Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 15
C. F. Patris, (1, p. 371-373).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιέ. | PROPOSITIO XV. |
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Ἰῶν ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἰσὴν ἐχόντων γῶνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ. αἱ περὶ τὰς ἴσὰς γωνίας" καὶ ὧν. μίαν μιᾷ ἰσὴν ἐχόντων γωγίαν τριγώνωνʼ. αντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ, αἱ περὶ τας ἰσᾶς γῶνίας, ἰσᾶ ἐστιν ἐχἐινα. |
Æqualium et unum uni qualem habentium angulum triangulorum reciproca sunt latera, circa equales angulos ; et quorum, unum uni vequalem habentium angulum triangulorum, reciproca sunt latera circa : squales angulos, æqualia sunt illa.
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Ἔστω ἰσὰα τρίγωνω τὰ ΑΒΓ, ΑΔΕ ; μιᾶν μιῷᾷ ἰσήὴν ἐχόντα γῶωνέαν τήν ὑπὸ ΒΑΙ τῇ υὑπὸ ΔΛΕ᾿ λέγω ὅτι τῶν ΑΒΓ. ΑΔῈΕ τριγώνων ἀντηπέπονθα - ἐστιν ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΤΑ πρὸς τὴν ΑΔ οὕτως ἢ ἝΑ πρὸς τὴν ΑΒ. |
Sint equalia triangula ABI, AAE, unm uni zqualem habentia angulum 2AT ipsi AAE ; dico ABP, AAE triangulorum reciproca eg latera, circa squales angulos, hoc est esse üt TA ad AA ita EA ad AB. |
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Κείσθω γὰρ ὥστε ἐπ εὐθείας εἰναι τὴν ΤΑ τῇ ΑΔʼ ἐπσὶ εὐθείας ἀρα ἐστὶ καὶ ἡ ἘΑ τῇ ΑΒ. Και ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ. |
Ponantur enim ita ut in directum sit rA Ipsi AΔ ; in directum igitur est et EA Ipsi AB Et jungatur BA. |
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Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωγον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ, ἄλλο δὲ τὸ ΑΒΔ᾿ ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΤΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρήγωνον οὕτως τὸ ΑΔῈ τρήγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ ’τρι’γωνσʼνΒ. Αλλ ὡς μὲν τὸ ΤΑΒ ’πρὄς τὸ ΒΑΔ οὕτως ἡ ΓΑ ʼπρὃς τὴν ΑΔ, ὡς δὲ τὸ ἙΑΔΊ πρὸς τὸ ΒΑΔ οὕτως ἤ ΒΑ ͵πρὃι ; τὴν ΑΒʼ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΤΑ πρὸς τὴν ΑΔ οὕτως ἥ ἘΑ πρὸς τὴν ΑΒʼ τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ ἄρα τριγώνων" ἀντι- πεπόνθασιν αἱ πλευραὶ. αἱ περὶ τας ἰσὰς γων ! ῶς, |
Et quoniam aquale est ABT triangulum ps AAE triangulo, aliud autem ABA ; est igitur ut TAB triangulum ad BAA triangulum ita AAE triangulum ad BAA triangulum. Sed ut lʼAB qui- dem ad BAÁ ita TA ad AA, ut EAA vero ad BAA ita EA ad AB ; et ut igitur A ad AA ita EA ad AB ; ipsorum ABT, AAE igitur triangulorum reciproca sunt latera circa equales angulos. |
|- | style="width:50%; vertical-align:top;" | Αλλα δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ πλευραὶ τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ τριγὧνων, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΤΑ ’πρἓς τῆν ΑΔ οὕτως ἡ ἙΑ πρὄς τὴν ΑΒ’ λέγω ὁτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρέγωνον τῷ ΑΔῈ τριγώνῳ. | style="width:50%; vertical-align:top;" | Sed utique reciproca sint latera igsorum ABD, AAE triangulorum, et sit ut A ad AA ita EA ad AB ; dico wquale esse ABT triangulum Ipsi AAE triangulo. |- | style="width:50%; vertical-align:top;" | Ἐπιζευχθείσης γὰρ πάλιν τῆς ΒΔ, ἐπεί ἐστιν ὡς ἅ ΤΑ ’πρὃς τὴν ΑΔ οὕτως ἡ ἙἘΑ ΄πρ. ὄς τὴν ΑΒ, ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ ΤΑ πρὸς τὴν ΑΔ οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρήγωνον, ὡς δὲ ἡ ἙΑ πρὸς τὴν ΑΒ οὕτως τὸ ἘΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον" ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ οὕτως τὸ ἘΑΔ τρίγωνον πρὸς Τὸ ΒΑΔʼ ἑκώτερον ἄρα τῶν ΑΒΓ, ΑΔῈ πρὺς τὸ ΒΑΔ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον" ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ἘΑΔ τρίγώνῳ. Ἰὼν αρὰ ΙΤῶν5 καὶ τὰ εξ’η ς. | style="width:50%; vertical-align:top;" | Junctá enim rursus BA, quoniam est ut lʼA ad A4 ita EA ad AB, sed ut A quidem ad AA ita ABI triangulum ad BAA irnangulum, ut EA vero ad AB ita EAA triangulum ad BAA trian- gulum ; ut igilur ABT triangulum ad BAA ita EAA triangulum ad BAA ; utrumque igitur ip- sorum ABI, AAE ad BAA eamdem habct ra- tionem ; zxquale igitur est ABT iriangulum ipsi EAA triangulo. Æqualium igitur, etc. |}
Si deux triangles égaux ont un angle égal à un angle, les côtés autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels ; et si deux triangles ont un angle égal à un angle, et si les côtés autour de ces angles égaux sont réciproquement proportionnels, ces deux triangles sont égaux. Soient les triangles égaux ABT, AAE, ayant un angle égal à un angle, lʼangle BAT égal à l’angle AAE ; je dis que les côtés des triangles ABT, AAE, qui sont autour des angles égaux, sont réciproquement proportionnels, c’est-à-dire que ra est à AA comme EA est à AB.
Plaçons ces triangles de manière que rA soit dans la direction de AΔ ; la droite EA sera dans la direction de AB (14. 1). Joignons BA.
Puisque le triangle ABr est égal au triangle AAE, et que ABA est un autre triangle, le triangle TAB est au triangle BAA comme le triangle AAE est au triangle BAA (7. 5) . Mais le triangle rAB est au triangle BÂA comme rA est à AA (1. 6), et le triangle EAA est au triangle BAA comme FA est à 4B ; donc rA est à 44 comme EA est à AB (11. BR) ; donc les côtés des triangles ABT, AAE, qui sont autour des angles égaux, sont réciproquement proportionnels. Mais que les côtés des triangles ABΓ, AΔE soient réciproquement proportionnels, c’est-à-dire que ΓA soit à AΔ comme EA est à AB ; Je dis que le triangle ABΓ est égal au triangle AΔE.
Joignons encore BΔ. Puisque ΓA est à AΔ comme EA est à AB, que ΓA est à AΔ comme le triangle ABΓ est au triangle BAΔ (1. 6) , et que EA est à AB comme le triangle EAΔ est au triangle BAΔ, le triangle ABΓ est au triangle BAΔ comme le triangle EAΔ est au triangle BAΔ (11. 5) ; donc chacun des triangles ABΓ, AΔE a la même raison avec le triangle BAΔ ; donc le triangle ABΓ est égal au triangle EAΔ (9. 5) . Donc, etc.