Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 6
C. F. Patris, (1, p. 353-355).
| ΠΡOTAΣΙΣ ϛʹ. | PROPOSITIO VI. |
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Ἐὰν δύο ’τριγωνοι μέαν γωνίαν μιοι γώνίς ʼ σὴν ἔχῃ. περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τάς ’πλευροἓς ανά- λογον" ἰσογώνια ἴσται τὰ πρίγωνα. καὶ ἴσας ἐξει τὰς γωνίας. ὑφ ἃς αἱ διμόλογοι πλευραὶ ὑποτείγουσιν. |
Si duo triangula unum angulüm uni angulo equalem habeant, circa æquales autem angu- los latera proportionalia ; æquiangula erunt wiangula, et equales habebunt angulos, quos homologa latera subtendunt.
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Ἔστω δύο τρίγωνὰ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ, μίαν γωνίαν τὴν υπὸ ΒΑΓ μιᾷὰ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ἘΔΖ ἰσὴν ἐχοντα. “περ ! δὲ τὰ ἰσας γωνίας τὰς πλευρὰς αναλογον 5 ως τὴν ΒΑ σρὸς τῆν ΑΓ οὑτῶς τὴν ἘΔ σρος τὴν ΔΖ" λέγω τ ἰσογώνιον ἐεστι τὸ ΑΒΤΓ τρἵ- γῶνὸν τῷ ΔῈΖ τριγῶνῷ, καὶ ἰσὴν ἐς εἰ ΤῊΡ {μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τῦν δὲ ὑπὸ ΑΤΒ Τη 70 ΔΖΕ. |
Siut duo triangula ABI, ZEZ, unum angu. lun BAD uui augulo EAZ zqualem habentia, circa xquales autein. angulos latera propor- tionaia, ul BA ad ATʼ ila EA ad AZ ; dics æquiangulum esse ABT triangulum ipsi AEz iriaugulo, et equalem thiabiturum esse ABD quidem angulum ipsi AEZ, ipsum vero ATB ipsi AZE, |
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Συνεστάτω γὰρ πρὸς μῖν τῇ ΔΖ εὐθειᾳ 5 καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Δς Ζ ὑποτερᾷ μὲν τῶν ὑπὸ ΒΑΤ, ΕΔΖ ἰσηʼ ἢ υπὸ Ζ2ΔΗ, τῇ δὲ ὑπὸ ΑἹΒ ἰσὴ ἡ υπὸ Δ2Η. |
Constituatur enim ad. AZ quidem rectam, et ad puncta in ipsá A, Z, alteruiri ipsorum quidem BAT, EAZ cqualis angulus ZAH, ipii vero ALB cqualis ipse AZH. |
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Λοισή ἀρὼ ἢ : πρὸς τῷ Β γωνίαῦ Δοργη Τῇ πρὸς τῷ Ἡ ἰσὴ ἐστίν" ἰσογῶγιον ἄρα ἐστι τὸ ΑΒΓ τρέγωνον τῷ ΔΗΖ τριγώωνῷ αναλογον ἀρὰ εστιν ως ἡ ΒΑ σρὸς τὴν ΑΓ οὐτῶς ἡ ΗδὰΔ σρὸς Τὴν ΔΖ. γπόκειται δὲ καὶ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τῆν ΑΤ οὑτῶς ἡ ΕΔ ʼπρὄς τᾖν ΔΖ" καὶ ὧς ἆ’ροι ἡ ΕΔ ’πρἓς τὴν |
heliquus igitur ad B angulus reliquo ad H equalis est ; &quiangulum igitur est ABT trian « gulum ipsi AHZ triangulo ; proportionaliter igilur est ut. BA ad APT ita HA ad AZ Ponitur autem et ut. BA ad AFP ita EA ad AZ ; et ut igitur EA ad ΔZ ita HA. ad ΔZ ;
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ΔZ οὐτῶς ἢ ΗΔ πρὸς τὴν ΔΖ" Ισὴ ἀρὰ ἢ ἘΔ τῇ ΔΗ-. καὶ κοινὴ ἢ ΔΖʼ δύυο δὴ αἱ ἘΔ. ΔΖ δυσὶ ταῖς ΗΔ. ΔΖ ἔσαι εἰσὶ. καὶ γωνία ἢ ὑπὸ ΕΔΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΔΖ ἴση5" βάσις ἀρὰ ἢ EΖ βάσει τῇ ΖΗ εἐστὶν ἰσῆ. καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΔῊΖ τριγῶνῳ ἐσὸν ἐστί καὶ αἱ λοίσται ! γῶω- γία ! ταῖς λοίπαςίς γωνίαις ἰσαι ἐσονται ! , υῷ ἃς αἱ ἰσα ! πλευραὶ ὑποτεινουσιν" Ισὴ ἄρὰα ἐστιν ἢ μὲν ὑπὸ ΔΖΗ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ. ἢ δὲ υπὸ ΔΗῊΖ τῇ ὑπὸ ΔῈΖ᾽. Αλλ ἥἡ ὑπὸ ΔΖΗ τῇ ὑπὸ ΑΤΒ εστιν ἰσή. καὶ ἡ ὑπὸ ΑΤΒ ἄρα τῇ υὑπὸ ΔΖΕῈΕ εστιν ἰση. Ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΤ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ Ισ5 κμαὶί λοιπτὴ ἀρὰ Ἡ πρὸς Τῷ Β λοπῇ τῇ πρὸς τῷ Ἑ ἰσὴ ἐστίν" ἰσογῶώνιον ἀρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρί- γῶνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Ἐαν ἄρα δυο τρίγωνα, καὶ τὰ εξῆς. |
equalis igitur EA ipsi AH, et communis AZ ; dux igitur EA, AZ duabus HA, AZ i quales sunt, et angulus EAZ angulo HAZ equalis ; basis igitur EZ basi ZH cst equalis, et AEZ triangulum ipsi AHZ triangulo zquale est, et reliqui anguli reliquis angulis equales erunt, quos zqualia latera subtéhdunt ; equalis igitur est AZH quidem ipsi AZE, ipse vero AHZ Ipsi AEZ. bed ipse AZH ipsi AIB est wqualis, et ATB igitur ipsi AZE est c : qualis. Ponitur autem et BAT ipsi EAZ zqualis ; et reliquus igitur ad B reliquo ad E zqualis est ; xquiangulum igitur est ABP triangulum ipsi AEZ triangulo. Si igitur duo triangula, etc. |
Si deux triangles ont un angle égal à un angle, et si les côtés autour des angles égaux sont proportionnels, ces deux triangles seront équiangles, et les angles soutendus par des côtés homologues seront égaux. Soient les deux triangles ABr, AEZ, ayant l’angle BAT égal à l’angle E47, et les côtés autour des angles égaux proportionnels, de manière que BA soit à AT comme Ea est à AZ ; je dis que les triangles ABT, AEZ sont équiangles, et que l’angle ABr est égal à l’angle AEZ, et l’angle ATB égal à lʼangle AZE.
Sur la droite AZ, et aux points A, Z de cette droite, construisons lʼangle ZAH égal à l’un ou à l’autre des angles BAT, Eaz, et l’angle AZH égal à l’angle AITB (25. 1).
L’angle restant en B sera égal à l’angle restant en H (32. 1) ; donc les triangles ABT, AHZ Sont équiangles ; donc BA est à AT comme HA est à az (4. 6). Mais on suppose que BA est à AT comme EA est à AZ ; donc EA est à AZ comme HA est à AZ (11. 5) ; donc EA est égal à AH (9. 5) ; mais AZ est commun ; donc les deux droites EA, AZ sont égales aux deux droites HA, AZ ; mais l’angle EAZ est égal à l’angle Haz ; donc la base Ez est égale à la base ZH (4. 1) ; donc le triangle AEZ est égal au triangle AHZ, et les autres angles seront égaux aux autres angles, savoir, ceux qui sont soutendus par des côtés égaux ; donc l’angle AZH est égal à l’angle 4ZE, et l’angle AHZ égal à l’angle AEZ. Mais lʼangle AZH est égal à l’angle ATB ; donc l’angle ATB est égal à AZE. Mais l’angle BAT est supposé égal à l’angle Eaz ; donc lʼangle restant en B est égal à l’angle restant en E (32. 1) ; donc les triangles ABT, AEZ sont équiangles. Donc, etc.