Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 14

Euclide

Les Éléments - Livre 5

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 316-317).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιδʼ.	PROPOSITIO XIV.
Ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λό- γον καὶ τρίτον πρὃς τἐτοιρτον, τὸ δὲ πρῶτον τοῦ τρίτου μείζον ἦ" καὶ τὸ οωτσρον τοῦ τε- ταρτου μειἴον ἐσται" κἂν ἴσον. ἰσον" παν ἔλξσσο, ο ἔλασσον	Si prima ad secundam eamdem habeat rati. nem quam tertia ad quartam, prima vero tertji major sit, et secunda tertiá major erit ; et si æqualis, æqualis ; et si minor, minor.
Πρῶτον γὰρ τὸ α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὖ- τὸν ἐχέτω λόγον καὶ Ὑρίτὸν τὸ Τ πρὸς τεταρῤτον	Prima enim A ad secundam B eamdem habeat rationem quam tertia Iʼ ad quartam 4, major

τὸ Δ, μεῖζον δὲ ἔστω τὸ Α τοῦ Γʼ λέγὼω 0711 καὶ τὸ Β τοῦ Δ μείζόν ἐστιν.	autem sit A ipsá D ; dico et 2 ipsá A majorem esse.
Ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Τ΄. ἀλλο δὲ ὃ ἔτυχε μέγεθος" τὸ Βʼ τὸ Α ὥρα πρὸς τὸ Β μείζονα	Quoniam enim major est A ipsá Tʼ, alia autem utcunque magnitudo B ; ergo A ad B majorem
λο’γον ἔχει ἡπὲρ ΤΟΤ ʼπρὄς τὸ Β 1τὸ Β. οὕτως τὸ Τ προς τὸ Δʼ’ καὶ τὸο Τ ἄρώ πρὸς τὸ Δ μειζονω λογον ἐχεῖ ἅπερ τὸ Τ πρὸς τὸ Β, Προς ὁ ὁςε τὸ αὐὑτὸ ρ. ειζο, : οι λογον ἐχεῖ. ἐπεῖνο ἔλαττόν ἐστιν" ἔλαττον ἄρα τὸ Δ τοῦ Β" ὡστε μεῖζόν ἐστʼ τὸ Β τοῦ Δ.	rationem habet quam T ad B. Ut autem A ad B, ita T ad A ; ct T igitur ad A majorem rationem habet quam T ad B. Ad quam autem eadem majo- rem rationem habet, illa minor est ; minor igi- tur A ipsá B ; quare major est B ipsá A.
Ομοίως δὴ δείξομεν ὁτι, κἂν ἰσοὸν ἢἡ τὸ Α τῷ Γ. ισὸν ἐστῶι καὶ τὸ Β τῷ Δʼ καν ελασσὸν ἥ ΤΟΑ του Τ. ἐλαῦσσὸν ἐσταί ! . καὶ" τὸ Β τοῦ Δ. Ἐὰν ἄρα πρῶτον, καὶ τὰ ἑξῆς.	Similiter utique ostendemus et si : xqualis sit A ipsi T, sxqualem fore et B ipsi A ; et si minor sit A ipsà I, minorem fore et B ipsá A. Si igitur prima, etc.

PROPOSITION XVI.

Si la première a avec la seconde la même raison que la troisième avec la quatrième, et si la première est plus grande que la troisième, la seconde sera plus grande que la quatrième ; si la première est égale à la troisième, la seconde sera égale à la quatrième, et si la première est plus petite que la troisième, la seconde sera plus petite que la quatrième.

Que la première A ait avec la seconde B la même raison que la troisième r avec la quatrième 4, et que A soit plus grand que r ; je dis que 8 est plus grand que A.

Puisque A est plus grand que r, et que B est une autre grandeur quelconque, A a avec B une plus grande raison que r avec B (8. 5). Mais A est à B comme T est a A ; donc Tr a avec A une plus grande raison que r avec B (13. 5). Mais la grandeur avec laquelle une même grandeur a la plus grande raison est la plus petite (ro. 5) ; donc A est plus petit que B, et par conséquent B plus grand que 4.

Nous démontrerons semblablement que si À est égal à Tr, B sera égal à 4, et que si À est plus petit que Tr, B sera plus petit que 4. Donc, etc.