Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 2
C. F. Patris, (1, p. 343-345).
| ΠΡΟTΑΣΙΣ β΄. | PROPOSITIO II. |
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Eαν τριίγῶνου παρὰ μίαν τῶν πλευρὼν αἰὐχϑῃ τις εὐθεία ! . ἀναάλογον τεμεῖ τὰς τοῦ τριγώνγου πλευρας" καὶ τῶν αἱ τοῦ τρίγῶνου πλευρα ! ἀγὰ- λογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰς τομάς ἐπιζευγβμιένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπήν ἔόται τοῦ τργῶώνου πλευροἔν. |
Si trianguli juxta unum laterum ducatur quæ- dam recta, illa proportionaliter secabit irianguli latera ; et si trianguli latera proportionaliter secta fuerint, ipsa sectiones conjungens rccta juxta rcliquum erit trianguli latus.
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Τριγὤνου γοἰρ τοῦ ΑΒΓ παροἷλλπλος μιᾷ τῶν πλευρῶν τῇ ΒΓ ἤχθω ἡ ΔΕ" λέγω ὁτί ἐστὶν ὡς ἥ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ οὔτως ἡ ΤῈ πρὸς τὴν ἘΑ. |
Trianguli enim ABT parallela uni laterum BT ducatur AE ; dico esse ut BA ad AA ita LE ad EA. |
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Ἐπεζεύχθωσαν γάρ αἱ ΒΕ, ΓΔ. |
Jungantur enim BE, TA. |
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Ισὺὸν δὴ" ἐστὶ τὸ ΒΔῈ τρίγωνον τῷ ΓΔῈ τριγώνῳ, ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστι τῆς ΔΕ καὶ ἐν ταῖῆς αὐταῖς ςτειροιλλω΄λαις ταῖς ΔΕ. ΒΓ. Αλλο δὲ τί τὸ ΑΔῈ τρέγωνον" τὰ δὲ ἰσὰ πρὸὺς τὸ αὐτὸ τὸν αὐὑτον ἐχϑ : λογον" ἐστὶν ἀρᾶ |
Æquale utique est BAE triangulum ipsi rAg triangulo, in eádem enim basi sunt AE et intra easdem parallelas AE, BP. Aliud auteg quoddam AAE iriangulum ; zqualia vero ad idem eamdem habent rationem ; est lgitur ut |
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ὡς τὸ ΒΔΕ τρἵγωνον πρὃς τὸ ΑΔῈ τρἵ) ω ; ’ονἷι οὕ-- τῶς τὸ ΤΔῈ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔῈ τρίγωνον. Αλλ᾽ ὡς μὲν τὸ ΒΔῈ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ οὔ- τῶς ἡ ΒΔ ’πρὃς τὴν ΔΑ" ὑπὸ φοἓρ τὸ αὐτὸ ὗψος ὄντα, τὴν ἀπὸ τοῦ Ἑ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετον ἀγο- μένην. πρὸς ἀλληλά εἶσιν ὡς αἱ βάσεις. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ" ὡς τὸ ΤΔῈ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔῈ οὖτως ἡ ΤῈ ττρὄς πὴν ἘΑ" καὶ ὧς ἆ’Ροι ῳ ΒΔ πρὄς τὴν ΔΑ οὖτως ἡ ΤῈ πρἓς τὴν ΕΔ. |
BAE triangulum ad AAE triangulum, ita Ax iriangilum ad AAE triangulum. Sed ut BAE quidem triangulum ad AAE ita BA ad AA ; nam cum sub eádem altütudine sint, sub) psá ab E ad AB perpendiculari ducià, inter ; e sunt ut bases. Propter eadem utique ut TAE iriangulum ad AAE ita TʼE ad EA ; et ut igitur BA ad AA ita TʼE ad EA.
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Αλλὰ δὲὴ αἱ ποῦ ΑΒΤ τριγώνου ʼπλευραἶ αἱ ΑΒ, ΑΓ οιναλογον ’τετμησθω σαν κατὲ τὰ Δ. Ἑ σημεῖα. ὡς ἡ ΒΔ ʼπρος τὴν ΔΑ οὔτως ἢ ΓῈ ’προς πὴν ἘΑ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ’ λέγω ὅτι παρ- ἀλληλός ἔστιν ἡ ΔῈ τῇ ΒΓ. |
Sed et ABT trianguli latera AB, AT propor- tionaliter secta sint in A, E punctis, ut BA ad ΔA ita TE ad EA, cet jungatur AE ; dico paral- lelam esse AE ipsi Br. |
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"Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων. ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ ʼπρὄς πτὴν ΔΑ οὗτως ἡ ΤῈ ʼπ͵οὃς τὴν ἘΑς ἀλλ ὡς μὲν ἡ ΒΔ ’πρὄς τὴν ΔΑ οὕτως τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔῈ τρι’γωνονδ, ὡς δὲ ΤῈ πρὸς τὴν ἙΑλοὕῦτως τὸ ΓΔΕ τρἷγωνον σρος τὸ ΑΔῈ τρι’- γωνον" καὶ ὡς ἆ’ρα τὸ ΒΔῈ ʼτρι’γωνον ʼπρὄς τὸ ΑΔΕ τρἷγωνονΒ οὕτως τὸ ΤΔΕ : ʼρΐγωνον ’πρὄς τὸ ΑΔῈ τρίγωνονϑ, Ἑκατέρον ἄρα τῶν ΒΔΕ. ΤΔΕ τριγώνων πρὸς τὸ ΑΔῈ τρίγωνονϊ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, Ἰσὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔῈ τρίγωνον τῷ ΤΔῈ τριγὧνῳʼ καὶ εἴσιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΔΕ. Τὰὼ δὲ ἴσα τρίγωνα καὶ ἐπὶ τῆς αὖ- τὴς βάσεως ὄντα. καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλᾗ- λοις ἐστί, Παράλληλος ἀρα ἐστὶν ἡ ΔῈ τῇ ΒΓ, Eαν ἀρα τριγωνου, καὶ τὰ ἓἠῃζο |
lisdem enim constructis, quoniam est ut BA ad AA 1ta TE ad EA, sed ut BA quidem ad AA ita BAE triangulum ad AAE triangulum, ut TE vero ad EA ita TʼAE triangulum ad. AAE triangu- lum ; et ut igitur BAE triangulum ad. AAE trian- gulum ita TʼAE triangulum ad AAE triangulum. Utrumque igitur BAE, TAE triangulorum ad AAE iriangulum eamdem habet rationem. JÉ- quale igitur est BAE triangulum ipsi TʼAE trian- gulo ; et sunt super eàádem basi AE. JEqualia au- iem triangula et super cádem basi constituta et inlra casdcm parallelas sunt. Parallela gitur est AE ipsi BT. Si igitur trianguli, etc. |
Si l’on mène une droite parallèle à un des côtés d’un triangle, cette droite coupera proportionnellement les côtés de ce triangle ; et si les côtés d'un triangle sont coupés proportionnellement, la droite qui joindra les sections sera parallèle au côté restant du triangle. Menons AE parallèle à un des côtés Br du triangle ABr ; je dis que Ba est à AA comme TE est à EA.
Joignons BE, TA.
Le triangle BAE sera égal au triangle TAE (37. 1), parce qu’ils ont la même base AE, et quʼils sont compris entre les mêmes parallèles AE, Br. Mais AAE est un autre triangle ; et des grandeurs égales ont la même raison avec une même grandeur (7. 5) ; donc le triangle BAE est au triangle AAE comme le triangle TAE est au triangle AAE. Mais le triangle BAE est au triangle AAE comme BA est à A4 ; car ces deux triangles, qui ont la même hauteur, savoir, la perpendiculaire menée du point E sur la droite AB, sont entrʼeux comme leurs bases (1. 6). Par la même raison le triangle TAE est au triangle AAE comme TE est à FA ; donc BA est à AA comme TE est à EA (11. 5). Mais que les côtés AB, AT du triangle ABrT soient coupés proportionnellement aux points A, E, c’est-à-dire que BA soit à AA comme TE est à EA, et joignons AE ; je dis que AE est parallèle à r.
Faisons la même construction. Puisque BA est à AA comme TE est à FA, que BA est à AA comme le triangle BAE est au triangle AAE (1. 6), et que TE ést à EA comme le triangle TAE est au triangle AAE, le triangle BAE est au triangle AAE comme le triangle TAE est au triangle AAE (11. 5). Donc chacun des triangles BAE, TAE a la même raison avec le triangle 4A4F. Donc le triangle BAE est égal au triangle TAE (9. 5) ; et ils sont sur la même base AE. Mais les triangles égaux et construits sur la même base sont entre les mêmes parallèles (39. 1). Donc AE est parallèle à Br. Donc, etc.