Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 5
C. F. Patris, (1, p. 351-353).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ἐ. | PROPOSITIO V. |
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Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰάς πλευρας ἀνώλογον ἐχῇ, ἰσογωνια ἔσται τὰ πτρίγωνο" κοιὶ ἰστὰς ἐξει πᾶς γωνίας. υὑφ ἃς αἱ ομόλογοι πλευρα ! υὑποτεῖ- γουδι. |
Si duo triangula latera proportionalia habeant, $quiangula erunt triangula ; ct cquales ha- bebunt angulos, quos homologa latera subten- dunt.
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Ἑστῳ ὁύὺ τρίγωνα τὰ ΑΒΙ. ΔΕΖ τὰς πλευρᾶς ἀνώλογον ἐχοντα. ὡς μὲν τὴν ΑὉ πρὸς τὴν ΒΓ οὕτως τὴν ΔῈ πρὸς τὴν ΕΖ, ὡς δὲ τὴν ΒΓ πρὸς ΤΉΤᾺ οὑτῶς τὴν ἘΖ πρὸς τὴν ΖΔ. καί ετί ὡς ἢ |
Sint duo triangula ABTP, AEZ latera pro- portüonalia habenta, ut AB quidem ad BΓ ita ΔE ad EZ, ut BΓ vero ad TA ita EZ ad ZA ; et adhuc ut BA ad AT ita EA ad Az ; |
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ΒΑ πρὸς τὴν ΑΤʼ οὕτως τὴν ἘΔ πρὸς τῆν ΔΖ" λέγω ὅτι ἰσογῶνιόν ἐστί τὸ ΑΒΤ τρέήγωνον τῷ ΔΕΖ τρί- γῶώνωῳ, καὶ ἰσὰς ἐξουσι τὰς γωγίας. υῷ ἃἂς ομο- λογο, πλεῦρα ! υποτείνουσι ! . πὴν μὲν υπὸ ΑΒΤ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, τὴν δὲ ὑπὸ ΒΤΑ τῇ ὑπὸ ἘΖΔ, καὶ ἔτι τΤονυπὸ ΒΑΤ τῇ υὑπὸ ἘΔZ, |
dico : quiangulum esse ABT triangulum ipsi AEZ triangulo, et equales illa habitura esse angulos, quos homologa latera subtendunt, ipsum qui- dem ABT ipsi AEZ, ipsum vero BLA ipsi EZA ; et insuper ipsum BAT ipsi EΔZ,
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Συνεστάτω γοʼρ πρὸς τῇ ἘΖ εὐθείᾳ, καὶ τοῖς προς αὐτῇ σῃμειοις τοῖς Ἐ, Ζ, τῇ μὲν υτὃ ΑΒΓ γωνιω ἴση ἡ ὑπὸ ΖΕΗ, τὴ δὲ ὑπὸ ΒΓΑ ἴση ἥ ὑπὸ ἘΖΗʼ λοι’πʼηἦαρω ἡ πρὸς τῷ Δ λοιπῇ πρὸς τῷ Ἡ ἐστιν ἰσῃ. |
Consttuatur enim ad EZ rectam, et aq puncta in eà E, Z, ipsi quidem ABTr angulo æqualis ZEH, 1psi vero zqualis BIʼA lpse EZH ; reliquus igitur ad A reliquo ad H est æqualis. |
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Ισ”γω "ον αρι ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τριγω νον τῷ ΕΗΖ2. τῶν αρα ΑΒΙΓ. ΕηΖ τρι’ ; ιωνων ἀνάλογον εἶσιν αἱ πλευραι, αι περὶ τὰς ισὰς γωγνίεςγ καὶ ομολογοι αἱ |
Æquiangulum igitur est ABT triangulum ipsi EHZ ; ipsorum igitur ABD, EHZ triangulorum proportionalia sunt latera, circum æquales an- |
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υπὸ ταςἰσᾶς γωνίας ’πλευμιι υσγοτειμούυσοι ! " τστιν ἄρα ὡς ἢ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ ουτως3 η ΗΕ σρὸς Τὴν ΕΖ. Αλλ ὡς ἢ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΙ οὑτωῶς υποκεῖ- Τταᾶὶι ἢ ΔΕ πρὸς τὴν ΕἘΖ" και ὡς ἀρῶ ἢ ΔῈ πρὸς τὴν ἘΖ ουτῶς ἡ ἨΕ πρὸς ΤῊΡ Ἐ2" ἐκάτερα ἀρὰ τῶν ΔῈ. ἨῈ πρὸς τήν ἘΖ τὸν αυτον ἐχέ ! λογον" ἰσῃ ἀρῷ ἰστὶν ἢἡ ΔῈ τῇ ΗΕ. Διὰ τά αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΔδΖ τῇ ΗΖΖ ἐστίᾷν ἰσῆ. Ἐπεῖ οὖν ἰσὴ ἐστιν ἡ ΔῈ τῇ ΕΗ, κοινὴ δὲ ἡ ἘΖ, δύο δὴ αἱ ΔῈ, |
gulos, et hemologa equales augulos latera sub- tendunt ; est igitur ut AB ad BTʼ ita HE ad Z3. Sed ut AB ad BT ita pouitur. AE ad EZ ; ct ut igitur AE ad EZ ita HE ad EZ ; utraque igitur ipsarum AE, HE ad EZ eamdem habet rationem ; equalis igitur est AE ipsi HE. Propter cadem uüque et AZ ipsi EZ æqualis est. Et quoniam wqualis est. AE 1psi EH, communis autem EZ ; duæ utique AE, EZ duabus HE, EZ
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Ἐ2 δυσὶ ταῖς ΗῈ. ἘΖ ἴσαι εἰσὶ. καὶ βάσις ΖΔ βάσει τῇ ΖΗ ἐστὶν ᾿ση"" γωνία ἀρα ἡ ὑπὸ ΔῈΖ γωνία τπ ὑπὸ ἨΕΖ ἐστὶν ἴση. Καὶ τὸ ΔΕῈΖ τρι- γῶνον τῷ ΗΕΖ τριγωνω σον. καὶ αἱ λοιπαὶ γωνγίαι ταῖς λοιπαῖς γωνιωις ἴσα ! . υφ ἃς αἱ ἴσαι ’πλευροω ὑποτείνουσιν" ᾿σῊ οιροι εοʼη καὶ ἢ μὲν ὑπὸ ΔΖῈ γωνία τῇ ὑπὸ Η2Ε, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΔ2Ζ τῇ ὑπὸ ἘΗΖ. Καὶ ἐπεὶ ἢ μὲν ὑπὸ ΖΕῈΔ τὴῇ ὑπὸ ΖΕΗ ἐστὶν ισπ, ἄλλ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ ἐστὶν ἴσηθʼ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ αρα. γωνια τὴ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστὶν [τη. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μ6ν7 ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστὶν ἴσὴ. καὶ ἔτι ἣ ’προς τω Α ͵προς τω Δ- ισογωνιον αρα. ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τριγωνον τῷ ΔΕῈΖ τμγωνω. Ἐάν οιρω δύο, κως τὰ ἑξῆς. |
æquales sunt, et basis ZA basi ZH est equalis ; angulus igitur AEZ angulo HEZ est xqualis. Et AEZ triangulum ipsi HEZ iriangulo zquale, ct reliqui anguli reliquis angulis equales, quos equalia latera subtendunt ; equalis igitur est et AZE quidem angulus ipsi HZE, ipse vero EAZ ipsi EHZ. Et quoniam ipse quidem ZEA lIpsi ZEH est equalis ; sed HEZ ipsi ABTʼ est gqua- lis, et ABT igitur angulus ipsi AEZ est equalis. Propter eadem utique ipse quidem ABT ipsi AZE est aequalis, et insuper ipse ad A Ipsi ad A ; equiangulum igitur est ABT triangulum |
Si deux triangles ont leurs côtés proportionnels, ils seront équiangles, et ils auront les angles soutendus par les côtés homologues égaux entr’eux.
Soient deux triangles ABT, AEZ, ayant les côtés proportionnels, que 48B soit à BT comme 4E est à EZ, que BT soit à TA comme EZ est à ZA, et que BA soit à AT comme EA est à AZ ; je dis que les triangles ABT, AEZ sont équiangles, et que les angles soutendus par les côtés homologues seront égaux, l’angle ABT égal à langle 4Ez, l’angle BrA égal à l’angle EzA, et enfin l’angle BAT égal à l’angle EAZ, Construisons sur EZ et aux points E, Z l’angle ZEH égal à lʼangle ABΓ et lʼangle EZH égal à lʼangle BrA (23. 1) ; l’angle restant A sera égal à l’angle restant H (32. 1).
Les triangles ABr, EHZ seront équiangles ; donc dans les triangles ABT, Exz, les côtés autour des angles égaux sont proportionnels, et les côtés qui soutendent les angles égaux sont homologues (4. 6) ; donc AB est à Br comme HE est à EZ. Mais AB est supposé être à Br comme AE est à EZ ; donc AE est à EZ comme HE est à EZ (11. 5) ; donc chacune des droites &E, HE a la même raison avec Ez ; donc AE est égal à HE (9. 5). La droite AZ est égale à HZ, par la même raison. Donc, puisque ΔE est égal à EH, et que la droite EZ est commune, les deux droites AE, EZ sont égales aux deux droites HE, EZ ; mais la base ZA est égale à la base ZH ; donc l’angle AEZ est égal à l’angle Hez (8. 1) ; donc le triangle AEZ est égal au triangle HEZ, et les autres angles que soutendent des côtés égaux sont égaux ; donc lʼangle AZE est égal à l’angle HZE, et l’angle EAZ égal à l’angle EHZ, Et puisque ZEA est égal à l’angle ZEH, et que lʼangle HEZ est égal à lʼangle ABT, l’augle ABr est égal à lʼangle AEz. Par la même raison, l’angle ATB est égal à l’angle AZE, et lʼangle en A égal à l’angle en Δ ; donc les triangles ABT, AEZ sont équiangles. Donc, etc.