Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 30
C. F. Patris, (1, p. 416-418).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λ΄. | PROPOSITIO XXX. |
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Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν. |
Datam rectam terminatam sccundum extre- mam et mediam rationem secare. |
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Ἔστω ἡἢ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη 3 ΑΒ’ δὲῖ δὴ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν ἄπρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖ. |
Sit data recta terminata AB 5 oportet lgitur AB rectam secundum exliremam et mediam rationem secare. |
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Αναγεγράφθω γὰρὶ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΒΓ, καὶ παραξζεδλήσθω παρὰ τὴν ΑΤ τῷ ΒΓ ἰσον πταραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ » ὑπερξάλλον εἴδει τὸ ΔΔ ομοίῳ τῷ Β1. |
Describatur enim ex AB quadratum BT, et applicetur ad AT ipsi BP quale parallelo. grammum TʼA, excedens figurá A4 simili Ipsi BI. |
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Τετρώγωνον δὲ ἐστι τὸ ΒΤʼ τετράγωνον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΔ. Καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΓ τῷ ΤὰΔ. κοινὸν ἀφηρήσθω τὸ ΤῈ" λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΖ λοιπῷ τῷ ΑΔ εἐστὴὶν ἔσον. Ἐστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώ-- νιον τῶν ΒΖ, ΑΔ ἀραὰ ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ |
Quadratum autem est BT ; quadratum igitur est et AA. Et quoniam zquale est BT ipsiTA, commune auferatur TE ; reliquum igitur 32 reliquo AA est zquale. Est autem ei et æ- quiangulum ; ipsorum BZ, AA igitur reciprocg
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αἱ περὶ τὰς ἰσας γωνίας" ἐστὶν ἄρα ὡς ἢ ΖῈ πρὄς τὴν ἘΔ οὕτως ἡ ΑἙ προς τὴν ἘΒ. Ισὴ ἆἓ ἡ μὲν ΖῈ τῇ ΑΓ. τουτέστι τε ΑΒ. ἡ δὲ ἘΔ τῇ ΑΕ" ἔστιν ἀρὰ ὡς Ὦ ΒΑ σρὸς τὴν ΑΕἙ ουτῶς ἢ ΔῈ πρὄς τὴν ΕΒ. Μεἱζων δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΑΕ’ μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑἙ τῆς ἘΒ. |
sunt latera circa « quales angulos ; est igitur ut ZE ad EA ita AE ad EB. Æqualis autem ipsa quidem ZE ipsi AP, hoc est ipsi AB, ipsa vero EA ipsi AE ; est igitur ut BA ad AE ita AE ad EB. Major autem AB ipsà AE ; major igitur et AE ipsâ EB. |
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Η ἄρα ΑΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέ- τμῆται κατὰ τὸ Ἐ- καὶ τὸ" μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστί τὸ ΑἙῈ, Οπερ ἐδει ποιῆσαι. |
Ipsa igitur AB recta secundum extremam et mediam rationem secta est in E, et majus ejus segmentum est AE. Quod oportebat facere. |
| ΑΛΛΩΣ. | ALITER. |
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Ἑστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ" δὲῖ δὴ τὴν ΑΒΈ ακρον και μὗσον λογον Τεμεῖν. |
Sit data recta AB ; oportet igitur AB secun- dum extremam et mediam rationem secare. |
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Τετμήσθω γαρ ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Τ΄. ὠστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ. ΒΓ τσὸν εἰνα ! τὸ ὧπὸ τῆς ΑΤ τετραγῶώνῷ. |
Secetur enim AB in LT, ita ut ipsum sub AB, BP æquale sit ipsi ex ipsá AT quadrato. |
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Ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ-. ΒΓ ὅσον ἐστὶ τῷ απὸ τῆς ΤΑ" ἔστιν α’Ρα, ὡς ἢ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΤ οὕτως ἡ |
Et quoniam ipsum sub AB, BT æquale est ipsi ex A ; estigitur ut AB ad AΓ ita AΓ ad ΓΒ ;
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ΑΓ πρὄς τὴν ΓΒ. Η α’ρα ΑΒ ἄκρον καὶ μἔσον λὄγον τέτμηται κατὰά τὸ Γ. Οπερ ἔδε, πομῆσαι. |
ipsa igitur AB secundum extremam et mediam rationem secta est in Γ. Quod oportebat facere. |
Couper une droite finie et donnée en moyenne et extrême raison.
Soit donnée la droite finie AB ; il faut couper la droite AB en moyenne et extrême raison.
Sur la droite AB construisons le quarré Br (46. 1), et à la droite Ar appliquons un parallélogramme rA, qui soit égal au quarré Br, et qui soit excédent d’un parallélogramme AA semblable à Br (20. 6).
Puisque BT est un quarré, AA est un quarré. Et puisque Br est égal à TA, retranchons la partie commune re ; le reste BZ sera égal au reste 44. Mais ces « deux figures sont équiangles ; donc les côtés des parallélogrammes EZ, ΑΔ, autour des angles égaux, sont réciproquement proportionnels (14. 6) ; donc ZE est à EA comme AE est à EB. Mais ZE est égal à AT (54. 1), c’est-à-dire à AB, et EA est égal à AE ; donc BA est à AE comme AE est à EB. Mais AB est plus grand que AE ; donc AE est plus grand que EB.
Donc la droite AB a été coupée au point E en moyenne et extrême raison, et AE est son plus grand segment. Ce qu’il fallait faire.
Soit AB la droite donnée ; il faut couper AB en moyenne et extrême raison.
Coupons AB au point T, de manière que le rectangle sous AB, Br soit égal au quarré de AT (11. 2).
Puisque que le rectangle sous 4B, Br est égal au quarré de rA, AB est à AT comme AΓ est à ΓB (17. 6) ; donc la droite AB a été coupée en moyenne et extrême raison au point Γ (déf. 5. 6). Ce qu’il fallait faire.