Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 22
C. F. Patris, (1, p. 392-396).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κβʹ. | PROPOSITIO XXII. |
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Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖσιι ἀγάλογον ὥσι. καὶ τὰ ἀτὴ αὐτῶν εὐθύγραμμα. Ὁμοιά τε καὶ ομοιως ἀνα- γεγραμμενὰ, ἀνώλογον ἐσται" κᾳν τὰ ἀπὶ αὖ- τῶν ευθυγραμμοι ὁμμοιὼ τε καὶ ομοίως ἀϑαᾶγε- γραμένα ἀνάλογον ἢ, καὶ αὕτωι αἱ εοὐϑεῖοι ανοιλογον ἔσονταῖς. |
Si quatuor recto proportionales sint, et ab Ipsis rectilinea, similiaque et similiter descripta, proportionalia erunt ; et si 25 ipsis rectilinea similiaque et similiter descripta proportionalia sinl, et ipse rectæ proportionales erunt.
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Ἑστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀγάλογον αἱ ΑΒ. Δ. ΕΖ, ΗΘ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΤΔ οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τῆν ΗΘ. καὶ αναγεφραφθωσʼοιν ἀπὸ μὲν τῶν ΔΒ. ΓἕΔ ὁμοιεί τ καὶ ομοιως κείμενα εὐθύ- γροιμμῶ τὼ ΚΑΒ. ΛΔΙΔ. ἀπὸ δὲ τῶν ἘΖ. ΗΘ ὁμοιά τε καὶ ομοιως πειμενα ευθυγραμμω τά ΜΖ, ΝΘ’ λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΚΑΒ προς τὸ ΛΙΔ οὕτως τὸ ΜΖ ’πρἆς τὸ ΝΘ. |
Sint qualuor recte proporüionales AB, TʼA, EZ, HO, ut AB ad TA sta EZ ad HO, et describantur ab ipsis quidem AB, TʼA similia- que et similter posita rectilincoa KAB, ATA, ab ipsis vero EZ, HO similiaque et similiter posita rectilinca MZ, NO ; dico essc ut KAB ad ATA ita MZ ad NO. |
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Εἰληφθω γάρ τῶν μὲν ΑΒ, ΓΔ τρίτῇ ἀγάλογον ἢ Ξ. τῶν δὲ ἘΖ. ΗΘ τρίτη ἀνάλογον ἡ Ο. Καὶ εἐπεὶ ἐστιν ὡς μὲν η ΑΒ πρὸς τὴν Τὰ οὐτῶὼς ἢ Ἐ7 πρὸς τὴν ΗΘ. ὡς ος Τὰ πρὸος τὴν ὅ᾿ ουτῶς ἢ ΗΘ πρὸς τῆήν Ο δηῖσου ἂρα ἐστὶν ὡς ἢ ΑΒ πρὸς τὴν Ξ ουτῶς ἡ ἘΖ σρος τὴν Ο. Αλλ ως μὲν ἢ ΑΒ |
Sumatur enim ipsis quidem AB, TA tertia proportionalis E, 1psis vero EZ, HO tertia pro- portionalis O. Et quoniam est ut AB quidem ad FA ita EZ ad HO, ut TA vero ad 5Z ita HO ad O ; ex equo igitur ect ut AB ad 5 ita EZ ad O. Scd ut AB quidem ad z ita KAB ad
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πρὄς τὴν Ξ οὕτως τὸλ ΚΑΒ ’πρἆς τὰ ΔΙΔ, ὡς δὲ ἢ ΕΖ πρὃς τὴν Ο οὕτως τὸ ΜΖ ʼπρὄς τὸ ΝΘ" καὶϑ ὡς εἵροι τὸ ΚΑΒ ʼπρὄς τὸ ΛΙΔ οὕτως τὸ ΜΖ ’πρὄς τὸ ΝΘ. |
ADTAÀ, ut EZ vero ad O ita MZ ad NO ; etu igitur KAB ad ATA ita MZ ad NO, |
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Αλλὰ δὴ ἔστω ὡς τὸ ΚΑΒ ὡʼρὃς τὸ ΛΤᾺ οὔτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ᾽ λέγω ὁτι ἐστίὶ καὶὶ ὡς ἅ ΑΒ ʼπρὃς τὴν ΓΔ οὑ’τως ἡ ἘΖ ʼπρὲς τὴν ἮΘ. |
Sed ei sit ut KAB ad ATA ita Mz jq N0 ; dico esse et ut AB ad TʼA ita EZ ad Ho. |
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Ἑἰ γἆρ μή ἐστιν ὡς. ΑΒ πρἐς τὴν ΓΔ οὕτως ἘΖ ’πρὄς τὴν ΗΘ. - ἔστω" ὡς ἡ ΑΒ ’πρὃς τὴν ΓΔ οὕτως ἡ ἘΖ σρὸς τὴν ΠΡ. καὶ ἀναγεγράφθω εἰ πὸ τῆς ΠΡῸ ὁποτέρῳ τῶν ΜΖ, ΝΘ ὅμοιμόν τε καὶ ὁμοίως κεΐμεενον εὐθύγραμμον τὸ ΣΡ. |
Si enim non est ut AB ad TA ita EZ ad Eo, sit ut AB ad TʼA ita EZad IP, et describatur a ΠP alterutri ipsorum MZ, NO simileque et similiter positum recülineum ZP. |
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Eπεὶ οὖν ἐπτι ὡς ἡ ΑΒ ’πρὄς τὴν ΓΔ οὕτως ἡ EΖ ’πρὄς τὴν ΠΡ, καὶ ἀναγεγράπται ἀπὸ μὲν τῶν ΑΒ. ΓᾺ ο͵ι οά τε μαὶ ομοιως Μνα τὰ ΚΑΒ, ΛΙΔ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ. ὮΡ ομωα τε καὶ ὁμοίως |
Et quoniam est ut. AB ad TʼA ita EZ ad IIP, et descripta sunt ab ipsis quidem AB, TA, si- miliaqae et similiter posita KAB, ATA, ab ipsis vero EZ, IIP, similiaque et similiter posita
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μεἱμενα τὰ ΜΖ. ΣΡ’ ἔστιν ἆ’ροι ὧς τὸ ΚΑΒ ʼπρὄς τὸ ΛΙΔ οὕτως τὸ ΜΖ ’πρὄς τὸ ΣΡ, Ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς τὸ ΚΑΒ ’πρὄς τὸ ΔΙΔ οὗ”τως τὸ ΜΖ πρὄς τὸ ΝΘ᾽ καὶ ὡς ἆ’Ροε τὸ ΜΖ ’πρὃς τὸ ΣΡ οὕτως τὸ ΜΖ πρὄς τὸ ΝΘθ τὸ ΜΖ ἆ’ροι πρὅς ξποἱτερον τῶν ΝΘ, ΣΡΖ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον" ἰἴσὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΝΘ τῷ ΣΡ, Ἐστι δὲ αὐτῷ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον" ἴση ἄρα ηδ ἨΘ τῇ ΠΡ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὦςʼὖ ΔΒ ’πΡὄς τὴν ΤΔ οὖτως ἡ ἘΖ πρὄς τὴν ΠΡ. ἔση δὲ ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ’ ἔστιν ἆἷρα ὡς ἡ ΑΒ ’πρὃς τὴν ΓΔ οὕτως ἁ ἘΖ πρὺς τήν ΗΘ. Ἐὰν ὦρα τέσσαρες. καὶ τὰὼ εἐξὴς, |
Mz, ZP ; est igitur ut KAB ad ATA ita MZ ad ZP. Ponitur autem cet ut KAB ad ATA ita MZ ad NO ; et ut igitur MZ ad ZP ita MZ ad NO ; ergo MZ ad utrumque ipsorum NO, ZP eamdem habet rationem ; zquale igitur cst NO lpsi EP. Est autem ipsi simile et similiter po- situm ; æqualis igitur HO ipsi ΠΡ. Et quoniam est ut AB ad DʼA ita EZ ad IIP, » qualis autem ΠΡ ipsi HO ; est igitur ut AB ad TA ita EZ ad HO, Si igitur qualuor, etc. |
| ΛΗΜΜΑ. | LEMMA. |
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Ὁτι δε, εἐαν εὐὔυγραμμα ἰσὰ ἢ καὶ ὁμοια, αἱ ὁμολογοι αὐτῶν πλευραὶ ἰσαῤ ἀλλήλεοις εἰσὶ, δειίξομεν οὕτως. |
Si autem rectilinea cqualia sint et similia, homologa 1psorum latera equalia inter se esse, sic ostendemus. |
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Εστω ἰσὰ καὶ ὁμοία εὐὐυγραμμα τὰ ΝΘ. ΣΡ, καἰ ἐστὼ ὡς ἡ ΘῊ προς τὴν ΗΝ ουτῶς ἡ ΡΠ πρὸς τὴν ΠΣ λέγω οτή Ἰσὴ ἐστιίν ᾧ ῬΠ τῇ ΘΗ. |
Sint æqualia et similia rectilinea NO, ET, et sit ut ΘH ad HN 1ta PΠ ad ΠZ ; dico æqua- lem esse PΠ ipsi ΘH.
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Ἐί γαρ ανέζσοι ἔίσί, μίά αυτῶων μειζων ἐστιν. Ἔστω μείζων ἡ ΡΠ τῆς ΘΗ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς η ΡΠ ͵πρὄς τὴν ͵ΠΣ οὕτως ἡ ΘΗ ʼπρὃς τὴν ΗΝ- καὶ ξναλλἆξ ὡς ἡ Π πρὄς τὴν ΘΗ οὕτως ἡ ΠΣ ʼπρὖς τὴν ἩΝ. Μείζων δὲ ἡ ΠΡ τῆς ΘΗ" μείζων |
Si enim incequales sint, una Ipsarum major est. Sit major PΠ ipsà OH. Ej quo- niam est ut PΠ ad ΠZ ita OH ad HN, e alterne ut PΠ ad OH ita ΠZ ad HN. Major autem ΠΡ ipsà ΘH ; major igitur et ΠX ips |
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ἄρῶ καὶ ἢἡ ΠΣ τῆς ΗΝ" ὠστε καὶ τὸ ὉΣ με : ζον ἐστί τοῦυ ΘΝ" αλλὰ καὶ ἐσὸν. ὅπερ ἀδυγῶτον οὐκ αρᾶὰ αἀνισὸς ἐστιν ἢ ΠΡ τῆς ΗΘ. ἐσὴ ἀβρὰ, Οπερ ἔδει δεῖζαι. |
HN ; quare et PZ majus est ipso ON ; sed et e quale, quod est impossibile ; non igitur inz- qualis est ΠΡ ipsi H9, æqualis igitur. Quod oporlcbat ostenderc. |
Si quatre droites sont proportionnelles, les figures rectilignes semblables et semblablement construites sur ces droites, seront proportionnelles ; et si des figures rectilignes semblables et semblablement construites sur ces droites sont proportionnelles, ces mêmes droites seront proportionnelles. Soient AB, TA, EZ, HΘ quatre droites proportionnelles, de manière que 4B soit à TA comme EZ est à HΘ ; soient décrites sur les droites 42, ra les figures rectilignes semblables et semblablement placées KAB, ATA, et sur les droites EZz, HΘ, les figures semblables et semblablement placées MZ, No ; je dis que KAB est à ATA comme MZ est à NΘ.
Prenons une troisième proportionnelle Ξ aux droites AB, TA, et une troisième proportionnelle O aux droites EZ, HΘ (11. 6). Puisque AB est à ra comme EZ est à HΘ, ‘et que TA est à Ξ comme HΘ est à O, par égalité, AB est à Ξ comme Ez est à O (22. 5). Mais AB est à Ξ comme KAB est à ATA (cor. 2. prop. 20. 6) , et EZ est à O comme MZ est à NΘ ; donc K4B est à ATA comme MZ est à NΘ (11. 5).
Mais que KAB soit à ATA comme MZ est à NΘ ; je dis que AB est à TA comme EZ est à HΘ.
Car si AB n’est pas à TA comme EZ est à HΘ, que AB soit à TA comme EZ est à nP (12. 6), et sur ΠΡ décrivons la figure rectiligne HP de manière quʼelle soit semblable à chacune des figures MZ, NΘ, et semblablement placée (18. 6).
Puisque AB est à ΓΔ comme EZ est à ΠΡ, que les figures KAB, ATA décrites sur AB, IA sont semblables et semblablement placées, et que les figures Mz, xP décrites sur les droites Ez, rP sont semblables et semblablement placées, la figure KAB est à la figure ATA comme MZ est à NΘ. Mais on a supposé que KAB est à ATA comme MZ est à NΘ ; donc MZ est à £P comme MZ est à NO ; donc la figure MZ a la même raison avec chacune des figures NΘ6, £P (11. 5) ; donc la fisure NΘ est égale à la figure £=P (9. 5) . Mais elle lui est semblable, et elle est semblablement placée ; donc HΘ est égal à r1P (lem. suiv.) . Et puisque 4B est à rA comme Ez est à IP, et que HP est égal à HΘ, AB est
à TA comme EzZ est à HΘ (7. 5). Donc, etc.
Si des figures rectilignes sont égales et semblables, nous démontrerons de cette manière que leurs côtés homologues sont égaux entr’eux.
Que les figures rectilignes NΘ, xP soient égales et semblables, et que H9 Soit à HN comme PI est à HZ ; je dis que PI est égal à ΘH. Car si ces droites sont inégales, une d’elles est plus grande. Que PΠ soit plus grand que ΘH. Puisque PΠ est à ΠΣ comme ΘH est à HN, par permutation, PΠ est à ΘH comme ΠΣ est à HN (16. 5). Mais ΠP est plus grand que ΘH ; donc ΠE est plus grand que HN ; donc la figure PE est plus grande que la figure ΘN (20. 6) ; mais elle lui est égale, ce qui est impossible ; donc les droites ΠP, HΘ ne sont pas inégales ; donc elles sont égales. Ce qu’il fallait démontrer.