Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 8

Euclide

Les Éléments - Livre 5

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 303-306).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ἡ.	PROPOSITIO VIII.
τῶν ἀνίσων μεγεθῶν, τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον" καὶ τὸ ΜΗΒΕΒΝΝ ᾿ ἌἬΞἭἩ᾿ΆᾺ. αὐτὸ πρὸς τὸ ἔλαττον μείζονα λόγον ἔχε; ἥπερ πρὸς τὸ με	Inæqualium magnitudinum, major ad eamdem. majorem rationem habet quam minor; et ea- dem ad minorem majorem rationcm habet quam ad majorem.
Ἑστω ἄνισα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ, καὶ ἔστω μεῖς ὧον τὸ ΑΒ'., ἄλλο δὲ ὃ ἔτυχε τὸ Δ’ λέγω ὅτι τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Τ' πρὸς τὸ Δ. καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Τ' μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ΑΒ,	Sint inæquales magnitudines AB, T', et sit major AB, alia vero utcunque A; dico AB ad A majorem rationem habere quam T ad A , et A ad T majorem rationem habere quam ad AB,

Ἐπεὶ γὰρ μείζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Τ', κείσθω τῷ Τ ἴσον τὸ ΒΕ, τὸ δὰ ἔλασσον τῶν ΔῈ. ΕΒ πολ- λαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον. Ἑστω πρότερον τὸ ΑΕ ἔλαττον τοῦ ἘΒ,, καὶ πεπολλα- πλασιάσθω τὸ ΑΕ, καὶ ἔστω" αὐτοῦ πολλαπλάσιον	Quoniam enim major est AB ipsá P, pona- tur ipsi P equalis BE, minor utique ipsarum AE, EB multiplicata, erit aliquando ipsà A major. Sit primum A2 minor ipsiEB, et multiplice- tur AE, et sit ipsius rhulüplex ZH major
τὸ ΤῊ μεῖζον ὃν τοῦ Δ, καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ὯῊ τοῦ ΑΒ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΗΘ τοῦ ΕΒ, τὸ δὲ Κ τοῦ Γ᾽ καὶ εἰλήφθω τοῦ Δ διπλάσιον μὲν τὸ Δ, τριπλάσιον δὲ τὸ Μ,, καὶ ἑξῆς ἱνὶ πλεῖον ἕως οὖδ τὸ λαμέανόμενον πολλαπλάσιον μὲν γένηται τοῦ Δ, πρῶτως δὲ μεῖζον τοῦ κι Εἰλήφθω, καὶ ἔστω τὸ Ν τετραπλά- σιον μὲν τοῦ Δ, πρώτως δὲ μείζον τοῦ Κ.	ipsâ A, et quam multiplex est ZH ipsius AE, tam multiplex fiat et HO quidem ipsius zB, ipsa vero K ipsius T; et sumatur ipsius A dupla quidem ipsa A, tripla vero M, q deinceps unà major quoad sumpta mulliple; quidem fiat ipsius A, primum vero major ipsà K. Sumatur, et sit N quadrupla quidem ipsius A, primum vero major ipsi K,
Ἐπεὴ οὖν τὸ Κ τοῦ Ν᾿ πρώτως ἐστὶν ἔλαττον, τὸ Κ ἄρα τοῦ Μ οὐκ ἔστιν ἔλαττον. Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ 1Η τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ἸῊ τοῦ ΑῈ καὶ τὸ 2Θ τοῦ ΑΒ. Ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ Κ τοῦ Τ. Ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ 2Θ τοῦ ΑΒ, καὶ τὸ Κ τοῦ Γ' τὰ 190, Κ ἄρα τῶν ΑΒ, Γ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια. Πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολ--	Quoniam igitur K ipsà N primum est minor, ipsa K igitur ipsá M non est minor. Et quoniam mque cst multiplex ZH ipsius AE ac HO ip- sius EB, seque igitur est multiplex ZH ipsius AE ac ZO ipsius AB. /Eque autem est multiplex ZH ipsius AE ac K ipsius D; eque igitur est multiplex Zo ipsius AB ac K ipsius T'5 ipse Z0, K igitur ipsarum AB, T' eque sunt multiplices. Rursus, quoniam aque est multiplex Ho ipsius
λαπλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ Κα τοῦ Γ, ἴσον δὲ τὸ ΕΒ τῷ Τ΄ ἴσον ἄρα καὶ τὸ Κ τῷ ΗΘ. Τὸ δὲ Κ τοῦ Μ οὐκ ἔστιν ἔλαττον" οὐδὲ ἄρα τὸ ΗΘ ποῦ Μ ἔλαττόν ἔστι. Μεῖζον δὲ τὸ 1Η τοῦ Δ᾽ ὅλον ἄρα τὸ 19 συναμφοτέρων τῶνδ, Μ μεῖζόν ἐστιν. Αλλὰ συναμφότερα ᾿ τὰ Δι. Μτῷῶν ἰστὶν ἴσα" ἱπειϑήπερ τὸ Μ τοῦ Δ τριπλάσιόν ἐστι. συναμφότερα δὲ τὰ Δ. Μ τοῦ Δ ἐστὶ τετραπλά- σια, ἐστὶ δὲ καὶ τὸ τοῦ Δ τετραπλάσιον" συν- ἀμφότερα ἄρα τὰ Μ, Δ τῷ Ν ἴσα ἐστὶν. Αλλὰ τὸ 1Θ τῶν. Δ, Μ μεῖζον ἐστίνδ'τὸ 2Θ ἄρα τοῦ Ν ὑπερέχει» τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει. Καὶ ἔστι τὰ μὲν 1Θ, Κὶ τῶν 48. Τ ἰσάκις πολλαπλάσια, πὸ δὲ Ν τοῦ Δ ἄλλο ὃ ἔτυχε πολλαπλάσιον" τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ Τ πρὸς τὸ Δ.	EB ac K ipsius T, æqualis autem EB ipsius T; equalis igitur et K ipsi HO. Ipsa vero K ipsá M non est minor; non igitur HO ipsá M minor est. Major autem ZH ipsá A; tota igitur Ze utrisque simul A, M major est. Sed utraeque simul A, M ipsi N sunt equales, quandoqui- dem M ipsius A est tripla, ulreque autem simul ^, M ipsius A sunt quadruple, est vero et N ipsius A quadrupla, utrzque simul igituf M, A ipsi N zquales suni, Sed Zo ipsis A, M major est; ZO igitur ipsam M superat. K vero ipsam N non superat. Et sunt ipse qui- dem2Ze, K ipsarum AB, l'eque multiplices, ipsa yero N ipsius A alia utcunque multiplex ; AB igi- tur ad A majorem rationem habet quam T ad A.
Λέγω δὴ ὅτι καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Τ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ.	Dico autem et A ad T majorem rationem habere, quam A ad AB.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ὁμοίως δείξομεν, ὅτι τὸ μὲν Ν᾿ τοῦ Κ ὑπερέχει, τὸ δὲ Ν τοῦ 268 οὐχ ὑπερέχει. Καὶ ἔστι τὸ μὲν Ν τοῦ Δ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ 1Θ, Κ τῶν ΑΒ,Τ ἄλλα ἃ ἔτυχεν Ἰσάκις πολλαπλάσια" τὸ Δ ἄρα πρὲς τὸ Τ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ ΑΒ.	lisdem enim constructis, similiter ostende- mus, N quidem ipsam K superare, N vero ip- sam ZO non superare. Et est N quidem ipsius A multiplex, et ipse Z6, K ipsarum AB, T alie uicunque sque multiplices; A igitur ad P majorem rationem habct quam A ad AB,
Αλλὰ δὴ τὸ ΔῈ τοῦ ΕΒ μεῖζον ἔστω7" τὸ δὴ ἔλαττον τὸ ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ δμεῖζον. πεπολλασλασιάσθω, καὶ ἔστω τὸ ΗΘ πολλαπλάσιον μὲν τοῦ ἘΒ, μεῖζον δὲ τοῦ Δ' καὶ ὁσαπλάτσιόν ἔστι τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ, τοσαυτα- πλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΖΗ τοῦ ΑΕ, τὸ δὲ Κ τοῦ Γ. Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι τὰ 1Θ, Κὶ τῶν ΑΒ, ΓΤ ἰσώκις ἰστὶ πολλαπλάσια. Καὶ εἰλήφθω ὁμοίως τὸ Ν πολλαπλάσιον μὲν τοῦ Δ, πρώτως	Sed et AEipsà EB major sit ; minor EB utique multiplicata, erit aliquando ipsá A major. Multi. plicetur, etsit HO multiplex quidem ipsius xs, major vero ipsé A; et quam mulüplex e HO ipsius EB, tam multiplex fiat et ZH quidem ipsius AE, ipsa vero K ipsiusT. Similiter utique ostendemus ipsas ZO, K ipsarum AB, T qu, esse multiplices. Etsumatur similiter N multiplex quidem ipsius A, primum vero major ipsá zu;

δὲ μεῖζον τοῦ 1" ὥστε πάλιν τὸ ΖΗ τοῦ Μ μὸ ἔλασσον εἶναιδ, μεῖζον δὲ τὸ ἨΘ τοῦ Δ’ ὅλον ἄρα τὸ 1Θ τῶν Δ, Μ τουτέστι τοῦ Ν ὑπερέχει, τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει, ἐπειδήπερ καὶ τὸ 2Ὴ μεῖζον ὃν τοῦ ΗΘ, τουτίστι τὸ Κ, τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει. Καὶ ὠσαύτωςϑ κατακολουθοῦντες τοῖς ἐπάνω περαίνομιν τὸν ἀπόδειξιν, Τῶν ἄρα ἀνίσων, καὶ τὰ ἑξῆς.

quare rursus ZH ipsá M non minor eril, major autem HO ipsá A; tota igitur ZO ipsas A, M, hoc est N superat, K vero ipsam N non su. perat, quandoquidem et ZH qua major est ipsi HO,hoc est ipsá K, ipsam N non superat, Et similiter subsequentes superiora absolvemus de- monstrationem, Ergo inzqualium, etc.

PROPOSITION VIII.

Deux grandeurs étant inégales, la plus grande a avec une même grandeur une plus grande raison que la plus petite, et une même grandeur a avec la plus petite une plus grande raison qu’avec la plus grande.

Soient les grandeurs inégales AB, r; que AB soit la plus grande, et que 4 soit une autre grandeur quelconque ; je dis que AB a avec A une plus grande raison que r avec A, et que À avec r une plus grande raison qu’avec AB.

Car puisque 48 est plus grand que Tr, faisons BE égal à r; la plus petite des grandeurs AE, EB étant multipliée, deviendra enfin plus grande que 4 (déf. 5.5), Que 48 soit d’abord plus petit que EB; multiplions AE, que son multiple zh soit plus grand que A, et que He soit le même multiple de EB, et k le même multiple de r, que ZH l’est de AE. Prenons la grandeur A double de 2, la grandeur M triple de 4, et ainsi de suite, une fois de plus, jusqu’à ce que le multiple de A deviène pour la première fois plus grand que k. Prenons ce multiple ; que N, quadruple de 4, soit plus grand que K, pour la première fois.

Puisque K est pour la première fois plus petit que N, la grandeur K n’est pas plus petite que M. Mais ZH est le même multiple de AE que H© l'est de EB ; donc zH est le même multiple de AE que Ze l’est de AB(1. 5). Mais zH est le même multiple de AE que k l’est de r; donc ze est le même multiple de 4B que x l’est de r ; donc Z®, K sont des équimultiples de 48 et de r. De plus, puisque ho est le même multiple de EB que k l’est der, et que EB est égal ar, H© est égal à K. Mais K n’est pas plus petit que M; donc He n’est pas plus petit que M. Mais ZH est plus grand que 4 ; donc la grandeur entière ze est plus grande que A et M pris ensemble. Mais A, M pris ensemble sont égaux à N, puisque M est triple de 4, que 4, M pris ensemble sont quadruples de 4, et que N est quadruple de 4, les grandeurs M, 4 prises ensemble sont égales à N. Mais Z® est plus grand que A, M; donc 79 surpasse N. Mais K ne surpasse pas N, et Z®, K sont des équimultiples de 48 et de T, et N est un autre multiple quelconque de 4 ; donc AB a une plus grande raison avec A, que r avec A (déf. 8. 5).

Je dis de plus que à a une plus grande raison avec T que 4 avec 4B.

Ayant fait la même construction, nous démontrerons semblablement que N surpasse K, et que N ne surpasse pas Z@. Mais N est un multiple de 4, et Z6, K sont d’autres équimultiples quelconques de 4B et de r ; donc 4 a une plus grande raison avec r que A avec AB (déf, 8. 5). Mais que AE soit plus grand que E8 ; la plus petite grandeur EB étant multipliée deviendra enfin plus grande que 4 (déf. 5. 5). Qu’elle soit multipliée, et que He soit un multiple de EB plus grand que A, et que ZH soit le même multiple de AE, et Kk de r, que H@ l’est de EB8. Nous démontrerons semblablement que Z6,K sont des équimultiples de 4B et de r. Prenons semblablement un multiple N de 4 qui soit plus grand pour Ja première fois que ZH; ZH ne sera pas plus petit que M. Mais H@ est plus grand que 4; donc la grandeur entière Z© surpasse A, M pris ensemble, c’est-à-dire N. Mais ne surpasse pas N , parce que ZH étant plus grand que H@ , c’est-à-dire que K, ne surpasse pas N. Et conformément a ce qui a été dit auparavant, nous achèverons la démonstration. Donc, etc.