Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 12
C. F. Patris, (1, p. 367-368).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιβ΄. | PROPOSITIO XII. |
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Τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν. τετάρτην ἀγάλογον προσευρεῖν. |
Tribus datis rectis, quartam proportionalem invenire. |
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Ἑστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ A, B, Γ δεῖ δὴ τῶν Α. Β. Τ τετάρτην ἀνάλογον προσευ- ρεΐν. |
Sint datæ tres rectæ A, B, Γ ; oportet igitur lpsis A, B, T quartam proportionalem inve- nire. |
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Ἐκκείσθωσαν δύο εὐθεῖαι ! . αἱ ΔῈ, ΔΖ. γωνίαν περιέχουσαι τυχοῦσαν" τὴν ὑπὸ ἘΔΖ" καὶ κείσθω τῇ μὲν Α ἴση ἡ ΔΗ, τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΒῈ, καὶ ἐτι τῇ Τ ἰσὴ ἡ ΔΘʼ καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΗΘ ; παράλληλος αὐτῇ ἤχθω δγὰ τοῦ Ἑ ἡ ἘΖ. |
Exponantur dus recte AE, AZ, angulum contüinentes quemlibet EAZ ; cet ponatur ipsi quidem A zqualis AH, ipsi vero B equalis HE, et insuper ipsi P equalis A0 ; ct junctà HO, parallela 31i ducatur per E ipsa EZ. |
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Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΔῈΖ παρὰ μίαν τῶν ι’λευρὧ΄ν3 τὴν ἘΖ ἧκται ! ἡ ΗΘ. ἔστιν ἀρα ὡς ΔΗ͂ πρὸς τὴν ΗΕ. οὕτως καὶ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΖ. Ἰσὴ δὲ ἡ μὲν ΔΗ τῇ Α, . ἥ δῈ ΗΕ τῇ Β. ἡ δὲ ΔΘ τῇ Γʼ ἔστιν ἄρωα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β οὕτως Τ ʼπρὃς τὴν ΘΖ, |
Et quoniam trianguli AEZ juxta unum latc- rum EZ ducta est HO, est igitur ut AH ad HE ita AO ad OZ. /Equalis autem AH quidem ipsi A ; ipsa vero HE ipsi B, ipsa autem AO ipsi LI ; est agitur ut A ad B ita T ad Oz.
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| Τριῶν ἄρα δοθεισῶν εὐυθειῶν τῶν Α, Β, Γ, τετάρτη ἀνάλογον προσεύρεται ἢ ΘΖ. Οπερ ἐδει σροιἣσαι.
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Tribus igitur datis rectis A, B, Γ, quarta proportionalis inventa est ΘZ. Quod oportebat facere.
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Trois droites étant données, trouver une quatrième proportionnelle.
Soient A, B, Tr les trois droites données ; il faut trouver une quatrième proportionnelle aux droites A, B, Γ.
Soient les deux droites AE, AZ, comprenant un angle quelconque Eaz ; faisons la droite AH égale à A, la droite HE égale à 8, et la droite 4Θ égale à T ; et ayant joint HΘ, par le point E menons EZ parallèle à He.
Puisque la droite HΘ est parallèle à un des côtés EZ du triangle 4EZ, la droite AH est à HE comme AΘ est à Θz (2. 6). Mais AH est égal à A, la droite HE égale à B, et la droite 4© égale à r ; donc A est à B comme Tr est à ΘZ. Donc trois droites A, B, Γ étant données, on a trouvé une quatrième proportionnelle 6z. Ce qu’il fallait faire.