Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 11

Euclide

Les Éléments - Livre 6

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 365-366).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιαʹ.	PROPOSITIO XI.
Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν, τρίτην ἀνάλογον προ- σευ ρἔἳν.	Duabus datis rectis, tertiam proportionalem invenire.
Ἑστωσαν αἱ δοθεῖσαι αἰΐ ΑΒ. ΑΓΙ καὶ κείσϑω-	Sint dat : AB, AT, et ponantur ita ut an-

σαν γωνίαν περιέχουσαι τυχοῦσαν" δὲῖ δὴ τῶν ΑΒ ; ΑΓ τρέτην ἀνάλογον προσευρεῖν2,	gulum quemlibet contineant ; oportet igitur Ipsis AB, ATʼ tertiam proportionalem invenirc.
Ἐκ ξεέλήσηωσ αν γὰρ αἱ ΑΒ. ΑΓ ἐπὶ τὰ Δ, Ἑ σημεῖα. καὶ κείσθω τῇ ΑΤ Τ ἢ ΒΔ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ παράλληλος αὐτῇ" ἤχθω ἢ ΔΕ.	Producantur enim AB, ATʼad A, x puneta, et ponatur ipsi AT equalis BA, ct Jungatur BI, et per A parallela huic ducatur AE,

Ἐπεὶ οὖν τριγῶνου τοῦ ΑΔῈ ; παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΔῈ ἧκται ἡ ΒΓ. ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ ΄πρὄς τὴν ΒΔ οὕτως ἡ ΑΤ πρὃς τῆὴν ΤῈ. Ἰσὴ δὲ ἡ ΒΔ τὴ ΑΓ. ἔστιν ο’ι’ροι ὡς. ΑΒ πρὄς τὴν ΑΤ οὕτως ἡ ΑΓ ’πρὄς τῆὴν ΤῈ.	Quoniam igitur trianguli AAE, juxta unum laterum. AE ducta est BT, proportionaliter est uL AB ad BA ita AT ad LE. JEqualis autem BA ipsi AT, est igitur ut AB ad AT ita AT ad LE.
Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ. , ΑΓ. τρίτη ἀνάλογον αὐταῖς προσεύρετωι ἡ ΤῈ. Οπερ ἔδει ποιῆσαι.	Duabus igitur datis rectis AB, AL, tertia proportionalis inventa est TE, Quod oportebat facere.

PROPOSITION XI.

Deux droites étant données, trouver une troisième proportionnelle.

Soient AB, Ar les deux droites données ; posons-les de manière qu’elles comprènent un angle quelconque ; il faut trouver une troisième proportionnelle aux droites AB, AΓ. Prolongeons les droites AB, AT vers les points A, E ; faisons BA égal à AT ; joignons Br, et par le point A menons AE parallèle à Br (31. 1).

Puisque la droite Br est parallèle à un des côtés AE du triangle AAE, la droite AB est à BA comme AT est à TE (2. 6). Mais BA est égal à AΓ ; donc AB est à AT comme AΓ est à ΓE.

Donc les deux droites AB, AT étant données, on a trouvé une troisième proportionnelle ΓE. Ce qu’il fallait faire.