Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 9
C. F. Patris, (1, p. 362-363).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ θʹ. | PROPOSITIO IX. |
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Τῆς δοθείσης εὐθείας τὸ πρότταχ θὲν μῳος ἀφελεῖν. |
Ab datà rectá imperatam pàrtem auferre. |
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Ἔστω κἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒʼ δὲ ; δὴ τῆς ΑΒ τὸ προσταχϑεν μέρος ἀφελεῖν. |
Sit data recta AB ; oportet igitur ab ipsá AB imperatam partem auferre. |
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Ἐπιτετάχθω δὴ τὸ τρίτον" καὶ διήχθω τὶς εὐθεῖα ἀπὸ τοῦ Α ἡ ΑΓ. γωνίαν περιέχουσα μέτα τῆς ΑΒ τυχοῦσαν" καὶ εἰληφθω τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΤ τὸ Δ. καὶ κείσθωσαν τῇ |
Imperetur et tertia ; et ducatur quzdam recta AT ab A, quemlibet angulum continens cum 1psá AB ; et sumatur quodlibet punctum A in AP, et ponantur ipsi AΔ æquales ΔE, EΓ ;
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ΑΔ ἴσαι αἱ ΔΕ. ἘΓ’ και επεζευχθω ή ΒΓ. καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΖ". |
et jungatur BP, et per A parallela huic du- catur AZ. |
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Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν “πλευρῶν τὴν ΒΓ ἧκτα ; ἡ Ζ2Δʼ ἀνάλογον ε’ι’ροι ἐστὶν ὡς ἡ ΤΔ πρὄς τὴν ΔΑ οὕτως ἢ ΒΖ ’πρὃς τὴν ΖΑ. Διπλὴ δὲ ἡαὶ ΤΔ τῆς ΔΑ" διπλὴ ο’ι’ροι καὶ ἃἡ ΒΖ τῆς ΖΑ" τριπλῆ ο’ι’ρα ἡ ΒΑ τῆς ΑΖ. |
Et quoniam trianguli ABT juxta unum la- terum BP ducta est ipsa ZA ; proportionaliter igitur est ut TA ad AA ita BZ ad ZA. Dupla autem TʼA ipsius AA ; dupla igitur et BZ ipsius ZA ; tripla igitur BA ipsius AZ. |
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Τῆς ἆἷρα δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ τὸ ἐπι- ταχθεν τρἱτον μἐρος οἷφ’ςἷρπτοω τὸ ΑΖ. Οπερ ἐδει ποιῆσαις |
Ab ipsá igitur datá rectá. AB imperata tertia pars ablata est ipsa AZ. Quod oportebat facere. |
Dʼune droite donnée retrancher la partie demandée.
Soit AB la droite donnée ; il faut de la droite AB retrancher La partie de- mandée.
Soit demandé le tiers ; du point A menons une droite quelconque AT qui fasse un angle quelconque avec la droite AB ; prenons dans AΓ un point quelconque Δ, et faisons les droites ΔE, EΓ égales à AΔ (3. 1) ; joignons EΓ, et par le point Δ menons ΔZ parallèle à ΓB (31. 1).
Puisqu’on a mené ZΔ parallèle à un des côtés BΓ du triangle ABΓ, la droite ΓΔ est à ΔA comme BZ est à ZA (2. 6). Mais ΓΔ est double de ΔA ; donc BZ est double de ZA ; donc BA est triple de AZ.
On a donc retranché de la droite donnée AB la troisième partie demandée AZ, Ce quʼil fallait faire.