Désignons par

une de ces équations de condition ; elle donnera l’équation variée

On multipliera cette équation et les autres semblables par des coefficients indéterminés
et on les ajoutera à l’équation des limites données ci-dessus, après quoi on pourra traiter toutes les variations

comme indépendantes, et égaler à zéro chacun de leurs coefficients, ce qui donnera autant d’équations particulières aux limites qu’il y aura de ces variations. On satisfera ensuite à ces équations par le moyen des coefficients arbitraires
et des constantes arbitraires qui entreront dans les expressions de
en 
À l’égard des variations
il est bon de remarquer que, la fonction
étant donnée par une équation dérivée, si cette équation est de l’ordre
par rapport à
les valeurs de
correspondantes à une valeur donnée de
seront arbitraires et devront être déterminées par les conditions du problème. Ainsi, en rapportant ces valeurs à la première limite, il faudra regarder les quantités
comme des fonctions données de
donc les variations
seront aussi données en fonctions de
multipliées par les variations
Alors les variations
qui se rapportent à la seconde limite, seront absolument indéterminées, et il faudra les faire évanouir en égalant leurs coefficients à zéro.
On pourrait demander que la fonction
donnée par l’équation de condition fût elle-même un maximum ou un minimum. Il n’y aurait alors qu’à supposer
et par conséquent
On aurait donc dans ce cas

Donc

Les équations générales du maximum ou minimum seraient donc simplement

On aurait ensuite
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {U} }}=\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right){\overset {.}{y}}+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}\right){\overset {.}{y}}\,'+\ldots +\left[1+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)\right]{\overset {.}{z}}+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)z'+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f45a3e7d07d9fc6bc9cae7ff9c6191f28450e41)
L’équation
servira à déterminer la variable
et l’équation
combinée avec l’équation donnée
donnera la valeur de
en
Soit
la plus haute dérivée de
qui entre dans cette équation ; l’équation
sera linéaire et de l’ordre
par rapport à
la valeur de
contiendra donc autant de constantes arbitraires et linéaires aussi, qui serviront à faire évanouir les variations
dans l’équation des limites ; les variations
étant censées données par la nature du problème, comme nous venons de le remarquer.
Il faudra donc déterminer ces constantes de manière que l’on ait

et l’on remplira ces conditions en faisant simplement

et de plus

Ceci revient à la solution donnée dans le Tome IV des Mémoires de Turin[2].
En général, soit
une fonction quelconque des variables
, et de leurs dérivées d’un ordre quelconque, à l’exception de
dont la dérivée soit supposée l’unité ; et soient
des équations de condition entre ces variables et leurs dérivées, dont le nombre ne surpasse pas celui des variables diminué de deux unités, afin qu’il reste des relations indéterminées entre les mêmes variables.
Le problème de maximis et minimis, dont il s’agit ici, consiste à déterminer ces relations de manière que la fonction primitive de
devienne un maximum ou un minimum entre des limites données, correspondantes à des valeurs données de
Pour le résoudre de la manière la plus générale, on cherchera les variations des fonctions
dues aux variations de
et désignant ces variations par
on considérera la formule

dans laquelle
sont supposées des variables indéterminées.
On fera sur cette formule les transformations enseignées plus haut, par lesquelles les fonctions dérivées des variations
ne paraissent plus que dans des termes qui sont des fonctions dérivées exactes. Elle deviendra ainsi de la forme

Et l’on aura d’abord les équations générales

qui, étant combinées avec les équations de condition

serviront à déterminer les variables

Ensuite, faisant

on aura l’équation aux limites
à laquelle on devra satisfaire, indépendamment des variations 
Et, pour tenir compte de la variation de
il n’y aura qu’à changer
en
et ajouter à la valeur de
le terme
Comme la nature du problème peut fournir aussi des équations de condition entre les variables
rapportées à ces limites, désignons par
ces équations de condition, de manière que
soient des fonctions données de
On formera les équations variées
dues aux variations de chacune des quantités
on ajoutera ces équations multipliées par les coefficients indéterminés
à l’équation aux limites.
On aura ainsi l’équation

dans laquelle on égalera séparément à zéro le coefficient de chacune des variations dont il s’agit.
Ces formules servent à répondre à toutes les questions où l’on cherche des maxima ou minima absolus. Voyons aussi comment on y peut rappeler les questions où l’on ne demande que des maxima ou minima relatifs, c’est-à-dire dans lesquelles la fonction primitive d’une fonction donnée ne doit être un maximum ou un minimum entre des limites assignées, qu’autant que les fonctions primitives d’autres fonctions données auront des valeurs données entre les mêmes limites.
Soit
la fonction donnée dont la fonction primitive doit avoir une valeur déterminée entre les limites assignées. Supposons que
soit cette fonction primitive, en sorte que l’on ait l’équation
La condition dont il s’agit consiste en ce que la quantité
doit avoir une valeur donnée ; par conséquent, sa variation devra être nulle, ce qui donne l’équation aux limites
Pour introduire cette condition dans la solution générale du problème de maximis et minimis, je regarde l’équation
comme une équation de condition, et je la traite comme les équations de condition
Je multiplie par un coefficient variable et indéterminé
la variation
et j’ajoute à la formule générale
j’ai

Le terme
se transforme en ceux-ci :
et, comme ces termes sont les seuls qui contiennent la variable
la variation
donnera d’abord l’équation
d’où l’on tire
étant une constante arbitraire.
Ensuite l’autre partie
qui est une dérivée exacte, donnera dans l’expression de
le terme
et dans l’équation aux limites les termes
à cause de
Mais on a, par les conditions du maximum ou minimum relatif,
Donc la valeur de
ne recevra aucun changement.
Il n’y aura donc que la variation
qui devra être ajoutée à la formule générale, ce qui revient à substituer à la place de la fonction
la fonction
et à chercher les conditions du maximum ou minimum absolu de la fonction primitive de
étant une constante quelconque arbitraire.
On trouverait de la même manière que si la fonction primitive de
ne devait être qu’un maximum ou minimum relatif, en supposant que les fonctions primitives de
et de
aient des valeurs déterminées, la question se réduirait au maximum ou minimum absolu de la fonction primitive de
et
étant des constantes arbitraires.
Ce résultat s’accorde, comme l’on voit, avec celui qu’Euler avait trouvé par la considération des variations des ordonnées successives dans les courbes.
Telles sont les formules générales pour la solution des problèmes de maximis et minimis qui dépendent de la méthode des variations, et l’on voit que ces formules s’étendent à tous les cas ; mais dans chaque cas particulier, au lieu d’y appliquer ces formules, il sera quelquefois préférable d’opérer directement sur les fonctions proposées, en suivant la marche que nous venons de tracer.
Quant à la manière de distinguer les maxima des minima, et même de s’assurer de leur existence, nous avons vu qu’elle dépend des variations du second ordre ; mais nous n’entrerons pas dans un détail qui nous mènerait trop loin ; on peut voir d’ailleurs ce que nous avons dit là-dessus dans la Théorie des fonctions[3]. Nous remarquerons seulement qu’en prenant la variation du second ordre de la fonction
il sera inutile d’avoir égard aux variations du second ordre de la variable
parce que, les termes affectés de
dans l’expression de
étant les mêmes que ceux affectés de
dans
ces termes doivent disparaître par les conditions du maximum ou minimum, quelle que soit la valeur de
ou de
Ainsi on aura, pour la variation du second ordre, les mêmes formules que dans l’endroit cité, en changeant seulement aussi
en
et par conséquent les mêmes résultats.
Pour ne rien laisser à désirer sur cette matière, nous dirons encore un mot des maxima et minima qui dépendent des fonctions de plusieurs variables. La première question de ce genre a été résolue par la méthode des variations, dans le second Volume des Mémoires de Turin[4]. Il s’agissait de trouver, parmi toutes les surfaces courbes qui sont terminées par le même périmètre, celle qui est la plus petite possible problème qui est, par rapport aux surfaces, ce que les problèmes dont on vient de traiter sont par rapport aux lignes.
En nommant
l’ordonnée perpendiculaire aux deux abscisses
et
et qui est censée fonction de ces deux-ci, et désignant par des traits séparés par une virgule fonctions dérivées de
prises par rapport à
et
comme on l’a fait dans la Leçon XIX, la grandeur ou la quadrature de la surface est exprimée par la double fonction primitive de la formule

prise d’abord par rapport à une seule des variables
et ensuite par rapport à l’autre, en substituant pour la première sa valeur donnée par l’équation du contour de la surface. Ainsi le problème con-
siste à trouver la fonction

de

et

qui rendra cette double fonction primitive un maximum ou un minimum.
Pour le rendre plus général, nous supposerons qu’on demande de rendre un maximum ou un minimum la double fonction primitives d’une fonction donnée de
Désignons cette fonction par
de manière que l’on ait

et soit
la double fonction primitive de
qui doit devenir un maximum ou un minimum. Il faudra, par les principes établis ci-dessus, que sa variation
soit nulle. Or,
donc, prenant les variations,
Si l’on dénote de même par des traits placés au bas les fonctions primitives, ainsi qu’on l’a indiqué dans la Leçon XIII, on pourra passer de l’équation précédente à celle-ci qui est inverse,
par laquelle on voit que le problème consiste à rendre nulle la double fonction primitive de la variation 
Or on a, en prenant les variations de
et de ses dérivées,

formule que nous représenterons, pour plus de simplicité, par

On fera dans cette formule les transformations employées plus haut, par lesquelles les dérivées de la variation
ne se trouvent que dans des termes qui sont des dérivées exactes.
Ainsi le terme
se changera en
le terme
se changera en
et ainsi des autres, en conservant la position des virgules qui séparent les traits relatifs aux variables
et
De cette manière on aura la transformée

On voit d’abord ici qu’il est impossible que la double fonction primitive de
devienne nulle, quelle que soit la variation
à moins que les termes affectés simplement de
ne disparaissent ; ce qui donne d’abord l’équation générale du maximum ou minimum

La première ligne de l’expression de
étant effacée, si l’on prend maintenant les doubles fonctions primitives de part et d’autre, on aura

Comme il n’y a plus ici que des fonctions primitives simples, chacune d’elles se rapporte uniquement à une des variables
en regardant l’autre de ces variables comme déterminée par l’équation qui donne la courbe des limites entre lesquelles le maximum ou minimum doit avoir lieu.
Le cas le plus simple est lorsque le contour de la surface représentée par l’équation en
est supposé tout à fait donné et invariable. Alors les variations de
et de ses dérivées sont nulles relativement à la courbe de ce contour, et par conséquent aussi dans toute l’étendue des fonctions primitives simples de la variation
et la condition de
se trouve remplie d’elle-même.
L’équation du maximum ou minimum sera donc, en substituant les valeurs de
![{\displaystyle f'(z)-\left[f'\left(z'^{,}\right)\right]'^{,}-\left[f'\left(z^{,}\,\!'\right)\right]^{,}\,\!'+\left[f'\left(z''^{,}\right)\right]''^{,}+\left[f'\left(z'^{,}\,\!'\right)\right]'^{,}\,\!'+\left[f'\left(z^{,}\,\!''\right)\right]^{,}\,\!''+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53d853af3cddf06209c33123a3c262c5eb11dc4)
qu’on voit être du genre de celles que nous avons considérées dans les Leçons XIX et XX, et dont les équations primitives contiennent des fonctions arbitraires.
Les cas plus compliqués se résoudront par des considérations analogues à celles que nous avons faites sur les problèmes ou l’on ne cherche que des fonctions d’une variable.
Pour donner maintenant quelques applications des méthodes et des formules que nous venons d’exposer, nous prendrons d’abord le problème le plus simple de ce genre, qui consiste à trouver la ligne la plus courte entre des termes donnés. En supposant que la ligne cherchée soit toute dans un même plan, et prenant
pour ses coordonnées, la longueur de la ligne sera exprimée en général par la fonction primitive de l’expression
qui, étant représentée par
ou
donnera

Ainsi l’équation générale du maximum ou minimum sera

Ensuite on aura

et l’équation aux limites sera

L’équation générale donne tout de suite

d’où l’on tire

et
étant deux constantes arbitraires ; ce qui est l’équation générale, de la ligne-droite.
Si les deux extrémités de la ligne étaient données, on aurait
et
par conséquent l’équation aux limites aurait lieu sans aucune condition.
En général, l’équation aux limites se réduira à

où
de sorte que, si la ligne cherchée devait être terminée
des deux côtés ou d’un seul par des lignes perpendiculaires à l’axe des

les variations

seraient toutes les deux, ou une seulement, arbitraires dans l’un et l’autre cas, l’équation aux limites donnerait

et par conséquent

ce qui réduit la ligne la plus courte à une droite parallèle à l’axe.
Si la ligne la plus courte devait être terminée de part et d’autre par deux lignes données droites ou courbes, il faudrait alors tenir compte dans l’équation aux limites des variations de
et
à la fois. Il faudra donc mettre dans l’expression de
à la place de
et y ajouter le terme
On aura ainsi

et, réduisant,

L’équation aux limites étant
si l’on suppose que les deux limites soient indépendantes l’une de l’autre, on aura séparément
et