Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 20

Euclide

Les Éléments - Livre 6

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 383-391).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κʹ.	PROPOSITIO XX.
Ταϊύμοια πολύγωνα εἰς τε ομοια τρέγωνα δὲαι- ρεῖτα ; καὶ εἰς ἰσα πὸ πλῆθος καὶ ομολογα τοῖς ὁλοις᾽ καὶ τὸ πολύγωνον πρὸς τοῖ πολύγωνον δὲ- πλασίονα λογὸῦν ἐχέεῖ ἥπερ ἢ ομολογος πλευρᾶ πρὸς τὴν ομολογον πλευραν.	Similia polygona in similia triangula divi- duntur, et in æqualia multitudine et homo- loga totis ; et polygonum ad polygonum duplam rationem habct ejus quam homologum latus ad homologum latus.
Ἐστω ομοια πολυγῶνῳ τὰ ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, ὁμόλογος δὲ ἔστω ΑΒ τῇ ΖΗ λέγω ὃτι τὰ	Sint similia polygona ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, ho- mologum vero sit AB ipsi ZH$ dico ABPAE,

ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρί- γωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ δμό- λογα τοῖς δ’λοις. κςιἶ τὸ ΑΒΓΔΕ ʼπολυ’γωνον ʼπρὃς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἧπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΗ.	ZHOKA polygona et in similia triangula dividi et in zquali multitudine et homologa tous, el ABTAE polygonum ad ZHOKA polygonum duplam rationem habere ejus quam AB ad ZH,
Επεζεόχθωσαν αἱ BE, EΓ, HΛ, ΛΘ.	Jungantur BE, EΓ, HΛ, ΛΘ.
Καὶ ἐπεὶ ὁμοιὸν ἐστί τὸ ΑΒΤΔΕῈ πολυγῶνον τῷ ΖΗΘΚΛ σολυγωῶνῷ » ΙσἩ ἐὅτιν ἢ υὑπὸ ΒΑῈ γωνία τή υπὸ ΗΖΛʼ καὶ ἐστιίν ὡς ἢἡ ΒΑ προς ΑΕ οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΖΔ. Ἐπεὶ οὖν δὺο τρίγωνα ἐστι τὰ ΑΒΕ. ΖΗ͂Λ μίωαν γωνίαν μεᾷ γωνίᾳ ἐσὴν ἐχοντά. περὶ ὃδε τὰς ἰσας γωνίας τὰς πλευρὰς αἀνωλογὸν" ἰσογῶντον ρῳ ἐστι Τὸ ΑΒΕ τριφωνον τῷ ΖῊΛ τριγῶώνω. ὠστὲ καὶ ομοιον ἰσὴ αμι Σστὶν ᾧ ὑπὸ ΔΒῈ γωνία τῇ υὑπὸ ΖῊΛ, Εστʼ ὁς καὶ σλη	Et quoniam simile est ABTAE polygonum ipsi ZHOKA polygono, æqualis est BAE an- gulus ipsi HZA. ; et est ut BA ad AE ita ZH ad ZA. Et quoniam duo triangula sug ; ABE, ZHA unum angulum uni angulo $qua- lem habentia, circa equales autem angulos latera proportionalia ; equiangulum lgitur est ABE triangulum ipsi ZHA triangulo, quare et simile ; equalis igilur est ABE angulus ipsi

ἡ ὑπὸ ΑΒΈΤ ολὴ τῇ ὑπὸ ΔΔΘ ισῆς. οἱὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγῶνων" λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ἘΒΙ γωνία λοιπῆ" τῇ ὑπὸ ΛΗΘ ἐστὶν ἴση. Καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΕ. ΖΗΛ τριγώ- νῶν. ἐστὶν ὡς ἡ ἘΒ ʼπρἔς ΒΑ οὕτως ἃ ΔΗ τη : ὄς ΗΖ. ἀλλὰ μὴν καὶ διὰ τὴν ὁμοριότητα τῶν πο- λυγώνων. ἐστὶν ὡς ἢ ΑΒ πρὸς ἘΓ οὕτως ἡ ΖΗ πρὃς ἨΘ’ διΐίσου ἆ’ροι ἐστὶν ὡς ἡ ἘΒ πρὃς ΒΓ οὕτως ἡ ΛΗ πρὸς ΗΘ, καὶ περὶ τὰς ἔσας. γω-	ZHA, . Est autem et totus ABT toti ZHO equae hs, propter simihtudinem polygonorum ; re- liquus igitur EBT angulus reliquo AHO est æqualis. Et quoniam propter similitudinem ipsorum ABE, ZHA triangulorum, est ut EB ad BA ita AH ad HZ, sed utique et propter si- mihtudinem polygonorum, est ut AB ad 3T, ita ZH ad HO ; ex æquo igitur est ut EB ad BTʼ ita AH ad HO et circa equales angulos EBT,
γιας τὰς ὑπὸ ἘΒΤ΄. ΛΗΘ αἱ πλευραὶ ἀναλογόν εἰσιν"" Ισογῶν ! ον ἄρὰ ετ τὸ ἘΒΤ τριγῶνον τῷ ΛΗΘ τργῶνῷ, ὥστε καὶ ὁμοιον ἐτʼὶ τὸ ἘΒΤ τρι- γώνγον τῷ ΛΗΘ τριγωνῳΐ, Διά τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ἘΓΔ τρι’γωνον ομμοιὸν ἐστὶ τῷ ΛΘΚ τριγωγῳ" τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα τὰ ΑΒΓΔΕ. ΖΗΘΚΛ εἷς τε ὑμοια τρίγωνα δηήρηται καὶ εἰς ἴδα τὸ πλῆθος.	AHΘ latera proportionalia sunt ; equiangulum igilur est EBT triangulum ipsi AHO iriangulo, quare et simile adhuc EBT triangulum ips1 AHO triangulo. Propter eadem utique et ETA triangulum simile est ipsi AΘK triangulo ; ergo similia polygona ABTAE, ZHΘKA etin similia triangula dividuntur et in æqualia multitudine.
Λέγω οτί καὶ ομολογῶ τοῖς ὁλοῖς, τουτεῦστιν ὥστε ἀνάλογον εἶναι τῶ πρίγωνωα. καὶ ἡγουμεναὰ μὲν εἶναι τά ΑΒΕ. ἘΒΓ ; ΕΓΔ. ἐπόμενα δὲ αὐτῶν τὰῷ ΔΗῊΛ. ΛΗΘ. ΛΘΚ. καὶ οτέ τὸ ΑΒΙΔῈΕ πο- λύγωνον πρὸς τὸ ΖΉΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἐχέῖ Ἅστερ ομόλογος σπγλευρώ πρὸς τὴν ὁμμο- λογον πλευρᾶνγ τουτεέστιν ἡ ΑΒ σρὸς τὴν ΖΗ,	Dico et homologa totis, hoc est, ut pro- portionalia sint triangula, et antecedentia qui- dem sint ABE, EBD, ETʼA, consequentia vero eorum ipsa ZHÀ, AHO, AOK, ct ABIʼAE po- lygonum ad ZHOKA polygonum duplam ratio- nem habere ejus quam homologum latus ad homoiogum latus, hoc est, AB ad ZH.
Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΖΘ.	Jungantur enim ΑΓ, ΖΘ.
Καὶ ἐπεὶ δχαὰὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν στολυγῶνγων ἰσή ἐστιν Ἡ ὑπὸ ΑΒΤ γώνγία τῇ υπὸ ΖΗΘ. καὶι εΤ ὡς Ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ ουτῶως ἢ ΖῊ σπρὸς ΗΘ’ ἰσογων ! όν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΗΘ τρι- γῶνῳ" Ισὴ ἀρα ἐστιν ἢ μὲν ὑπὸ ΒΑΙ γων ! αν τῇ ὑπὸ ΗZΘ, δὲ ὑπὸ ΒΤΑ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ. Καὶ ἐπεὶ ἰσή ἐστιν Ὁ ὑπὸ ΒΑΜ γωνία τῇ ὑπὸ ἨΖΝ,	Et cucniam propter similitudinem polygo- norum wquahs est ABI angulus ipsi ZHO, et est ut AB ad BTʼ ita ZH ad HO ;  : equiangulum est ABT triangulum 1ps1 ZHO triangulo ; e qualis igitur est quidem BAT angulus ipsi HZO, ipsc vero BIʼA ipsi HOZ. Et quoniam zqualis est BAM angulus ; ipsi HZN, ostensum autem est et ABM
ἐδείχθηθ δὲ καὶ ἢ ὑπὸ ΑΒΜ τῇ ὑπὸ ΖΗΝ ἰση" καὶ λοιπὴ ἐἆροι ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοπῇ τῇ ὑπὸ ΣΝΗ ἤση ἐστίν7. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ, Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ τὸ ΒΜΓ τρίγωνον ἰσαγώνιον ἐστὶ τῷ Η͂ΝΘ τρι- γώνῳ" ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν. ὡς μὲν ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ οὕτως ἡ ΖΝ ʼπρὃς ΝΗ. ὡς δὲ " ΒΜ ’πρὄς ΜΙ οὕτως ἢ Ν πρὃς ΝΘ" ὥστε καὶ διῖσου. ὦς ἡ ΑΜ ’πρὃς ΜΙ οὗτως ἡ ΖΝ πρὃς ΝΘ, Αλλ	ipsi ZHN cqualis ; et reliquus igitur AMa reli. quo ZNH qualis est ; &quiangulum lgllur est ABM triangulum ipsi ZHN triangulo, Similiter utique ostendemus et BMT triangulum &quian- gulum esse ipsi HNO triangulo ; proportional. ter igitur est ut AM quidem ad MB ita zy ad NH, ut vero BM ad MT ita HN ad NO j quare et ex æquo ut AM ad MT ita ZN ga N90, Sed ut AM ad MI ita ABM triangulum 44

ὡς μὲνϑ ἣὃ ΑΜ πρξς ΜΙ οὕτως τὸ ΑΒΜ τρι’- γωνον πρὸς ΜΒΓ. καὶ τὸ ΑΜῈ πρὸς EΜΓ, ʼπρἑς ἄλληλα γαρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις" καὶ ὡς ἄραϑ ἕν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕν τῶν ἑπομένων οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα ʼπρἆς ἅπαντα τὰ ἕπομἔνωʼ ὧς ἐι’μι τὸ ΑΜΒ -τρι’γωνον ʼπρὄς τὸ ΒΜΤ οὕτως τὸ ΑΒΕ πρὸς τὸ ΓΒΕ. Αλλὡς τὸ ΑΜΒ τρὖς τὸ ΒΜΓ οὗτως ΑΜ ʼπρὖς ΜΙ- καὶ ὦς ἆ’Ρα ἡ ΑΜ πρὸος ΜΓ οὕτως τὸ ΑΒΕ τρἷγωνον ͵πρὄς τὸ	MBΓ, et AME ad EMΓ, inler se enim sunt ut bases ; et uli igitur unum antecedentium ad unum consequentium ita omnia antecedentia ad omnia consequentia. Ut igitur AMB trian. gulum ad BMTʼ ita ABE ad TPBE. Sed ut AM ad BMT ita AM ad Mr ; et ut igitur AM ad MT ita ABE triangulum ad EBT triangulum. Propter eadem utique et ut ZN ad NO iti ZHA triangulum ad HAO triangulum. Et esl
ἘΒΙ τρίγωνον. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ZΝ πρὄς ΝΘ οὕτας τὸ ΖΗΛ τρἷψωνον ’πρὄς τοῖθ ἨΗΔΛΘ τρἵγωνον. Κεὶ ἔστ, ὡς ἃ ΑΜ ʼπρὃς ΜΙ οὕτως ῃ ΖΝ 7 προς ΝΘ᾽ καὶ ὡς οἷῖ τὸ ΑΒΕ τρἔ-γωνον προς τὸ ΒῈΓ ρ γῶγον οὕτως τὸ ΖῊΛ τρἷςμωνοεʼ πρὸς τὸ ΗΘΛ τρίγωνον. καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον οὕτως τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΤὯΛΘ τρέγωνοντἷ, Ομοίως δὴ ἃἷξομ : ν, ἆ”τιζουχθεισὦν τῶν ΒΔ, ΗΚ. ὅτι καὶ ὡς τὸ ΒΕΓ τρη ΟνΟΥ "ρος τὸ ἨΛΘ τρι γωρὺν οὕτως τὸ ἘΓΔ τριγωνον" ʼπρος τὸ ΔΘΚ τρν ; ωνον. Καὶ ἐπείέστιν ὡς τὸ ΑΒΕ τρήγωνον πρὸς τὸ ΖΗ͂Λ τρί- γωνονΙΒ οὖτως τὸ ἘΒΓ ʼπρὄς τὸ ΛΗΘ. καὶ ἐτι ἘΓΔ πρὸς τὸ ΛΘΚ’ καὶ ὡς ἀρα ἕν τῶν ἡγουμένων πρὸς ὃν τῶν ἑπομένων οὔτι : ς ἅπαντα τὸὼ ἡγούμενα ’πΐοὃς ἅπαντα τὰ ἕʼπο’μεναʼ ἰττὶν ἆροι ὡς τὸ ΑΒΣ τρ. γωνον πρὸς τὸ ΔῊΛ τρίγωνον οὕτως τὸ ΑΒΙΔῈ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗ͂ΘΚΛ πολύγωνον, Αλλὸ τὸ ΑΒΕ τρέγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον14 δι- πλασίονα λόγον ἓ’χς-ι ὖ’π- ρ ἡ ΑΒ ὁμόλογος πλευρὰ ’πρὄς τὴν ΖΗ ὖμ. ἑλοσ ον τλευροἔνʼ τὰ γαρ ὁμόια τρίγωνα ἐν διπλετίον : λόγῳ ἐστὶ τῶν ὗμ λέόγων πλευρῶν" καὶ τὸ ΑΒΓΔῈ ἀρα πολυγωνον πρὸς	ut AM ad MT ita ZN ad NO ; et ut igitur ABE triangulum ad BET triangulum ita ZHA triangulum ad HΘA triangulum, et alterne ut ABE tiangulum ad ZHA triangulum ita BET triangulum ad HΛΘ triangulum. Similiter uti- que ostendemus, junctis BA, HK, et ut BET triangulum ad HAO triangulum ita ETʼA trian- gulum ad AOK triangulum. Et quoniam est ut AZ4 triangulum ad ZHA ita EBT ad AHOG, et insuper ETÀ ad AOK ; el ut igiiur unum antecedentium ad unuim consequentium ita omnia antecedentia ad omnia consequentia ; est igitur ut ABE teangulum ad ZHA trian- gulum ita AFTAE poiygonum ad ZHOKA po- lygonum. Sed ABE triangulum ad ZHA trian- gulum duplam rationem habet ejus quam AB homologum latus ad ZH homologum latus ; Similia enim triangula in duplà ratione sunt homologorum laterum ; et ABPAE igitur po- lygonum ad ZHΘKA polygonum duplam ra-
τὸ ΖΗΘΚΛ ΄πολύ’γωνον διπλασίονα λὄγον ἷχει ἥπερ ἡ ΑΒ ἐμόλογος ’πλευΡὲ ʼπρἶς τὴν ΖΗ ὑμύ- λογον πλευρᾶν. Τὰ ἀρὼ ομοιαν καὶ τὰ εξὴς.	tionem habet ejus quam AB homologum la. tus ad ZH homologum latus. Ergo simi. la, etc.

ΠΟΡΙΣMΑ αʹ.	COROLLARIUM. I.
Ωσαύτως δὴ}" καὶ ἐπὶ τῶν ὁμοίων τετραπλεὺ- ρὼν δειχθήσεται. ὅτι ἐν δηυπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. Ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνωνʼ ὥστε καὶ 1 καθόλου τὰ ὁμοια εὐϑυ- γραμμα σχήματα πρὸς ἀλληλά εν δηπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. Οπὲρ ἐδὲμ δειξαι(17).	Similiter utique et in similibus quadrilateris ostendetur, ea in duplæ ratione esse homo- logorum laterum. Ostensum autem est et in triangulis ; quare et universe similes rectilinæ figuræ inter se in duplâ ratione sunt homolo- gorum laterum. Quod oportebat ostendere.

ΠΟΡΙΣMΑ βʹ.

CORALLARIUM II.

Καὶ ἐαν τῶν ΑΒ. ΖΗ τρέτην ἀνάλογον λάξω-- μὲν τήν ʼΞ5 ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Κὶ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἢ ΑΒ σπρὸς τῶν Ζ2ΖΗ. Ἐχει δὲ καὶ τὸ πολυγῶνοὸν πσρὸς τὸ πυλυγῶνον 9 καιῖ" τὸ τετρα- πλευρον πρὸς τὸ τετράπλεύρον διπλασίονα λόγον ἡπερ ἡ ὁμολογος πλεύρα πρὸς τὴν ομολῆγον πλευ- ρν19, τουτέστιν 11 ΑΒ πρὸς τὴν ΖΗ ἐδείχθη δὲ τοῦτο καὶ ἐπὶ τῶν τρέγῶνων" ὥστε καὶ καθό- λου φανερὸν. τ ἀτν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔσταὶ ὡς ἡ πΠρΩΤΉ πρὸς τὴν τρίτην οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρῶώτῆς εἶδὸς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευ- τερας7 τὸ ὁμοιον καὶ ομοιως ἀναγραφόμενον.

Et siipsis AB, ZH icrtiam proporüonalem Z sumamus, AB ad € duplam rationem habet cjus quam AB ad ZH. liabet autem ct polygonum ad polygonum, et quadrilaterum ad quadrilate- rum duplam rationem ejus quam homologum latus ad homologum latus, hoc est AB ad ZH ; oslensum est autem hoc et in triangulis ; quare ct universe manifestum est, si tres rect » proporüenales sint, ut prima ad tertiam ila futuram esse ipsam a primà figuram ad ip- sam a secundà, similem et similiter descriptam.

ΑΛΛΩΣ.	ALITER.
Δείξομεν δὴ καὶ ἑτέρως προχειρότερον ὁμόλογα ταὰα τρίγωνα.	Ostendemus utique et aliter expeditius ho- mologa triangula.
Ἐκ κείσθωταν γὰρ πάλιν τὰ ΑΒΓΔΕ ; ΖΗΘΚΛ πολύγωνα. . καὶ ἔπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ. ΕΓ. ΗλΛ, ς ΛΘʼ λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒΕ τρ : ’γωνον ʼπρἑς τὸ ΖΗΔΛ οὕτως τὸ ἘΒΓ ʼπρὄς τὸ ΔΛΗΘ καὶ τὸ ΓΔΕ πρις τὸ ΘΚΛ.	Exponantur enim rursus ABTAE, ZHOKA polygona, et jungantur BE, EL, HA, AQ : dico esse ut. ABE triangulum ad ZHA ita EBT aq AHO et TʼAE ad OKA.
Ἐπεὶ γὰρ ὁξμοιόν ἴστι τὸ ΑΒῈ τρίγωνον τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ, τὸ ΑΒΕ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗῊΛ δηπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΕ πρὸς τὴν Ηλ. Διὰ τὰ αὑτὰ δὴ καὶ τὸ ΒΕΓ τρίγωγον πρὸς	Quoniam enim simile est ABE triangulum Ipsi ZHA triengulo, ABE igitur triangulum ad zg4 duplam rationem habet ejus quam BE ad p, Propter eadem utique et DET iriangulum ad BAG

τὸ ἨΛΘ τρόγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΕ πρὶς τὴν ΗΛʼ ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον ʼπρὃς τὸ ΖΗΛ τρι’γωνον20 οὕτως τὸ ἘΒΓ ʼπρὄς τὸ ΛΗΘ. Πάλιν, ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστʼ τὸ ἘΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνῳʼ τὸ ἘΒΓ ἄρα πρὸς τὸ ΛΗΘ δὲ- πλατσίονα λόγον ἔχει ἷι"περ ἡ ΤῈ εὐθεῖα ’πρὄς τὴν ΘΛ, Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ἘΤΔ τρΐφωνον ’πρἓς τὸ ΛΘΚ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἧπερ ἡ ΓΤῈ πρὸς τὴν ΘΛ᾽ ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἘΒΓ τρίγωνον

triangulum duplam rationem habet ejus quam BE ad HA ; est igitur ut ABE triangulum ad ZHA triangulum ila EBT ad AHO. Rursus, quoniam simile est EBP triangulum ipsi AHO trian- gulo ; EBPI igitur ad AHO duplam rationem habet ejus quam TʼE recta ad OA. Propter eadem utique et ETA triangulum ad AOK triangulum duplam rationem habet ejus quam TʼE ad 04A ; est igitur ut EBP triangulum ad AHO ita ETA ad

ηʼΡος τὸ ΛΗΘ οὕτως τὸ ΕΓΔ ΄προς τὸ ΛΘΚ. Ἐδεί- χθη δὲ καὶ ὡς τὸ ἘΒΙ ʼπρες τὸ ΛῊΘ οὕτως τὸ ΑΒΕ στρος τὸ ΖΗΛΔ᾽ καὶ ὡς ε « ρα τὸ ΑΒΕ ’τρος τὸ ΔῊΛ οὕτως τὸ ΒΕΓ προς τὸ ΗΔΛΘ καὶ τὸ ΕΓΔ πρὺς τὸ ΛΘΚλ". Οπερ ἔδει δεῖξαι.

AGK, Ostensum est autem et ut EBT ad AHO ita ABE ad ZHA ; et ut igitur ABE ad ZHA 1ta BECT ad HAO. et ETA ad AOGK. Quod oportebat ostendere.

PROPOSITION XX.

Les polygones semblables peuvent être divisés en triangles semblables, égaux en nombre, et homologues aux polygones ; et le polygone a avec le polygone une raison double de celle qu’un côté homologue a avec un côté homologue.

Soient les polygones semblables ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, et que 48 soit l’homologue de ZH ; je dis que les polygones ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ peuvent être divisés en triangles semblables, égaux en nombre, et homologues aux polygones, et que le polygone ABTAE a avec le polygone ZHΘKA une raison double de celle que 48 à AVEC ZH,

Joignons BE, EΓ, HΛ, ΛΘ. Puisque le polygone ABrAE est semblable au polygone ZH@kA, lʼangle BAE est égal à lʼangle HZA ; et BA est à° AE comme ZH est à ZA Mais les deux triangles ABE, ZHA ont un angle égal à un angle, et les côtés autour des angles égaux proportionnels ; donc les triangles ABE, ZEA sont équiangles (6. 6), et par conséquent semblables (4. 6) ; donc l’angle ABE est égal à lʼangle zHA. Mais l’angle entier 4B8r est égal à lʼangle entier ZH®, à cause de la similitude des polygones ; donc l’angle restant EBr est égal à l’angle restant AHOΘ. Mais à cause de la similitude des triangles ABE, ZHA, EB est à BA comme AH est à HZ, et à cause de la similitude des polygones, AB est à BT comme ZH est à HΘ ; donc, par égalité, EB est à BT comme AH est à HO (22. 5) ; donc les côtés autour des angles égaux EBr, AHΘ sont proportionnels ; donc les triangles EBr, AHΘ sont équiangles (6. 6) ; donc le triangle EBr est semblable au triangle AHΘ. Le triangle ErA est semblable au triangle 4AΘK, par la même raison (4. 6) ; donc les polygones semblables ABTAE, ZHΘKA sont divisés en triangles semblables et égaux en nombre.

Je dis de plus que ces triangles sont homologues aux polygones, cʼest-à dire que ces triangles sont proportionnels, que les antécédents sont ABE, EBr, Era, et que leurs conséquents sont ZHA, AHΘ, AΘK ; et que de plus le polygone ABTAE a avec le polygone ZHΘKA une raison double de celle qu’un côté a avec un côté, c’est-à-dire de celle que AB a avec ZH.

Joignons AT, ZΘ.

Puisqu’à cause de la similitude des polygones, l’angle ABr est égal à lʼangle ZHΘ, et que AB est à BT comme £H est à HΘ, les triangles APr, ZHΘ sont équiangles (6. 6) ; donc l’angle BAT est égal à l’angle HZΘ, et lʼangle BrA égal a lʼangle HΘ7. Et puisque l’angle BAM est égal à l’angle HZN, et qu 1l a été démontré que lʼangle ABM est égal à l’angle ZHN, lʼangle restant AMB est égal à l’angle restant ZNH (32. 1) ; donc les deux triangles ABM, ZHN sont équiangles. Nous démontrerons semblablement que les deux triangles BMT, HNO sont équiangles ; donc AM est à MB comme ZN est à NH, et EM est à MT comme HN esl à NΘ (4. 6) ; donc, par égalité, AM est à MT comme ZN est à NΘ (22. 5). Mais AM est à Mr comme le triangle ABM est au triangle MBT, et comme le triangle AME est au triangle EMT, car ils sont entr’eux comme leurs bases (1. 6), et uns des antécédents est à un des conséquents comme tous les antécédents sont à tous les conséquents (12. 5) ; donc le triangle AMB est au triangle BMT comme le triangle ABE est au triangle 18E. Mais AMB est à BMT comme 4M est à Mr ; donc AM est à MT comme le triangle ABE est au triangle EBr (11. 5) Par la même raison, ZN est à NΘ comme le triangle ZHA est au triangle HAΘ. Mais AM est à MT comme ZN et à Ne ; donc le triangle ABE est au triangle BET comme le triangle ZHA est au triangle HΘA (11. 5), et par permutation, le triangle ABE est au triangle ZHA COMME Je triangle BET est au triangle H4Θ (16. 5) . Nous démontrerons semblablement, après avoir joint BA, HK, que le triangle BET est au triangle HAS comme le triangle ETA est au triangle AΘK. Et puisque le triangle ABE est au triangle ZHA comme EBT est à ΓHΘ, et comme EΓΔ est à ΓΘK, un des antécédents est à un des conséquents comme tous les antécédents sont à tous les conséquents (12. 5) ; donc le triangle ABE est au triangle ZHA comme le polygone ABTAE est au polygone ZHexA. Mais le triangle ABE a avec le triangle ZHA une raison double de celle que le côte homologue AB a avec le côté homologue ZH ; car les triangles semblables sont en raison double des côtés homologues ; donc le polygone ABTAE a avec le polygone ZHΘKA une raison double de celle que le côté homologue 48 a avec le côté homologue zH. Donc, etc.

COROLLAIRE I.

On démontrera de la même manière que les quadrilatères sont en raison double des côtés homologues ; mais cela a été démontré pour les triangles semblables (cor. 19. 6) ; donc généralement les figures rectilignes semblables sont entr’elles en raison double des côtés homologues. Ce qu’il fallait démontrer.

COROLLAIRE II.

Si nous prenons une troisième proportionnelle # aux droites AB, ZH, la droite AB aura avec Ξ une raison double de celle que AB a avec ZH (déf. 10. 5). Mais le polygone a avec le polygone, et le quadrilatère avec le quadrilatère une raison double de celle qu’un côté homologue a avec un côté homologue, c’est-à-dire, de celle que AB a avec ZH ; et cela a été démontré pour les triangles ; il est donc généralement évident que si trois droites sont proportionnelles, la première est à la troisième comme la figure décrite sur la première est à la figure semblable et décrite semblablement sur la seconde.

AUTREMENT.

Nous démontrerons autrement et plus brièvement que les triangles sont homologues. Soient les polygones ABTAE, ZHΘKA, et joignons BE, ET, HA, AO ; je dis que le triangle ABE est au triangle ZHA comme EBT est à AH9, et comme TAE est à EKA.

Puisque les triangles ABE, ZHA sont semblables, le trianole ABE à avec le triangle ZHA une raison double de celle que BE a avec HA (ro. 6). Par la même raison, le triangle BET a avec le triangle HA® une raison double de celle que BE a avec HA ; donc le triangle ABE est au triangle ZHA comme le triangle EBT est au tr jangle AHΘ (11. 5). De plus, puisque le triangle EBr est semblable au triangle AHΘ, le triangle EBr a avec le triangle AHΘ une raison double de celle que la droite TE a avec ΘA (19. 6). Par la même raison, le triangle Era a avec le triangle AΘK une raison double de celle que rE a avec ea ; donc le triangle EBT est à AHΘ comme FTrA est à ΛΘK (11. b) . Mais on a démontré que

EBT est à ΛHΘ comme ABE est à ZHΛ ; donc ABE est à ZHA comme BEF est à HΛΘ, et comme Era est à AΘKX. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXI.

Les figures rectilignes semblables à une même figure sont semblables entr’elles.

Que chacune des figures rectilignes A, B soit semblable à la figure r ; je dis que la figure A est semblable à la figure 8.

Car, puisque la figure A est semblable à la figurer, ces deux figures sont équiangles, et elles ont les côtés autour des angles égaux proportionnels (déf. 1. 6).