Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 4
C. F. Patris, (1, p. 348-350).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ δ´. | PROPOSITIO IV. |
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Tὼν ἰσογωνίὼῶν πτριγωνων ἀναλόγον εἰσιν αἱ σλευραι ! αἱ πέερὶ τὰς ἰσὰς γωνίας. καὶ ὁομολογοι αἱ υπὸ τὰς ἰσὰς γωνίας ὑποτείνουσαι πλευραίʼ, |
Æquiangulorum triangulorum proportionalia sunt latera circa zquales angulos ; et homo- loga æquales angulos subtendunt latera.
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Ἑστω2 ἰσοχῶντα τρίγωνοι ταὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ, ἴσην ἐχόντῶα τὴν μὲν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν τῇ υπὸ ΓΔΕ, τὴν δὲ υὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ. καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑπὸ ΔΓE3 λέγω ὅτι τῶν ΑΒΓ. ΔΙῈ τργῶώνων ἀναλογὸν εἰσιν αἱ σλευραι αἱ περὶ τὰς ἐσὰς γωνίᾶς. καὶ ομολογοι αἱ υπὸ τὰς ἰσὰς γω- γίας υποτείνουσαι πλενραι4. |
Sint vquiangula triangula ABT, ATE, xqua- lem habentia BAT quidem anguium ipsi TAE, Ipsum vero ALB ipsi AETʼ, et praterea ipsum ABT ipsi ATE ; dico ABT, ATE triangulorum proportionalia esse latera circa wquales angu- los ; et homologa æquales angulos subtendere latera. |
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Κεισθω γὰρ ἐπ εὐθδείας ἡ Τ τῇ ΓΕ, Καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ. ΑΓΙΓΒ γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσ- σονες εἶτιν. ἰσῃ δῈ ἡ ὑπὸ ΑἹΒ τῇ ὑπὸ ΔΈΓ, αἱ ἀρώ ὑπὸ ΑΒΓ. ΔῈΓΙ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν" αἱ ΒΑ ΕΔ ἀρὰ ἐκξαλλύμενα, συμπεσοῦνται. Ἐκ εξλήσθωσαν , καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ζ. |
Ponatur enim in directum ipsa BF ipsi TlʼÉ. Eti quoniam ABP, ATB anguli duobus rectis minores sunt, squalis autem. ATB j3psi AET, Ipsi igitur ABD, AELT duobus rccüs minores sunt ; ipsa BA, EA igitur product conve- nient, Producantur, et conveniant in Z, |
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Καὶ ἐπῖεὶ ἰσὴ ἐστιὶν ἡ ὑπὸ ΔΙῈ γωνία τῇ ὑπὸθ ΑΒΓ ; παραλλήλος ἀραΐ ἐστὶν ἃ ΒΖ τῇ ΤΔ. Πά- λινη ἐπεὶ ἰσἡ ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΤΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ, παραλλήλος ἐστῖν Ἡ ΑΤ τῇ ΖΕ" παραλληλο- γραμμμον ἆ’Ροε ἐστὶ τὸ ΖΑΓΔ᾿ ἴσή ἆροι ἡ μέν ΖΑ |
Et quoniam æqualis est. ATE. angulus ipsi ABL, parallela igitur est BZ ipsi TA. Rursus, quoniam æqualis est ATB ipsi AET, paralicla est AT ipsi ZE ; parallelogrammum 3gitur. est ZATA ; æqualis igitur ZA quidem ipsi AT, ipsa
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τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΑΤ τῇ ΖΔ. Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΖΒΕ παρά μίαν τῶν πλευρῶνϑ τὴν ΖῈ ἥκται ἢ ΑΓ. ἔστιν ο’ι’ρα ὡς ἢ ΒΑ᾽ʼπρ΄ο᾽ς τὴν ΑΖ οὕτως ἃ ΒΓ ʼπρὃς τὴν ΤῈ. Ἰσὴ δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΤΓΔʼ ὡς ο’ι’ροι ἡ ΒΑ ʼπρὃς τὴν ΤΔ οὕτως ἡ ΒΓ ΄πρὃς τὴν ΤῈ. καὶ ἐγαλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ οὕτως ἡ ΔΙ πρὸς τὴν ΤῈ. Πάλιν. ἐπεὶ παράλληλὸός ἐστιν ἡ ΤΔ τῇ ΒΖ. ἔστιν ἆ’ροι ὡς ἡ ΒΓ ’πρὃς τὴν ΤῈ οὕτως ἡ ΖΔ |
vero AT ipsi ZA. Et quoniam irianguli Zap juxta unum laterum ZE ducta est Ar, est igitur ut BA ad AZ ita BT ad TE. Æqualis autem AZipsi DA ; ut igitur BA ad TA ita Br 4q TE, et alterne ut. AB ad BP ita AT ad rz. Rursus, quoniam parallela est PA ipsi BZ, est igitur ut BT ad TlʼE ita ZA ad AE. Æqualis au- tem ZA ipsi AD ; ut igitur BT ad TE ita AΓ ad |
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πρὄς τὴν ΔΕ. Ἰσὴ δὲ ἡ ΖΔ τ’ᾗ’ ΑΓ" ὡς οἱ’ροι ἡ ΒΓ ’πρὄς τὴν ΤῈ οὕτως ἡ ΑΤ ’πρὄς τὴν ΕΔ. ἔναλλἆξ ἆ’Ρα9 ὧς ἡ ΒΓ ʼπρὄς τὴν ΤΑ οὖτως ἡ ΤῈ ʼπρὄς τὴν ΕΔ. Καὶ ἐπεὶʼ9 ἐδείχθη ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΤ οᾗτωςὖ ΔΙ πρὸς τὴν ΤῈ, ὡς δὲ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΤᾺ οὕτως ἡ ΤῈ πρὃς τὴν ΕΔʼ καὶ " διΐσου ο’ι’ρα ὡς ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ οὕτως ἡ ΤΔ πρὸς τὴν ΔῈ, Τῶν αρα ἐσογωνιίῶὼῶν, καὶ τὰῷ εξἥς. |
EA, alterne igitur ut BT ad TA ita TE ad zA, Et quoniam ostensum est, ut AB quidem ad BI ita AT ad TE ; ut vero BT ad TA ita TE ad EA ; et ex æquo igitur ut BA ad AT ita TʼA ad ΔE. Æquiangulorum igitur, etc. |
Dans les triangles équiangles, les côtés autour des angles égaux sont proportionnels ; et les côtés qui soutendent les angles égaux, sont homologues. Soient les triangles équiangles ABT, ATE, ayant l’angle BAT égal à l’angle TAE, l’angle ATB égal à l’angle AEr, et l’angle ABr égal à l’angle ATE ; je dis que dans les triangles ABr, ATE, les côtés autour des angles égaux sont proportionnels, et que les côtés qui soutendent les angles égaux sont homologues.
Plaçons la droite Br dans la direction de re. Et puisque les angles ABT, ATB sont plus petits que deux droits (17. 1), et que l’angle ArB est égal à l’angle AET, les angles ABT, AET sont plus petits que deux droits ; donc les droites BA, EA, étant prolongées, se rencontreront (not. com. 11) ; qu’elles soient prolongées, et quʼelles se rencontrent en Z.
Et puisque lʼangle ATE est égal à l’angle ABT, la droite EZ est parallèle à la droite ra (28. 1) . De plus, puisque l’angle 4TB est égal à l’angle AFr, la droite AT est parallèle à ZE ; donc la figure ZAΓΔ est un parallélogramme ; donc ZA est égal à AT, et AT égal à ZA (34. 1). Et puisquʼun des côtés AT du triangle ZBE, est parallèle au côté ZE, BA est à AZ comme Br est à TE (2. 6). Mais AZ est égal à rA ; donc BA est à TA comme ET est àTE (7. 5), et, par permutation (16. 5}, AB est à Br comme ar est à TE (16. 5). De plus, puisque rA est parallèle à Bz, Br est à TE comme ZA est à AE. Mais ZA est égal à Ar ; donc Br est à TE comme Ar est À EA, et, par permutation, BT est à TA comme TE est à EA. Ft puisquʼon a démontré que AB est à BT comme AT est à TE, et que BT est à TA comme TE est à FA, BA Sera à AT Comme TA est à AE (22, 5). Donc, etc.