Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 6
C. F. Patris, (1, p. 299-300).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ς΄. | PROPOSITIO VI. |
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Ἐὰν δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις ἦ πολ- λαπλάσια,, καὶ ἀφαιρεθέντα τίνα τῶν αὐτῶν Ἰσά- κις ἦ πολλαπλάσια" καὶ τὰ λοιπὰ τοῖς αὐτοῖς ἔτοι ἴσα ἐστὶν, ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια. |
Si duæ magnitudines duarum magnitudinum que sint multiplices, et ablate quadam earum- dem eque sint multiplices; et relique iisdem vel equales sunt, vel eque earum multiplices. |
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Δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΤΔ δύο μεγεθῶν τῶν Ἑ, 2 Ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρε- |
Duæ enim magnitudines AB, TA duarum magnitudinum E, Z eque sint multiplices, et |
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θέντα τὰ ΑΗ, ΓΘ τῶν αὐτῶν τῶν Ἑ, 2 ἰσάκις πἥστω πολλαπλάσια" λέγω ὅτι καὶ λοιπὰ τὰ ΗΒ, ΘΔ τοῖς Ε, Ζ ἤτοι ἴσα ἐστὶν, ἢ ἰσάκις αὑτῶν πολλαπλάσια, |
ablate AH, TO earumdem E, Z eque sint multiplices ; dico et reliquas HB, 6A ipsis E, Z vel equales esse, vel eque earum multi plices.
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Ἑστὼ γὰρ πρότερον τὸ ΗΒ τῷ ΒΕ ἴσον" λέγω ὅτι καὶ τὸ ΘΔ τῷ Ζ' ἴσον ἐστί. Κείσθω γὰρ τῷ 2 ἴσον τὸ Τκ. |
Sit enim primum HB.ipsi E equalis; dico et OA ipsi Z qualem esse. Ponator enia ipsi z æqualis FK. |
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Καὶ" ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΗ τοῦ Ἑ καὶ τὸ ΓΘ τοῦ 2, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΗΒ τῷ Ε, τὸ δὲ ΚΓ τῷ 2’ ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλά- σιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΚΘ τοῦ 2. Ισάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε, καὶ |
Et quoniam æque est multiplex AH ipsius acTO ipsius Z, equalis autem H3 quidem ipsi E, ipsa vero KT ipsi Z; zque igitur est zul- tiplex AB ipsius E ac KO ipsius Z. JEque autem ponitur multiplex ABipsius E ac PAip. |
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τὸ ΤΔ τοῦ 2’ -ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον πὸ ΚΘ τοῦ 2, καὶ τὸ ΓΔ τοῦ 2. Ἐπεὶ οὖν ἑκά- πτερὸν τῆς ΚΘ, ΤΔ τοῦ Ζ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλά- σιον" ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΘ τῷ ΓΔ. Κοινὸν ἀφῃ- ρήσθω τὸ ΤΘ' λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΓ λοιπῷ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν. Αλλὰ τῷ Δ τὸ ΚΓ ἐστὶν ἴσον" καὶ τὸ ΘΔ ἄρα τῷ 2 ἴσον ἐστίνί, Ὥστε εἶδ τὸ ἨΒ τῷ Ἑ ἴσον ἰστὶ, καὶ τὸ ΘΔ ἴσον ἔσται τῷ 1. |
sius Z ; oque igitur est multiplex KO ipsius Z ac TA ipsius Z. Et quoniam utraque ipsarum KO, PA ipsius Z eque est multiplex; equalis igitur est KO ipsi TA. Communis auferatur T6; reliqua igitur KP relique 6A squalis est Sed ipsi Z ipsa KT. est zqualis; et OA igitur ipsi Z zqualis est. Quare si HB ipsi E zqualis est , et OA equalis erit ipsi Z. |
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ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι κἂν πολλαπλάσιον ἢ τὸ ΗΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΘΔ τοῦ 2. Ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη, καὶ τὰ ἑξῆς. |
Similiter utique ostendemus et si multiples est HB ipsius E, multiplicem fore ct magnitadi- nem OA ipsius Z. Si igitur duc, etc. |
Si deux grandeurs sont des équimultiples de deux grandeurs ; et si certaines grandeurs retranchées sont des équimultiples des dernières, les grandeurs restantes seront égales à ces dernières, ou des équimultiples de ces dernières.
Que les deux grandeurs 4B, rA soient des équimultiples des deux grandeurs E,Z, et que les grandeurs retranchées AH, re soient des équimuliples de E et de z; je dis que les grandeurs restantes HB, @A sont égales aux grandeurs E, Z, ou des équimultiples de ces grandeurs. Premièrement, que HB soit égal à E; je dis que ea est égal à z. Faisons ΓK égal à Z.
Puisque AH est le même multiple de E que ΓΘ l'est de Z, que HB est égal à E, et kr égal az, 4B est le même multiple de E que Ke l’est de Z (2.5). Mais on a supposé que AB est le même multiple de E que rA l’est de z ; donc Ke est le même multiple de z que ra l’est de z. Et puisque les grandeurs ke, ra sont chacune le même multiple de z, Ke est égal à ra. Retranchons la partie commune re ; la grandeur restante kr sera égale à la grandeur restante @a. Mais kr est égal à z; donc ea est égal à z ; donc si HB est égal à E, @A sera égal à z.
Nous démontrerons semblablement, que si H8 est un multiple de E, la grandeur ea sera le même multiple de z. Donc, etc.