Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 19

Euclide

Les Éléments - Livre 6

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 380-382).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιθʹ.	PROPOSITIO XIX.
Τὰ ὅμοια τρίγωνα πρὸς ἀλλῆλα εν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολογῶν σιλευρων.	Similia triangula inter se in duplà ratione sunt homologorum laterum.
Ἔστω ὅμοια τρἷγωι’ω τὰ ΑΒΓ. ΔΕΖ. ἕσην εχοιτα. τὴν προς τω B γωνἰάν τὴ προς τῳ E,	Sint similia triangula ABP, AEZ, cqualem habentia ipsum ad B angulum Ipsi ad E, ut

ὡς δὲ τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ οὕτως τὴν ΔῈ πρὸς τὴν ἘΖ. ὥστε ὁμόλογον εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ἘΕΖ᾽ λέγω ὁτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ʼπρὃς τὸ ΔΕΖ ’τρι’- γωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.	autem AB ad BT ita AE ad EZ, ita ut homo. logum sit BIʼ ipsi EZ ; dico ABT triangulum ad AEZ triangulum duplam rationem habere ejas quam BPIʼ ad EZ.
Εἰλίφθω γὰρ τῶν ΒΓ΄. ΕΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΒΗ ὠστε εἰγνῶ ! ὡς τὴν ΒΤ πρὸς τῆν ἘΖ οὕτως τήν ἘΖ πρὸς τὴν ΒΗ" και ἐπεζεύχϑω ἡ ἨΑ.	Sumatur enim Ipsis BT, EZ terlia propor- üonalis BH, ita ut sit ut BT ad EZ ita EZ ad BH ; et jungatur HA.
Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἢ ΑΒ σρος τὴν ΒΓ ουτῶως ἡ ΔῈ πρὸς τὴν ἘΖ". εναλλαξ ἐρῶ ἐστὶν ὡς ἢ ΑΒ πρὸς τήν ΔῈ οὕτως ἢ ΒΓ πρὸς τὴν ΒΕΖ. Αλλ᾽ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ἘΖ οὑτως ἐστὶν ἡ ἘΖ πρὸς τὴν ΒΗ" καὶ ὡς ἀρᾶ ἢ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ οὕτως ἡ EZ πρὸς τὴνʼ ΒΗ" τῶν ΑΒΗ͂. ΔΕΖ ἀρα τρεγώνων" ἀντι- πεπόνθασιν αἱ πλεύρα ! , αἱ περί τὰς ἰσὰς γωνίας. Ων δὲ5 μίαν μεφι ἐσὴν ἐχόντων γωνίαν τρεγώνων". ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ » αἱ περὶ τὰς ἰσας γῶνίας. ἰσὰ ἐστίν ἐκειγὼ" ἰσὸν ἀρῶ ἐστιί τὸ ΑΒΗ͂ τρι’γωνον τῷ ΔΕΖ τρίγωνῷ. Καὶ ἐπεῖ εστίὶν ὡς ἢ ΒΓ πρὸς τὴν ἘΖ οὕτως ἡ ἘΖ πρὸς τὴν ΒΗ ᾿ξῶὼν δὲ τρείς εὐθείαι ἀνάλογον ὡσιν. ἢ πρώτή πρὸς Τῆν τρίτπν διπλασίονα λογον ἐχεῖν λεγεται ἡπτερ πρὸς ΤῊν ὁἷευτερανʼ 1 ΒΓ ἄρα σπρὸς τὴν ΒΗ διπλα- σίονα λίγον ἔχει ἧπερ ἢ ΒΓ πρὸς τῆν ἘΖ. Ως δὲ ἢ ΒΓ πρὸς τὴν ΒΗ οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ τρίγωνον" παὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ	Et quoniam est ut AB ad BTʼ ita AE ad EZ ; alterne igitur est ut AB ad AE ita BT ad EZ. Sed ut BT ad EZ ita. est EZ ad BH ; ct ut igitur AB ad AE ita EZ ad BH ; ipsorum igitur ABH, AEZ triangulorum reciprcca sunt latera circa aequales angulos. Quorum autem unum uni equalem habentium angulum triangulorum, re- ciproca sunt latera circa equales angulos, equalia sunt illa ; a quale igitur est. ABH trian- gulum ipsi AEZ triangulo. Ét quoniam cst ut BI ad EZ ita EZ ad BH ; si autem tres recte proportionales sint, prima ad tertiam duplam ralionem habere dicitur ejus quam ad secun- dam ; BL igitur ad BH duplam rationem habet cjus quam BIʼad EZ. Üt autem Br ad BH ita ABI triangulum ad AEBH triangulum ; ct ABT igitur triangulum ad ABH duplam rationem habet cjus quam BT ad EZ, Æquale autem ABH
ΑΒΗ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ἘΖ. Ἰσὸν δὲ τὸ ΑΒΗ͂ τρΐγωνον τῷ ΔῈΖ τΡιγὤνῳδʼ καὶ τὸ ΑΒΙ ἄγα τρίγωνον πρὸς τὸ ΔῈΖ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ἘΖ. Ἰὰ ἀρὰ ὁμοια ; καὶ Τὰ ἐξῆςς	triangulum ipsi AEZ triangulo ; et ABT lgitu triangulum ad AEZ triangulum duplam rai, nem habet ejus quam BT ad EZ. Ergo similia, etc.

ΠΟΡΙΣMΑ.	COROLLARIUM.
Ἐκ δὴ τούτου φανερῆν. ὑτι ἐαν7 τρεῖς εὐθεία ! αναλογον ὥσιν οἱστνας ἡ ΠΡΩΤΉ πρὸς ΤῊν ΤρΙΤΉν οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης τρίγωνονδ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας ὁμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφῦ-- μενον" ἐπείπερ ἐδείχθη. ὡς ἡ ΤΒ πρὸς τὴν ΒΗ ουτῶς τὸ ΑΒΓ τρίγωγον πρὸς τὸ ΑΒῊΗ τρίγωγον 5 τουτέστι τὸ ΔΕΖῦς	Ex hoc utique manifestum est, si tres recte proportionales sint, esse ut prima ad tertiam ita ipsum ex primà triangulum ad ipsum ex secundá simile et similiter descriptum ; quia ostensum est, ut TB ad BH ita ABT triangu- lum ad ABH triangulum, hoc est AEZ.

PROPOSITION XIX.

Les triangles semblables sont entr’eux en raison double des côtés homologues.

Soient les triangles semblables ABT, ‘AEZ, ayant l’angle en B égal à l’angle enE, et que AB soit à BT comme AE est à EZ, de manière que le côté Br soit l’homologue du côté Ez ; je dis que le triangle ABrT a avec le triangle 4E2 une raison double de celle que Br a avec Ez. Prenons une troisième proportionnelle BH aux droites BT, Ez, de manière que ET soit à EZ comme EZ est à BH ; et Joignons HA (11. 6).

Puisque AB est à Br comme AE est à EZ, par permutation, AB 6@st à AE comme Br est à EZ (16. 6). Mais Br est à EZ comme EZ est à EH ; donc AB est à AE comme Ez est à BH (11. 5) ; donc les côtes des triangles 4BH, AEZ, autour des angles égaux, sont réciproquement proportionnels. Mais deux triangles sont égaux entrʼeux lorsquʼils ont un angle égal à un angle, et les côtés autour des angles égaux, réciproquement proportionnels (15. 6) ; donc le triangle ABH est égal au triangle 4Ez. Et puisque BT est à EZ comme EZ est à BH, et que lorsque trois droites sont proportionnelles, la première est dite avoir avec Ja troisième une raison double de celle que la première a avec la seconde (10. 5), la droite Br a avec Ja droite BH une raison double de celle que Br a avec EZ. Mais Er est à BH comme le triangle ABr est au triangle ABH (déf. 1. 6) ; donc le triangle ABr a avec le triangle ABH une raison double de celle que Br a avec EzZ. Mais le triangle ABH est égal au triangle AEZ ; donc le triangle ABr a avec le triangle AEZ une raison double de celle que Br a avec EZ (7. 5) , Donc, etc.

COROLLAIRE.

De là il est évident que si trois droites sont proportionnelles, la première est à la troisième comme le triangle décrit sur la première est au triangle semblable décrit semblablement sur la seconde ; puisquʼil a été démontré que TB est à BH comme le triangle ABT est est au triangle ABH, c’est-à-dire AEZ,