La Vie de M. Descartes/Livre 4/Chapitre 13

Le rang que M Descartes tenoit parmi les mathématiciens du siécle ne permettoit pas qu’il se passât rien de considérable dans leur corps sans sa participation. Il ne parut rien de plus éclatant chez eux que la fameuse question de la roulette qui les exerça pendant le cours de l’année 1638, et qui se trouvant agitée à Paris comme dans le lieu de son centre, fut déférée à M Descartes en Hollande, et à M De Fermat en Languedoc. On la publioit comme une invention de M De Roberval, et l’on peut dire que rien n’avoit encore donné tant d’accroissement à la réputation où il s’est vû de l’un des prémiers géométres de son têms. Le nom de roulette étoit de la fabrique du P Mersenne, à qui il semble que l’on avoit la prémiére obligation de cette nouvelle découverte. Mais pour satisfaire la curiosité de ceux qui souhaiteront de sçavoir par quels degrez on est arrivé à la connoissance de cette ligne et de sa nature, il est à propos de faire un abrégé historique de ce qui la regarde : et je reprendray la chose à sa source, d’autant plus volontiers qu’elle est de beaucoup postérieure à la naissance de Monsieur Descartes.

Cette prémiére circonstance de sa nouveauté doit sans doute nous surprendre, de voir qu’une ligne si commune, qui n’est guéres moins fréquente dans l’usage du mouvement que la ligne droite et la ligne circulaire, et qui se décrit incessamment aux yeux de tout le monde, n’ait pas été considérée par les anciens, dans les écrits desquels on prétend qu’il ne s’en trouve point de vestige. Cette ligne n’est autre chose que le chemin que fait en l’air le clou d’une rouë, quand elle roule de son mouvement ordinaire, depuis que ce clou commence à s’élever de terre, jusqu’à ce que le roulement continu de la rouë l’ait rapporté à terre aprés un tour entier achevé. Mais dans cette définition il faut supposer pour la commodité des opérations géométriques que la rouë soit un cercle parfait ; que le clou soit un point marqué dans la circonférence de ce cercle ; et que la terre que touche ce point en commençant et en finissant son tour soit parfaitement unie ou plane.

On prétend que le Pére Mersenne fut le prémier qui la remarqua, et qu’il en fit l’observation vers l’an 1615 en considérant le roulement des rouës. Sans une autorité du poids de celle de M Pascal Le Jeune nous aurions de la peine à nous persuader que cette observation fût même si ancienne en la donnant au P Mersenne. Ce pére n’avoit encore alors que 26 à 27 ans. Il demeuroit à Nevers, éloigné du commerce des mathématiciens, auquel il semble ne s’être engagé que depuis son établissement au couvent des minimes de la place Royale à Paris ; ce qui n’arriva que quatre ans aprés le têms auquel on suppose qu’il fit cette observation. Quoy qu’il en soit, ce fut ce pére qui luy donna le nom de la roulette , à cause que sa description se fait par un tour de rouë. Aprés en avoir fait la remarque il voulut en reconnoître la nature et les propriétez. Mais comme il n’étoit pas aussi heureux à résoudre les belles questions qu’à les former, il n’eut point assez de pénétration pour venir à bout de celle-cy. Cela l’obligea d’en faire la proposition à d’autres, et il exhorta à rechercher la nature de cette ligne tous les habiles gens de l’Europe qu’il en jugea capables, et entre autres le célébre Galilée.

Mais aucun d’eux n’y put réüssir, et tous semblérent perdre l’espérance de voir jamais la solution de cette difficulté.

Dix-neuf ou vingt années se passérent de cette sorte, jusques à ce qu’en 1634 ce pére voyant résoudre à M De Roberval nouvellement professeur en la chaire de Ramus plusieurs problémes, il ne le crût pas incapable de luy donner la solution de la roulette. Il ne fut pas trompé. M De Roberval démontra que l’espace de la roulette est triple de la rouë qui la forme : et il s’avisa pour lors de l’appeller en latin trochoïdes plûtôt que rotula , d’un nom tiré du grec correspondant au mot françois de roulette . Il fit connoître au Pére Mersenne que la question étoit résoluë : et il luy déclara même cette raison triple , en exigeant néanmoins de luy qu’il la tiendroit sécréte pendant l’espace d’un an qu’il prendroit pour proposer de nouveau cette question à tous les géométres. Le pére ravi de ce succés, leur écrivit à tous, si nous en croyons M Pascal, et il les pressa d’y penser tout de nouveau, en leur déclarant que M De Roberval l’avoit résoluë sans leur dire comment. L’année et plus, selon le même auteur, se passa, sans qu’aucun en eût trouvé la solution. Le P Mersenne leur écrivit pour la troisiéme fois en 1635, et il leur découvrit alors que la raison de la roulette à la rouë étoit comme trois à un. Avec ce nouveau secours, continuë M Pascal, il s’en trouva deux qui en donnérent la démonstration. Le P Mersenne reçût leurs solutions presque en même têms, l’une de M De Fermat conseiller au parlement de Toulouse, l’autre de M Descartes, toutes deux différentes l’une de l’autre, et encore de celle de M De Roberval. De telle sorte néanmoins qu’en les considérant toutes trois ensemble, il n’étoit pas difficile de reconnoître quelle étoit celle du véritable auteur, c’est-à-dire de M De Roberval, qui avoit le prémier donné la solution du probléme. Car la démonstration de M De Roberval avoit un caractére tout particulier pour se faire distinguer des deux autres : elle étoit prise par une voye si belle et si simple, qu’il étoit aisé de voir que c’étoit la naturelle. Ce fut en effet par cette même voye que M De Roberval arriva depuis à des dimensions bien plus difficiles sur ce sujet, à quoy ny la méthode de M De Fermat ny celle de M Descartes n’ont pû servir.

Ce récit paroît si bien circonstancié, et il nous est venu de la part d’un auteur d’un si grand nom, qu’il semble qu’il ne nous resteroit plus rien à examiner touchant la vérité de ce fait, principalement aprés M Pascal, qu’on devroit supposer en avoir été le mieux informé des hommes, et qui semble avoir perfectionné la connoissance de tout ce qui peut regarder la roulette. Mais comme nous ne devons pas faire paroître moins d’amour que luy pour la vérité, nous pouvons prendre la liberté qu’il nous auroit donnée luy-même de retoucher à son récit avec d’autant moins de scrupule, qu’il nous auroit prévenu sans doute en ce qui regarde la part que M Descartes peut avoir euë dans la question de la roulette, s’il avoit sçû la maniére dont le P Mersenne et M Descartes vivoient ensemble, et s’il avoit pû voir ce qu’ils se sont écrit l’un à l’autre sur ce sujet.

Je passe la difficulté que j’ay déja trouvée à croire que le P Mersenne se fût avisé de remarquer la roulette dés l’an 1615, et qu’il eût été vingt ans depuis sans pouvoir trouver personne, non pas même Galilée qui fût capable de rechercher la nature de cette ligne. Je veux que la multitude presque infinie d’opérations géométriques qu’il avoit faites pendant plusieurs années avec M Descartes, M Mydorge, et M Hardy avant la retraite du prémier en Hollande, ne luy eussent rien produit sur ce sujet, quoique M Descartes fût dés-lors en réputation de ne pouvoir demeurer court sur ce qui peut être du ressort de la géométrie. Mais s’il étoit certain que ce pére de concert avec M De Roberval eût écrit à tous les géométres dés l’an 1634 pour leur proposer la question de la roulette et leur en demander la solution, il est plus que probable qu’il n’auroit pas oublié M Descartes, à qui depuis cinq ans il étoit en habitude d’écrire réglément toutes les semaines en Hollande, et trés-souvent de trois jours en trois jours sur des sujets de mathématiques beaucoup moins importans. S’il en avoit écrit dés-lors à M Descartes, il en auroit infailliblement reçû quelque réponse selon leurs conventions, par lesquelles le P Mersenne s’étoit obligé de luy mander tout, et M Descartes de luy répondre exactement à tout. Le P Mersenne n’auroit certainement pas été réduit à luy écrire sur la roulette une seconde et troisiéme fois pour en arracher une réponse qu’on prétend n’être venuë qu’aprés plus d’un an, c’est-à-dire en 1635, qui est un caractére de fausseté trés-manifeste. Il est assez visible que la prémiére fois que le P Mersenne écrivit à M Descartes touchant la roulette et la démonstration de M Roberval n’arriva que trois ans aprés le têms auquel on suppose qu’il luy en écrivit pour la troisiéme fois. La lettre de ce pére est du Xxviii D’Avril 1638. Elle apprenoit à M Descartes que M De Roberval avoit trouvé quantité de belles spéculations nouvelles, tant géométriques que méchaniques ; qu’entre autres choses il avoit démontré que l’espace compris par une ligne courbe, dont les extrémitez tombent sur les deux bouts d’une ligne droite en demi cercle, est triple de la roulette ou cercle qui se meut dans cét espace depuis le prémier point d’une extrémité jusqu’au dernier point de l’autre sur le plan ou la ligne droite ; que cét espace est fait par la roulette même qui se meut, lors que la ligne droite est égale à la circonférence de cette roulette, etc.

M Descartes répondit à cette lettre vers le milieu du mois de may suivant, en des termes qu’il est nécessaire de rapporter mot à mot, pour servir de preuve à ce qu’on vient de marquer. J’ay reçû, dit-il à ce pére, vos lettres du vingt-huitiéme d’avril et du prémier de may en même têms : et outre les lettres des autres, j’y trouve vingt-six pages de vôtre écriture ausquelles je dois réponse. Véritablement c’est une extréme obligation que je vous ay, et je ne sçaurois penser à la peine que je vous donne que je n’en aye un trés-grand ressentiment. Mais ad rem . Vous commencez par une invention de Monsieur De Roberval, touchant l’espace compris dans la ligne courbe que décrit un point de la circonférence d’un cercle (ou roulette) qu’on imagine rouler sur un plan ; à laquelle j’avouë que je n’ay cy-devant jamais pensé, et que la remarque en est assez belle. Mais je ne vois pas qu’il y ait dequoy faire tant de bruit, d’avoir trouvé une chose qui est si facile, que quiconque sçait tant soit peu de géométrie ne peut manquer de la trouver, pourvû qu’il la cherche. M Descartes donne ensuite la démonstration de la roulette que le Pére Mersenne souhaitoit de luy : et l’on ne doutera point que cette lettre que M Pascal n’avoit point vûë non plus que celle du P Mersenne, ne soit de l’an 1638, lors qu’on remarquera qu’il y est fait mention de ses différens avec M De Fermat, M De Roberval, M Petit, et M Morin, et de plusieurs autres faits historiques arrivez cette année et sur la fin de la précédente. Le P Mersenne ne manqua point de faire voir à M De Roberval la démonstration de la roulette que M Descartes luy avoit envoyée : mais celuy-cy la trouva trop courte pour être bonne, en quoy il fit connoître qu’il avoit le goût fort différent de celuy de M Descartes. Ce pére en récrivit au mois de juin suivant à M Descartes, qui voulut bien luy donner sur ce point des éclaircissemens qu’il luy envoya au mois de juillet, en luy marquant qu’il ne luy avoit point envoyé la démonstration de la roulette au mois de may dernier comme une chose d’aucune valeur, mais seulement afin de faire voir à ceux qui en faisoient grand bruit, qu’elle étoit trés-facile. Je l’avois écrite, dit-il, fort succinctement, tant afin d’épargner le têms, que parce que je pensois que ces messieurs (c’est-à-dire M De Roberval et peut-être M Pascal le pére) ne manqueroient pas de la reconnoître pour bonne, si-tôt qu’ils en verroient les prémiers mots. Mais puisque j’apprens qu’ils la nient, je l’éclairciray icy de telle sorte, qu’il sera facile à chacun d’en juger.

Aprés ce préambule, M Descartes donna au P Mersenne une explication trés-ample de sa démonstration de la roulette, et l’avertit sur la fin qu’il n’y avoit rien à changer à cette démonstration, et que l’éclaircissement qu’il venoit d’y ajoûter n’étoit diffus qu’afin de pouvoir être entendu par ceux qui ne se servoient point d’analyse, les autres n’ayant besoin que de trois coups de plume pour la trouver par le calcul.

Il se trouvoit dans diverses questions dépendantes de celle de la roulette plusieurs choses dont M De Roberval témoignoit n’avoir point de connoissance. Il en écrivit au P Mersenne, pour le prier de s’en informer à d’autres, et de leur en demander l’explication. Le pére s’addressa à M Descartes, sa ressource ordinaire, et il en fut satisfait par une lettre écrite du Xxiii d’août de la même année. Je vous envoye, luy dit-il, des solutions de tout ce que M De Roberval dit ne sçavoir pas dans la lettre dont vous m’avez envoyé la copie. Mais je vous prie de les faire voir à plusieurs avant luy, et même de ne luy en point donner l’original. Car j’ay tant remarqué de procédures indirectes dans sa conduite, que je crois qu’il ne faut pas trop s’y fier. Et s’il n’avoit pû comprendre ma prémiére démonstration de la roulette, il ne comprendra peut-être pas non plus tout ce qui est dans celles-cy. Mais il m’auroit coûté trop de peine, pour expliquer et éclaircir toutes choses en les réduisant à la portée des enfans. Je seray bien aise de sçavoir ce qu’il aura dit de ma derniére explication de la démonstration de la roulette : car je crois qu’elle est si claire, que s’il la nie, les moindres écoliers seront capables de se mocquer deluy.