Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 12
C. F. Patris, (1, p. 312-313).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιβ΄. | PROPOSITIO XII. |
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Ἑὰν ἦ ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον" ἔσται ὡς ἕν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα. |
Si sint quotcunque magnitudines proportio. nales, erit ut una antecedentium' ad. unam consequentium , ita omnes antecedentes ad om. nes consequentes. |
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Ἑστωσαν ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον, τὰ 4. Β.Τ, Δ,Ε,. 2, ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β οὕτως τὸ ΤΙ πρὸς τὸ Δ καὶ τὸ Ε πρὸς τὸ 2 λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ α πρὸς τὸ Β οὕτως τὰ Α. ΤΆ, Ἑ πρὸς τὰ Βν. Δ. 2. |
Sint quotcunque magnitudines proportiona. le A,B,T, A,E,Z, ut Aad BitaT ad A, et E ad Z; dico esse ut A ad B ilaA , r, x ad ipsas B, A , Z. |
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Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Τ, Ε ἰσώκις πολλα- πλάσια τὰ Η, Θ' Κ, τῶν δὲ Β, Δ, 2 ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΔΛ. ΜΝ. |
Sumaníur enim ipsarum quidem A , P, 2 zque multiplices H , 6 , K , ipsarum vero, 4, Z aliz utcunque zque multiplices A , M , N, |
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Καὶ ἐπεί ἔστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β οὕτως τὸ Τ' σοὲς τὸ Δ καὶ τὸ Ε πρὸς τὸ 2, καὶ εἴληπται |
Et quoniam est A ad B ita l'ad A et E ad Z, et sumpt sunt ipsarum quidem A , T', E zque
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τῶν μὲν Α.Τ΄, Ε ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ἡ, Θ.Κ, τῶν δὲ Β, Δ, 2 ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΛΑ, Μ, Ν᾽ εἶ ἄρᾳ ὑπερέχει τὸ Ἡ τοῦ Δ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Μ, καὶ τὸ Κ τοῦ Ν᾽ καὶ εἰ ἴσον, ἴσον" καὶ εἰ ἔλασσον, ἔλασσον. Ὥστε καὶ εἶ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Δ., ὑπερέχει καὶ τὰ Η, Θ, Καὶ τῶν ΔΛ, Μ, Ν καὶ εἰ ἴσον. ἔσα" καὶ εἰ ἔλασσον, ἔλασσονα", Καί ἐστι τὸ μὲν Η καὶ τὰ Η, Θ, Κὶ τοῦ α καὶ τῶν Α, ΓΤ, Ε ἰσά- κις πολλαπλάσια" ἐπειδήπερ ἂν" ἦ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος. ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσια, ὁσαπλα- σιόν ἐστι ἕν τῶν μεγεθῶν ἑνὸς, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων, Διὰ τὼ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΔΛ καὶ τὰ Δ,Μ, Ν τοῦ Β καὶ τῶν Β., Δ, Ζ ἰσάκις ἰστὶ πολλαπλάσια" ἴστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὰ Α. ΓΤ, Ε πρὸς τὰ Β, Δ, Ζ, Ἐὰν ἄρα ἢ ὁποφαοῦν, καὶ τὰ ἑξῆς. |
multiplices H , 6 , K , ipsarum vero B, A,Z alie utcunque zque multiplices 4, M, N ; si igitur H superatipsam A, superat et O ipsam M, et K ipsam N ; et si equalis, qualis; et si minor , minor. Quare et si superat H ipsam A , superant cet H, 0, KipsasA, M, N; et sizqualis, e- quales; et si minor, minores. Et est H quidem etH,O,K ipsius A et ipsarum A, P, E eque multiplices; quoniam si sint quotcunque mag- nitudines quotcunque magnitudinum zqualium multitudine , singulz singularum eque multiplices, quam multiplex estuna magnitudinum unius, tam multiplices erunt et omnes omnium. Prop- ter eadem utique et A et A, M , N ipsius B et ip- sarum B , A, Z eque sunt multiplices ; est igitur ut A ad B, ita A, T, E ad B, A, Z. Si igitar sint quotcunque , etc. |
Si tant de grandeurs qu’on voudra sont proportionnelles, un des antécédents sera à un des conséquents comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents.
Soient A, B, Γ, Δ, E, Z tant de grandeurs proportionnelles qu’on voudra ; que A soit à B comme Γ est à Δ et comme E est à Z ; je dis que A est à B comme la somme des antécédents A, Γ, E est à la somme des grandeurs B, Δ, Z.
Prenons des équimultiples quelconques H, @, K des grandeurs A, Γ, E, et d’autres équimultiples quelconques : A, M, N des grandeurs B, Δ, Z.
Puisque A est à B comme Γ est à A, et comme E est à z ; que lʼon a pris des équimultiples quelconques H, 6, K des grandeurs A, T, E, et dʼautres équimultiples quelconques A, M, N des grandeurs B, A, Z ; si H surpasse A, © surpasse M, et K surpasse N ; si H est égal à A, o est égal à M, et K égal à N ; et si H est plus petit que A, e est plus petit que N, ei K plus petit que N (déf. 6. 5). Donc, si H surpasse A, la somme des grandeurs H, ©, κ surpasse la somme des grandeurs A, M, N ; si H est égal à ^, la somme des grandeurs H, ©, K est égale à la somme des grandeurs A, M, N ; et si H est plus petit que A, la somme des grandeurs H, ©, K est plus petite que la somme des grandeurs A, M, N. Mais la grandeur H et la somme des grandeurs H, ©, K sont des équimultiples de la grandeur 4 et des grandeurs A, T, E, parce que si tant de grandeurs qu’on voudra sont les mêmes multiples d’autres grandeurs égales en nombre, chacune de chacune, la somme des premières grandeurs est le même multiple de la somme des secondes, quʼune de ces grandeurs F est d’une de ces grandeurs (1. 5). Par la même raison, la grandeur 4 et la somme des grandeurs A, M, N sont des équimultiples de la grandeur B et de la somme des grandeurs B, A, Z ; donc A est à B comme la somme des grandeurs A, T, E est à la somme des grandeurs B, ^, Z (déf. 6. 5). Donc, etc.