L’Encyclopédie/1re édition/LEMNISCATE

d’Alembert

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1765 (Tome 9, p. 382).

LEMNISCATE, s. f. (Géoomét.) nom que les Géometres ont donné à une courbe qui a la forme d’un 8 de chiffre. Voyez fig. 41. de l’analyse.

Si on nomme A P, x, & PM = y, & qu’on prenne une ligne constante BC = a, la courbe qui aura pour équation $\scriptstyle ay=x{\sqrt {aa-xx}}$, sera une lemniscate. Cette courbe sera du quatrieme degré, comme on le voit aisément en faisant évanouir le radical. Car on aura $\scriptstyle a^{2}yy=aaxx-x^{4}$ ; & d’ailleurs il est facile de voir que toute lemniscate est nécessairement du quatrieme degré au-moins, puisqu’une ligne droite qui passeroit par le point double A, couperoit cette courbe en quatre points, le point double étant censé équivalent à deux points. Voyez Courbe ; voyez aussi Point double.

Il est facile de voir que la lemniscate est quarrable ; car son élément est $\scriptstyle ydx=xdx{\sqrt {aa-xx}}$, dont l’intégrale est $\textstyle -{\frac {(aa-xx)^{\frac {3}{4}}}{a}}+{\frac {a^{3}}{4}}$. Voy. Intégral & Quadrature. Il peut y avoir plusieurs autres courbes en 8 de chiffre. Voyez, par exemple, Ellipse de M. Cassini : mais celle dont nous venons de parler est la plus simple. (O)