Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 23
C. F. Patris, (1, p. 396-399).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κγʹ. | PROPOSITIO XXIII. |
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Τὰ ἶὖʼσφὤνιά παραλλπλὀγραμμα ’πρὄς ἄλληλα, λόγον ἐχεῖ τὸν συγκείμεγον εἰ τῶν πλευρῶν, |
Æquiangula parallelogramma inter se ratio- nem habent compositam ex lateribus.
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Eστω ἰσογῶνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΤ Τ2. ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν τῇ ὑπὸ ἙΓΗ͂’ λέγω ὅτʼ τὸ ΑΤ παραλλπλὄγραμμον ΄πρἆς τὸ ΤΖ παραλληλόγραμμον λόγον ἔχει τὸν συγκεί- μένον ἐκ τῶν πλευρῶν, τοῦ πε ὃν ἔχει ἡ ΒΤ πρὸς τὲν ΤῊ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΔΙ πρὸς τήν ΓΕ΄. |
Sint zquiangula parallelogramma ATʼ, TZ, equalem habentia BTA angulum ipsi ETH ; dico AT parallelogrammum ad TZ parallelogrammum rationem habere compositam ex lateribus, ex eà quam habct BP ad TH et ex eá quam habet AT ad FE. |
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Κείσδω γὰρ ὥστε ἐπ᾿ εὐδείας εἶναι τὴν ΒΤ τῇ ΓΗ’ ἐπ᾿ εὐθείας ἆ’ρα ἐστὶ καὶ ἢ ΔΙ τῇ ΤῈ" καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΔΗ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ἴζ. καὶ ψεγονέτω ὡς μὲν ἢ ΒΓ ʼπρὄς πὴν ΤῊ οὕτως ἡ Κ πρὃς τὴν Δ. ὡς δὲ ἡ ΔΙ ’πρὃς τὴν ΤῈ οὕτως ἡ ΔΛ ʼπρὄς τὴν Μ. |
Ponantur enim ita ut in direcium sit 3Tʼ ipsi TH ; in directum igitur est ct AT ipsi TE ; et compleatur AH parallelogrammum, et exponatur quzdam recta K, et fiat ut BI qui- dem ad FH ita K ad A, ut AT vero ad rZ ita A ad M. |
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Οι ο’ἔροι λόγοι τῆς τε Κα ʼπρξς τὴν Δ καὶ τῆς ΔΛ πρὸς τὴν Μ οἱ αὐτοί εἰσί τοῖς λόγοις τῶν πλευ- ρῶν-. τῆς τε ΒΓ ʼπρὃς τὴν ΤῊ καὶ τῆς ΔΙ πρὸς τὴν ΤΕ. Αλλ᾽ ὁ τῆς Καὶ πρἓς τὴν Μ λύγος σύγκειθαι ἐκ τε τοῦ τίς Καὶ σρος τὴν ΑΔΑλογου καὶ τοὺ τῆς Λ πρὸς |
Rationes igitur et ipsius K ad A et ipsius A ad M exdem sunt qua rationes laterum, et Ipsius BT ad TH et ipsius AT ad TE. Sed ipsius K ad M ratio componitur et ex ratione ipsius K ad A et ex ratione ipsius A ad M ;
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τὴν Μʼ ἄστε καὶ ἡ Κὶ πρὸς τὴν Μ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν, Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ ʼπρὄς τὴν ΤῊ οὕτως τὸ ΑΓ ’παραλλ ; ; λο’γραμ- μμὸν ’πρὃς τὸ ΤΘʼ ἀλλ ὡς ἢ ΒΓ πρὄς τὴν ΤΗ οὗ’τως ἢ Κὶ πρὄς τὴν Λ καὶ ὧς ἆ’ροι Κ ʼπρὄς τὴν Λ οὕτως τὸ ΑΓ ’πρὄς τὸ ΤΘ. Πάλιν. ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΔΙ πρὀς τὴν ΤῈ οὕτως τὸ ΤΘ ʼποιροιλλπλὄ- γραμμον πΡὸς τὸ ΤΖʼ ἀλλ ὡς ἢ ΔΙΓ ʼπρἑς τὴν ΤῈ |
quare et K ad M rationem babet compositam ex lateribus. Et quoniam est ut 3T ad rg ita ATʼ parallelogrammum ad IʼO ; sed ut Ér ad rg ita K ad A ; et ut igitur K ad A ita. AT aq TO. Rursus, quoniam est ut AT ad rE in TO parallelogrammum ad LZ ; sed ut Ar aq CE ita A ad M ; et ut igitur. A. ad M ita r9 parallelogrammum ad TZ parallelogrammum, |
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οὑ’τως ΔΛ ’πρὃς τὴν Μ᾽ καὶ ὧς ἐι’ροι Δ ’πρὅς πὴν Μ οὕτως τ ΓΘ ʼπαραλλπλὄγραμμον ʼπρὃς τὸ ΤΖ παραλληλύγραμμον. Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη. ὡς μἓν ὴ Κπρὄς τὴν Λ οὕτως τὸ ΑΤ ’παροιλληλὄγραμμσν πρὸς τὸ ΓΘ ʼπαραλληλοʼγΡαμμον. ὡς δὲ ἡ Λ πρὸς τὴν Μ οὕτως τὸ ΓΘ παραλλπλὄγρωμμον ʼπρὃς τὸ ΓΖ παραλλπλὄ’ ; ͵ροι |
Quoniam igitur ostensum est ut K quidem ad A ita ATʼ parallelogrammum ad T9 paral- lelogrammum, ut A vero ad M ita TO parallelogrammum ad IZ parallelogrammum ; ex cquo igitur est ut K ad M ita ATʼ paralle- logrammum ad TZ parallelogrammum. At vero K ad M rationem habet compositam ex lateribus ; et ADT igitur ad TZ rationem ha-
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λύγον ἔχει τὴν συγκείμενον ἐκ τῶν “ππιλευρων" καὶ τὸ ΑΓ ἀρὰ πρὸς τὸ ΤΖ λογὸν ἐχ8 ! ΤῸν συγκειίμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. Τὰ ἀρῶ ἰσογων ! α 5 καὶ πτὰ ἑξῆς. |
bet compositam ex lateribus. Ergo æquian- gula, etc. |
Les parallélogrammes équiangles ont entr’eux une raison composée des côtés. Soient les parallélogrammes équiangles AT, TZ, ayant l’angle BrA égal à lʼangle ErH ; je dis que le parallélogramme ar a avec le parallélogramme rz une raison composée des côtés, c’est-à-dire de celle que Br a avec TH, et de celle que ar a avec TE.
Plaçons ces parallélogrammes de manière que la droite Br soit dans la direction de la droite TH ; la droite Ar sera dans la direction de TE (14. 1). Achevons le parallélogramme AH ; prenons une droite quelconque K ; faisons en sorte que BT soit à TH comme K est à A, et que AT soit à TE comme A est à M (12. 6).
Les raisons de k à A et de À à M seront les mêmes que les raisons des côtés, c’est-à-dire que celle de Br à rH et que celle de ar à rE. Mais la raison de K à M est composée de celle de k à A, et de celle de À à M ; donc la droite K a avec la droite M une raison composée des côtés. Et puisque BT est à TH comme le parallélogramme AT est au parallélo- gramme TΘ (1. 6) , et que Br est à TH comme K est à À, K est à À comme le parallélogramme AT est au parallélogramme re (11. 5) . De plus, puisque AT est à TE comme le parallélogramme rΘ est au parallélogramme rz, et que AT est à TE comme A est à M (1. 6) , À est à M comme le parallélogramme TΘ est au parallélogramme Trz (11. 5) . Mais on a démontré que K est à 4 comme le parallélogramme AT est au parallélogramme rΘ, et À est à M comme le parallélogramme rΘ est au parallélogramme 1z ; donc, par égalité, K est à M comme le parallélogramme AT est au parallélogramme rz (22. 5) . Mais la droite Kk a avec la droite M une raison composée des côtés ; donc le parallélogramme AT a avec le parallélogramme rZ une raison composée des côtés. Donc, etc.