Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 28
C. F. Patris, (1, p. 409-412).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κηʹ. | PROPOSITIO XXVIII. |
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Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῶ δοθέντι εὖὐθυ- γράμμῳ ἰἴσον παραλληλόγραμμον παραξαλεῖν. ἐλλεστον εἶδει παραλληλογράμμῷῳ ὁμκοίῳϊ τῷ δοθέντιʼ δὲῖ δὴ τὸ διδόύμενον εὐθυγραμμον. ᾧ δεῖ ἶσον παραξαλεῖν. μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμίσείας πταραξδαλλομέενοῦυ 5 ομοίων οντῶν τῶν ἐλλειμάτων τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ᾧ δὲῖ ὅμοιον ἐλλείσειν2, |
Ad datam reclam dato recülineo xqualoc pa- rallelogrammum — applicare, deficiens figurá parallelogrammá simili ipsi dato ; oportet uüique datum recülineum cui oportet zquale applicare, non majus esse ipso ad dimidiam applicato, similibus existentibus |
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Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ ; τὸ δὲ δοθὲν |
Sit data quidem recla AB, datum vero T |
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εὖθύγραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον ʼπαροἷ τὴν Β ’ποιροιζα- λειν » τὸ Γ. μῆ μειζον ον τὸυ αἶὸ τῆς Μμισʼει’ας |
rectilineum, cui oportet xquale ad AB appli- care, non majus existens eo ad dimidiam
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παραϐαλλομένου, ὁμοίων ὄντων τῶν ἐλλειμμά- των", ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν τὸ Δʼ δεὶ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τήν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυ- γράμμῳ τῷ Τ ἴσὸν παραλληλογραμμον παραϐα- λεῖν. ἐλλεῖπον εἶδε ! πταραλληλογράμμῳ. ὁμοίῳ θνγτί Τῶ Δ. |
applicato, similibus existentibus defectibus Ipsum autem 4A cui oportet simile deficere oporlet igitur ad datam rectam AB dato Tec. tilineo T æquale parallelogrammum applicare, deficiens figurá parallelogrammâ, simili existente ipsi Δ. |
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Τετμήσθω " ΑΒ δίχα ματὰ τὸ Ἑ σήμείον, καὶ αναγεγράφθω ὥπὸ τῆς ἘΒ τῷ Δ ὁμοιὸν καὶ ομοίως κείμενον τὸ ἘΒΖΗ. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΔῊ σταραλληλογρβάμμον" τὸ δὴ ΑΗἩ ἧτοι ἰσὸν ἐστι τῷ Τ ἢ μειζοὸν αὐτοῦ 5 ὁιμὰ τὸν ορισβμον"ς Εἰ μὲν οὖν ἴσὸν ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ Γ, : γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν" παραξέεξληται γὰρ παρο τῆήν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῶ Γ ἴσον 7 αραλλπλοʼ ; ροεμμον τὸ ΑΗ͂, ἐλλεῖπον |
Secetur AB bifariam in E puncto, ej describatur ex ipsà EB ipsi A simile et simi- liter positum. EBZH, el. compleatur AH paral. lelogrammum ; AH utique vel zquale est ipsi T, vel majus ipso, ob determinationem. Et $1 quidem zquale est AH ipsi T, faclum erit propositum : applicatum erit enim ad datam rectam AB dato rectilineo I æquale parallelo- grammum AH, dificiens figurá parallelogrammi
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εἶδει παραλληλογράμμμῳ τῷ ἘΖ ὁμοίῳ : ὄντι τῷ Δ. Εἰ δὲ οὗ, μεῖζόν ἐστι τὸ ΘῈ τοῦ Γ. Ἰσὸν δὲ τὸ ΘῈ τῷ ΗΒ᾽ μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἨΒ τοῦ Τ. Ω δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ ἨΒ τοῦ Γ, ταύτῃ τῇ ὑπεροχῇ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὕμοιον καὶ δμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστώτω τὸ ΚΛΜΝ, Αλλὰ τὸ Δ τῷ ΗΒ ἐστὶνί ὑμοιον" καὶ τὸ ΚΜ ἄρα τῷ ΗΒ ἐστὸ δίκοιον. Ἑστω οὐν" ὁμόλογος ἡ μὲν ΚΛ τῇ ἨΕ. καὶ δὲ ΛΜ τῇ ΗΖ. Καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ἨΒ τοῖς Τ, ΚΜ, μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῦ κμ’ μείζων ἀρει ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΗῈ τῆς ΔΚ, ἥ δὲ ΗΖ τῆς ΔΜ. Κείσθω τῇ μὲνδ ΚΛ ἴση κἡὶ ἨΞ, τῇ δὲ ΛΜ ἴση ἡ ἨΟ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΞΉΟΠ « σαραλληλόγραμριον" ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τῷ ΚΜ τὸ ΗΠ7, Αλλὰ τὸ ΚΜ τῷ ΗΒ ὅμοιόν ἐστιὃ" καἱ τὸ ἨΠ ἄρα τῷ ΗΒ ὁμοιόν ἐστι" περὶ τὴν αὐτὴν ἄρο διάμετρόν ἐστι τὸ ΗΠ τῷῶ ΗΒ, Ἑστω αὐτῶν ὢοἷμετρος ή ἩΠΒ, καὶ καταγεγράφθῳ τὸ σχῆμα. |
EZ simili existenti ipsi A. Si autem non, majus est OE ipso DI. /Equale autem 6E ipsi HB ; majus igitur et. HB ipso I. Quo utique majus est HB ipso Iʼ, ei excessul æquale, 1psi autem A simile et similiter positum idem constitua- tur KAMN. Sed A ipsi HB est simile ; et KM igitur ipsi HB est simile. Sit igitur homologa quidem KA ipsi HE, ipsa vero AM ipsi HZ. Et quoniam zquale est HB ipsis T, KM, majus igitur est HB ipso KM ; major igitur est et ipsa quidem HE ipsá AK, ipsa vero HZ ipsá AM. Ponatur ipsi quidem KA gqualis HZ, ipsi vero AM qequalis HO, et compleatur EZHOII paralle- logrammum ; æquale igitur et simile est ipsi KM ipsum HII, Sed KM ipsi HB simile est ; et HII igitur ipsl HB simile est ; circa eamdem igitur diamctrum est HII circa quam HB. Sit eorum diameter HIIB, et describatur figura. |
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Ἐπεὶ οὐν ἰσὸν ἐστὶ τὸ ΒῊ τοῖς Τ. ΚΜ, ὧν τὸ |
Et quoniam equale est BH ipsis T, KM,
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ΗΠ τῷ ΚΜ εστὶν ἰσὸν" λοῖπὸς ἀρα ὁ ὙΦΧ γνω- μων λοίπῳῷ τῷ Τ ἰσὺὸς ἐστί. Καὶ ἐπεῖ ισον ἐστι τὸ ΟΡ τῷ ΞΣ, κοινὸν ’πρεοτ ἐεἰσθω τὸ ΠΒ’ ὅλον ἄρα τὸ ΟΒ ὕλῳ τῷ ΞΒ8 ἴσον ἐστίν. Αλλὰ τὸ ΞΒ τῷ ΤE ἐστιν σὺν. ἐπεῖ καὶ πλεύρα ἡ ΑἙ πλευρῷ τή EΒ εἐστιὶν ἰσή" καὶ τὸ ΤῈ αρα τῷ ΟΒ εστιν ἰσῸν- Κοινὸν ’τροουιεισθω τὸ ΞΙΣ" ὁλον αρω τὸ ΤΣ ολω τῷ ΥΦΧ γνώμονι ἐστὶν ἴσονθ, Αλλὰ ὃ ὙΦΧ γνώμων τῶ Τ ἐδείχθη ἴσος" καὶ ΑΠ ἄρω τῷ Τ 6Τ ι50ν. “ }} |
quorum HΠ ipsi KM est æquale ; reliquus igitur YOX gnomon reliquo T est equalis. Et quoniam aequale est OP ipsi ΞΣ, commune apponatur ΠB ; totum igitur OB toti ΞB æquale est. Sed ΞB ipsi TE est æquale, quoniam et latus AE lateri EB cst aequale ; et TE igitur ipsi OB est æquale. Commune apponatur EY ; totum igitur TZ toli YOX egnomoni est tequale, Sed Y9X guomon ipsi Tʼ ostensus est equalis ; et AII igitur ipsi T est aequale. |
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Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Τ ἴσον παραλληλόγραμ- μὸν παραβξέξληται τὸ ΣΤʼ ἐλλεῖπον εἶδει παραλλη- λογράμμῳ τῷ ΠΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ. ἐπειδήπερ τὸ ΠΒ τῷ ΗΠ ὑμοιόν ἐστιν, Οπερ ἔδει ποιῆσαι- |
Àd datam igitur rectam AB dato recüilineo T zquale parallelogrammum applicatum est ZT, dificiens figurà parallelogrammá IB simili existenu ipsi A, quandoquidem ΠB ipsi HΠ simile est. Quod oportebat facere. |
À une droite donnée appliquer un parallélogramme qui soit égal à une figure rectiligne donnée, et qui soit défaillant d’un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné : il faut que La figure rectiligne donnée ne soit pas plus grande que le parallélogramme appliqué à la moitié de la droite donnée ; le défaut du parallélogramme appliqué à la moitié de cette droite et le défaut de celui qui doit être défaillant d’un parallélogramme semblable étant semblables entr’eux.
Soit 4B la droite donnée, et r la figure rectiligne à laquelle doit être égal le parallélogramme qu’il faut appliquer à la droite AB ; que la figure rectiligne ne soit pas plus grande que le parallélogramme appliqué à la moitié de AB, les défauts étant semblables, et soit A le parallélogramme auquel le défaut doit être semblable ; il faut à la droite donnée 48 appliquer un parallélogramme qui soit égal à la figure rectiligne donnée Tr, et qui soit défaillant dʼun parallélogramme semblable au parallélogramme 4.
Coupons la droite AB en deux parties égales au point E (10. 1) ; sur £B décrivons le parallélogramme EBZH semblable au parallélogramme A, et semblablement placé (18. 6), et terminons le parallélogramme AH ; le parallélogramme AH sera égal à la figure 1, ou plus grand, d’après ce qui a été dit. Si le parallélogramme AH est égal à la figure T, On aura fait ce qui était proposé ; car on aura appliqué à la droite AB un parallélogramme AH semblable à la figure rectiligne donnée r, et défaillant d’un parallélogramme Ez semblable au parallélogramme à. Mais si cela n’est point, ΘE est plus grand que r. Mais ΘE est égal à HB ; donc 4B est plus grand que r. Construisons le parallélogramme KAMN égal à lʼexcès du parallélogramme H8 sur la figure Tr, et semblable au parallélogramme 4, et semblablement placé (25. 6). Mais le parallélogramme A est semblable au parallélogramme Ξ8 ; donc le parallélogramme KM est semblable au parallélogramme Hs. Que Ia droite KA soit l’homologue de la droite HE, et la droite AM l’homologue de la droite HZ. Puisque le parallélogramme Ξ3 est égal aux deux figures T, KM, le parallélogramme u8 est plus grand que le parallélogramme M ; donc HE est plus grand que AK, et HZ plus grand que AM (20. 6). Faisons HΞ égal à KA, et HO égal à AM (3. 1), et achevons le parallélogramme ΞHonr (31. 1) ; le parallélogramme Hf sera égal et semblable au parellélogramme Km (24. 6). Mais le parallélogramme KM est semblable au parallélogramme HB ; donc le parallélogramme Hn est semblable au parallélogramme H8 (21. G) ; donc les parallélogrammes HIT, HB sont autour de la même diagonale (26. 6) . Soit HnB leur diagonale, et décrivons la figure.
Puisque le parallélogramme BH est égal aux deux figures Tr, KM, et que Hn est égal à KM, le gnomon restant YΦΧ est égal à la figure restante rt. Et puisque OP est égal à ΞΣ (43. 1), ajoutons le parallélogramme commun 8 ; le parallélogramme entier OB sera égal au parallélogramme entier ΞΣ. Mais ΞB est égal à TE (36. 1), parce que le côté AE est égal au côté EB ; donc TE est égal à O8. Ajoutons le parallélogramme commun ΞΣ ; le parallélogramme entier TE sera égal au gnomon entier ox. Mais on a démontré que le gnomon YΦX est égal à r ; donc AΠ est égal à Γ.
On a donc appliqué à la droite AB un parallélogramme xT, égal à la figure rectiligne donnée r, et défaillant d’un parallélogramme n8 semblable à A, puisque ΠB est semblable à HΠ. Ce quʼil fallait faire.