Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 3
C. F. Patris, (1, p. 346-348).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ γ´. | PROPOSITIO III. |
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Ἐὼν τριʼγωνου ’ ; ωνιοι δίχα τμκθτσ. ἢ δὲ τψινουοʼα τὴν γωνίαν εὐθεῖα τεμνπ καὶ τὴν βάσιν. τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ξει λόγον ταῖς λόιπαῖϊς τοῦ τριγὧνου ʼπλευραἳςʼ καὶ τῶν τὰ τῆς βάσεως ’τμὗμοιτοι τὸν αὐτὸν ἔχπ λόγον ταῖς λοι- στειῖς τοῦ τριγωνου πλευραῖς. ἡ" ἀπὸ τῆς κορυφης ἐπὶ τὴν τομὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα δίχα τέμνει τὴν τοῦ τριγωνου γωνωιν. |
Si trianguli angulus bifariam secetur, $ecang autem angulum recta secet et basim ; basi ; Seg- menta eamdem habebunt rationem quam reli. qua trianguli latera ; et si basis segmenta cag. dem habeant rationem quam reliqua trianguli latera, ipsa a vertice ad sectionem ducta Tecta bifariam secat trianguli angulum. |
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Εστω τριγωνον τὸ ΑΒΓ. καὶ τετμησʼθω ἢ ὑπὸ ΒΑΙ γωνία δῖχα ὑπὸ τῆς, ΑΔ εὐθείας" λέγω ὁτι ἐστὶν ὡὥς ᾗ ΒΔ ΄π, οὄς τὴν ΔΙ οὕτως ἡ ΒΑ πρὄς τὴν ΑΓ. |
Sit triangulum. ABT, et secetur BAT aneulu, bifariam ab ipsà AA rectá ; dico esse ut BA aj AT ita BA ad AΓ. |
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Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Τ τῇ ΔΑ παραλλήλος ἡ ΓΕ, καὶ διαχθεῖσα ἡ ΒΑ συμπιπτέτω αὐτῇ κατὰ το Ἐ. |
Ducatur enim per Iʼ 1ipsi. AA perallela fE, et producta BA conyenjat cum ipsàá in E.
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Καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΔ. ἘΓ εὖ- θεῖα ἐνέπεσεν" ἡ ΑΓ. ἡ ἀἄρα ὑπὸ ΑΤῈ γωνία ἴσὴ ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ. Αλλ᾽ ἡ ὑπὸ ΓΑΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ὑπόκειται ἴση" καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἀ’ροι τῇ ὑπὸ ΑΤῈ ἐστὶν ἴση. Πάλιν. ἐπεὶ εἰς παραλλή- λους τὰς ΑΔ. ἘΓ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΒΑΕ. ἥ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἴσὴ ἐστὶ τὴ ἐντὸς τῇ ὑπὸ ΑἘΓ. Ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΤῈ τῇ υπὸ ΒΑΔ ἰση. καὶ ἡ ὑπὸ ΑΤῈ ἄρα γωνίαϊ τῇ ὑπὸ ΑἘῈΤ ἐστὶν ἴση" ὥστε καὶ πλευρὰ ᾧ ΔΑῈ πλευρᾷ τῇ ΑΓ ἐστὴὶν ἴση. Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΒΓῈ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ἘΓ ἥκται ἡ ΑΔʼ ἀνάλογον ἂρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΙ οὕτως καὶ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ, Ἰσὴ ὃὲ ἡ ΔΑῈ τῇ ΑΤʼ ὡς ἆ’ρωὅ ἡ ΒΔ ʼπρὄς τὴν ΔΙ οὕτως ἡ ΒΑ ʼπρὃς τὴν ΑΥ. |
Et quoniam in parallelas AA, ET recta incidit AUI ; crgo ATE angulus zqualis est ipsi TʼAA. Sed lʼAA ipsi BAA ponitur zqualis ; et BAA igitur lpsi ATE est zqualis. Rursus quoniam in parallelas AA, ET recta incidit BAE, exterior angulus BAA aequalis est interiori AED. Ostensug aulem est et ATE ipsi BAA zqualis ; et ATʼE igitur angulus ipsi AET est equalis ; quare et latus AE lateri AP est equale. Et quoniam trianguli. BFE juxta unum laterum ET ducta est 1psa AA ; proportionaliter igitur est ut. BA ad AIT jtà BA ad AE. Æqualis autem est AE ipsi AT ; ut igitur BA ad AT ita. BA ad AT. |
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Αλλὰ δὴ ἔστω ὡςβ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΙ οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔʼ λέγω ὃτι ὄϊχα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΒΑΤΙ γωνία υπὸ τὴς ΑΔ έὖθεἷας. |
Sed et sit ut BA ad AT ita BA ad ATʼ ; et jungatur AA ; dico bifariam sectum esse DAT angulum ab AA rectâ. |
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Tὼν γὰρ αὐτῶν κατασκχευάσθεντον 9 ἐπτεῖ ἐστιν ὡως ἢ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΙ ουτῶς ἢ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΤ αλλο καὶ ὡς ἢἡ ΒΔ σρρὸς τὴν ΔΙ ουτῶς εἐστιν ! ἢ |
Iisdem enim constructis, quoniam est ut BA ad AT ita BA ad ALT, sed et ut BA ad AT ita est BA ad AE ; trianguli enim BE juxta unum
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ΒΑ πρὸς τῆὴν ΑἘ’ τριγώνου γάρ του ΒΓῈ παρώ μἷων τπῶν πλευρὧν τὴν ΕΓ ἤκταιϑ ἡ ΑΔʼ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΤ οὕτως ἡ ΒΑ πρὃς τὴν ΔῈ ἰσὴ ἄἀρῷ ἢ ΑΙ τῇ ΑΕ. ὡστε καὶ γῶω- γία ἡ ὑπὸ ΑἘΓ γωνίᾷ Τῇ ὑπὸ ΑΤῈ εἐστιν Ισ. |
laterum ET ducta est ipsa AA ; et ut igilur BA ad ALT ita BA ad AE ; æqualis igitur. AT ipsi AE ; quare et angulus AET angulo ATE t equalis. Sed AET quidem exteriori BAA equa- lis, ipse vero et ATʼE alterno TʼAA est &qualis ; |
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Αλλ η μὲν υπὸ ΑῈΓ τῇ ἐκτὸς τῇ υπὸ ΒΑΔ 52 ἡ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΤῈ τῇ ἐναλλὰξ τῇ ὑπὸ ΤΑΔ ἐστὶν ἰσηϑʼ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἀρὰ τῇ ὑπὸ ΤΑΔ ἐστιν ἰσῆ. Ἡ ἀρὰ υπὸ ΒΑΤ γωνία ὢ’χοιω τετμμη- ται ὑπὸ τῆς ΑΔ εὐθείας. Ἐὰν ἀρα τρίγῶνου 5 καὶ τὰ ἑξῆς. |
et BAA igitur ipsi TʼAA est cqualis. Ipse BAT igitur angulus bifariam sectus est ab AA recti, Si igitur trianguli, etc. |
Si un angle d’un triangle est partagé en deux parties égales, et si la droite qui partage cet angle coupe la base, les segments de la base auront la même raison que les côtés restants de ce triangle ; et si les segments de la base ont la même raison que les autres côtés du triangle, la droite menée du sommet à la section, partagera l’angle de ce triangle en deux parties égales.
Soit le triangle ABΓ, que lʼangle BAT soit partagé en deux parties égales par la droite AA ; je dis que BA est à AT comme BA est à AT.
Par le point Γ menons TE parallèle à AA (31. 1), et que BA prolongé rencontre ΓE au point E. Puisque la droite AT tombe sur les parallèles AA, Er, l’angle ATE est égal à lʼangle rAA (29. 1). Mais lʼangle TAA est supposé égal à l’angle RAA ; donc l’angle BAA est égal à l’angle ATE. De plus, puisque la droite BAE tombe sur les parallèles AA, ET, lʼangle extérieur BAA est égal à l’angle intérieur AET (29. 1). Mais on a démontré que lʼangle ATE est égal à lʼangle BAA ; donc l’angle ATE est égal à l’angle AEr ; donc le côté AE sera égal au côté ar (6. 1). Et puisquʼon a méné la droite AA parallèle à un des côtés Er du triangle BTE, la droite BA est à ar comme BA est à AE (2. 6). Mais AE est égal à Ar ; donc BA est à AT comme BA est à AT (7. 5).
Mais que BA soit à AT comme BA est à AT ; joignons AA ; je dis que lʼangle BAT est partagé en deux parties égales par la droite 44.
Faisons la même construction. Puisque BA est à AT comme BA est à AT, et que BA est à AT comme BA est à AE (2. 6), car la droite AA est parallèle à un des côtés EΓ du triangle BΓE, la droite BA est à AΓ comme BA est à AE ; donc AΓ est égal à AE (9. 5) ; donc l’angle AEΓ est égal à l’angle AΓE (5. 1). Mais l’angle AEΓ est égal à l’angle extérieur BAΔ (29. 1), et l’angle AΓE égal à l’angle alterne ΓAΔ ; donc l’angle BAΔ est égal à l’angle ΓAΔ ; donc l’angle BAT est partagé en deux parties égales par la droite AΔ. Donc, etc.