Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 10
C. F. Patris, (1, p. 308-309).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιʹ. | PROPOSITIO X. |
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Ἰῶν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων, τὸ τὸν' μείζονα λόγον ἔχον, ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστι, Πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν. |
Ipsarum ad eamdem rationem habentium, quz majorem rationem habet , illa major est; aq quam autem eadcm majorem rationem habet, illa minor est. |
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Ἐχέτω γὰρ τὸ Α πρὸς τὸ Τ μείζονα λόγον, ἤπερ τὸ Β πρὲς τὸ Τ' λέγω ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Β. |
Habeat enim A ad T majorem rationem , qua B ad T ; dico majorem esse A ipsá B. |
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Εἰ γὰρ μὴ, ἤτοι ἴσον ἰστὶ τὸ Α τῷ Β, ἢ ἔλασσον. Ἰσὸν μὲν οὖν οὐκ ἔστι τὸ Α τῷ Β. ἑκά- τερον γάρ ἄν τῶν Α, Β πρὸς τὸ Τ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον. Οὐκ ἔχει δὲ, οὐκ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ Β. Οὐδὲ μὴν ἔλασσόν ἔστι τὸ Α τοῦ Β, τὸ Α γὰρ ἂν πρὸς τὸ Τ τὸν ἐλάσσονα εἶχε λόγον" ἤπερ |
Si enim non , vel zqualis est A ipsi3, vd minor. Jqualis autem. non est A ipsi, utra- que enim ipsarum A , B ad T eamdem haberet rationem, Non habct vero; non igitur zqu- lis est A ipsi B. Neque tamen minor est A ipsà3, nam A ad T minorem haberet rationem quam
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τὸ Β πρὸς τὸ ΓΤ, Οὐκ ἔχε, δὲ, οὐκ ἀρα ἔλασσόν ἐστι τὸ Ατοῦ Β. Ἐδείχθη δὲ ὅτιβ οὐδὲ ἴσον, μείζον ἄμα ἐστὶ τὸ α τοῦ Βι |
B ad Γ. Non habet autem , non igitur minor est 4 ipsá B. Ostensa autem est neque aqualis , major igitur est A ipsá B. |
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Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ ΓΤ πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἥπερ τὸ Τ πρὸς τὸ Α΄ λέγω ὅτι ἔλασσόν ἔστι τὸ Β τοῦ Α. |
Habeat autem. rursus Γ ad B majorem ratio- nem quam Γ ad A j dico minorem cssc B ipsá A. |
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Εἰ γὰρ μὴ, ἤτοι ἴσον ἀστὴν, ἢ μεῖζον. Ἰσον μὲν οὖν οὐκ ἔστι τὸ Β τῷ Α, τὸ Τ γὰρ ἂν πρὸς ἑκά- τερον τῶν Α..Β τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον. οὐκ ἔχει δὲ, οὐκ ἄμα ἴσον ἐστὶ τὸ Α τῷ 8. οὐ δὲ μὴν μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α, τὸ Τὶ γὰρ ἂν πρὸς τὸ Β ἐλάσ- σογα λόγον εἶχεν ἤπερ πρὸς τὸ Α. Οὐκ ἔχει δὲ, οὐκ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ Β τοῦ Α. Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἴσον, ἔλασσον ἄρα ἰστὶ τὸ Β τοῦ Α. Τῶν ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ, καὶ τὰ ἑξῆς. |
Si enim. non, vel equalis est, vel major. Æqualis quidem non est Bipsi A, namT ad utram- que ipsarum A , B. eamdem haberet rationem. Non habet vero, non igitur equalis est A ipsi 5. Non autem tamen major est B ipsá A , nam Γ ad B minorem rationem haberet quam ad A. Non habet vero , non igitur major est Bipsá 4. Ostensa autem est neque equalis , minor igitur est B ipsà A. Ipsarum igitur ad eamdem , etc. |
Des grandeurs ayant une raison avec une même grandeur, celle qui a une plus grande raison est la plus grande, et celle avec laquelle cette même grandeur a une plus grande raison est la plus petite.
Que A ait avec T une plus grande raison que 2 avec T ; je dis que A est plus grand que B.
Car, si cela n’est pas, A est égal à B, ou plus petit. A nʼest pas égal à 5, car chacune des grandeurs A, B aurait la même raison avec r (7. 5)q. Mais chacune de ces grandeurs n’a pas la même raison avec r ; donc A n’est pas égal à B. A nʼest pas cependant plus petit que B ; car A aurait avec T une plus petite raison que B avec r (8. 5). Mais A nʼa pas avec T une plus petite raison que B avec Γ ; donc A n’est pas plus petit que 8. Mais on a démontré qu’il ne lui est pas égal ; donc A est plus grand que 8:
De plus, que r ait avec B une raison plus grande que Γ avec A ; je dis que B est plus petit que A.
Car, si cela n’est pas, il lui est égal, ou il est plus grand. Mais la grandeur B n’est pas égale à A; car alors la grandeur T aurait la même raison avec chacune des grandeurs 4, B (7. 5). Mais elle ne l’a pas ; donc A n’est pas égal à B. La grandeur B n’est pas cependant plus grande que A; car alors Γ aurait avec B une raison plus petite qu'avec A (8.5). Mais r n’a pas avec B une raison plus petite qu’avec A; donc B n’est pas plus grand que 4. Mais on a démontré qu’il ne lui est pas égal; donc B est plus petit que 4. Donc, etc.