Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 13
C. F. Patris, (1, p. 314-316).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιγ´. | PROPOSITIO XIII. |
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ἙἘὰν πρωτον πρὸς ὀευτέερον τὸν αὐτον ἐχῇ λο- γὸν καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον. τρίτον δὲ πρὸς, τέταρτον μείζονω λογὸν ἔχῃ ἡπερὶ πέμμπτον πρὸς ἔκτον" καὶ πρῶτον πρὸς δεύτερον μείζονα λόγον ἐξεῖ ἡπρ2 πεμπτον πρὸς Ἐκτον. |
Si prima ad secundam eamdem habcat rationem quam terlia ad quartam ; tertia autem ad quartam majorem rationem habeat quam quinta ad sextam ; ct prima ad secundam majorem ra. tionem habebit quam quinta. ad. sextam. |
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Πρῶτον μὲν" γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λογοὸν καὶ τρίτον Τὸ Τ πρὸς τετᾶρ- τον τὸ Δ, τρίτον δὲ ΤΟΤʼ πρὸς τετάρτον τὸ Δ |
Prima quidem enim A ad secundam B eam. dem habeat rationem quam tertia T ad quartam 4, teria vero T ad quartam A majorem rationem |
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με ; ζονω λογὸν ἐχέτω ἡπερὶ πεμπτον τὸ Ἑ πρὸς εκτὸν τὸ Ζ" λέγω ὁΤ1᾽ αὶ πρωτὸν τὸ Αʼ σρὸς δεύτερον τὸ Β μείζονα λόγον ἐξει ἤπερ πέμπτον τὸ Ἑ πρὸς ἐκτον Τὸ 2". |
habeat quam quinta E ad sextam Z ; dico et pri- mam AÀ ad secundam B majorem ralioncm habi- turam csse quam quintam E ad sextam Z. |
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Ἐπεὶ γαρ τὸ Τ προς τὸ Δ μςιζονα λογον ἐχει ἡῚΡ ΤΟ Ὲ σρὸὺς τὸ 20 ἔστι τινὰ τῶν μἐῪὸδῪν Τ Ε |
Quoniam enim I ad A majorem rationem habet quam E ad Z, sunt quaedam ipsarum
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ἰσώκις πολλαπλάσια. , τῶν δὲ Δ. Ζ ἀλλα ἃ ἐτυχεν ἰσακις πολλαπλασια" καὶ τὸ μὲν τοῦ Γ πολλαπλάσιον τοῦ ποῦ Δ πολλαπλασίου ὑπερέχει. τὸ δὲ πτοῦ Ἑ πολλαπλάσιον ποῦ τοῦ 2 πολλαπλασίου οὖχ ὖπέρἔχει. Εἰλήφθω. καὶ ἔστω τῶν μὲν Τ, Ε ἰσάκις πολλαπλάτια τὰ Ἡ, Θ, τῶν δὲ Δ, Ζ ἄλλα ἃ ἔτυχεν ʼσά- κις πολλαπλάσια τὰ Κ, Δ, ὥστε τὸ μὲν Η τοῦ Κὶ ὑπερέχειν, τὸ δὲ Θ τοῦ Λ μὴ ὑπερέχειν" καὶ ὁσαπλάσιον μὲν ἐστι Τ Η τοῦ Τ, τοσαυτα- πλάσιον ἔστω καὶ τὸ Μ τοῦ Αʼ ὁσαπλάσιον δὲ τὸ Κὶ τοῦ Δ. τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ τὸ Ν τοῦ B. |
qudem Tʼ, E eque multiplices, ipsarum vero ^, Z alie utcunque zque mulüplices ; et ip- sius quidem T mulüplex ipsius A multiplicem superat, ipsius vero E multiplex ipsius Z multi- plicem non superat. Sumantur, ct sint ipsarum qudemr, E eque multiplices H, 6 ; Ipsarum vero A, Z alie utcunque &que muliiplices K, A ; ila ut H quidem ipsam K superet, ipsa vero O ipsam A non superet ; et quam multiplex quidem cst H ipsius P, tam mulüplex sit et M ipsius A ; quam vcro multiplex K ipsius A, tam multiplex sit et N Ipsius B. |
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Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ α ’πρὄς τὸ Β οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ. καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Τ ἰσώκις σολλαπλάσια τὰ Μ, Η, τῶν δὲ Β. Δ ἄλλα ἃ ἔτυ- χεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ν Κʼ εἰ ἄρα ὑπερ- ἔχει τὸ Μτοῦ Ν, ὑπερέχει καὶ τὸ Ἡ τοῦ Κʼ καὶ εἰ ἴσον. ἴσον" καὶ εἰ ἔλασσον. ἔλασσον. Υσερ- ἐχει δὲ τὸ Ἡ τοῦ Κ, ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ Μ τοῦ Ν. Τὸ δὲ Θ τοῦ Λ οὐχ ὑπερέχει" καὶ ἔστι τὰ μὲν Μ. Θ τῶν Α, Ε ἰσάκις πολλαπλά- σια, . τὰ δὲ Ν Δ τῶν Β. Ζ ἄλλα ἁ ἔτυχεν |
Et quoniam est ut A ad B ita T ad A, et sumpt sunt ipsarum quidem A, T : eque mulüplices M, H, ipsarum vero B, A alie utcunque zque muluplices N, K ; si igitur superat M ipsam N, superat et H ipsam K ; et si : qualis, qualis ; et si minor, minor, Superat autem H ipsam K, superatigitur et M ipsam N. Ipsa vero O ipsam A non superat ; et sunt M, O quidem ipsarum A, E &que multiplices, ipse vero N, A ipsarum B, Zal utcunque zque multiplices ; ergo À
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σάκις πολλαπλάσια" τὸ ἀρῶ Ἃ πρὸς ζονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ Ἑ πρὸς τὸ Ζ. Ἐάν ἄρα πρῶτον. » καὶ τὰ εξῆς. |
ad B majorem rationem habet quam E ad Z. Si igitur prima, etc. |
Si la première a la même raison avec la seconde que la troisième avec la quatrième, et si la troisième a avec la quatrième une raison plus grande que la cinquième avec la sixième, la première aura avec la seconde une raison plus grande que la cinquième avec la sixième.
Que la première A ait avec la seconde B la même raison que la troisième T avec la quatrième 4, et que la troisième Tr ait avec la quatrième 4 une raison plus grande que la cinquième E avec la sixième Z ; je dis que la première 4 aura avec la seconde B : ʼune raison plus grande que la cinquième E avec la sixième Z.
Puisque T a avec A une raison plus grande que E avec Z, parmi des equimultiples quelconques de r et de E, et parmi d’autres équimultiples quelconques de A et de Z, un multiple de r surpasse un multiple de A, et un multiple de E ne surpasse pas un multiple de z (déf. 8. 5). Prenons ces équimultiples, et que H, © soient des équimultiples de r et de E, et que K, À soient d’autres équimultiples quelconques de À et de z, de manière que H surpasse K, et que © ne surpasse pas À ; et que M soit le même multiple de À que H l’est de T, et que N soit le même multiple de B que k l’est de a.
Puisque 4 est à B comme r est à A, et qu’on a pris des équimultiples quelconques M, H de A et de r, et d’autres équimultiples quelconques N, K de B et de 4 ; si M Surpasse N, H surpasse K ; si M est égal a N, H est égal à K ; et si M est plus petit que N, H est plus peut que Kk (déf. 6. 5). Mais H surpasse Kk ; donc M surpasse N. Mais © ne surpasse pas A ; et M, © sont des équimultiples quelconques de A et de E ; et N, A sont d’autres équimultiples quelconques de B et de Z ; donc A a avec B une raison plus grande que E avec Z (déf, 8. 5). Donc, etc.