Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 25
C. F. Patris, (1, p. 402-404).
| ΠΡΟΎΤΑΣΙΣ κέ. | PROPOSITIO XXV. |
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Τῷ δοθέντι εὐθυγρώμμῳ ὁμοιον. καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθοι. |
Dato rectilineo simile, et alteri dato æquale idem constituere. |
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Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον. ᾧ δὲῖ ὁμʼσιον συστήσασθαι, τὸ ΑΒΤ, ᾧ δὲ δὲῖʼ ἴσον. τὸ Δ- δὲεὶ δὴ τῷ μὲν ΑΒΓ ὁμοίον, τῷ δὲ Δ ἰσὸν τὸ αὐτὸ συστήσασθαι |
Sit datum quidem. rectlineum cui oportet simile constituere, ipsum. ABT, cui vero Oportet equale ipsum A ; oportet igitur ipsi quidem ABT simile, ipsi vero A æquale idem constituere. |
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Παραζ εὐλήσθω γὰρ παρὼ μὲν τὴν ΒΓ τῷ ΔΒΓ τρι γωνῳ ἰσον πωραλλελογροιμμον τὸ ΒῈ ʼποφα δὲ τὴν ΤῈ τῷ Δ ἰσὸν παραλληλογραμμμον τὸ ΤΜ εν γωνία τῇ ὑπὸ ΖΤῈ-. ἡ ἐστιν 15 τῇ ὑπὸ Β Λ ἐπὶ εὐθείᾳς ἀρα ἐστὶν ἢ μὲν ΒΓ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΛῈ |
Applicetur enim ad ipsam quidem Bf ipii ABC triangulo equale parallelogrammum 3E, ad ipsam vero DLʼE ipsi A quale parallelo- grammum IʼM in angulo ZPʼE, qui est zqualis ipsi TBA ; in directum igitur est BI quidem
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τῇ ἘΜ, Καὶ εἰλήφθω τῶν ΒΤ. ΤΖ μέση ἀνάλογον ἡ ΗΘ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΗΘ τῷ ΑΒΓ ὁμοίον τεῦ καὶ οἰμκοίως κείμενον τὸ ΚΗ͂Θ, |
psi TZ, ipsa vero AE ipsi EM. Et sumatur Inter ipsas BD, DLʼZ media proporüonalis H6, et describatur ex HO Ipsi ! ABTP simileque ct si- militer positum ipsum KHO. |
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ξαὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΤ ʼπρὄς τὴν ἨΏ οὕτως ἡ ΗΘ ’πρὄς τὴν ΤΖ. ἐὰν δὲ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν. ἔστιν᾽ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἰδὸς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευ- τέρας ; τὸ ὅμοιον καὶ ὑμοίως ἀναγραφόμενον" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΤΖ οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὄς τὸ ΚΗΘ τρἶγωνον4. Αλλὰ καὶ ὡς ἢ ΒΓ πρὃς τιὶν ΤΖ οὕτως τὸ ΒΕ ’ποιραλλκλὄγραμμον ’πρὃς τὸ ἘΖ παμλλπλὄγραμμονʼ καὶ ὡς ἆ’ροι τὸ ΑΒΓ τρι’- γῶνον ’πρὃς τὸ ΚΗΘ τρίγωνον οὕτως τὸ ΒῈ σπαρ- αλλπλο’ᾳραμμον πρὃς τὸ ἘΖ ’ποιροελλκλο’φραμμονʼ ἷναλλἆξ ἆρα, ὡς τὸ ΑΒΓ τΡἷγωνον “πρὃς τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον οὕτως τὸ ΚΗΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ἘΖ παραλληλόγραμμον. Ἰσὸν δὲ τὸ ΑΒΓ τρί- γωνον τῷ ΒΕ παραλληλογρώμῳ" ἰσον ἄρω καὶ τὸ ΚΗΘ τρίγωνον τῷ ἘΖ παραλληλογράμμῳ. Αλλὰ τὸ ἘΔ παμλλπλοῃαμμον τῷ Δ 4σΤ7}ΨὉ ἰσον" Καὶ |
Et quoniam est ut BD ad HO ita HO ad TZ, si autem trcs : recte proportionales sint, cst ut prima ad tertiam ita 1psa ex primá figura adipsam ex secundà, similem et similiter descriptam ; est igilur ut BT ad PlZ ita ABT triangulum ad KHO triangulum. Sed et ut BP ad, lʼZ ita BE parallelogrammum ad EZ parallelogrammum ; et ut igitur ABT triangulum ad KHO triangu- lum iia BE paralleiogrammum ad EZ parallclo- grammum ; alterne igitur ut ABT triangulum ad BE parallelogrammum ita KHO triangulum ad EZ parallelogrammum. /Equale autem ABr triangulum ipsi BE parallelogrammo ; xquale igiiur et KHO triangulum ipsi EZ parallelo- grammo. Sed EZ parallelogrammum ipsi A est cequale ; et KHO igitur ipsi A est zquale. Est autem KHO et ipsi ABP simile ; ipsi igitur dato
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τὸ ΚΗΘ ἀρα τῷ Δ ἐστὶν ἰσὸν, ἘἜστι δὲ τὸ ΚΗΘ καὶ τῷ ΑΒΤ ὁμοιον" τῷ ἀρα δοθέντι εὐθυγράμμῷῳ πτῷ ΑΒΓ ὁμοιον, καὶ ἄλλῳ τῷ δόθεντι τῷ Δ ἔσον τὸ αὐτὸ συνίσταται τὸ ΚΗΘ. Οπερ ἔδει ποιῆσαι. |
rectilineo ABT simile, et alteri dato A æquale idem consütutum est KHO, Quod oportet facere. |
Construire une figure rectiligne semblable à une figure rectiligne donnée et égaie à une autre figure rectiligne donnée.
Soit Ar la figure rectiligne donnée, à laquelle il faut construire une figure semblable, et À la figure rectiligne à laquelle il faut la faire égale ; il faut construire une figure qui soit semblable à la figure ABr et égale à la figure Δ.
Construisons sur Br un parallélogramme BE qui soit égal au triangle ABT (44 et 45. 1), et sur TE et dans l’angle ZrE qui est égal à lʼangle TB4, construisons un parallélogramme rM qui soit égal à la figure A ; la droite BT sera dans la direction de rz, et AE dans la direction de EM (14. 1). Prenons une moyenne proportionnelle H9 entre les droites Br, rZ (13. 6), et sur HO construisons une figure KHΘ semblable à la figure ABT et semblablement placée (18. 6).
Puisque Br est à HΘ comme H© est à TZ, et puisque, lorsque trois droites Sont proportionnelles, la première est à la troisième comme la figure construite sur la première est à la figure semblable construite sur la seconde, et semblablement placée (cor. 2. prop. 20. 6), la droite Br est à la droite rz comme le triangle ABr est au trian7le KH@. Mais Br est à TZ comme le parallélogramme BE est au parallélogramme Ez (1. 6) ; donc le triangle ABT est au triangle KHΘ comme le parallélogramme BE est au parallélogramme Ez ; donc, Par permutation, le triangle ABT est au parallélogramme BE comme le triangle KHO est au parallélogramme EZ (16. 5). Mais le triangle ABr est égal au parallélogramme BE ; donc le triangle KHΘ est égal au parallélogramme Ez. Mais le parallélogramme Ez est égal à la figure A ; donc le triangle KHΘ est égal à la figure Δ. Mais le triangle KHΘ est semblable au triangle ABΓ ; on a donc construit la figure KHΘ semblable à la figure rectiligne donnée ABΓ, et égale à une autre figure donnée Δ. Ce qu’il fallait faire.