Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 10

Euclide

Les Éléments - Livre 6

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 363-365).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιʹ.	PROPOSITIO X.
Ὑὴν δοθεῖσαν εὐθείαν ἄτμητον τῇ δοθείσῃϊ τετμημενη ομμοίως τέμειῖνς	Datam rectam insectam date secto similiter secare.
Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ ΑΒ, ἡ δὲ τετμημένη ἡ ΑΤ2, κατὰ τὰ Δ. Ἐ σημεῖα, καὶ κείσθωσαν ὥστε γωνίαν τυχοῦσαν περιέχει καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΤΒ. καὶ διὰ τῶν Δ. Ε τῇ ΒΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΔΖ, ἘΗ͂. δηχὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΘΚ.	Sit data quidem recta insecta AB, ipsa vero secta AT in A, E puncüs, et ponantur ita ut angulum quemlibet contineant, et jungatur TE, et per A, E ipsi BD parallele ducantur AZ, EH, pcr A autem ipsi AB parallela ducat, AOK.

Παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν 2Θ. ΘΒʼ ἴση ἄρα ἡ μὲν ΔΘ τῇ 2Η. ἡ δὲ ΘΚ τῇ ΗΒ. Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΔΚΙ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΚΙ εὐθεῖα ἥκται ὶ ΘΕʼ ἀνά-- λογον ο’ι’ροι ἐστὶν ὡς ἡ ΤῈ ʼπρὃς τὴν ἘΔ οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΔ. Ισῃ δὲ ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΒΗ, ἡ δὲ ΘΔ τῇ ΗΖ᾽ ἔστιν ο’ι’ρω ὡς ἡ ΤῈ πρὸς τὴν ἘΔ οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΖ. Πάλιν. ἐπεὶ τριγώ- γου τοῦ ΑΗῈ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ἘΗ͂ ἥκται ἡ 2Δ" οἷνοἔλογον ο’ε’ροι ἐστὶν ὡς ἡ ἘΔ πρὃς τὴν ΔΑ οὕτως ἡ ΗΖ ’πρὃς τὴν ΖΑ. Εδείχθη δὲ καὶ	Parallelogrammum igitur. est utrumque ip- sorum ZO, OB ; axqualis igitur ipsa quidem AO ipsi ZH, ipsa vero OK ipsi HB. Et quo- niam trianguli AKT juxta unum laterum KT recta ducta est 6€£ ; proportionaliter igitur est ut TE ad EAʼita KO ad OA. J/Équalis au- tem ipsa quidem KO ipsi BH, ipsa vero 0A ipsi HZ ; est igitur ut. TE ad EA ita BH ad HZ. Rursus, quoniam trianguli AHE juxta unum laterum EH ducta est ZA ; proportionaliter igitur est ut. EA ad AA ita HZ ad ZA. De-
ὡς ἡ ΤῈ ’πρὄς τὴν ἘΔ οὕτως ἡ ΒΗ πʼρὀς τὴν ἨΖ" ἐστὶν ἆ’ρα ὧς μἓν ἡ ΓῈ ’πρὁς τὴν ΕΔ οὗ’τως ἡ ΒΗ πρὄς τὴν ΗΖ. ὡς δὲ ἡ ἘΔ τπρὃς τὴν ΔΑ οὕτως ἢ ΗΖ πρὃς τὴν ΖΑ.	monstratum autem est et ut CʼE ad EA ita BH ad HZ ; est igitur ut TʼE quidem ad EA ita BH ad HZ, ut vcro EA ad AA ita HZ ad ZA.
Η ἀρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ ΑΒ τῇ δο- θείσῃ εὐθείᾳ τετμημένῃ τῇ ΑΤ ἑμοίως τέτμηται. Οπερ ἔδει ποιῆσαι.	Data igitur recta insecila AB dato recte sect » AT similiter secta est. Quod oportebat facere.

PROPOSITION X.

Partager une droite donnée, qui n’est point partagée de la même manière quʼune droite donnée est partagée. Soit AB la droite donnée qui n’est point partagée, et AΓ une droite partagée aux points Δ, Σ ; que ces droites soient placées de manière qu’elles comprènent un angle quelconque ; joignons Br, et par les points A, E, menons les droites AZ, EH parallèles à Br (31. 1) , et par le point A menons 46k parallèle à AB.

Les figures ZΘ, ΘB seront des parallélogrammes ; donc A6 est égal à ZH, et OK égal à HB (34. 1). Et puisquʼon a mené la droite ΘE parallèle à un des côtés kr du triangle Akr, la droite TE est à EA comme KΘ est à Θ4 (2. 6). Mais Ko est égal à BH, et ΘA est égal à Hz ; donc IE est à EA comme BH est à Hz. De plus, puisquʼon a mené la droite ZA parallèle à un des côtés EH du triangle AHE, la droite EA est à AA comme HZ est à ZA. Mais on a démontré que TE est à Ea comme BH est à HZ ; donc TE est à EA comme BH est à HZ, et EA est à AA comme HZ est à ZA.

Donc la droite donnée 4B, qui n’est pas partagée, a été partagée de la même manière que la droite donnée Ar. Ce qu’il fallait faire.