Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Proposition 15

Euclide

Les Éléments - Livre 5

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 317-318).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιεʹ	PROPOSITIO XV.
Τὰ μέρη τοῆς ὡσαύτως πολλαπλασίοις αὐτὸν ἐχε ! λογον. ληφθέντα καταλλῆλα.	Partes inter se comparate eamdem habent rationem quam « que multiplices.
Ἑστω γὰρ ἰσώκις πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ του	Sit enim zque mulüplex AB ipsius Tʼ ac

Τ καὶ τὸ ΔῈ τοῦυ Ζ" λέγὼω ὁτὶ ἐστὶν ὡς ΤΟΤ σρὸς τὸ Ζ οὕτως τὸ ΑΒ ’πρὀς τὸ ΔΕ.

AE ipsius Z ; dico esse ut T ad Z ita AB ad AE.

Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Τ καὶ τὸ ΔῈ τοῦ Ζ" ὕσα ἆ’ροι ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Τ, τοσαῦτω καὶ ἐν τῷ ΔῈ ἴσα τῷ 2. Διηρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷῶ Τ μεγέθη ! ἴσα, τὰ ΑΗ, ΗΘ. ΘΒ ; τὸ δὲ ΔῈ εἰς τὰ τῷ 2 ἰσα- τὰ ΔΚ. Κλ. ΔΛῈ’ ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ. ΗΘ. 6Β τῷ πληήθε τῶν ΔΚ. ΚΛ. ΔΕ. Καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΔῊ. ΗΘ. ΘΒ ἀλλήλοις. ἔστι δὲ καὶ τὰ ΔΚ. ΚΔ. ΛΕ ἴσα ἀλλή-

Quoniam enim zque est multiplex AB Ipsius LI ac AE ipsius Z ; quot igitur sunt in AB mag. nitudines zquales ipsiT, tot sunt et in AE $- quales ipsi Z. Dividatur AB quidem in magni- tudines ipsi T : quales AH, HO, OB, ipsa vero AE in AK, KA, AE ipsi Z equales ; erit utique wqualis multitudo ipsarum AH, HO, 68 my] . titudini ipsarum AK, KA, AE. Et quoniam a. quales sunt AH, HO, OB inter se, sunt autem

λοις" ἔστιν ο’ι’ροι ὡς τὸ ΑΗ ’πρὄς τὸ ΔΚ οὕτως τ ΗΘ ’πρὃς τὸ ΚΛ. καὶ τὸ ΘΒ ʼπρὄς τὸ ΛΕ" ἔσται ο’ἔρα καὶ ὡς ἕν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ᾗξγούμενοι ͵πρὃς ἅπαντα τὰ ξπο’μενοιʼ ἔστιν ο’ἔροι ὧς τὸ ΑἩ ’πρὄς τὸ ΔΚ οὖτως τὸ ΑΒ ’πρὃς τὸ ΔΕ. Ἰσὸν δὲ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Γ, τὸ δὲ ΔΚ τῷ Ζ’ ἔστιν ο’ι’ροι ὡς τὸ Τ ’πρὄς τὸ Ζ οὖτως τὸ ΑΒ ʼπρὄς τὸ ΔΕ. Ταὰ ἄρα μέρη, καὶ τὰ ἑξῆς,

et AK, KA, AE zquales inter se ; est igitur ut AH ad AK ita HO ad KA, et OB ad AE ; erit igi tur et ut una antecedentium ad unam conse- quentium, ita omnes antecedentes ad omnes consequentes ; est igitur ut AH ad AK ita AB ad AE. Æqualis autem AH quidem ipsi T, ipsa vero AK ipsi Z ; est igitur ut I ad Z ita AB ad AE, Ergo partes, etc.

PROPOSITION XV.

Les parties comparées entr’elles ont la même raison que leurs équimultiples.

Que AB soit le même multiple de r que AE l’est de Z ; je dis que r est à Z Comme AB est à AE. Puisque AB est le même multiple de r que AE l’est de Z, il y a dans AB autant de grandeurs égales à r qu’il y a dans AE de grandeurs égales à z. Divisons 4 en parties égales à Tr, et que ces parties soient AH, H©, ©@B ; divisons aussi AE en parties égales à Z, et que ces parties soient AK, KA, AE. Le nombre des parties AH, H©, ©B sera égal au nombre des parties AK, KA, AE. Et puisque les parties AH, H©, ©B sont égales entr’elles, et que les parties AK, KA, AE sont aussi égales entr’elles, AH est à AK comme H© est à KA, et comme €B est à AE (7. 5) ; donc un des antécédents sera à un des conséquents comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents (12. 5) ; donc AH est à 4K comme AB est à AE. Mais AH est égal à T, et AK égal à Z ; donc r està2 comme AB est à AE. Donc, etc.