Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 27
C. F. Patris, (1, p. 406-408).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κζʹ. | PROPOSITIO XXVII. |
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Πάντων τῶν παρὰ τὴν αὐτᾷν εὐθεῖαν παρα- ϐαλλομένων παραλληλογραμμῶν. καὶ ἐλλεισον- τῶν εἰδέσι παραλληήλογραμμοις » ομοίοις τὲ και ομοι’ως πειμἕνοις τ απὸ τῆς ἡμισείας οἷναγρα- φομένῳ. , μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας παραζαλλὄμενον παραλληλογράμμον5 ὁμμοιον ον τῷ ελλείματι. |
Omnium ad eamdem rectam applicatorum parallelogrammorum et deficientium figuris parallelogrammis, similibusque — et simililer posiüs ipsi ex dimidiá descripto, maximum est ipsum ad dimidiam applicatum parallelo- grammum, simile existens defectui. |
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Ἐστω εὐθεῖα ἢ ΑΒ. καὶ τετμήσθω δῖχα κατὰ, τὸ Τ, καὶ παραξζεξλήσθω παρὰ τήν αὐτήν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΔ παραλληλόγραμμον ξλλεῖπον εἴδὲι |
Sit recta AB, et secetur bifariam in Te applicetur ad eamdem AB rectam ipsum AA parallelogrammum. deficieus figurá parallelo- |
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παραλληλογράμμῳ τῷ ΤῈ ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως, χειμέγῳ τῷ απὸ τὴς Ἡμισείας ἀναγραφίντι τῆς ΑΒ". τουτέστὶ τῆς ΤΒ" λέγω ογτ, παντῶων τῶν |
grammáà CIE, similique et similiter posità ei ex dimidiá AB descriptae, hoc est ex ipsâ TB ; dico omnium ad, AB applicatorum parallelogram-
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παρὰ τὴν ΑΒ παραζαλλομενων παρ : ωλπλοᾳρἆμ- μῶν. καὶ ἐλλειπόντων εἰδέσι παραλλυλογροἔμ- μοις" ὁμοίοις τε καὶ ομοίως πκειμένοις τῷ ΓE, μέγιστον ἐστὶ τὸ ΑΔ, Παραθεολήσσῳω γαρ πεαρᾶ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον. ἐλ- λεῖπον εἰδει ʼπαραλληλογράμμῳ τῳ Κο. ομμοίῳ τε καὶ ὀμοίως κειμένῳ τῷ ΤῈ" λέγω ὁτι μεῖζον εστι τὸ ΑΔ τοὺυ ΑΖ. |
morum, ct deficicenüum figuris parallelogram- mis sumnilibusque et similiter positis ipsi TE, maximum csse AA. Aypplicetur enim ad AB rectam ipsum AZ yparalleiogranumum, deficiens figurà parallelogrammáà KO, similique ct simi- liter posilà ipsi FE ; dico majus esse AA ipso AZ, . |
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Eπεὶ γὰρ ὀμοίον εστι τὸ ΓE παραλλυλογραμ- μὸν τῷ ΚΘ παραλλπλογραἔμμῳ, περὶ τὴν αυτῆν εἰσι διάμετρον. Ἠχθω αὐτῶν δγάμετρος ἃ ΔΒ, καὶ χαταγεγράφθω τὸ σχῆμα. |
Quoniam simile enim. est PE parallelogram- mum Ipsi KO parallelogrammo, circa camdem sunt diametrum. Ducatur corum diameter A5, det escribatur figura. |
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Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΤΖ τῷ ΖΕ. κοιγὸν προσ- κείσθω τὸ ΚΘΊ" ὁλον ἀρα τὸ ΓΘ ὁλῷ τῷ ΚE ἐστιν Ισὸνς Αλλὰ ΤΟΥ͂Θ τῷ ΤῊ εστιν ἰσον, ἐπει καὶ ἡ ΑΤ τῇ ΤΒ ἴση ἐστίν EΚ ἐστὶν ἰσονθ. Κοινὸν ʼπροσπω’σθω τὸ ΤΖ" ὅλον ἆρω τὸ ΑΖ τῷ ΔΛΜΝ γνώμονί ἔστιν ἴσον" ὥστε τὸ ΤῈ παραλληλόγραμμον. τουτέστι τὸ ΑΔ, τοῦ ΑΖ ὠαραλλκλοᾳροἷμμου μεῖζον ἐστιν. |
Quoniam iigitur æquale est LZ ipsi ZE, com- mune addatur KO ; totum igitur TO toti KE est quale. Sed lʼO ipsi TH est zquale, quo- niam etipsa AT ipsi DB oqualis est ; ct HT igitur ipsi. EK cst xquale. Commune addatur IZ ; totum igitur AZ ipsi AMN gnomoni est vquale ; quare et LE parallelogrammum, hoc est AA, ipso AZ parallelogrammo majus est.
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Ἑστω γοἰρ πάλιν ἡ ΑΒ τμηθεῖσα δίχα κατά τὸ Γ, καὶ παραξληθὲν τὸ ΑΛ εἐλλεῖπον εἴδει τῷ ΓΜ, καὶ παραξζεξλήσθω πάλιν παρὰ τὴν ΑΒ τὸ ΑἙ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον τῷ ΔΖ. διμοίῳ τε καὶ ὁμοίως κειμένῳ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ. τῷ ΓΜ’ λέγω ὅτι μεῖζον ἐστι τὸ ἀπὸ τὴςδ ἡμισείας παραξληθὲν τὸ ΑΛ τοῦ ΑΕ. |
Sit enim rursus AB secta bifariam in T, applicatum ipsum AA, deficiens figurá TM, et applicetur rursus ad AB ipsum AE paralle. logrammum, deficiens ipso AZ, similique et similiter posito 1ps1 TM ex dimidià AB ; dicg majus essc ipsum ad dimidiam applicatum AA ipso AE. |
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Ἐπεὶ γαρ ὁμμοίον ἐστι τὸ ΔΖ τῷὸ ΓΜ, πέρι τὴν αὐυτὴν εἰσὶ ὢαμετρςνʼ ἐστῶ αὐτῶν ὢαμετρος ἥ ΕΒ, καὶ ἔφθω τὸ σχῆ. και καταγεγραφύω τὸ σχῆμα. |
Quoniam cnim simile est AZ ipsi FM, cire eamdem sunt diametrum ; sit. eorum diame. ler EB, et describatur figura. |
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Καὶ ἐπεὶ ἰσὸν ἐστὶ τὸ ΔΛΖ τῷ ΛΘ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΖΗ τῇ ἨΘ᾽" μειζον ἀρὰ τὸ ΔΛΖ του ΚΕ, Ισὸν δὲ το ΔΖ τῷ Δλʼ μειζον ἀρῷ καὶ τὸ Δ τοὺυ ἘΚ, Κοινον ’προσ ; ιεισʼθωΘ τὸ ΚΔʼ ολον αρὰ τὸ ΑΛ ὅλου του ΔΑῈ μειζον ἐστιν. ἰἰαντῶν ἀρῶ ; καὶ τὰ ἔξπς, |
Et quoniam æquale est AZ ipsi A0, quo- niam et ipsa ZH ipsi HO ; majus igitur AZ ipso KE. /Equale autem AZ ipsi A4 ; majus igilur et AA ipso EK, Commune addatur KA ; totum igitur AA toto AE majus est. Omnium igitur, etc. |
De tous les parallélogrammes qui sont appliqués à une même droite, et qui sont défaillants de parallélogrammes semblables au parallélogramme décrit sur la moitié de cette droite, et semblablement placés, le plus grand est celui qui est appliqué à la moitié de cette droite, et qui est semblable à son défaut.
Soit la droite AB ; que cette droite soit coupée en deux parties égales au point r, et qu’à la droite AB soit appliqué le parallélogramme AΔ, défaillant du parallélogramme TE, semblable à celui qui est décrit sur la moitié de la droite AB, cʼest-à-dire sur ΓB, et semblablement placé ; je dis que de tous les parallélogrammes qui sont appliqués à la droite AB, et qui sont défaillants de parallélogrammes semblables au parallélogramme TE, et semblablement placés, le plus grand est le parallélogramme 44, Car appliquons à la droite 4B le parallélogramme AZ, défaillant du parallélogramme Kk© semblable au parallélogramme IE, et semblablement placé ; je dis que le parallélogramme AA est plus grand que le parallélogramme AZ.
Car puisque le parallélogramme TE est semblable au parallélogramme Ko, ces deux parallélogrammes sont placés autour de la même diagonale (26. 6). Menons leur diagonale AB, et décrivons la figure.
Puisque le parallélogramme TZ est égal au parallélogramme ZE (43. 1), ajoutons le parallélogramme commun K® ; le parallélogramme entier r@ sera égal au parallélogramme entier KE. Mais r© est égal à TH (36. 1), parce que la droite Ar est égale à la droite TB ; donc Hr est égal à EK. Ajoutons le parallélogramme commun 1Z, le parallélogramme entier AZ sera égal au gnomon AMN ; donc le parallélogramme TE, c’est-à-dire le parallélogramme AΔ, est plus grand que le parallélogramme AZ (36. 1). Coupons de nouveau la droite AB en deux parties égales au point r, et appliquons à cette droite le parallélogramme 44, défaillant du parallélogramme IM, et de plus appliquons à la droite 48 le parallélogramme AE défaillant du parallélogramme 4z, semblable au parallélogramme décrit sur la moitié de AB, et semblablement placé ; je dis que le parallélogramme AA qui est appliqué à la moitié de cette droite est plus grand que le parallélogramme 4£.
Car, puisque les parallélogrammes 4z, rM sont semblables, ces deux parallélogrammes sont autour de la mème diagonale (26. 6) ; soit EB leur diagonale, et décrivons la figure.
Puisque AZ est égal à A9 (56. 1) , car ZH est égal à H©, AZ est plus grand que KE. Mais AZ est égal à AA (43. 1) ; donc AA est plus grand que Ek. Ajoutons le parallélogramme commun Ka ; le parallélogramme entier AA sera plus grand que le parallélogramme entier AE. Donc, etc.