Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 33

Euclide

Les Éléments - Livre 6

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 423-430).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ λγʹ.	PROPOSITIO XXXIII.
Eν τοιςίσοῖς κυκλοῖς αἱ γωνίαι τὸν αὐτον λόγον ἐχύυσι ταῖς περιφερείαις εῷ ὧν βεξήκασιν. εῶν τε πρὺς τος κέντροις » ἐῶν τὲ πρὸς τῶις περιφέρείαις ὧσι βεξηκυΐαι" ἐτι δὲ καὶ οἱ τομεῖς. ἅτε σρος τοῖς κέντροις συνισταμενοιΐ.	In æqualibus circulis anguli. eamdem ratio- nem habent quam circumferentia in quas insis- tunt, sive ad centra, sive ad circumferentias sint insistentes ; adhuc etiam et sectores quippe ad centra constituti.
Εστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ. ΔΕΖ. καὶ ʼπρὖς	Sint æquales circuli ABT, AEZ, et ad centra
μὲν τοῖς κέντροις αὐτῶν τοῖς Ἡ. Θ γωνίαι ἔστωσεν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ. ΕΘΖ- πρὸς δὲ ταῖς πε- ριφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ. ἘΕΔΖ" λέγω ὁτι ἰστὶν ὡς ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ἘΖ περιφέρειαν οὕτως ἥτε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία ’πρὃς σὴν ὑπὸ ἘΩΘΖ. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΙ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ" καὶ ἔτι ἫΒΓ τομιὺς πρὸς τὸν ΘEΖ τομέα",	quidem ipsorum H, O anguli sint BHT, toy, ad circumferentias vcro Ipsi BAT, EAZ ; esse ut BIʼ circumferentia ad EZ circumferen. tiam ita BHT angulum ad E9Z, et ipsum BAT ad EAZ ; et adhuc HBΓ sectorem ad ΘEΖ sec- torem.

Κείσθωσαν γὰρ τῇ μὲν ΒΓ περιφερείᾳ ἴσαι κατὰ τὸ ἑξῆς ὁσαιδηποτοῦν" αἱ ΤΚ. ΚΛ. τῇ δὲ ἘΖ περιφερείᾳ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν ! αἱ ΖΜ, ΜΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ἨΚ, ΗΔ. ΘΜ ; ΘΝ.	Ponantur enim ipsi BI quidem circumíe. rentix : equales deinceps quotcumque IK, KA, ipsi vero EZ circumferentie zquales quotcum. que ZM, MN ! et jungantur HK, HA, OM, ON,
Ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΓ, ΓΚ, ΚΛ περιφέ- ρειαι ἀλλήλαις. ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΓ ; ΓΤΗΚ, ΚΗ͂Λ γωνίαι ἀλλήλαις" ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἥ ΒΛ περιφέρεια τῇ ΒΓ. τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΗ͂Γ. Διὰ τὰ	Et quoniam igitur zquales sunt BP, TK, KA circumferentie inter se, zquales sunt ct BHT, LTHK, KHA anguli inter se. Quam mulüple igitur est. BA circumferentia ipsius BT, tam multiplex et est BHA angulus ipsius BHT. Propler
αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν κἃ ἘΝ περιφέ- μεία τῆς ἘΖ, τοσαυπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΝ γωνία τῆς ὑπὸ ἘΕΘΖ. Εἰ ἄραϑ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφερεία τ ἘΝ περιφεέρεια 5 Ισὴ εἐστί καὶ γῶ- γία ἡ ὑπὸ ΒΗ͂Λ τῇ ὑπὸ ἘΘΝ’ καὶ εἰ μείζων ἰστὶ ἡ ΒΛ περιφέρια τῆς ἘΝ περιφερείας. μείζων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΝ γωνίαςθ : καὶ εἰ ἐλάσσων. ἐλάσσων" τεσ- σάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν. δύδ μὲν περεφερειῶν τῶν ΒἘΓ. ΕΖ, δύο δὲ γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ ; εἴληπται τῆς μὲν ΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ΒΗΓ γωνίας ἰσώκις πολλαπλασίων. ἣἢ τε ΒΔΛ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία. τῆς δὲ ἘΖ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ἘΘΖ γωνίας. ἥ τε ἘΝ ʼπεριφἔρεια καὶ ἡ ὑπὸ ἘΘΝ γωνία" καὶ δὲ- δεικται ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ ΒΔ περιφέρειω τῆς ἘΝ ’περιφερεἷας, ὖ’πς : ρἔχει καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ἘΘΝ" καὶ εἰ ἴση. ἰση" καὶ εἰ ἐλάσσων. ἐλάσσων" ἔστιν ἄρα ὡς ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ἘΖ οὕτως ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία ’πρὄς τὴν ὑπὸ ἘΘΖ. Αλλ᾽ ὡς ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ οὕτως ἡ ὑπὸ ΒΑΤ πρὸς τὴν ὑπὸ ἘΔΖ ; διπλα-	cadem utique et quam multiplex cst EN cir- cumferentia ipsius EZ, tam muliiplez est ct EON angulus ipsius EGZ, Si igitur cqualis cst BA circumferentia ipsi EN circumferentiz, equalis est et angulus BHA ipsi EON ; et si major est BA circumferentia ipsá EN cir- cumferentià, major est ct BHA angulus ipso EON angulo ; et si minor, minor ; quatuor igitur existentibus magnitudinibus, — duabus quidem circumferentis BD, EZ, duobus vcro angulis BHTʼ, EOZ, sumpta sunt ipsius quidcm BT circumferenüz, ct ipsius BHP anguli oque multiplicia, et BA circumferentia et BHA an- gulus, ipsius vero EZ circumferentis et ipsius EOZ anguli, ct EN circumferentia et EON an- culus ; et ostensum est si superat BA circum- ferentia ipsam EN circumferentiam, superare ct BHA angulum ipsum EON ; ct si cqualis, acqualem ; ct si minor, minorem ; cst igilur ut BIʼ circumferentia ad ipsam EZ ita BHTʼ an- gulus ad ipsum EOZ. Sed ut BHTʼ angulus ad ipsum EOZ ila ipse BAT" ad ipsum EAZ ; duplus
σιων7 γαρ ἐκατέρω εἐκατερῶς" καὶ ὡς ἀρὰ ἡ ἘΤ περιφέερα πρὸς τὴν ἘΖΦΖ περιφέρειαν ουτῶς ἥτε ὑπὸ ΒΗΙ γωνίὼ πρὸς τῆν ὑπὸϑ ΕΘΖ. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΙ πρὃς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ,	enim uterque utriusque ; et ut lmitur Br Cit- cumferentia ad EZ circumferentiam ita et BBr augulus ad ipsum EOZ, cet ipse BAT ad ipsum EΔZ.

Ἐν ἀρά τοις ἰσοὶς κύκλοις ! γῶωνίαι τὸν αὖ- τὸν ἐχουσιὶ λογον ταᾶις σπεριφερείχις εἐ ὧν βε- ξηκασιν" ἐὰν τέ πρὸς τοῖς κέεντροίς. εἂν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦτι βεθηκυῖαι, Οπερ ἐδὲει δεῖ- ξαι.	In æqualibus igitur circulis anguli eamdem habent rationem quam circumferentiz in. quas insistunt ; sive ad centra, sivc ad circum. ferentias sint insistentes. Quod oportebat ostentendere.
Λεγὼῶ οτι καὶ ὡς ἃ ΒΓ περιῷερέία ἥρος τὴν ΕΖ περιφερείαν ουτῶς ὁ HΒΓ τομέὲυς πρὸς τὸν ΘΕΖ τομέα.	Dico et ut BT circumferentia ad EZ circum- ferentiam ita HBΓ seclorem ad OEZ sectorem,
Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΓ, ΓΚ, καὶ ληφθέν- τῶν ἐπὶ τῶν ΒΓ, ΓΚ περιφερείων τῶν Ξ, Ο σημείων. ἐπεζεύχθωταν καὶ αἱ ΒΞ, ΞΙ, ΓΟ, ΟΚ.	Jungantur enim BP, PK, et sumptis in BT, TK circumferentiis punctis E, O, jungantur et BZ, EDI, lʼO, OK.
Καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΗ. ΗἩΓ ὧυσι ταςς ΓΗ HΚ,	Et quoniam duo BH, HT duabus TH, HK
ἰσαι εἰ σὶ, καὶ γωνίας εἐσᾶς περιέχοῦυσι. καὶ βάσις η ΒΓ τῇ ΤΚ εἐστιν ᾿ση" ἐσὸν ἀρὰ ἐστὴϑ9 καὶ τὸ ΒΗΓ τρίγωνον τῷ ΗΓΚ τργῶώνῷ. Καὶι ἐπεὶ ἰσὴ ἐστὶν Ἡ ΒΓ περιφέρειά τῇ ΤΚ περιφε- ρέε [ἃ5 καὶ ἢ λοπὴ Ἢ εἰς τὸν ολοὸν κυκλον σε- ρφέρειῶ Ι4σὉ ἐστιί τῇ λοιπὴ τῇ εἰς τὸν ολον κυκλον περιφερεία 5 ὠστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΞΤῚ	equales sunt, ct angulos zquales comprehen- dunt, et basis BTʼ ipsi IʼK est equalis ; equale igitur est. et BHTIʼ triangulum ipsi HTK trian- gulo. Et quoniam zqualis est BI circumfe- renta ipsi LIK circumferentie, et reliqua totius circuli circumferentia xqualis est reli- qua touus circul circumferentio ; quare et

τῇ ὑπὸ ΤΟΚ ἐστὶν ἴση" ὁμμο ! ον ο’ι’ρα ἐστὶ τὸ ΒΞ τμῆμωα τῷ ΤΟΚ τμήματι" καί εἶσιν ἐπὶ ἰσων εὐθειῶν τῶν ΒΓ, ΓΚ. Τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων εὖ-- θειῶν ὅὁμοια τμήμωτα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν" ἴσον ἀρα ἐστὶ τὸ ΒΞΤ τμῆμα τῷ ΤΟΚ τμήματι. Ἐστι δὲ χαὶ τὸ ΒῊΓ τρίγωνον τῷ ΗΓΚ τριγὦνῳ ἴσον" καὶ ὅλος ο’ : ’. Ροι ὃ ΗΒΓ ʼΜμε-ὖς	angulus BZT angulo TʼOK est equais ; suaile igitur est B£lʼ segmentum ipsi TʼOK segmento ; et sunt super equales rectas Bl, TK. Sed super aquales rectas similia segmenta circu- lorum zqualia inter se sunt ; squale igitur cst BZT segmentum ipsi lʼOK segmento. Est autem et BHTʼ triangulum 1psi HT triangulo æquale ;
ὅλῳ τῷ ΗΓΙΚ τομεῖ ἴσος ἐστί, Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ ΗΚΛ τομεὺς ἑκατέρῳ τῶν Η͂ΚΓ. ΗΤ͵ΙΒ ἴσος ἐστίν" οἱ τρεΐς ἐι’ροι τομεῖς οἱ ἩΒΓ, ΗΓΙΓΚ, ἯΚΛ ἴσοι ἀλλήλοις εἰσί, Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΕΖ, ΘΖΜ, ΘΜΝ τομεῖς ἴσοι ἀλλή- λοις εἰσίν. 32 » ὁσαπλασίων ἆ’ροι ἐστὶν ἡ ΒΛ σε- ριφέρεια τῆς ΒΤ “περιφερείας 5 τοσαυταπλασίων	el totus igitur HBI sector toti HTK Sector zqualis est. Propter eadem ulique ej HKA sector utrique ipsorum HKTʼ, HPB qualis est ; ires igitur sectores HBI, HTʼK, HKA equales inter se sunt, Propter eadem ulique et GEZ. OZM, OMN sectores equales inter se sunt ; quam multiplex igitur est BA circumferentia,

ἔστὶ καὶ ο ΒΛ τομεὺς τοῦ ἨΒΙ τομέως. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ἘΝ πε- ρβιφέρεία τῆς ἘΖ περιφερείας. τοσαυταπλάσίων σΤ᾽ʼ καὶ Ο ΘῈΝ τομεὺς τοῦ ΘΕΖ τομέως. ἘΙ ἄρώ Ισὴ εἐστιν Ἡ ΒΛ περιφέερεία τῇ ἘΝ σπερ- φερείᾳʼ ἡ. ἴσος ἐστὶ καὶ ὁ ΗΒΛ τομεὺς τῷ ΦῈΝ τομε, καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ ΒΛ περιφέρμα

ipsius BP circumferentie, tam multiplex est et HBA sector ipsius HBPʼ sectoris. Propter eadem utique et quam multiplex est EN. circumferentia ipsius EZ circumferentia, tam multüplex eit et OEN sector ipsius OEZ sectoris ; si igilur equalis est BA circumferentia ipsi EN cir- cumferentis, æqualis est et HBA sector ipsi

τῆς ἘΝ ʼπεριφερεἶας, υπέερέχει καὶ ο ἩΒᾺ τομεὺς τοῦ ΘῈΝ τομέως" καὶ εἰ ἐελλείπει. ἐλλείπειϊή, Τεσ- σάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν. δὺο μὲν τῶν ΒΓ, ΕΖ ʼπεριφερειὧν, δύο δὲ τῶν ἩΒΓ. ΘῈΕΖ τό-, μίων. , εἰλήπται ἰσῶκις πολλαπλαάσια τῆς μὲν ΒΓ περιφερείας καὶ τοῦ ΗΒΙ τομέως. ἥτε ΒΛ περιφέρεια καὶ ὃ ἨΒΛ τομεὺς. τῆς δὲ Ἐ7 περιφερείας καὶ τοῦ ΘῈΖ τομέως ἱσώκις πολ- λαπλάσια. ἥἅτε ἘΝ σεριφερεία καὶ ὃ ΘΕΝ το- μεύς, Καὶ δέδεικται ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ ΒΛ πιρφερία τῆς ἘΝ περιφερείας. υὑπερέχει καὶ Ο ΗἨΒΛ τόομεὺς τοῦ ΘῈΝ τομεὼῶς" καὶ εἰ Π 9 Ἰσος" καὶ εἰ ελλείπει. ἐλλείπει" ἔστιν ἄρα ὡς ἢ ΒΓ περιφερεία πρὸς τὴν ἘΖ ουὐτῶς ὁ ΗΒΓΙ τὸ- μεὺς ʼπΡὃς τὸν ΘΕΖ τομέα.

OEN sector ; et si superat BA circumfe- rentia ipsam EN circumferentiam, superat et HBA sector ipsum GEN sectorem ; et si deficit, deficit. Quatuor igitur existentibus magnitu- dinibus, duobus quidem BP, EZ circumferen- tius, duobus vero HBDL, OEZ scctoribus, sumpia sunt wque mulüplicia ipsius BT qui- dem circumferenti ; et ipsius HBT sectoris, ipsa et BA circumferentia et HBA sector, ipsius vero EZ circumferentiwe et Ipsius OEZ sectoris eque multiplicia, ipsa et EN circumferentia et ipse €EN sector. Et ostensum est si supe- rat BA circumferentia ipsam EN circumferen- tam, superare et HBA scectorem ipsum OEN sectorem ; et si xqualis, equalem ; et si dificit, dificere ; est igitur ut BP circumferentia ad KZ ila HBI sector ad OEZ sectorem.

ΠΟΡIΣΜΑ.	COROLLARIUM.
Καὶ δῆλον ὁτε καὶ ὡς ο τόμεὺυς πρός τὸν το- μεα ουτῶς καὶ ἢ γωνεῶ ʼπρος τὴν γώνγεαν.	Et mamfestum est et ut sector ad sectorem ita et angulum ad angulum.

PROPOSITION XXXIII.

Dans les cercles égaux, les angles ont la même raison que les arcs qu’ils comprènent, soit que les angles soient placés aux centres ou bien aux circonférences ; il en est de même des secteurs qui sont construits aux centres.

Soient les cercles égaux ABr, AEZ ; que les angles BHr, EΘZ soient placés à leurs centres H, ©, et que les angles BAT, EAZ soient placés à leurs circonférences ; je dis que l’arc BT est à l’arc EZ comme l’angle BHr est à l’angle Ee ? , comme lʼangle BAT est à l’angle EAZ, et comme le secteur HBr est au secteur ΘEZ.

Faisons tant d’arcs de suite TK, KA, quʼon voudra égaux chacun à lʼarc 8r, et tant dʼarcs qu’on voudra ZM, MN, égaux chacun à lʼarc EZ, et joignons HK, HA, ΘM, ON. ‘

Puisque les arcs BT, TK, KA sont égaux entr’eux, les angles BHT, THk, KHA sont aussi égaux entr’eux (27. 3) ; donc l’angle BHA est le même multiple de Bar, que lʼarc BA l’est de lʼarc Br. Par la même raison, lʼangle FEΘN est le même multiple de Eez, que l’arc EN l’est de lʼarc eZ. Donc si lʼarc BA est égal à Parc EN, l’angle BHA est égal à l’angle EON (27. 3) ; si lʼarc BA est plus grand que l’angle EN, l’angle BHA est plus grand que l’angle EGN ; et si l’arc BA est plus petit que lʼarc EN, lʼangle BHA est plus petit que lʼangle EON, Ayant donc quatre grandeurs, deux arcs Br, EZ, et deux angles BHT, EHZ, on a pris des équimultiples de lʼarc Br et de l’angle BHT, savoir, lʼarc BA et l’angle BHA ; on a pris aussi des équimuliples de Parc Ez et de lʼangle EΘZ, savoir, lʼarc EN et l’angle EON ; et l’on a démontré que si l’arc BA surpasse lʼarc EN, l’angle BHA surpasse l’angle FON ; que si l’arc BA est égal à V’arc EN, lʼangle BHA est égal à l’angle EON ; que l’arc BA est plus petit que lʼarc EN, lʼangle BHA est plus petit que l’angle EON ; donc lʼarc Br est à l’arc EZ comme lʼangle BHT est à l’angle EΘZ (déf. 6. 5). Mais lʼangle BET est à l’angle EΘZ comme l’angle BAT est à l’angle Eaz (15. 5), car ils sont doubles les uns des autres (20. 3) ; donc l’arc Br est à l’arc EZ comme l’angle BHT est à l’angle EΘz, et comme lʼangle BAT est à lʼangle Ea7.

Donc, dans des cercles égaux, les angles sont proportionnels aux arcs, soit que ces angles soient placés aux centres ou bien aux circonférences. Ce qu’il fallait démontrer.

Je dis de plus que l’arc Br est à l’arc EZz comme le secteur HBT est au secteur ΘEZz.

Joignons Br, TK, et ayant pris sur les arcs Br, IK, les points Æ, O, joignons BX, ÆT, [O, OK.

Puisque les deux droites BH, HT sont égales aux deux droites TH, HK, et qu’elles comprènent des angles égaux, la base Br est égale à la base TK ; donc le triangle BHT est égal au triangle HrKk (4. 1). Mais lʼarc Br est égal à Farc rK ; donc le reste de la circonférence du cercle entier est égal au reste de la circonférence du cercle entier (ax. 3) ; donc l’angle BET est égal à lʼangle roKk (27. 5) ; donc le segment BEr est semblable au Segment TOK (déf. 11. 3), et ces deux segments sont sur les droites égales Er, TK. Mais les segments de cercles semblables placés sur des droites égales, sont égaux entr’eux (24. 3) ; donc le segment Br est égal au segment rok. Mais le triangle BHr est égal au triangle rHk ; donc le secteur entier HBΓ est égal au secteur entier THK (ax. 2). Par la même raison, le secteur HKA est égal à l’un et l’autre des secteurs HKr, HrB ; donc les trois secteurs HBT, Hik, HKA sont égaux entrʼeux. Les secteurs ΘEZ, ΘZM, ΘMN sont égaux enlreux, par la même raison ; donc le secteur HBA est le même multiple du secteur HET qué l’arc BA l’est de l’arc Br. Par la même raison, le secteur ΘEN est le même multiple du secteur 6Ez que l’arc EN l’est de lʼarc Ez. Donc si lʼarc 84 est égl à l’arc EN, le secteur HBA est égal au secteur ΘEN ; si l’arc BA surpasse lʼarc EN, le secteur HBA surpasse le secteur ΘEN, et si l’arc BA est plus petit que l’arc EN, le secteur HBA est plus petit que le secteur ΘEN. Ayant donc quatre grandeurs, les deux arcs Br, EZ, et les deux secteurs HBr, ΘEz, on a pris des équimultiples de l’arc Br et du secteur HBT, savoir, l’arc BA et le secteur HBA ; j on a pris aussi des équimultiples de l’arc Ez et du secteur ΘEZ, savoir, l’arc EN et le secteur ΘEN. Et on a démontré que si l’arc BA surpasse l’arc EN, le secteur HBA surpasse le secteur ΘEN, que si lʼarc BA est égal à l’arc EN, le secteur HBA est égal au secteur ΘEN, et que si l’arc BA est plus petit que l’arc EN, le secteur HBA est plus petit que le secteur ΘEN ; donc lʼarc 87 est à l’arc EZ comme le secteur HBT est au secteur GEz (déf. 6. 5).

COROLLAIRE.

Il est évident que le secteur est au secteur comme l’angle est à l’angle (11. 5).

fin du sixième livre.