Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 8
C. F. Patris, (1, p. 359-362).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ηʹ. | PROPOSITIO VIII. |
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Ἐὰν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ορθῆς γω- γίας ἐπὶ τὴν βάσιν καθετος ἀχθῇ" τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὁμοιαὰ ἐστὶ τῷ τε ὁλῳ καὶ ἀλλῆ- λοις. |
Si in rectangulo triangulo ab recto angulo ad basim. perpendicularis ducatur ; ipsa ad per- pendicularem iriangula similia sunt et toli et inter se. |
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Ἑστὼ τρίγωνον ὀρθογῶνμον τὸ ΑΒΓ. ὀρθην ἐχὸν τὴν ὑπὸ ΒΑΙ γωνίαν. καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ |
Sit triangulum rectangulum ABT, recium habens BAT angulum, et ducatur ab A ad 5r |
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τὴν ΒΓ καθετὸς ἡ ΑΔʼ λέγω ὁτʼ ὁμοιὸν ἐστιν εκώ- τερον τῶν ΑΒΔ5 ΑΔΙ τριγώνγων ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἐτ, ἀλλήλοις. |
perpendicularis AA ; dico simile esse utrum- que ipsorum ABAʼ, AAT triangulorum toti ABT et insuper inter se.
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Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ! τῇ ὑπὸ ΑΔΒ, ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα. καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦτε ΑΒΓ καὶ τοῦ ΑΒΔ ἡ ; πρὄςτᾠ“ Βʼ λοιπὴ ἄρα ἣ ὑπὸ ΑΤΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΑᾺ ἐστὶν ἴση" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρι’γωνον τῷ 4ΒΔ τριγωνω. Ἐστὶν α{ : οι ὡς ἢ ΒΓ ὑποτείνουσα τὴν ορθην τοῦ ΑΒΓ τρίγ ὥνου ΄προς τὴν ΒΑ ὑποτείνου- σαν τὴν ὀρθὴν τοῦ ΑΒΔ τριγῶνου, οὕτως αὐτὴ ὴ ΑB υσοτεῤνουσα τὴν πρὸς τῷ ΓΤ νωνιῶν τοὺυ |
Quoniam enim æqualis est BAT angulus ipsi AAB, rcctus enim uterque, et communis duo. bus triangulis et ABT et ABA ipse ad B ; reliquus igitur ATB reliquo. BAA est qualis ; cquian- gulum igitur est ABT triangulum ipsi ABA iriangulo. Est igitur ut. BP subtendens rectum ipsius ABP trianguli ad BA subtendentem aj. gulum rectum ipsius ABA trianguli, ita eadem AB subtendens ipsum ad FP angulum Ipsius |
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ΑΒΓ τρψὠνου πρὸς τὴν ΒΔ ὑποτείνουσαν τὴν ἴσην τῇ ’πρὄς Ττῷ Γ. τῆὴν ὑπὸ ΒΑΔ τοῦ ΑΒΔ τριγὤ- νου" καὶ ἔτι ἡ ΑΤ πρὸς τὴν ΑΔ ὑποτείνουσαν τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν, κοινὴν τῶν δύο τριγώνων" τὸ ΑΒΓ ἀρα τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τρέγώνῳ ἰσογόνιον ἐστί. καὶ τὰς πέερὶ τὰς ἰσὰς γωνίας πλευρὰς. - ανωλογον ἐχε" ομοίον ἀρὼ ἐστι" τὸ ΑΒΓ τρίγω- νον τῷ ΑΒΔ τρέγώνῷ. Ομοίως δὴ ὃἓιξομεν, οτί |
ABP trianguli ad BA subtendentem angulum cqualem ipsi ad T, ipsum BAA ipsius ABA trianguli ; ct etiam AT ad AA subtendentem ipsum ad B angulum, communem duobus triangulis ; ipsum ABFP igitur triangulum ipsi ABA triangulo et : equiangulum est, et ipsa circa æquales angulos latera proportionalia habet ; simile igitur cst ABD triangulum Ipsi ABA trian- |
|- | style="width:50%; vertical-align:top;" | καὶ τῷ ΑΔΙ τρργῶνῷ οὁμόιον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρἷ- γῶνονἽ" ἐκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΔ-. ΑΔΓ τρεγώνων Ομμοιὺν ἐστιν ὁλῷ τῷ ΑΒΤ τριγώνῳ". | style="width:50%; vertical-align:top;" | gulo. Similiter utique ostendemus et ipsi AAT triangulo simile esse ABI triangulum ; utrum- que igitur ipsorum ABA, AAT iriangulorum simile est toti ABT triangulo. |- | style="width:50%; vertical-align:top;" | Λέγω δὴ. ὁτι καὶ ἀλλῆλοις ἐστὶν ὁμοια τὰ, ΑΒΔ ; ΑΔΙ τργῶϊα. | style="width:50%; vertical-align:top;" | Dico etiam et inter se csse similia ABA, AAT triangula. |- | style="width:50%; vertical-align:top;" | Ἐπεὶ γάρ ὀρθή ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ὄρθὴ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ εἐστιν. ἀλλὰ μήν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΛΔ τῇ πσρὸς τῷ Γεδειχθη ἰσης καὶ λοιπὴ ἀρὰ Ἡ πρὸς τῷ Β λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΑΙ ἐστιν (ση" ἰἱσογῶνιον ἀρῶ εστί τὸ ΑΒΔ τρἔγωνον τῷ ΑΔΙ τρίγῶώνῳ. Ἐστιν ἀρὰ ὡς ἡ ΒΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου5 ὑποτείγουσα τὴν ὑπτὸ ΒΛΑΔ. πσρὸς τὴν ΔΑ τοῦ ΑΔΙ τριγώνου. ὑποτει- γουσαν τὴν πρός ΤΩΤ γωνίανθ. ἴσην τή υὑπο ΒΑΔ, ουτῶς αυὐτῇ ἃ ΑΔ τοῦυ ΑΒΔ τριγῶώνου. . υποτεῖ- γουσα τήὴν πρὸς τῷ Β γῶνιειν. πρὸς τὴν ΔΙ υπό- τείνουσαν τὴν ὑπὸ ΔΑΤ τοῦ ΑΔΙ τρηγώνου. ἐσὴν Τῇ πρὸς τῷ Β" καὶ ἐτί ἢ ΒΑ υποότειγουσα τῆὴν ὀρθήν τὴν ὑπὸ ΑΔΒ. πρὸς τὴν ΑΓ ὑποτείγουσαν τὴν ὀρθήν τῆν ὑπὸ ΑΔΙ7" ὁμοιον ἀρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΙ τρίγωνῳ. Ἐὰν ἄρα ἐν ὀρθογωνίῳ 9 καὶ τὰ εξζῆς, | style="width:50%; vertical-align:top;" | Quoniam cnim rectus BAA recto AAT est equalis, sed quidem et ipse BAA ipsi ad T ostensus est swqualis, ct reliquus igitur ad B reliquo AAT est equalis ; tequiangulum. igitur est ABA triangulum ipsi AAT triangulo. Est igiur ut BA ipsius ABA trianguli, subtendens ipsum BAA, ad AA ipsis AAT trianguli, subtendentem ipsum ad P angulum, qualem ipsi BAA, ita cadem AA ipsius ABA trianguli, subteudens ipsum ad B anguinm, ad Ar sub- tendentem AAT angulum ipsius AAT trianguli, aequalem ipsi ad B, et etiam BA subtendens rectum AAB, ad AFP subtendentem rectum AAT ; simile igitur est. ABA triangulum ipsi AAT triangulo. $i igitur in reclangulo, etc. |}
| ΠΟΡΙΣΜΑ. | COROLLARIUM. |
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Ἐκ δὴ τούτου φάνερον, οτι εαν ἐν ὀρθογωνίῳ τρί- γώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν καθε-- τος ἀχθῇ, ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων μέση ἀνάλογόν ἐστιν"" καὶ ἐτί τῆς βάσεως καὶ ἑνὸς ὁποτερουοῦν τῶν τμημάτων ἡ πρὸς τῷ τμή- ματι πλευρὰ μέση ἀναϊλογὸν ἐστιν. |
Ex hoc utique evidens est, si in rectangu] g triangulo a recto angulo ad basim perpeüdicy. laris ducta fuerit, ductam inter basis segmenta mediam proportionalem esse ; et etiam inter basim et unum utriuslibet segmentorum, ipsum ad segmentum latus, medium proportionale esse, |
Si dans un triangle rectangle on mène une perpendiculaire de l’angle droit sur la base, les triangles adjacents à la perpendiculaire sont semblables au triangle entier et semblables entr’eux.
Soit le triangle rectangle ABrT, ayant l’angle droit BAT ; du point A menons sur la base Br la perpendiculaire Aa ; je dis que les triangles ABA, AAr sont semblables au triangle entier ABT et semblables entr’eux. Car puisque l’angle BAT est égal à l’angle 44B, étant droits l’un et l’autre, et que lʼangle en B est commun aux deux triangles ABT, ABA, l’angle restant ATB est égal à l’angle restant B4AA (52. 1) ; donc les deux triangles ABT, ABA sont équiangles. Donc le côté Br qui soutend lʼangle droit du triangle ABr, est au côté BA qui soutend l’angle droit du triangle AB4, comme le côté AB qui sou- tend lʼangle en r du triangle ABT, est au côté BA qui soutend un angle égal à l’angle r, c’est-a-dire l’angle B4A du triangle ABA, et comme le côté AT est au côté aä4 qui soutend lʼangle B, commun aux deux triangles ; donc les triangles ABT, ABA sont équiangles, et ils ont les côtés autour des angles égaux proportionnels (4. 6) ; donc le triangle ABrT est serublible au triangle ABA (déf. 1. 6). Nous démontrerons semblablement que le triangle AΔΓ est semblable au triangle ABΓ ; donc chacun des triangles ABΔ, AΔΓ est semblable au triangle entier ABΓ.
Je dis aussi que les triangles ABΔ, AΔΓ sont semblables entr’eux.
Car puisque l’angle droit BΔA est égal à l’angle droit AΔΓ, et qu’on a démontré que l’angle BAA est égal à l’angle en r, l’angle restant en B est égal à l’angle restant AAT (32. 1) ; donc les deux triangles ABA, AAT sont équiangles. Donc le côté BA du triangle ABA, qui soutend l’angle BAA, est au côté AA du triangle Aar, qui soutend l’angle T, égal à l’angle BAA, comme le côté A4 du triangle 4B4, qui soutend l’angle en B, est au côté AT, qui soutend lʼangle AAT du triangle AAT, égal à l’angle en B ; et comme le côté BA, qui soutend l’angle droit A4B, est au côté AT qui soutend l’angle droit Aar (4. 6) ; donc le triangle ABa est semblable au triangle AAr (déf. 1. 6). Donc, etc.
De là, il est évident que, dans un triangle rectangle, la perpendiculaire menée de lʼangle droit sur la base, est moyenne proportionnelle entre les segments de la base, et que chaque côté de l’angle droit est moyen proportionnel entre la base et le segment contigu.