L’Encyclopédie/1re édition/FOLIUM

d’Alembert

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1757 (Tome 7, p. 45).

FOLIUM de Descartes, ou simplement FOLIUM, s. m. (Géométrie.) nom latin, & qui signifie feuille. On appelle ainsi une courbe du second genre ou ligne du troisieme ordre KAODR, représentée fig. 45. Analys. & dont la partie AOD ressemble à-peu-près à une feuille, ce qui lui a fait donner le nom de folium.

Soient les coordonnées AB, x, BC ou BD, y, l’équation de cette courbe sera $\scriptstyle x^{3}+y^{3}=axy$ ; les axes AB, AF, touchant la courbe en A. Pour donner à cette équation une forme plus commode, qui fasse découvrir aisément la figure de la courbe, je divise en deux également l’angle FAB par la ligne AO, & j’imagine les nouvelles coordonnées rectangles AP, z & PC, u, j’aurai, comme il est très aisé de le prouver, $\scriptstyle x={\frac {z+u}{\sqrt {2}}}$, & $\scriptstyle y={\frac {z-u}{\sqrt {2}}}$ (voyez Transformation des Axes) ; & faisant la substitution, il vient $\scriptstyle u^{2}=(azz-{\frac {2z^{2}}{\sqrt {2}}}):(a+{\frac {6z}{\sqrt {2}}})$ pour l’équation de la courbe rapportée aux axes AO, GAM perpendiculaires l’un à l’autre. D’où l’on voit, 1°. que si z est infiniment petite, on a $\scriptstyle u=\pm z$ & qu’ainsi la courbe coupe de part & d’autre l’axe AO sous un angle de 45^d. 2°. que u a toûjours deux valeurs égales, & qu’ainsi les deux parties de la courbe sont égales & semblables des deux côtés de l’axe AO : 3°. que si $\scriptstyle a={\frac {2z}{\sqrt {2}}}$, on a $\scriptstyle u=0$ ; & que si $\scriptstyle a<{\frac {2z}{\sqrt {2}}}$, on a u imaginaire ; qu’ainsi faisant $\scriptstyle 2AO=a{\sqrt {2}}$, la courbe ne va pas au-delà du point O, du côté des z positives : 4°. que si $\scriptstyle z=-{\frac {a{\sqrt {2}}}{6}}$, u est infinie ; & que si z est $\scriptstyle <-{\frac {a{\sqrt {2}}}{6}}$, u est imaginaire. Donc prenant $\scriptstyle AN={\frac {a{\sqrt {2}}}{6}}={\frac {AO}{3}}$, & menant KNR perpendiculaire à AN, cette ligne KNR sera asymptote de la courbe. Voyez Asymptote.

Cette courbe est aussi quarrable. Pour le prouver de la maniere la plus simple, je reprends l’équation $\scriptstyle x^{3}+y^{3}=axy$, & je fais $\scriptstyle y=xz$, j’aurai ydx élément de l’aire de la courbe = xzdx, dont l’intégrale est $\scriptstyle {\frac {xxz}{2}}-\int {\frac {xxdz}{2}}$. Or y=xz donne $\scriptstyle x={\frac {az}{z+z^{2}}}$ & $\scriptstyle xxdz={\frac {aazzdz}{(1+z^{3})2}}$, dont l’intégrale est aisée à trouver. Car soit $\scriptstyle 1+z^{3}=u^{3}$, on aura $\scriptstyle zzdz=uudu$ ; & $\scriptstyle {\frac {aazzdz}{(1+z^{3})^{2}}}={\frac {aadu}{u^{4}}}$, dont l’intégrale est fort simple. Voy. Integral & Transformation. Donc, &c.

M. de l’Hopital, analyse des infiniment petits, sect. 2. donne une méthode de trouver les asymptotes de cette courbe par les tangentes. Voyez Tangente, &c. (O)