Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 7

Euclide

Les Éléments - Livre 5

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 301-302).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ζʹ.	PROPOSITIO VII.
Τὰ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὰ ἴσα.	Æquales ad eamdem eamdem habent ra- tionem, et eadem ad equales.
Ἑστω͵ ἴσα μεγέθη τὰ Α, Β, ἄλλο δέ τιῖ ὃ ἔτυχε μέγεθος τὸ Γ' λέγω ὅτι ἑκάτερον τῶν Α,, Β πρὸς τὸ Τὶ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, καὶ τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α., Β.	Sint æquales magnitudines A, B , alia autem. quelibet magnitudo T'; dico utramque ipsarum A, B ad T habere eamdem rationem, et r' ad utramque ipsarum A, B.
Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν" Α, Β ἰσάκις πολλα- πλάσια τὰ Δ, Ἑ, τοῦ δὲ Τ᾿ ἄλλο ὃ ἔτυχε πολ- λαπλάσιον τὸ Z.	Sumantur enim ipsarum A, 3 quidem zque multiplices A, E, ipsius vero T alia utcunque multiplex Z.

Ἐπεὶ οὖν ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Δ τοῦ Α καὶ τὸ Ε τοῦ Β, ἴσον δὲ τὸ Α τῷ Β' ἴσον ἄρα καὶ τὸ Δ τῷ Ε-. Αλλο δὲ ὃ ἔτυχε τὸ 2 τοῦ Γ πολλαπλάσιονϑ" εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Δ τοῦ 2, ὑπερέχει καὶ τὸ Ἐ τοῦ Ζ" καὶ εἰ ἔσον, ἔσον"	Quoniam igitur zque est multiplex A ipsius A ac E ipsius B, æqualis autem A ipsi B; a- qualis igitur ct A ipsi E. Alia vero Z ipsius utcunque multiplex; si igitur superat A ipsam Z, superat ct E ipsam Z; et si equalis , equa-
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ὁμοίως δὴδ δλίξομεν ὅ ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Δ τῷ Ἐ’ ἄλλο δὲ τι τὸ Z εἰ ἄρα ὑπερέχει, τὸ 2 τοῦ Δ, ὑπερέχει τὸ 27 καὶ τοῦ Ἐ" καὶ εἰ ἴσον, ἴσον" καὶ εἰ ἔλαττον, ἴλαττον. Καὶ ἐστὶ τὸ μὲν 2 τοῦ Τ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ Δ, Ε τῶν Α΄, Β ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια" ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Τ πρὸς τὸ Α, οὕτως τὸ Τ πρὸς τὸ Β. Τὰ ἴτα ἄρα, καὶ τὰ ἑξῆρδ,	lisdem enim constructis, similiter utique os- tendemus zqualem esse A ipsi E; alia vero quzdam Z; si igitur superat Z-ipsam A, s- perat Z et ipsam E; et si zqualis, equalis; et si minor, minor. Et est Z quidem ipsius T mul tiplex ; ipse autem, E ipsarum A, B alig ut. cunque eque multiplices; est igitur ut T ad A, ita T ad B. Æquales igitur, etc.

PROPOSITION VII.

Des grandeurs égales ont la même raison avec une même grandeur, et une même grandeur a la même raison avec des grandeurs égales.

Soient les grandeurs égales A, B, et Γ une autre grandeur quelconque ; je dis que chacune des grandeurs A, B a la même raison avec Γ, et que Γ a la même raison avec chacune des grandeurs A, B.

Prenons des équimultiples quelconques 4, E de A et de B, et un autre multiple quelconque Z de r.

Puisque 4 est le même multiple de À que E l'est de B, et que 4 est égal à B, A est égal à E. Mais Z est un autre multiple quelconque de r ; donc, si Δ surpasse Z, E surpasse Z ; si Δ est égal à z, E est égal à Z ; et si A est plus petit que Z, E est plus petit que z. Mais A, E sont des équimultiples quelconques de A et de B, et Z est un autre multiple quelconque de r; donc A est à Γ comme B est à Γ (déf. 6.5).

Je dis aussi que Γ a la même raison avec chacune des grandeurs A, B.

La même construction étant faite, nous démontrerons semblablement que est égal à E; mais Z est un autre multiple quelconque ; donc si Z surpasse A, z sur- passe ; si Z est égal à a, z est égal à E, et si z est plus petit que r, z est plus petit que E. Mais z est un multiple de r, et A, E sont d'autres équimultiples quelconques de 4 et de B ; donc r est à A comme r est à B (déf. 6. 5). Donc, etc.