Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 18
C. F. Patris, (1, p. 378-380).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιηʹ. | PROPOSITIO XVIII. |
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ἀπὸ τῆς δοθεῖσα εὐθεῖα τῷ δοθντι εὐθυ- γράμμῳ ὁμοιόν τὲ καὶ ὑμοίως κείμενον εὐθυγραμ- μὸν ἀναγράψαι. |
Ex datà rectá ipsi dato rectilineo simileque et similiter positum. recülineum describere, |
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Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ. τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ ΤῈ" δὲ δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας τῷ ΓE εὐθυγρώμμῳ ὁμοιὸν τε καὶ ὁμοίως κείμενον ευΘυγρἁμμὸν ʼλθῖ άνάγράψαι. |
Sit. data quidem recta AB, datum auteg rectilineum TʼE ; oportet igitur ex. AB rectá Ipsi TE rectlineo simileque. et similiter. positum rectilineum describere. |
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Ἐπεζεύχθω η ΔΖ. καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σήμείοις τοῖς Α, Β τῇ μὲν πρὸς τῷ Τ γών ! α Τ ἡ ὑπὸ ΗΑΒ΄. τῇ δὲ ὑπὸ ΓΔΖ ἰση ἢ ὑπὸ ΑΒΗ" λοιπῇῆ ἀρὰ ἢ ὑπὸ ΓΖΔ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΗΒ εστὶν ἐση" ἰσογῶώνιον ἀρὰ ἐστὶ τὸ ΖΤΔ τρίγωνον τῷ ἨΛΒ τριγῶνῳ" ανὰ- λογὸν ἄἀρῶ « στιν ὡς ἢ ΖΔ πρὸς τῆν ἨΗΒ ουτῶς ἢ |
Jungatur AZ, ct constituatur ad AB rectam et ad puncta in eà A, B ipsi quidem ad T angulo zqualis ipsi sub HAB, ipsi vero sub TAZ æqualis ipse sub ABH ; reliquus igitur sub TʼZA reliquo sub AHB est : qualis ; equiangu- lum igitur est ZFA triangulum 1psi HAB trian- gulo ; proportionaliter igitur est ul ZA ad HB ita
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ZΓ σρὸς τήν ΗΑ καὶ ἡ ΤΔ πρὸς τὴν ΑΒ. Παλιν, συνεστώτω πρὸς τῇ ΒΗ εὐθείᾳ καὶ τοῖς σρὸς οιὖτῃ σήμειοις τοῖς Β : Ἡ τῇ μὲέν υπὸ ΔΖῈ γω- νίᾳ ἰσὴ ἡ ὑπὸ ΒΗ͂Θ. τῇ δὲ ὑπὸ 2ΔΕ ἴση ἡ ὑπὸο ΗΒΘ’ λοιπσὴ ἄρὰ ἢ πρὸς Τῷ Ἑ λο ! πῇ τῇ σρὸς τῷ Θ ἐστὶν ἐση" ἰσογῶν ! ον ἀρὰ ἐστι τὸ ΖΔῈ τρίγωνον τῷ ΗΒΘ τρεγωώνῳ" ἀνάλογον ἀρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ἨΒ οὕτως ἡ ΖῈ πρὸς τὴν ΗΘ. καὶ ἡ ἘΔ πρὸς τῆν ΘΒ. Εδείχθη δὲ καὶ ὡς η ΖΔ πρὸς τὴν ΗΒ οὕτως ἡ τεῖ ΖΤ πρὸς τῆὴν ΗΑ καὶ ἢ ΤΔ πρὸος τῆὴν ΑΒʼ κῳὶ ὡς ἀρὰ 2 σρὸς τὴν ΑἩ οὐ- τῶς Ὁ τε ΓΔ πρὸς τήν ΑΒ καὶ ἢἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΘ ; καὶ ἐτι ἡ ἘΔ πρὸς τῆν ΘΒ, Καὶ ἐπεὶ ἰση ἐστὶν ἢ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΗΒ. ἢ δὲ ὑπὸ ΔΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΗΘ᾽ ὁλὴ ἄρῷ ἢ ὑπὸ ΓΖῈ ολῇ τὴ ὑπὸ ΑΗΘ ἐστὶν ἴση. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἢ ὑπὸ ΓΔῈ τῇ ὑπὸ ΑΒΘ ἐστὶν ἰσῆ. ἔστι δὲ καὶ ἢ μὲν πρὸς τῷ Τ τῇ πρὸς τῷ Α ἰση. ἥ δὲ πρὸς Τῷ Ἑ τῇ πρὸς τῷ Θʼ ἐσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ τῷ ΤΕῈ. καὶ τὰς πέρι τὰς ἰσᾶας γώνίας αὐυτῷῳ πλευβὰς ἀνάλογον ἔχει" ὁμοιον ἀρα ἐστὶ τὸ ΑΘ εὐθύγραμμον τῷ ΤῈ εὐθυγράμμῳ. |
ZU ad HA et TA ad AB. Rursus, constituatur ad BH rectam et ad puncta in eà B, H ipsi quidem AZE angulo equalis BHO, ipsi vero ZAE æqualis HB9 ; reliquus igitur ad E reliquo ad O est xqualis ; equiangulum igitur est ZAE triangulum 1psi HBO triangulo : proportionaliter igilur est ut AZ ad HB ita ZE ad HO, et EA ad OB. Ostensum est autem et ut ZA ad HB et ita ZP ad HA et A ad AB ; et ut igitur Zr ad AH ita cet TA ad AB et ZE ad HO, et adhuc EA ad OB. Et quoniam qualis est 1pse qui- dem LZA angulus ipsi AHB, ipse vero AZE lpsi BHO ; totus igitur lʼZE toti AHO est z- qualis. Propter eadem utique et lʼAE ipsi ABO cst : qualis, estautem et ipse quidem ad r ipsi ad A zqualis, ipse vcro ad E ipsi ad 6 ; wvquiangulum igitur est AO ipsi TE, et circa zquales angulos cum ipso latera proportionalia habet ; simile igitur. est AO rectilineum ipsi ΓE rectilineo.
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Απὸ τῆς δοβείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ δὲὸ- θέντι ευθυγμμμῳ ΤΕ ὁμοιόν τε καὶ ὁμοίως κεί- μένον εὐθύγραμμον ἀναγέγραπται τὸ ΑΘ. Οπερ ἐδει ποιῆσαι. |
A daià igitur reclà AB dato rectilineo Tt simileque et similter positum recülineum descriptum est AO. Quod oportebat facere, |
Sur une droite donnée, décrire une figure rectiligne semblable à une figure rectiligne, et semblablement placée.
Soit AB la droite donnée, et TE la figure rectiligne donnée ; il faut sur la droite 4B décrire une figure rectiligne semblable à la figure rectiligne TE, et semblablement placée.
Joignons az, et sur la droite AB et aux points A, B de cette droite, faisons lʼangle HAB égal à l’angle en r, et l’angle ABH égal à l’angle raz (25. 1) ; l’angle restant TZA sera égal à l’angle restant AHB (32. 1) ; donc les triangles Zr4, HAB sont équiangles ; donc ZA. est à HB comme ZT est à HA, et comme ΓΔ est à AB (4. 6). De plus, construisons sur la droite BH, et aux points B, H de cette droite, l’angle BHΘ égal à l’angle AZE, et l’angle HB® égal à lʼangle ZAE ; l’angle restant en E sera égal à l’angle restant en Θ ; donc les triangles ZAE, HBΘ sont équiangles ; donc AZ est à HB comme ZE est à HΘ, et comme EA est à ΘB (4. 6). Mais on a démontré que ZA est à HB comme ZT est à HA, et comme TA est à AB ; donc Zr est à AH comme TA est à AB, comme ZE est à HΘ, et comme EA est à ΘB (11. 5). Mais lʼangle TZA est égal à lʼangle AHB, et l’angle AZE égal à lʼangle 8HΘ ; donc lʼangle entier TZE est égal à l’angle entier AHΘ. Par la même raison, l’angle TAE est égal à l’angle AB, l’angle en r égal à l’angle en 4, et l’angle en E égal à l’angle en Θ ; donc les figures 46, TE sont équiangles, et elles ont les côtés autour des angles égaux proportionnels entr’eux ; donc les deux figures 4Θ, TE sont semblables (déf. 1. 6). Donc, sur la droite donnée 4B, on a décrit la figure rectiligne 46 semblable à la figure rectiligne donnée TE, et semblablement placée. Ce quʼil fallait faire,