Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 7
C. F. Patris, (1, p. 356-359).
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ΠΡΟΤΑΣΙΣ ζʹ. |
PROPOSITIO VII. |
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Ἐὰν δύο ’τρι”γωνοι μίαν γωνι’αν μίᾳ γωνι’οι ἸσῊν ἐχῇ 9 περι δὲ τὰςϊ ἄλλας γων ; ως τὰς ’πλευροις ἀνάλογον, τῶν δὲ λἱιπω ἑκατέραν ἅμα ἤτοι ἐλάσσονα. ἢ μὴ ἐλάσσοτα ὀρθῆς" ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα. καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωγίας. περὶ ἃς αἀναλογοὸν εἰσὴν αἱ πλευραί. |
Si duo triangula unum angulum uni angulo zqualem habeant, circa alios autem angulos latera proportionalia, reliquorum vero utrug. que simul vel minorem, vel non minorem recto ; &quiangula erunt triangula, et equales habebunt angulos, circa quos proportionalia sunt latera. |
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Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ. ΔΕΖ. μίαν γω- γίαν μίᾳ γωνίᾳ ἰσὴν ἐχοντὰαγ τὴν ὑπὸ ΒΑΓ Τῇ |
Sint duo triangula ABP, AEZ, unum angu- lum uni angulo squalem habentia, Ipsum BAT |
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ὑπὸ ἘΔΖ, περἷ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ. τὰς πλευρ : ἰς ἀνάλογον". ὡς τῆν ΑΒ πΡὃς τὴν ΒΓ οὕτως τὴν ΔῈ πρὺς τὴν ἘΖ. τῶν δὲ λοι- πῶν τῶν πρὸς τοῖς Τ, 2 πρότερον ἑκατέραν ἅμα ἐλάσσονα ὀρθῆς" λέγω ὅτι Ἰσογωνιὖν ἔστι τὸ ΑΒΓ |
ipsi EAZ, circa alios autem angulos ART, AEZ, latera proporlüionalia, ut AB ad BT AE ad EZ, reliquorum vero ad TL, Z pn- mum utrumque simul minorem recto ; dico æquiangulum esse ABI triangulum ipsi AEZ
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τρίγωνον τῷ ΔῈΖ τριγωνῷ, καὶ Ισὴ εἐὅται Ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ. καὶ λοιπὴ δηλονότι ἡ πρὺς τῷ Τ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση. |
iriangulo, et » qualem fore ABT angulum ipsi AEZ, et reliquum vidclicet ad T reliquo ad Z æqualem. |
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Εἰ γὰρ ἀνισός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΤ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἙἘστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΒΓʼ καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ, καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β. τῇ ὑπὸ ΔῈΖ γωνίᾳ ἰσὴ ἡ ὑπὸ ΑΒΗΉ. |
Si enim inæqualis est ABT angulus ipsi AEZ, unus ipsorum major cst. Sit major ABT ; et constituatur ad AB rectam et ad punzctum in eâ B, ipsi AEZ angulo equalis Ipse ABH. |
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Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ Δ. δὲ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία" τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑῊΗΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΖῈ ἐστὴὶν ἴση" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔῈΖ τριγώνῳ" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ οὕτως ἡ ΔῈ πρὸς τὴν ἘΖ. Ως δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ἘΖ ὑπόκειται οὗ- τως ! ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ΄ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὄς τὴν ΒΓ οὕτως ἡ ΑΒ στρὄς τὴν ΒΗ". ἡ ΑΒ ἄρα πρὃς ἑκατέραν τῶν ΒΓ. ΒΗ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον" ἴσὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗδʼ ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Γ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒῊΓ ἰστὶν ἰση7. Ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ὑπόκειται ἡ πρὸς τῷ" Τʼ ἐλάττων ἄρα ἐστὶν ὀρθῇς9 ἡ ὑπὸ ΒΗΤ, ὥστ : ἡ ἐφεξῆς αὐτῇ γωνία ἡ ὑπὸ ΑῊΒ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. Καὶ ἐδείχθη ἰσὴ ουσὰ τ πρὸς τῷ Ζ. πΞαὶ ἢ σρὸς τῷ Ζ ἄρα |
Et quoniam æqualis est A. quidem angulus Ipsi A, 1pse vero ABH angulus ipsi AEZ, re- liquus igitur AHB reliquo AZE cst mqualis ; equiangulum igitur est ABH triangulum ipsi AEZ iriangulo ; est igitur ut AB ad BH ita AE ad EZ. Ut autem AE ad EZ ponitur ita. AB. ad BP ; ctutigitur AB ad. BT ita AB ad BH, ipsa agitur AB ad utramque ipsarum BTʼ, BH eam- dem habet rationem ; equalis igitur cst BT ipsi BH ; quare ct angulus ad P angulo BHT est equalis. Minor autem recto pouitur ipse ad T ; minor igitur cst recto ipse BHI, quare ipse ei deinceps angulus AHB major est recto. Et ostensus est qualis esse ipsi ad Z, et ipse ad Z igitur major est recto. Ponitur autem
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μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. Ὑπόκειται δὲ ἐλάσσων ὀρθῆς. οπτερ ατοπον" οὐκξ ἀρὰ ἅνισος ἐστιν ἢ υπὸ ΑΒΓ, γωϊία τῇ νπὸ ΔΕΖ. ἰσή ἀρᾶ, Ἐστι δὲ καὶ ἢ πρὸς τῷ Α ἰσὴ τῇ πρὸς τῷ Δ. καὶ λοιπὴ ἀρα ἢ πρὸς Τ λωπῇ τῇ πρὸς Τῷ 2 ἰση ἐστιν" ἰσογῶνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔῈΖ τργώνῳ. |
minor recto, quod absurdum ; non 1gitur ing. qualis est ABI angulus ipsi AEZ, zquali ; lgi- tur. Est autem et ipse ad A zqualis ei ad 4, et reliquus igitur ad T reliquo ad Z æqualis est ; æquangulum igitur est ABT triangulum ipsi AEZ triangulo. |
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Αλλὰ δὴ πάλιν ὑποκείσθω ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Τχὺ 2 μὴ ἐλάσσων ὗρθπςʼ λέγω παλιν 01 |
Sed et rursus ponatur uterque ipsorum ad T, Z non minor recto ; dico rursus et Sic equiangulum esse ABTIʼ triangulum ipsi Agz triangulo. |
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Ἰῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευαδθεντων. . ομοίως δείξομεν ὅτι ἴσὴ ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗʼ ὥστε καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Τ τῇ ὑπὸ ΒῊΓ ἰσὴ ἐστίν. Οὐκ ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ἡ πρὸς τῷ Γ. οὐκ ἐλάττων ἀρα ὀρθῆς οὐδὲ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ. Ἰρίγωνου δὴ11} τοῦ ΒῊΓ αἱ δύο γωνία, δύο ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττονες. ὁπερ ἐστὶν ἀδυνατον" οὐκ ἄρα πάλιν ἄγεσοὸς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ. , ἰσῃ ἄρα, Ἐστι |
Iisdem enim constructis, similiter ostende- mus aequalem esse BD ipsi BH ; quare et an- gulus ad P ipsi BHT zqualis est. Non minor autem recto ad D ; non muünor i3gitur recto neque ipse BHI. Triangul igitur BHT duo anguli duobus rectis non sunt minores, quod est impossibile ; non igitur rursus inzxqualis est ABD angulus ipsi AEZ ; æqualis igitur.
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δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Α τῇ πρὸς τῷ Δ σΉ 5 λοιπῇ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Τ λοιπῇ τῇ πρὸς ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔῈΖ τρι- γώνῳ, Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα) καὶ τὰ εξῆς, |
Est autem et ipse ad A ipsi ad A æqualis, re- liquus igitur ad T reliquo ad Z æqualis est ; æquiangulum igitur est ABT triangulum lpsi AEZ triangulo. $i igitur duo iriangula, etc. |
Si deux triangles ont un angle égal à un angle, si les côtés autour des autres angles sont proportionnels, et si l’un et l’autre des angles restants sont en même temps ou plus petits ou non plus petits qu’un droit, les triangles seront équiangles, et les angles compris par les côtés proportionnels seront égaux.
Soient les deux triangles ABT, AEZ, ayant un angle égal à un angle, savoir, lʼangle BAT égal à l’angle EAz, et les côtés autour des autres angles ABT, AE proportionnels entrʼeux, de manière que AB soit à BT comme AE est à EZ, et que chacun des autres angles en Γ, Z soit d’abord plus petit qu’un angle droit ; je dis que les triangles ART, AEZ sont équiangles, que l’angle ABr est égal à lʼangle AEZ, et l’angle restant en r égal à l’angle restant en z.
Car si lʼangle ABr n’est pas égal à l’angle AEz, l’un des deux sera plus grand. Que lʼangle ABr soit le plus grand ; et construisons sur la droite 4B et au point B de cette droite, l’angle ABH égal à lʼangle AEZ (23. 1).
Et puisque l’angle A est égal à l’angle 4, et l’angle 4BH égal à l’angle 4Ez lʼangle restant AHB est égal à lʼangle restant AZE (32. 1) ; donc les triangles ABH, AEZ sont équiangles ; donc AB est à BH Comme AE est à EZ (4. 6). Mais AE est supposé être à EZ comme AB est à Br (11. 5) ; donc AB est a Br comme AB est à BH ; donc la droite AB a la même raison avec chacune des droites Br, BH ; donc BT est égal à BH ; donc l’angle en r est égal à l’angle BHT (5. 1). Mais lʼangle en r est supposé plus petit qu’un droit ; donc l’angle BHT est plus petit qu’un droit ; donc l’angle de suite AHB est plus grand qu’un droit (13. 1). Mais on a démontré qu’il est égal à l’angle z ; donc l’angle Z est plus grand qu’un droit. Mais on a supposé qu’il était plus petit qu’un droit, ce qui est absurde ; donc les angles ABr, AEZ ne sont pas inégaux ; donc ils sont égaux. Mais l’angle en A est égal à l’angle en A ; donc l’angle restant en T est égal à lʼangle restant en Z ; donc les triangles ABT, AEZ sont équiangles.
Mais que chacun des angles Tr, Z ne soit pas plus petit qu’un droit ; je dis encore que les triangles ABT, AEZ sont équiangles,
Ayant fait la même construction, nous démontrerons semblablement que ëf est égal à BH ; donc l’angle en r est égal à l’angle BH. Mais lʼangle Tr n’est pas plus petit qu’un droit ; donc l’angle BHr n’est pas plus petit qu’un droit. Donc deux angles du triangle BHT ne sont pas plus petits que deux droits, ce qui est impossible (17. 1), donc les angles ABr, AEZ ne sont pas encore inégaux ; donc ils sont égaux. Mais l’angle en A est égal à l’angle en 4 ; donc l’angle restant en Tr est égal à l’angle restant en Z (32. 1) ; donc les triangles ABT, 4AEZ sont équiangles. Donc, etc.