Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 26

Euclide

Les Éléments - Livre 6

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 404-405).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κϛʹ.	PROPOSITIO XXVI.
Ἐὰν ἀπὸ παραλληλογράμμου παρωλληλόγραμ- μὸν ἆφαιρεθῃ, ὁμοιόν τε τῷ ὁλῳ καὶ ἆμοίως κείμενον. κοιγὴν γωνίαν ἔχον αὐτῷ"ἤ περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ ὁλῳ.	Si a parallelogrammo parallelogrammum ag. feratur, et simile toti et similiter positum, com. munem angulum habens cum ipso ; ʼ circa ean. dem diametrum est circa quam totum,
Απὸ πδραλληλογράμμου γαρʼ τοῦ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον ἀφηρήσθω" τὸ ΑΕΖΗ. - ὃ γραμμ, φηρήσθω" τὸ. ὑμμοιον	A parallelogrammo enim ABTA parallelo- grammum auferatur AEZH, simile lpsl ABTA

τῷ ΑΒΓΔ καὶ ὁμοίως κείμενον, κοινὴν γωνίαν ἐχὸν αὐτῷ τὴν ὑπὸ ΔΑΒ᾽ λέγω ὅτι περἷ τὴν αυ- τὴν διαμετρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΑΕΖΗ,	et similiter positum, communem angulum he. bens AAB cum ipso ; dico circa eamdem diame- trum esse ABIA circa quam ipsum AEZH.
Μὴ γὰρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατὸν. , ἔστω αὐτοῦ ἡ διά- μέτρος ἡ ΑΘΓ) καὶ ἐκέληθεῖσα ἡ ΗΖ διήχθω ἐπὶ τὸ Θ5. καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Θ ὁοποτερᾳ τῶν ΑΔ. ΒΓ παροἷλλπλος ἡ ΘΚ.	Non cnim, sed si possibile, sit ipsius diameter AOT, et cjecta HZ producatur ad 6, et ducatur per O alterutri ipsarum AA, Br parallela ΘΚ.
Ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτηνΐ διαμετρον ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΚΗ. ὁμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΚΗΣ" ἔστιν ἀρῶ ὡῶς ἢἩ ΔΑ σρὸς τὴν ΑΒ ουτὼως ἢ ἨΑ. χ πρὸς τὴν ΑΚ. Ἐστε δὲ καὶ διὰ τὴν δμοιότητα τῶν ΑΒΓΔ. ΕΗ, καὶδ ὡς. ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ ου- τῶς ἡ ἨΗΑ σρος τὴν ΑΕ" καὶ ὡς ἄραὰ ἡ ἨΑ ττρὃς τὴν ΑΚ οὕτως ἡ ἯΑ πρὸς τὴν ΑῈ" η ΗΑ ἀρα. πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΚ. ΔΕ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον", Ισὴ ἄἀβὰ ἐστὶν ἡ ΔῈ τ ΑΚ. ἤ ἐλάττων τή μει’ζονι, ὑπερ ἐστὶν ἀδυνατον" οὐκ ἀρὰ οὐκ᾿ ἐστὶ περὶ ΤῊΥ αὑτήν διάώμετρον τὰ ΑΒΓΔ τῷ ΚΗ᾿ περὶ τὴν αὖ- τὴν ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλό- γράμμον τῷ ΑΕΖΗ παραλλπλογροἷμμῳ. Εὰν ἄρα απῷ παραλληλογράμμουγ και τὰ εξπς.	Quoniam igitur circa eamdem diametrum cst ipsum ABLIA circa quam ipsum KH, si- mile est ABTA ipsi KH ; est igitur nt AA ad AB ita HA ad AK. Est autem et propter simi- litudinem ipsorum ABPA, EH, etut AA ad AB ita HA ad AE ; et ut igitur HA ad AK ita HA ad AE ; ipsa HA igitur ad utramque 1psarum AK, AE eamdem habet rationem ;  : qualis igitur est. AE ipsi AK, minor majori, quod est impossi- bile ; non igitur non est circa eamdem diame- trum ipsum ABT circa quam ipsum KH ; circa. camdem igitur est diametrum ipsum ABTA parallelogrammum quam AEZH parallelogram- mum. Si Igitur a parallelogrammo, etc.

PROPOSITION XXVI.

Si d’un parallélogramme on retranche un parallélogramme, semblable au parallélogramme entier, et semblablement placé, et ayant avec lui un angle commun, ces parallélogrammes seront autour de la même diagonale.

Que du parallélogramme ABrA on retranche le parallélogramme AEZH, semblable au parallélogramme ABrA et semblablement placé, et ayant avec lui l’angle commun ΔAB ; je dis que le parallélogramme ABraA est autour de la même diagonale que le parallélogramme AEZH. Que cela ne soit point, mais, si cela est possible, que ΑΘΓ soit sa diagonale ; prolongeons HZ vers Θ, et par le point Θ menons ΘK parallèle à l’une ou à l’autre des droites AΔ, BΓ.

Puisque les parallélogrammes ABrTA, KH sont autour de la même diagonale, le parallélogramme ABra est semblable au parallélogramme KH (24. 6) ; donc AA est à AB comme HA est à AK (déf. 1. 6). Mais à cause de la similitude des parallélogrammes ABrA, EH, la droite AA est à AB comme HA est à AE ; donc HA est à AK comme HA est à AE (11. 5) ; donc HA a la même raison avec chacune des droites AK, AE ; donc AE est égal à AK (9. 5), le plus petit au plus grand, ce qui est impossible ; donc les parallélogrammes ABra, KH ne peuvent point ne pas être autour de la même diagonale ; donc les parallélogrammes ABrA, AEZH sont autour de la même diagonale. Donc, etc.