Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 17
C. F. Patris, (1, p. 376-377).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιζʹ. | PROPOSITIO XVII. |
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Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσι. Τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχύμενον ὀρθογώνιον ἰσὸν ἐστὶ τῷ ἀππὸ τὴς μέσης τετραγωτῳ ! κἄνʼ τὸ ὑπὸ τῶν ὡκρὼν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἰσον ἡ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγωνῳ. αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ἐσονται- |
Si tres recte proportionales sint, sub « . iremis contentum rectangulum æquale est ipsi ex medià quadrato ; et si sub extremis Con. tentum rectangulum aequale sit ipsi ex medii quadrato, tres rectæ proportionales erunt, |
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Ἑστωσαν τρεῖς εὐθεῖία ! ἀγάλογον αἱ Α, Β, Γ, ως ἠΑ σρὸς τῆν Β ουτῶς ἡ Β προς τὴν Τ λεέγω ὁτʼ τὸ ὑπὸ τῶν Α-. Τ πῄχομενον ορθογωνιον σον ᾿στὶ τῷ απο" τῆς Β τετραγῶνῷ. |
Sint tres rectæ proportionales A, B, T, wt 4A ad B ita B ad T ; dico sub A, Tʼ contentum rectangulum æquale esse ipsi ex B quadrato, |
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Κείσθω τῇ Β ἰσὴ ἢ Δ. |
Ponatur ipsi B æqualis A. |
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Καὶ ςπεῖ ἐστίιν ωὡς ἨΑ σρὸς τὴν Β ουτῶς ἢ] Β πρὸς τὴν Τ. ἰσὴ δὲ ἡ Β τῇ Δʼ ἔστιν ἀρά ὡς 5. Α πρὸς τῆν Β ουὐτως" ἡ Δ πρὸς τὴν Τ, Ἐαν δὲ τέσσαρες εὐθεῖαι αναλογον ὧσι) τὸ ὑπὸ τῶν ἄβρῶὼν |
Et quoniaia est ut A ad B ita Bad Tʼ, sequalis autem B ipsi 4A ; cst igitur ut A ad B ita A ad T. B1 autem quatuor recte proportionales siit, sub extremis contentum rectangulum æquale
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περιεχόμενον ὀρθογῶνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ" τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α. 1 ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β. Δ. Αλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν Β. Δ τὸ ἀπὸ τῆς Β ἐστὶ) νῆ, ἰσὴ γὰρ ἡ Β τῇ Δʼ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Τ περιεχόύμενον ὀρθογῶ- γιον ἰσὸν ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β τετραγῶνῳ. Αλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν Α. Τ ἴσον ἔστω τῷ ἀπὸ τῆς Β᾽ λέγω ὁτι ἐστὶν ὡς ἢ Α πρὸς τῆν Β οὕτως ἢ Β σρὸς ΤΉΡ Τ. |
est ipsi sub mediis contento rectangulo ; ip- sum igitur sub : A, T æquale est ipsi sub Be A. Sed ipsum sub B, A Ipsum ex B est, z- qualis enim. B ipsi A ; ipsum igitur sub A, T contentum rectangulum æquale est ipsi ex B quadrato. Sed et ipsum sub A, Tʼ aequale sit ipsi ex B ; dico esse ut A ad B ita B ad r. |
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Τὼν γαρ αυτῶν πατοισκευασθεντων, εσει ! τὸ ὑπὸ τῶν Α-. Τ ἰσὸν ἐστίὶ τῷ απὸ τῆς Β. αλλα ποαποὸ τῆς Β τὸ υπὸ τῶν Β. Δ εττιν5, [σ γὰρ Β τῇ Δʼ τὸ ἄρὰ υπὸ τῶν Α-. Τʼ ἰσὸν ἐστιʼὶ τῷ ὑπὸ Β. Δ. Ἐάν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἰσὼν ἢ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων. αἱ τέσσαρες εὐθείαι ἀναλογὸν εἰσιν" ἐστιν ἀρᾶ ὡς ἢ Α πρὸς τῆὴν Β οὕτῶς ἢ Δ πρὸς τὴν Τ᾿ Ἰσὴ δὲ ἢ Β τῇ Δʼ ὡς ἀρα " : Α πρὸς τὴν Β οοτως ἢ Β πρὸς Τῆν Γ, ΕἘὰν ἆροι τρεις5 και τὰ ἐξῆς. |
lisdem cnim constructis, quoniam ipsum sub A, P xzquale est Ipsi ex B, scd ipsum ex B ipsum sub B, A est, mqualis enim B ipsi A ; Ipsum ! gitur sub A, P zquale est Ipsi sub B, A. S1autem ipsum sab extremis zquale cst ipsi sub mediis, quatuor rectz proportionales sunt ; est igitur ut A ad B ita A ad Tr. /Équalis au- tem B ipsi A ; ut igitur A ad B ita B ad Tr. si igitur tres, etc. |
Si trois droites sont proportionnelles, le rectangle compris sous les extrêmes est égal au quarré de la moyenne ; et si le rectangle compris sous les extrêmes est égal au quarré de la moyenne, ces trois droites seront proportionnelles.
Soient A, B, T trois droites proportionnelles, de manière que A soit à B comme B est à T ; je dis que le rectangle compris sous A, T est égal au quarré de B,
Faisons Δ égal à B.
Puisque A est à B comme B est à T, et que B égal à A, A est à B comme Δ est à r. Mais si quatre droites sont proportionnelles, le rectangle compris sous les extrêmes est égal au rectangle compris sous les moyennes (16. 6) ; donc le rectangle sous A, T est égal au rectangle sous B, 4. Mais le rectangle Sous B, À est égal au quarré de B, car B est égal à 4 ; donc le rectangle Compris sous A, T est égal au quarré de B.
Mais que le rectangle sous 4, T soit égal au quarré de B ; je dis que A est à B comme B est à I.
Faisons la même construction. Puisque le rectangle sous A, T est égal au quarré de B, et que le quarré de B est le rectangle sous B, A, car B est égal à A, le rectangle sous A, T est égal au rectangle sous les droites B, A. Mais si le rectangle compris sous les extrêmes est égal au rectangle compris sous les moyennes, les quatre droites sont proportionnelles (16. 6) ; donc 4 est à B Comme Δ est à Γ. Mais B est égal à A ; donc A est à B comme B est à Γ. Donc, etc.