Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 1

Euclide

Les Éléments - Livre 6

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 340-343).

ΠΡΟIΤΑΣΙΣ ά.	PROPOSITIO I.
Tὰ τριγωνα καὶ τὰ ’παραλλυλο’γροιμμα, τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὖηιος ὄ’ντοι, ʼπρὄς ἀλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις.	Triangula et parallelogramma, sub eádem altitudine existentia, inter se sunt ut bases.
Ἑστω τρι’γων : ι μἓν τὰ ΑΒΓ. - ΑΓΔ, παραλλη- λήόγραμμα δὲ τὰ ἘΓ. ΤΖ. . ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα. τὴν ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΔ κάθετον ἀγο- μένην"" λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΤ βάσις ’πρὄς τὴν ΤΔ βάσιν οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον, καὶ τὸ ἘΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΓΖ παραλληλόγραμμον.	Sint triangula quidem ABT, ATA, paralle- logramma vero ETʼ, TZ, sub eádem altitudine existentia, ipsá ab A ad BA perpendiculari ductá ; dico esse ut BI basis ad TʼA basm ita ABT triangulum ad ATA triangulum, et XT parallelogrammum ad TZ parallelogrammum.
Ἐκϐεϐλήσθω γὰρ ἡ ΒΔ ἐφ᾽ ἑκάτερα τὰ μέρη, ἐπὶ τὰ Θ, Λ σημεῖα, καὶ κείσθωσαν τῇ μὲν ΒΓ	Producatur enim BA ex utráque parte ad Θ, Λ puncta, et ponantur ipsi quidem BΓ basi
βάσει ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν" αἱ ΒΗ. ΗΘ, τῇ δὲ ΓΔ βάσει ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΔΚ. ΚΛ. καὶ επεζευχθωσʼαν αἱ ΑΗ. ΑΘ. ΑΚ. ΑΛ.	æquales quotcunque BH, H6, Ipsi vero DA basizquales quotcunque AK, KA, et jungan- tur AH, A9, AK, AA.
Καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΤΒ. ΒΗ. ΗΘ οιλλπ- λαις. ἰσα ἐστὶ καὶ τὰ ΑΘΗ. ΑΗΒ΄. ΑΒΓ ʼτρι- γωνα ἀλλήλοις" ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΓ βάσις τῆς ΒΓ βάτεως. τοσαυταπλάσιόν ἐστʼ καὶ τὸ ΑΘΙ τρίγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, Διὰ τὰ	Et quoniam equales sunt ipsc TB, BH, HO inter se, equales sunt et AOH, AHB, ABT trian- gula inter se ; quam multiplex igitur est OT basis. ipsius BP basis, tam multiplex est et AOT trian- gulum ipsius ABT trianguli. Propter cadem uti-

αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΤΛ βάσις τῆς ΤΔ β : ἔοʼεως, τοσοωτα’πλοἔσιο’ν ξσʼτι καὶ τὸ ΑΛΙ τρἷ- γῶωνον τοῦ ΑΥΔ τριγώνου" καὶ εἰ ἴση ἐστὶν η ΘΓ βάσις τῇ ΓΛβάσει, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΘΤ τρίγωνον τῷ ΑΔΤʼ τρεγώνῳ" καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ ΘΙ βάσις τῆς ΤΛ βάσεως. ὑπερέχει καὶ τὸ ΑΘΓ τρίγωνον τοῦ ΑΛΙ τριγώνου" καὶ εἰ ἔλασσων. ἔλασσον, Τεσσά- ρὼν δὴ ὄντων μεγεθῶν. δύο μὲν βάσεων τῶν ΒΓ,	que quam mulüplex est TA basis ipsius TA basis, tam mulüplex est ct AAT triangulum ipsius ATA trianguli ; et s1 equalis est OT basis ipsi PA basi, aequale est ct AOT triangulum ipsi AAT triangulo ; et si superat OD basis ip- sam IʼA basim, superat et AOT triangulum ipsum AAT triangulum ; et si minor, minus. Quatuor igitur existentibus magnitudinibus,
ΓΤΔ. δύο δὲ τρίγώνων τῶν ΑΒΓ. ΑΓΔ, εἰληπται σάκις πολλαπλάσια τῆς μὲν ΒΓ βάσιως καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγὤνου, ἥτε ΘΙ βάσις καὶ τὸ ΑΘΓ τρἷ- γωνον" τῆς δὲ ΤΔ βάσεως καὶ τοῦ ΑΤΔ τρμιγῶνου ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσείκις πολλαπλάσια, . ἥτε ΤΛ βα- σις καὶ τὸ ΑΛΙ τρίγωνον" καὶ δέδεικται ὅτι εἰ ὖʼπερξχει ἡ ΘΙ βάσις τῆς ΤΔ βάσεως. ὖʼπερἔχει καὶ τὸ ΑΘΙ᾽ τρίγωνον τοῦ ΑΛΙῚ τριγῶνου" καὶ εἰ	duabus quidem basibus BTʼ, TA, duobus YCTO triangulis ABT, ATA, sumpta sunt xque myl. tplicia basis quidem BP et ABT trianguli ipsa OI" basis et AOT triangulum ; basis vero rA et trianguli ATA alia utcunque eque multplicia ; ipsaque lʼA basis et AAT triangulum. Et osten. sum est si superat OT basis ipsam TA basim, Süpe- rare et AOT triangulum ipsum AAT triangulum ;

ἴση. ἴσον" καὶ εἰ ἔλαττων. ἔλαττον"" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ βασὶις πρὸς τῆὴν ΤΔ βασιν οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΤΔ τρίγωνον.	et si equalis, zquale ; et si minor, minu ; est igitur ut BI basis ad TA basim ita ABT triangulum ad ATA triangulum.
Καὶ ἐπεὶ τοῦ μὲν ΑΒΙΓ τριγώνου διπλάσιόν ἐστι τὸ ἘΓ παραλληλόγραμμον. τοῦ δὲ ΑΓΔ τριγὧνου διπλάσιὸον ἐστι τὸ ΖΓ παραλλκλὄγραμ- μὸν. τὰ δὲ μερη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν εἐχε ! λογον᾽ ἐστιν ἀρῶ ὡς τὸ ΑΒΓ	Et quoniam trianguli ABT quidem duplum est ET parallelogrammum, ipsius vero AT trianguli duplum est Zr parallelogrammum, partes autem eamdem habent rationem quam earum sque multplices ; est igitur ut ABL triangulum ad
τρἷγωνον πρὃς τὸ ΑΓΔ τρίγωνον οὕτως τὸ ἘΓ παρ- αλλπλὄᾳραμμ’ον ʼπΡἓς τὸ ΖΤ ʼποιραλλῃλο”ῃἔοιμμον. Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη. ὡς ἡ μὲνί ΒΤ βάσις πρὸς τὴν ΓΔ οὕτως τὸ ΑΒΓ τρι"γωνον ’πρἓ-ς τὸ ΑΤΔ τρίγω- νον5, ὡς δὲ τὸ ΑΒΤ τρι’γωνον ʼπρὄς τὸ ΑΤΔ τρί- γωνονῦ οὕτως τὸ ἘΤ παραλλπλὄγραμμον ʼπρὃς τὸ 2Γ παραλληλογραμμον" καὶ ὡς ἀρα ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τῆν ΓΔ βάσιν οὕτως τὸν ἘΓ παραλληλόγραμ- μοὸν ʼπρὄς τὸ 7Τ παραλλπλὄφΡαμμονἹ. τὰ ἆρα τρίγωνα, καὶ τὰ ἑξῆς.	ATA triangulum ita ET parallelogrammum ad ZT parallelogrammum. Quoniam igitur osten- sum est, ut basis quidem BD ad TA basim ita ABT iriangulum ad ArA triangulum ; ut autem ABTPʼ triangulum ad ATA triangulum ita ET pa- rallelogrammum ad ZTʼ parallelogrammum ; et ut igitur BI ! basis ad TʼA basim ita ET paral- lelogrammum ad Zr parallelogrammum. Ergo triangula, etc.

PROPOSITION PREMIÈRE.

Les triangles et les parallélogrammes qui ont la même hauteur sont entr’eux comme leurs bases,

Soient les triangles ABΓ, AΓΔ, et les parallélogrammes EΓ, ΓZ, ayant la même hauteur, savoir, la perpendiculaire menée du point A sur BA ; je dis que la base BΓ est à la base ΓΔ comme le triangle ABΓ est au triangle AΓΔ, et comme le parallélogramme EΓ est au parallélogramme ΓZ.

Prolongeons la droite BΔ de part et d’autre vers les points Θ, Λ ; prenons tant de droites qu’on voudra BH, H6, égales chacune à la base Br, et tant de droites quʼon voudra AK, KA, égales chacune à la base rA ; joignons AH, AΘ, AK, AA.

Puisque les droites TB, BH, HΘ sont égales entr’elles, les triangles AΘH, AHB, ABT sont égaux entr’eux (38. 1) ; donc le triangle 4er est le même multiple du triangle ABr que la base er l’est de la base Br. Par la même raison, le triangle AAT est le même multiple du triangle ArA que la base TA l’est de la base ra. Donc si la base Θr est égale à la base rA, le triangle A€T est égal au triangle AAT ; si la base Θr surpasse la base ra, le triangle AT surpasse Île triangle AAT (58. 1) ; et si la base er est plus petite que la base ra, le triangle 4er est plus petit que le triangle AAT. Ayant donc quatre grandeurs, les deux bases BΓ, ΓA ;  : et les deux triangles ABT, ATA, on a pris des équimultiples quelconques de la base BΓ, et du triangle ABΓ, savoir, la base er et le triangle 407 ; on a pris aussi d’autres équimultiples quelconques de la base TA et du triangle ATA, savoir, la base ΓA et le triangle AAT ; et l’on a démontré que si la base er surpasse la base ΓA, le triangle AΘΓ surpasse le triangle AAT ; que si la base Or est égale à la base ra, le triangle AOT est égal au triangle AAT, et que si la base er est plus petite que la base ra, le triangle AOT est plus petit que le triangle AAr ; donc la base Br est à la base rA comme le triangle ABT est au triangle ArA (déf. 6. 5).

Puisque le parallélogramme Er est double du triangle ABr, que le parallélogramme Zr est double aussi du triangle ATA (prop. 41. 1), et que les parties ont entr’elles la même raison que leurs équimultiples (prop. 15 5), le triangle ABΓ est au triangle AΓΔ comme le parallélogramme EΓ est au parallélogramme ZΓ. Puisqu’on a démontré que la base BΓ est à la base ΓΔ comme le triangle ABΓ est au triangle AΓΔ, et puisque le triangle ABΓ est au triangle AΓΔ comme le parallélogramme EΓ est au parallélogramme ZΓ, la base BΓ est à la base ΓΔ comme le parallélogramme EΓ est au parallélogramme ZΓ (11. 5). Donc, etc.