Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 31

Euclide

Les Éléments - Livre 6

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 418-421).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ λαʹ.	PROPOSITIO XXXI.
Ἐν τοῖς ορθογωνίοις τρίγωνοῖς, τὸ ἀπὸ τῆς τκν ορθὴν γωνίαν υποτεινηυσης πλεύρεῖς εἰδὸς, ισον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ορθήν γωνίαν περίεχοῦυ- σῶν πλευρῶν εἰδὲσ, τοῖς ομνοίοις τε Χωὶ οἰκοίως ἀγαγραφομένοις.	In rectangulis triangulis, figura ex late, rectangulum angulum subtendente æqualis est figuris ex lateribus rectum angulum subten- dentibus, similibusque et similiter descriptis,
Ἑστω τρίγωνον ορι γῶνιον τὸ ΑΒΤ. ορϑην ἔχον τὴν ὕπὸ ΒΑΓ γωνίαν" λέγω ὃτι τὸ ἀπὸ τῆς	Sit triangulum rectangulum ABT, rectum habens BAΓ angulum ; dico figuram ex zr

ΒΓ εἰδὸς ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ. ΑΥ εὐὖῃσες τοῖς ομοίοις τε καὶ οὐλοίως ἀνωγραφοβενοίς.	æqualem esse figuris ex BA, AΓ, sinijibusque et similiter descriptis.
Ηχθω κάθετος ἡ ΑΔ.	Ducatur perpendicularis ΑΔ,
Ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ. ὦποὸ τῆς πρὸς τ Α ορθης γωνίας ἐπὶ τὴν ΒΓ βασιν κάθετος ἤκται ἢ ΑΔʼ τὰ ΑΒΔ. ΑΔΓ αροι3 πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὁμόια ἐστί τῷ τε ὁλῷ τῷ ΑΒΓ καὶ αλλήλοις, Καὶ ἐπεῖ ομοίον ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ. ἐστιν ἄρὰ ὡς ἢ ΤΓΒ προς Ττῆν ΒΑ ουτως η ΑΒ πρὸς Τὴν ΒΔ, Καὶ ςπει τρειῖς εὐθεῖαι ἀνά-- λογον ΕἰσδῚ) υ ἐστν ὡς "1 πρῶτη πρὸς τὴν τρίτην οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρωτῆς εἶδὸς σιρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἃυτεροις, τὸ ὁμοιον καὶ ομοιίωῶς αναγραφομενον" ως ἄρῶ ἢ ΓΒ πρὸς τῆν ΒΔ οὕτῶς τὸ απὸ τῆς ΤΒΈ εἶδὸς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ. το ομοι ! ον καὶ ομοιίῶς ἀγαγραφόμενον. Διαὶ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἢἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἰδὸς πρὸς τὸ απὸ τῆς ΓΑ" ὠστὲ καὶ ὡς ἡ ΒΤ πρῦς τὰς ΒΔ. - ΔΙ οὕτως τὸ ἀπὸ τὴς ΒΓ εἰδὸς πρὸς τὰ αἀπὸ τῶν ΒΑ9 ΑΓ. τῷ ομοιὼ καὶ ομοίως αἀναγραφομενοι. Ἰσή δὲ ἡ ΒΓ ταῖς ΒΔ, ΔΙΣ’ ἔσον ἀρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδοὸς τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ. ΑΓ εἰδεσι. τοῖς ομοίοις τε καὶ ὁμοίως αναγραφοίενοις. Ἐν ἀρῶ τοῖς) καίὶ. ὄφ Τὰ ἐζῆς,	lt quoniam in recto triangulo ABT, ab ipso ad A recto angulo super BT basim perpendi- cularis ducta est AA ; ipsa ABA, AAT igitur ad perpendicularem triangula similia sunt et toü ABT ct inter se. Et quoniam simile est ABT ipsi ABA, est igitur ut TB ad BA ita AB ad BA. Et quoniam tres recte proportionales sunt, cst ut priua ad tcrtiam ita ipsa ex primá figurá ad 1psam ex secundá, similem et similiter descriplam ; ut igitur TB ad BA ita ex ipsà PB figura ad ipsam ex BA, similem et similiter descriptam. Propter cadem utique et ut Bl ad PA ita cx ipsá BD figura, ad ipsam ex TA ; quare ct ut BP ad ipsas BA, AT ita ex ipsá BI figura ad ipsas ex BA, ATʼ, similes et similiter descriptas. /Zqualis autem BTʼ ipsis BA, AT ; æquale igilur et ex ipsáà BT figura lpsis ex BA, ATL figuris, similibusque et similiter descriptis. Ergo in rectangulis, etc.

ΑΛΛΩΣ.	ALITER.
Ἐπεὶ τὰ ὕμοια σχήματα ἐν δυπλασίονε λόγῳ ἐστὶ" τῶν ὅμολὄγων ʼπλευρὦ’ν, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἄρα εἶδοςϑ προς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ εἶδος διπλασίογα λογον εχει ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ. Εχω δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγωνον στρος τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον διπλασίονα λέγον ἥπερ ἥ ΤΒ πρὸς τὴν ΒΑʼ καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΤΒ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ εἶδος7 οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΤΒ ’τετρσἱγωνον	Quoniam similes figure in duplà ralione sunt homologorum laterum, ipsa ex Br igi- tur figura ad ipsam ex BA figuram duplam rationem habet ejus quam TB ad BA, Habe autem et ex BIʼ quadratum ad ipsum ex BA qua- dratum duplam rationem cjus quam TB ad BA ; et ut igitur ex BTʼ figura ad ipsam ex BA figuram ita ex TB quadratum ad ipsum ex BA quadratum,

“ρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδὸς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΤΑ εἰδὸς οὕτως τὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ τετράγωνον" ὦστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος “ρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ. ΑΓ εἰδὴ οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓτετρώγωνον πρὸς τὰ ἀπὸ Τῶν ΒΑ ΑΙ τετρώγωγάε	Propter eadem vtique et ut ex BT figura ad ipsam ex LʼA figuram ita ex BIʼ quadratum ad ipsum ex IʼA quadratum ; quare et ut ex BT figura ad ipsas ex BA, AT figuras ita ex BTIʼ qua dratum ad ipsa ex BA, ATʼ quadrata. JEquale aulem ex BI quadratum ipsis ex BA, AT qua
ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ. ΑΓ τετράγωνοιίς" ἐσὸν ἀρῶ καὶ Τὸ ἀπὸ τὰς ΒΓ εἶδος τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ. ΑΓ εἰδεσι, , τοῖς" ὑμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀγαγραφομένοις. Οπερέδει δείξαιϑ,	dratis ; zqualis igitur et ex BT figura Ipsis ex BA, AT figuris, similibusque et similiter descriptis. Quod oportebat ostendere.

PROPOSITION XXXI.

Dans les triangles rectangles. la figure construite sur le côté qui soutend lʼangle droit, est égale aux figures semblables et semblablement décrites sur les côtés qui comprènent lʼangle droit.

Soit le triangle rectangle ABΓ, ayant l’angle droit BAΓ ; je dis que la figure construite sur BΓ est égale aux figures semblables et semblablement décrites sur les côtés BA, AΓ.

Menons la perpendiculaire ΑΔ. Puisque dans le triangle rectangle ABT, on a mené de lʼangle droit A sur la base Br la perpendiculaire A4, les triangles ABA, AAT, autour de la perpendiculaire, sont semblables au triangle entier ABr, et semblables entr’eux (8. 6). Et puisque le triangle ABr est semblable au triangle ABA, TB est à BA comme AB est à BA. Mais lorsque trois droites sont proportionnelles, la première est à la troisième comme la figure construite sur la première est à la figure semblable, et semblablement construite sur la seconde (2. cor. 20. 6) ; donc TB est à BA comme la figure construite sur ΓB est à la figure semblable, et semblablement Construite sur BA. Par la même raison, BΓ est à TA comme la figure construite sur BΓ est à la figure construite sur TA ; donc BΓ est à BA, AT comme la figure Br est aux figures semblables, et semblablement décrites sur BA, AT (24. 5). Mais la droite Br est égale aux droites BA, ar ; donc la figure construite sur BT est égale aux figures semblables, et semblablement décrites sur BA, AΓ. Donc etc.

AUTREMENT.

Puisque les figures semblables sont entr’elles en raison double des côtés homologues (23. 6), la figure construite sur Br a avec la figure construite sur BA une raison double de celle que rB a avec BA. Mais le quarré de a avec le quarré de BA une raison double de celle que TB a avec B4 (1. cor. 20. 6) ; donc la figure construite sur TB est à celle qui est construite sur BA comme le quarré de rB est au quarré de BA (11. 5). Par la même raison, la figure construite sur Br est à la figure construite sur TA comme le quarré de Br est au quarré de rA ; donc la figure construite sur Br est aux figures construites sur BA, AT comme le quarré de Br est aux quarrés des droites BA, AT (24. 5). Mais le quarré de Br est égal aux quarrés des droites BA, Ar (47. 1) ; donc la figure construite sur Br est égale aux figures semblables et semblablement décrites sur les droites BA, Ar. Ce qu’il fallait démontrer.