Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 11
C. F. Patris, (1, p. 310-311).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιά. | PROPOSTIO XI. |
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οἱ τῷ αὐτῷ λόγοι οἱ αὐτοὶ, καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί. |
Eidem rationes ezdem , et inter se sunt ez. dem. |
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Ἑστωσαν γὰρ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β οὕτως" τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ οὕτως τὸ Ἑ πρὸς τὸ 2" λέγω ὅτι ἐστὴν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β οὕτως τὸ Ἑ πρὸς τὸ 2. |
Sint enim ut A quidem ad B ita Γ ad A, ut Γ vero ad A , ita E ad Z dico esse ut A ad Bit E ad Z. |
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Εἰλήφθω γὰρ τῶν μν' Α΄, Τ, Ε ἰσάκις πολ- λαπλάσια τά Η, Θ-» Κ, τῶν Β, Δ, Ζ ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Δ, Μ, Ν. |
Sumantur enim ipsarum A , Γ , E quidem a. que multiplices H, 6 , K , ipsarum vero 2,4, Z aliæ utcunque æque multiplices A , M, N. |
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Καὶ ἐπεί ἔστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ. καὶ εἴληπται τῶν μὲν" Α,Τ' ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, τῶν δὲ Β. Δ ἄλλα ἅ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΔΛ Μ8ὅ: εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ἡ τοῦ Δ, ὑπερέχει καὶ τὸ Θ τοῦ Μ' |
Et quoniam est ut A ad B ita Γ ad A , et sump- tie sunt ipsarum quidem A , T zque multiplices H,9, ipsarum vero B , A aliz utcunque mul- tiplices ^, M; si igitur H superat ipsam A , su- perat et 9 ipsam M ; et si æqualis, æqualis ; et
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χαὶ εἰ ἴσον, ἴσονί" καὶ εἰ ἔλαττον. ἔλαττονϑ, Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Τ πρὸς τὸ Δ οὕτως τὸ Ἑ πρὸς τὸ Ζ, καὶ εἴληπται τῶν μενδ τ, Ἑ ἰσά- κις πολλαπλάσια τὰ Θ, Κ, τῶν δὲ Δ. 2 ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν' εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν᾽ καὶ εἰ ἴσον, ἴσον" καὶ εἰ ἔλασσον, ἔλασσον. Αλλα εἰ ὑπερέχει τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Ἡ τοῦ Δ' καὶ εἰ ἴσον, ἴδον" καὶ εἰ ἔλατ- τον, ἔλαττον" ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Ἡ τοῦ Λ» ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ ΝΝ' καὶ εἰ σον, ἴσον" καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. Καὶ ἔστι τὰ μὲν Η, Κα τῶν Α.Ε ἰσάκις πολλαπλάσια. τὰ δὲ Δ. Ν τῶν Β., 2 ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια" ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β οὕτως τὸ Ἑ πρὲς τὸ Z. Οἱ ἄρα τῷ αὐτῷ, καὶ τὰ ἑξῆς. |
si minor , minor. Rursus , quoniam est ut P ad Aita E ad Z , et sumpt ipsarum quidem T , E zque multiplices 6 , K, ipsarum vero A , Zalig utcunque zque multiplices M , N ; si igitur su- perat O ipsam M , superat et K'ipsam N ; et si qualis , equalis ; et si minor, minor. Sed si su- perat Ó ipsam M , superat et H ipsam A ; ct si qualis , equalis; et si minor, minor; quare et si superat H ipsam A , superat ct K ipsam N ; et si equalis , wqualis ; et si minor, minor. Et sunt H,K quidem ipsarum A , E que mulliplices , ipse vero A, N ipsarum B, Z aliz utcunque multiplices ; est igitur ut A ad B. ita E ad Z. Ergo eidem , etc. |
Les raisons qui sont les mêmes avec une même raison sont égales entr’elles.
Que A soit à B comme T est à A, et que Tr soit à A comme E est à 2; je dis que A est à B comme E est à Z.
Prenons des équimultiples quelconques H, ©, k des grandeurs A, Tr, E,et d’autres équimultiples quelconques 4, M, N des grandeurs B, 4, 2.
Puisque A est à B comme T est à A, et qu’on a pris des équimuliiples quel- conques H, © de A et de r; et d'autres équimultiples quelconques 4, M de B et de A; si H surpasse A, @ surpasse M; si H est égal à A, © est égal à M; et si H est plus petit que A, © est plus peut que M (déf. 6. 5). De plus, puisque T est à 4 comme E est à Z, et quʼon a pris des équimultiples quelconques ©, K de r et de E, et dʼautres équimultiples quelconques M, N de 4etdeZ ; si © surpasse M, K surpasse N ; 516 est égal à M, K est égal à N, et si © est plus petit que M, K est plus petit que N. Mais si Θ surpasse M, H surpasse A ; si © est égal à M, H est égal à A, et si © est plus petit que M, H est plus petit que A ; donc, si H surpasse A, K surpasse N ; si H est égal à A, K est égal à N, et si H est plus petit que A, K est plus petit que N. Mais H, K sont des équimultiples quelconques de 4 et de E, et A, N d’autres équimultiples quelconques de B et de Z ; donc 4 est à B comme E est à z (déf. 6. 5). Donc, etc.