Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 32
C. F. Patris, (1, p. 421-423).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λβʹ. | PROPOSITIO XXXII. |
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Ἐὰν δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν, τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἀνάλογον ἐχόντα, ὥστε τὰς ομολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἰνα ! " αἱ λοίπα ! τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπ εὐθείας ἔσονται. |
Si duo triangula componantur secundum unum angulum, duo latera duobus lateribus proportionalia habentia, ita ut homologa eorum latera et parallela sint ; reliqua triangulorum latera in directum erunt. |
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Ἑστω δὺο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΙῈ, τὰς δύο |
Sint duo triangula ABT, ATE, duo latera |
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πλευρὰς τὰς ΒΑ. ΑΙʼ ταῖς δυσὶ πλευραὶς ταῖς ΓΔ, ΔΕ ἀνάλογον ἔχοντα. ὡς μὲν τὴν ΑΒ ʼπρὃς |
BA, AT duobus lateribus ΓΔ, ΔΕ proportio- nalia habentia, ut AB quidem ad Ar ita Ar
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πτὴν ΑΤ οὕτως τὴν ΔΙ᾽ σρὸς τὴν ΔῈ ’παροἱλλπλον δὲ τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΙΓ, τὴν δὲ ΑΓ τΤ ΔῈ" λεγω ὃτι ἐπ᾿ εὐθείας ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΤΕ. |
ad AE, parallela vero AB quidem Ipsi AD, ipsa vero AT ipsi AE ; dico in directum CSse ipsam Br ipsi DE. |
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Ἐπεὶ γὰρ παραλλήλος ἐστιν ἢ ΑΒ τῇ ΔΙ. καὶ εἰς αὐὑτάς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΑΤ΄. καὶ αἱ ! ἐν- αλλὰξ γωνίωαι αἱ ὑπὸ ΒΑΤΓ. ΑΓΔ ἔσαι ἀλλήλαις εἰσί, Διὰ τὰ αὑταὰ δὴ καὶ ἢ ὕπὸ ΤΔῈ τῇ ὑπὸ ΑΤΔ στὶν ἰση" ὥστε καὶ ἢ ὑπὸ ΒΑΙ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστὶν |
Quoniam enim parallela est AB lpsi AT, et in ipsas incidit recta AT, et alterni anguli BAI, ATA cquales inter se sunt, Propter C3- dem utique et TAE Ipsi ATA est : qualis ; quare et BAT ipsi lʼAE est æqualis. Et quoniam duo |
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ἴση. Καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστι τὰξ ΑΒΓ. ΔΙῈ μίαν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α μιᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Δ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς ’πλευρἆς ἆνοἱλογον, ὡς τὴν ΒΑ πρὃς τὴν ΑΤ οὔ- τῶς τὴν ΤΔ πρὸς τὴν ΔΕ" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΙῈ τργῶνῳ" ἰσὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΙῈ, Ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΤ ἴση" ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓῈ δὺσὶ |
triangula sunt ABT, ATE unum angulum ad A uni angulo ad A equalem habentia, cirea equales autem angulos latera proportionalia, ut BA ad AT ita TA ad AE ; zquiangulum igitur est ABI triangulum ipsi ATE triangulo ; equalis igitur. ABT angulus ipsi ATE. Ostensus autem est et ATA ipsi BAT zqualis ; totus igitur ATE duobus ABT, BAFP aequalis est. Communis
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ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ. ΒΑΓ ἴση ἐστί. Κοινή προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΤΒ᾽ αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΤΈῈ- ΑΓΒ τας υπὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ. , ΑΓΒ ἐσαμ εἰσίν. Αλλ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ. ΑΒΓ. ΑἸΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἔται εἰσί5 » καὶ αἱ ὑπὸ ΑΤῈ, ΑΙΒ ἀρὰ δυσὶν ορθαις ἰσαι εἰσί. Προς δὴ τινι εὖ- θείᾳ τῇ ΑΤ΄. καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Τ, δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΓΕ, μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμε- ψα ! . τὰας εφεξπς γωνίας τὰας υπὸ ΑΤἸῈ. -. ΑΓΒ δυσιὶν ὑρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν" ἐπτ εὐθείας ἀρα ἐστὶν Ἡ ΒΓ τῇ ΤΕ, Ἐαν ἀρα δνο. - καὶ τὰ εξῆς. |
opponatur ATB ; ipsi igitur ATE, ATB ipsis BAT, ABD, ATB zquales sunt. Sed ipsi BAT, ABT, ATB duobus rectis equales sunt ; et ipsi ATE, ATB igilur duobus rects zquales sunt. Ad quamdam utique rectam AT, ct ad punctum in eà T, dux recto ΒΓ, ΓΕ, non ad easdem partes posit, ipsos deinceps angulos ATE, ATPB duobus recüs zquales faciunt ; in directum igitur est BIʼ ipsi PE. Si igitur duo, etc. |
Si deux triangles, ayant deux côtés proportionnels à deux côtés, se touchent par un angle, de manière que leurs côtés homologues soient parallèles, les côtés restants des triangles seront dans la même direction.
Soient les deux triangles ABT, ATE, ayant les deux côtés BA, AT proportionnels aux deux côtés rA, 4E, de manière que AB soit à AΓ comme ΔΓ est à AE ; et que AB soit parallèle à Ar, et AT parallèle à AE ; je dis que ET est dans la direction de re.
Puisque AB est parallèle à AT, et que AT tombe sur ces deux droites, les angles alternes BAT, ATA sont égaux entr’eux (29. 1.). Par la même raison, lʼangle rAE est égal à l’angle ArA ; donc l’angle BAr est égal à l’angle rAE. Et puisque les deux triangles ABT, ATE ont un angle en A égal à un angle en A, et que les côtés qui comprènent ces angles égaux sont proportionnels, c’est-à-dire que BA est à AT comme TA est à AE, les triangles ABr, ATE sont équiangles (6. 6) ; donc lʼangle ABr est égal à l’angle ArE. Mais on a démontré que lʼangle ArA est égal à l’angle BAr ; donc lʼangle entier ArE est égal aux deux angles ABT, BAT. Ajoutons l’angle commun ATB ; les angles ATE, ArB seront égaux aux angles BAT, ABT, ArB. Mais les angles BAT, ABT, ATB sont égaux à deux angles droits (32. 5) ; donc les angles ATE, ATB sont égaux à deux angles droits. Donc avec une droite quelconque AT, et au point r de cette droite, les deux droites ΒΓ, ΓΕ, placées de différents côtés, font les angles de suite ATE, ATB égaux à deux angles droits ; donc la droite Br est dans la direction de TE (14. 1). Donc, etc.