La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/2/06

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 31-33).

Quelques classes arithmétiques

35. Dans l’idéographie arithmétique ordinaire il n’y avait aucun signe pour représenter les différentes $\mathrm {Cls}$ de nombres.

Pour combler cette lacune et rendre possible d’écrire les propositions de l’Arithmétique en se passant du langage ordinaire, on a introduit dans le Formulaire, comme symboles, des abréviations de mots ou de phrases d’usage commun ; ainsi, par ex. :
                         $\mathrm {N} =$ nombre entier absolu
(que pour le moment, on peut lire « nombre » tout court)
                         $\mathrm {N_{p}} =$ nombre premier

En outre, on a convenu que toute opération indiquée pour une $\mathrm {Cls}$ doit être exécutée sur chacun de ses individus ; ainsi, par ex. :

$\mathrm {7N=7\times N=}$ 7 multiplié par un $\mathrm {N}$ (quelconque) = multiple de 7
$\mathrm {2N=}$ multiple de 2 = nombre pair

$\mathrm {2N} +1=$ nombre pair augmenté de 1 = nombre impair
$\mathrm {N^{2}} =$ carré d’un $\mathrm {N}$
$\mathrm {N^{3}} =$ cube d’un $\mathrm {N}$

$\mathrm {N^{2}+N^{2}} =$ somme des carrés de deux $\mathrm {N}$, etc.

Comme je me servirai de ces écritures conventionnelles dans les exemples tirés de l’arithmétique, il est bon de s’accoutumer à les lire couramment et de la manière qui est la plus proche de l’usage commun.

Voici, par ex., des appartenances [24] :

	$\mathrm {6\;\varepsilon \;N}$	$\mathrm {47\;\varepsilon \;Np}$	$\mathrm {42\;\varepsilon \;7N}$
	$\mathrm {10\;\varepsilon \;2N}$	$\mathrm {15\;\varepsilon \;(2N+l)}$	$\mathrm {49\;\varepsilon \;N^{2}}$
	$\mathrm {8\;\varepsilon \;N^{3}}$	$\mathrm {13\;\varepsilon \;(N^{2}+N^{2})}$

et des inclusions [32] :

$\mathrm {15N\supset 3N\qquad \qquad 6N\supset 2N}$^[1]

Mais on ne doit pas mettre ces écritures au compte de l’Idéographie logique.

36. Pour les mathématiciens, j’ajoute qu’au lieu d’écrire « $\mathrm {N}$ » tout court, dans le Formulaire on écrit « $\mathrm {N_{0}}$ » ou « $\mathrm {N_{1}}$ » selon qu’on commence la succession naturelle de 0 ou de 1 ; par suite, le théorème (découvert par Bachet en 1621 et démontre par Fermat et derechef par Lagrange en 1770) :

« tout nombre entier est un carré ou bien la somme de deux ou de trois ou de quatre carrés »
est exactement représenté par la formule :

$\mathrm {N_{1}\supset N_{1}^{2}+N_{0}^{2}+N_{0}^{2}+N_{0}^{2}}$

tandis que le théorème (découvert par Fermat en 1636) :

« tout produit d’un carré par un multiple de 8 augmenté de 7 est la somme de quatre carrés »
se représente ainsi

$\mathrm {N_{1}^{2}\times (8N_{0}+7)\supset N_{1}^{2}+N_{1}^{2}+N_{1}^{2}+N_{1}^{2}}$

et celui (que M. P. Tannery a donné en 1898) :

« le carré d’un nombre, plus grand que 1, est la somme de deux ou de trois ou de quatre carrés »
est représente par

$\mathrm {(N_{1}+1)^{2}\supset N_{1}^{2}+N_{1}^{2}+N_{0}^{2}+N_{0}^{2}}$

Les formules, outre qu’elles sont plus brèves que les énoncés communs, permettent une comparaison plus immédiate entre les différents résultats obtenus.

1. On lira donc : « 6 est un nombre », « 47 est un nombre premier », « 42 est un multiple de 7 » (ou « 42 est divisible par 7 »), « 10 est un nombre pair », « 15 est un nombre impair », « 49 est un carré », « 8 est un cube », « 13 est la somme de deux carrés » (en effet, 13 est la somme de 9, carré de 3, et de 4, carré de 2) ; « tout multiple de 15 l’est aussi de 3 », « les multiples de 6 sont pairs ».