Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 16
C. F. Patris, (1, p. 373-376).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιϛʹ. | PROPOSITIO XVI. |
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Ἐαὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὧσι, τὸ ὑπὸ τῶν ἀκρὼν περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσὸν ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων ποριεχομένῳ ἐρθογωνίῳ" πᾷν ! |
Si quatuor rectæ proportionales sint, sub extremis contentum rectangulum dquale est ipsi sub mediis contento rectangulo ; et si sub
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τὸ υὑη᾽οηο τῶν ἀκρὼν περιεχομένον ορϑογῶνιον σὸν ἢ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων περιεχοίμένῳ ὀρθογωνίῳ. αἱ τέσσαρ : ς εὐθεαἱ ἀγάλογον ἐσόγται. |
extremis contentum rectangulum eequale est ipsi sub extremis contento rectangulo, quatuor reci ? proportionales erunt. |
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Ετστωσὰν αἱ τεῖσαρες ευθεῖα, ἀγάλογον αἱ ΑΒ 9 ΓΤΔ. Ε. Ζ2᾽ὡς ἢἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ οὕτως ἡ Ἑ πρὸς τὴν Ζ λέγω ὁΤ΄ τὸ υὑπὸ τῶν ΑΒ. 2 περιεχοβενον οΡθογωνιον ἰσὸν ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΤΔ : . Ε περέχο- μένῳ ὀρθογωνίῳ. |
Sint quatuor recie proportionales AB, TA, E, Z, ut AB ad lʼA ita E ad Z ; dico sub AB, Z contentum rectangulum æquale esse ipsi sub LʼA, E contento rectangulo. |
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Ἤχθωσαν γὰρ" ἀπὸ τῆς Α, Τ σημείων ταῖς ΑΒ. ΤΔ εὐθείαις πρὸς ὗρθοἶς αἱ ΑΗ. - ΤΘ. καὶ κείσθω τῇ μὲν Ζ ἰσὴ ἡ ΑΗ, τῇ δὲ Ἑ ἴση ἡ ΤΘ. καὶ συμ- πεπληρώσθωσαν τά ΒΗ, ΔΘ παραλληλόγραμμα. |
Ducantur enim ab ipsis A, T punctis ipsi ; AB, TʼA recüs ad recios ipse AH, T6, et ponatur ipsi quidem Z equalis AH, ipsi vero E equalis TO, et compleantur BH, AO parallelogramma. |
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Καὶ ἐπεί ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ ʼπρὃς τὴν ΤΔ οὕτως Ε ʼπρἆς τὴν Ζ. ἰση) δὲ ἡ μὲέν Ε τῇ ΤΘ, . ἡ δὲ Ζ τῇ ΑΗ᾿ ἐστιν ο’ι’ρα, ὡς ἡ ΑΒ ʼπρὃς τὴν ΤΔ οὕτως ἡ ΤΘ “πρὸς τὴν ΑΗ᾿ τῶν ΒΗ. ΔΘ ο’ἔρα παρ- αλληλογράμμωνή ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ. |
Et quoniam est ut AB ad LA 1ta E ad Z, equalis autem E quidem ipsi DIO, ipsa vero Z ipsi AH ; est igitur ut AB ad TA ita TO ad AH ; ipsorum BH, AO igitur parallelogrammo- rum reciproca sunt latera, circa equales an-
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αἷδ περὶ τὰς ἔσας γωνίας. Ὧν δὲ ἰσογωνίων παρ- αλληλοηράμμων ἀντιπενπόνθασιν αἱ ππλευρα) . αἱ περὶ τὰς ἰσὰς γωνίας. » Ισὰ ἐστὶν ἐκεινα" σὸν ἄροι ἐστὶ τὸ ΒΗ παραλλκλογρ : ιμμον τ ΔΘ παραλλπ- λογρίμμῳ. Καὶ ἐστι τὸ μὲν ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ. Ζ. ἰσὴ γὰρ ἡ ΑΗ τῇ Ζ τὸ δὲ ΔΘ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ. Ες Ισὴ γὰρ ἡ ΤΘ τῇ Ἐδ- τὸ αρα ὑπὸ τῶν ΑΒ. Ζ2 περιεχοόμενον ο{ ; θογωνιον ἐσὸν ἐστ ! τῷ ὑὕπὸ τῶν ΓΤΔ. Ε περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. |
gulos. Quorum autem equiangulorum parallelo- grammorum reciproca sunt latera circa equales angulos, aequalia sunt ila ; æquale igitur est BH parallelogrammum Ipsi AG parallelogzrammo. Et est BH quidem sub AB, Z, equals cnim AH ipsi Z ; ipsum vero AO Ipsum sub TʼA, E, equalis enim TO ipsi E ; ipsum igitur sub AB, Z contentum rectangulum æquale est Ipsi sub lʼA, E contento rectangulo. |
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Αλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ ΑΒ. Ζ περιεχόμενον ὀρδογω-- γιὺν ἰσὸν ἐστῶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΤΔ. Ε περιέχομενῳ ορθγωνιῳʼ λέγω οτι αἱ τέσσαρες εὐθεία, ἀνάλογον εσοντα ! . ὡς ἢἡ ΑΒ πρὺς τὴν ΓΔ ουὕτῶς Ε σρος. . τήὴν Ζ. |
Sed utique ipsum sub AB, Z contentum rectangulum zquale sif ipsi sub TA, E con- tento rectangulo ; dico quatuor rectas propor- tionales fore, ut AB ad TʼA ita E ad Z. |
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Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθεντων. , ἐπεὶ͵ τὸ υπὸ τῶν ΑΒ. Ζ ἐσον εσ’τῳ ὑπσὸ τῶν ΤΔ-. Ἐ, καὶ ἐστιί τὸ μὲν υπῷ τῶν ΑΒ-. 2 τὸ ΒΗ. Ισὴ γαρ ἐστὶν ἡ ΑἩ τῇ 2" τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ. Ε τὸ ΔΘ. ΙσῚ γῦρ ἡ ΤΘ τῇ Ε" τὸ ἀρα ΒῊ ἰσὸν ἐστιί τῷ ΔΘ9" καὶ ἐστινὶ ἰσογῶνια. Ἰῶν δὲ ἴσων καὶ ἰσο- γωνίῶν σσαραλληλογραμμῶν ἀντιπεπονθασιν αἱ πλευραϊ, αἱ περὶ τὰς ʼσας γωνίας" ἐστιν εἰρα |
lsdem enim constructis, quoniam ipsum sub AB, Z aqual&West ipsi sub TA, E, et est ipsum quidem sub AB, Z Ipsum BH, zqualis enim AH Ipsi Z5 Ipsum vero sub TA, E Ip- sum AO, equalis enim TʼO ipsi E ; lpsum igi- iur BH zquale est ipsi A9 ; et sunt xquian- gula, /Equalium autem et cquiangulorum pa- rallelogrammorum reciproca sunt latera, circa
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ὡς ἡ ΑΒ ʼπρὄς τὴν ΓΔ οὕτως ἡ ΤΘ ’πρὃς τὴν ΑΗ" ἤση δὲ ἡ μὲν ΤΘ τῇ Ἐ, ἡ δὲ ΑΗ τῇ Ζ" ἔστιν ἄρα ἐῤς ; ΑΒ πρἓς τΤ ΤΔ ουτῶς Ε σρὸς τὖν Ζ. Ἐὰν ἀρῷ τεσσαρες. καὶ τὰ εξῆς. |
aequales angulos ; est igitur ut AB ad rA ita T9 ad AH. Æqualis autem T9 quidem ipsi E, psa vcro AH ipsi Z ; est igitur ut AB ad ra ita E ad Z. Si igitur quatuor, etc. |
Si quatre droites sont proportionnelles, le rectangle compris sous les deux extrêmes est égal au rectangle compris sous les moyennes ; et si le rectangle compris sous les extrêmes et égal au rectangle compris sous les moyennes, ces quatre droites sont proportionnelles.
Soient AB, TA, E, Z quatre droites proportionnelles, de manière que 48 soit à rA comme E est à Z ; je dis que le rectangle compris sous AB, Z est égal au rectangle compris sous TA, E.
Des points A, r, et sur les droites AB, TA, menons les perpendiculaires 4H, TΘ (11. 1) ; faisons AH égal à Z, et rΘ égal à E ; et achevons les parallélogrammes BH, AO.
Puisque AB est à TA comme E est à Z, et que E est égal à r®, et Z égal à AH, AB est à TA comme ΓΘ est à AH (7. 5) ; donc les côtés des parallélogrammes BH, 40, placés autour des angles égaux, sont réciproquement proportionnels, Mais lorsque les côtés des parallélogrammes équiangles, placés
autour des angles égaux, sont réciproquement proportionnels, ces parallélogrammes sont égaux (14. 6) ; donc le parallélogramme BH est égal au parallélogramme 40. Mais le parallélogramme BH est sous AB, Z, car AH est égal à Z ; et le parallélogramme 46 est sous TA, E, car rΘ est égal à E ; donc le rectangle compris sous AB, Z est égal au rectangle compris sous rA, E.
Mais que le rectangle compris sous AB, Z soit égal au rectangle compris sous les droites rA, E ; je dis que ces quatre droites sont proportionnelles, c’est-. a-dire que AB est à TA comme E est à Z.
Faisons la même construction. Puisque le rectangle sous AB, Z est égal au rectangle sous rA, E, que le rectangle BH est sous AB, Z, car AH est égal à Z, et que le rectangle AG est sous rA, E, car TΘ est égal à E ; donc BH est égal à AΘ ; et ils sont équiangles. Mais les côtés des parallélogrammes égaux et équiangles, placés autour des angles sont égaux, sont réciproquement proportionnels (14. 6) ; donc AB est à TA comme rΘ est à AH ; mais TΘ est égal à E, et AH à Z ; donc AB est à TA comme E est à Z. Donc, etc.